文档内容
2018年辽宁省本溪市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．﹣3 D．1
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2m2+m2＝3m4 B．（mn2）2＝mn4 C．2m•4m2＝8m2 D．m5÷m3＝m2
4．（3分）如图是由6个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）小明同学5次数学小测验成绩分别是90分、95分、85分、95分、100分，则小明这5
次成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．95分、95分 B．85分、95分 C．95分、85分 D．95分、90分
6．（3分）下列事件属于必然事件的是（ ）
A．经过有交通信号的路口，遇到红灯
B．任意买一张电影票，座位号是双号
C．向空中抛一枚硬币，不向地面掉落
D．三角形中，任意两边之和大于第三边
7．（3分）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第一、三、四象限，则k，b满足（ ）
A．k＞0，b＜0 B．k＞0，b＞0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
8．（3分）为了美化校园，学校计划购买甲、乙两种花木共200棵进行绿化，其中甲种花木每
第1页（共25页）棵80元，乙种花木每棵100元，若购买甲、乙两种花木共花费17600元，求学校购买甲、乙
两种花木各多少棵？设购买甲种花木x棵、乙种花木y棵，根据题意列出的方程组正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）如图，△ABC的顶点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，顶点C在x轴上，
AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），S△ABC ＝2，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．7 D．﹣7
10．（3分）如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿
A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长
为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝6时，PQ的值是（ ）
A．2 B． C． D．1
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）
11．（3分）五年以来，我国城镇新增就业人数为66000000人，数据66000000用科学记数法表
示为 ．
第2页（共25页）12．（3分）分解因式：2a2﹣8ab+8b2＝ ．
13．（3分）如图，AB∥CD，若∠E＝34°，∠D＝20°，则∠B的度数为 ．
14．（3分）五张看上去无差别的卡片，正面分别写着数字1，2，2，3，5，现把它们的正面向下，
随机地摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到数字“2”的卡片的概率是 ．
15．（3分）关于x的一元二次方程2x2﹣x﹣k＝0的一个根为1，则k的值是 ．
16．（3分）不等式组 的解集是 ．
17．（3分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB或
边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为 ．
18．（3分）如图，A ，A ，A …，A ，A 是直线 上的点，且OA ＝A A ＝A A ＝…
1 2 3 n n+1 1 1 2 2 3
A A ＝2，分别过点A ，A ，A …，A ，A 作l 的垂线与直线 相交于点B ，
n n+1 1 2 3 n n+1 1 1
B ，B …，B ，B ，连接A B ，B A ，A B ，B A …，A B ，B A ，交点依次为P ，P ，P …，
2 3 n n+1 1 2 1 2 2 3 2 3 n n+1 n n+1 1 2 3
P ，设△P A A ，△P A A ，△P A A ，…，△P A A 的面积分别为S ，S ，S …，S ，则S ＝
n 1 1 2 2 2 3 3 3 4 n n n+1 1 2 3 n n
．（用含有正整数n的式子表示）
三、解答题（19题10分，20题12分，共22分）
第3页（共25页）19．（10分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中a＝2﹣1+（ ﹣2018）0
π
20．（12分）某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A．器乐，B．舞蹈，C．朗诵，
D．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了
抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？
（4）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四
位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人
恰好是甲和乙的概率．
四、解答题（21题12分，22题12分，共24分）
21．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．
22．（12分）如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正东方向，D在
C的正北方向，D，E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C，D相距1000 m，
E在BD的中点处．
（1）求景点B，E之间的距离；
（2）求景点B，A之间的距离．（结果保留根号）
第4页（共25页）五、解答题（12分）
23．（12分）服装厂批发某种服装，每件成本为65元，规定不低于10件可以批发，其批发价y
（元/件）与批发数量x（件）（x为正整数）之间所满足的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间所满足的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）设服装厂所获利润为w（元），若10≤x≤50（x为正整数），求批发该种服装多少件时，
服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？
六、解答题（12分）
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作 O
与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO，连接DF． ⊙
（1）判断直线DF与 O的位置关系，并说明理由；
（2）当∠A＝30°，CF⊙＝ 时，求 O的半径．
⊙
七、解答题（12分）
25．（12分）菱形ABCD中、∠BAD＝120°，点O为射线CA 上的动点，作射线OM与直线BC
相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交
于点F．
（1）如图 ，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA
①
第5页（共25页）三条段段之间的数量关系；
（2）如图 ，点O在CA的延长线上，且OA＝ AC，E，F分别在线段BC的延长线和线段
②
CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2 ，当CF＝1时，请直接写出BE的长．
八、解答题（14分）
26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点
B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点
F，当S△COF ：S△CDF ＝3：2时，求点D的坐标．
（3）如图2，点E的坐标为（0， ），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE
中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共25页）2018年辽宁省本溪市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除A、D，再根据两个负数，绝对值大的反
而小，可得比﹣2小的数是﹣3．
【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，
绝对值大的反而小．
2．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那
么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，
图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、整式的乘除运算分别计算得出
答案．
【解答】解：A、2m2+m2＝3m2，故此选项错误；
B、（mn2）2＝m2n4，故此选项错误；
C、2m•4m2＝8m3，故此选项错误；
D、m5÷m3＝m2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、整式的乘除运算，正确掌握相关
运算法则是解题关键．
4．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
第7页（共25页）【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层有2个正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的知识．注意左视图是指从物体的左边看物体．
5．【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和中位数．
【解答】解：将这5位同学的成绩从小到大排列为85、90、95、95、100，
由于95分出现的次数最多，有2次，即众数为95分，
第3个数为95，即中位数为95分，
故选：A．
【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数据
的众数和中位数．
6．【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．
【解答】解：A、经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件，故选项错误；
B、任意买一张电影票，座位号是双号，是随机事件，故选项错误；
C、向空中抛一枚硬币，不向地面掉落，是不可能事件，故此选项错误；
D、三角形中，任意两边之和大于第三边是必然事件，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的
概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不
发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．【分析】根据一次函数的图象图象经过第一、三、四象限解答即可，
【解答】解：因为k＞0时，直线必经过一、三象限，b＜0时，直线与y轴负半轴相交，
可得：图象经过第一、三、四象限时，k＞0，b＜0；
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理
解：
直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系；
k＞0时，直线必经过一、三象限；
k＜0时，直线必经过二、四象限；
b＞0时，直线与y轴正半轴相交；
b＝0时，直线过原点；
b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
第8页（共25页）8．【分析】设购买甲种花木x棵、乙种花木y棵，根据总价＝单价×数量结合购买两种树苗共
200棵，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设购买甲种花木x棵、乙种花木y棵，
根据题意得： ．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出
二元一次方程组是解题的关键．
9．【分析】设点A（a，3），根据题意可得：a＝ ，即可求点A坐标，代入解析式可求k的值．
【解答】解：∵AB∥x轴，若点B的坐标为（1，3），
∴设点A（a，3）
∵S△ABC ＝ （a﹣1）×3＝2
∴a＝
∴点A（ ，3）
∵点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴k＝7
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练
运用反比例函数的性质解决问题是本题的关键．
10．【分析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，∠DAE＝∠CEB＝ ，设：AD＝BC＝a，在Rt△ADE中，
α
con ＝ ＝ ，在Rt△BCE中，sin ＝ ＝ ，由（sin ）2+（con ）2＝1，解得：a＝ ，当
α α α α
x＝6时，即：EN＝3，则y＝MN＝ENsin ＝ ．
α
【解答】解：由图象可知：
AE＝3，BE＝4，∠DAE＝∠CEB＝ ，
设：AD＝BC＝a， α
第9页（共25页）在Rt△ADE中，cos ＝ ＝ ，
α
在Rt△BCE中，sin ＝ ＝ ，
α
由（sin ）2+（cos ）2＝1，解得：a＝ ，
α α
当x＝6时，即：EN＝3，则y＝MN＝ENsin ＝ ．
α
故选：B．
【点评】本题考查的是动点问题函数图象，涉及到解直角三角形或三角形相似，解题关键
是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动
过程．
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）
11．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将66000000用科学记数法表示为：6.6×107．
故答案为：6.6×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣4ab+4b2）＝2（a﹣2b）2，
故答案为：2（a﹣2b）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题
的关键．
13．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出∠BCD，再根据两
直线平行，内错角相等进行解答即可．
【解答】解：如图，∵∠E＝34°，∠D＝20°，
第10页（共25页）∴∠BCD＝∠D+∠E＝20°+34°＝54°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BCD＝54°．
故答案为：54°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟记各性质并准确识图是解题的
关键．
14．【分析】根据有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，其中数字2有个，再根据概
率公式即可得出答案．
【解答】解：∵共有5个数字，数字2有2个，
∴抽到数字“2”的卡片的概率是 ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况
数之比．
15．【分析】把x＝1代入2x2﹣x﹣k＝0得2﹣1﹣k＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：把x＝1代入2x2﹣x﹣k＝0得2﹣1﹣k＝0，解得k＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是
一元二次方程的解．
16．【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据同大取大确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣4≤0，得：x≤2，
解不等式x+3＞0，得：x＞﹣3，
所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
故答案为：﹣3＜x≤2．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取
小；大小小大中间找；大大小小找不到．
17．【分析】分两种情形分别讨论即可解决问题；
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，B（8，7），
∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7，
∵D（5，0），
∴OD＝5，
第11页（共25页）∵点P是边AB或边BC上的一点，
∴当点P在AB边时，OD＝DP＝5，
∵AD＝3，
∴PA＝ ＝4，
∴P（8，4）．
当点P在边BC上时，只有PO＝PD，此时P（ ，7）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（8，4）或（ ，7）．
故答案为（8，4）或（ ，7）．
【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是
学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
18．【分析】设△OA B 的面积为S．由OA ＝A A ＝A A ＝…A A ，A B ∥A B ∥A B ∥…
1 1 1 1 2 2 3 n n+1 1 1 2 2 3 3
∥A B ，推出A B ：A B ：A B ：…：A B ＝1：2：3：…：n，推出 ＝S，
n n 1 1 2 2 3 3 n n
＝2S，…， ＝nS，探究规律，利用规律即可解决问题；
【解答】解：设△OA B 的面积为S．
1 1
由题意可知OA ＝A A ＝A A ＝…A A ，A B ∥A B ∥A B ∥…∥A B ，
1 1 2 2 3 n n+1 1 1 2 2 3 3 n n
∴A B ：A B ：A B ：…：A B ＝1：2：3：…：n，
1 1 2 2 3 3 n n
∴ ＝S， ＝2S，…， ＝nS，
∴S ＝ S，S ＝ •2S，S ＝ •3S，…，S ＝ •nS，
1 2 3 n
∵直线 上的点，直线 ，
∴两条直线与x轴的夹角分别为60°和30°，
∴∠A OB ＝30°，
1 1
∵OA ＝2，
1
∴A B ＝ ，
1 1
第12页（共25页）∴S＝ ×2× ＝ ，
∴S ＝ • ，
n
故答案为 • ．
【点评】本题考查两条直线相交或平行问题，规律问题等知识，解题的关键是学会探究规
律，寻找规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（19题10分，20题12分，共22分）
19．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由负整数指数幂与零指数幂
得出a的值，继而代入计算可得．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）÷
＝ •
＝ ，
当a＝2﹣1+（ ﹣2018）0＝ +1＝ 时，
π
原式＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法
则及负整数指数幂、零指数幂．
20．【分析】（1）根据A项目的人数和所占的百分比求出总人数即可；
（2）用总人数减去A、C、D项目的人数，求出B项目的人数，从而补全统计图；
（3）用该校的总人数乘以选择“唱歌”的学生所占的百分比即可；
（4）根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和选取的两人恰好是甲和乙的情况数，然
后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查的学生共有：30÷30%＝100（人）；
故答案为：100；
（2）喜欢B类项目的人数有：100﹣30﹣10﹣40＝20（人），补图如下：
第13页（共25页）（3）选择“唱歌”的学生有：1200× ＝480（人）；
（4）根据题意画树形图：
共有12种情况，被选取的两人恰好是甲和乙有2种情况，
则被选取的两人恰好是甲和乙的概率是 ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概
率．也考查了统计图．
四、解答题（21题12分，22题12分，共24分）
21．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据角平分线定义得到∠ABD＝
∠CBD，等量代换得到∠ADB＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据
菱形的判定即可得到结论；
（2）由垂直的定义得到∠BDE＝90°，等量代换得到∠CDE＝∠E，根据等腰三角形的判定
得到CD＝CE＝BC，根据勾股定理得到DE＝ ＝6，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
第14页（共25页）∵BA＝BC，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BA＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，
∵CB＝CD，
∴∠DBC＝∠BDC，
∴∠CDE＝∠E，
∴CD＝CE＝BC，
∴BE＝2BC＝10，
∵BD＝8，
∴DE＝ ＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝5，
∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝26．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三
角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
22．【分析】（1）根据已知条件得到∠C＝90°，∠CBD＝60°，∠CAE＝45°，解直角三角形即可
得到结论；
（2）过E作EF⊥AB与F，在Rt△AEF中，求得EF，在Rt△BEF中，求得BF，于是得到结
论．
【解答】解：（1）由题意得，∠C＝90°，∠CBD＝60°，∠CAE＝45°，
∵CD＝1000 ，
∴BC＝ ＝1000，
∴BD＝2BC＝2000，
∵E在BD的中点处，
第15页（共25页）∴BE＝ BD＝1000（米）；
（2）过E作EF⊥AB与F，
在Rt△AEF中，EF＝AF＝BE•sin60°＝1000× ＝500 ，
在Rt△BEF中，BF＝BE•cos60°＝500，
∴AB＝AF﹣BF＝500（ ﹣1）（米）．
【点评】此题考查直角三角形的问题，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中
求解是解直角三角形的常规思路．
五、解答题（12分）
23．【分析】（1）根据题意和函数图象可以写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出x的
取值范围；
（2）根据题意可以得到w与x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可解答本题．
【解答】解：（1）当10≤x≤50时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，得 ，
∴当10≤x≤50时，y与x的函数关系式为y＝﹣0.5x+105，
当x＞50时，y＝80，
即y与x的函数关系式为：y＝ ；
（2）由题意可得，
w＝（﹣0.5x+105﹣65）x＝﹣0.5x2+40x＝﹣0.5（x﹣40）2+800，
∴当x＝40时，w取得最大值，此时w＝800，y＝﹣0.5×40+105＝85，
答：批发该种服装40件时，服装厂获得利润最大，最大利润是800元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解
答．
六、解答题（12分）
24．【分析】（1）结论：DF是 O的切线．作OG⊥DF于G．连接OE．想办法证明OG＝OE即
⊙ 第16页（共25页）可解决问题；
（2）由FA，FD是 O的切线，推出FG＝FE，设FG＝FE＝x，由△OGD≌△DCF（AAS），
推出DG＝CF＝ ⊙，推出OD＝DF＝ +x，由AC＝2OD，CE＝OD，推出AE＝EC＝OD
＝ +x，由∠A＝30°，推出CD＝OE＝ ，在Rt△DCF中，根据DF2＝CD2+CF2，构
建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）结论：DF是 O的切线．
理由：作OG⊥DF于G．连接OE⊙．
∵BD＝DC，BO＝OA，
∴OD∥AC，
∴∠ODG＝∠DFC，
∵∠OGD＝∠DCF＝90°，OD＝DF，
∴△OGD≌△DCF（AAS），
∴OG＝CD，
∵AC是 O的切线，
∴OE⊥A⊙C，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴OE∥BC，
∵OD∥CE，
∴四边形CDOE是平行四边形，
∴CD＝OE，
∴OG＝OE，
∴DF是 O的切线．
⊙
（2）∵FA，FD是 O的切线，
∴FG＝FE，设FG＝⊙FE＝x，
∵△OGD≌△DCF（AAS），
∴DG＝CF＝ ，
∴OD＝DF＝ +x，
∵AC＝2OD，CE＝OD，
∴AE＝EC＝OD＝ +x，
第17页（共25页）∵∠A＝30°，
∴CD＝OE＝ ，
在Rt△DCF中，∵DF2＝CD2+CF2，
∴（ +x）2＝（ ）2+（ ）2，
解得x＝ ﹣ 或﹣ ﹣ （舍弃），
∴OE＝ ＝1．
方法二：设半径是r，則DF＝OD＝√3r，在三角形DCF中，由勾股定理得，r＝1．
【点评】本题考查切线的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和
性质，切线长定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等
三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
七、解答题（12分）
25．【分析】（1）如图 中，结论：CA＝CE+CF．只要证明△ADF≌△ACE（SAS）即可解决问
题； ①
（2）结论：CF﹣CE＝ AC．如图 中，如图作OG∥AD交CF于G，则△OGC是等边三角
②
形．只要证明△FOG≌△EOC（ASA）即可解决问题；
（3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）如图 中，结论：CA＝CE+CF．
①
第18页（共25页）理由：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°
∴AB＝AD＝DC＝BC，∠BAC＝∠DAC＝60°
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∵∠DAC＝∠EAF＝60°，
∴∠DAF＝∠CAE，
∵CA＝AD，∠D＝∠ACE＝60°，
∴△ADF≌△ACE（SAS），
∴DF＝CE，
∴CE+CF＝CF+DF＝CD＝AC，
∴CA＝CE+CF．
（2）结论：CF﹣CE＝ AC．
理由：如图 中，如图作OG∥AD交CF于G，则△OGC是等边三角形．
②
∵∠GOC＝∠FOE＝60°，
∴∠FOG＝∠EOC，
第19页（共25页）∵OG＝OC，∠OGF＝∠ACE＝120°，
∴△FOG≌△EOC（ASA），
∴CE＝FG，
∵OC＝OG，CA＝CD，
∴OA＝DG，
∴CF﹣EC＝CF﹣FG＝CG＝CD+DG＝AC+ AC＝ AC，
（3）作BH⊥AC于H．∵AB＝6，AH＝CH＝3，
∴BH＝3 ，
如图 ﹣1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．
③
∵OB＝2 ，
∴OH＝ ＝1，
∴OC＝3+1＝4，
由（1）可知：CO＝CE+CF，
∵OC＝4，CF＝1，
∴CE＝3，
∴BE＝6﹣3＝3．
如图 ﹣2中，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．
③
第20页（共25页）由（2）可知：CE﹣CF＝OC，
∴CE＝4+1＝5，
∴BE＝1．
如图 ﹣3中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．
③
同法可证：OC＝CE+CF，
∵OC＝CH﹣OH＝3﹣1＝2，CF＝1，
∴CE＝1，
∴BE＝6﹣1＝5．
如图 ﹣4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．
③
同法可知：CE﹣CF＝OC，
第21页（共25页）∴CE＝2+1＝3，
∴BE＝3，
综上所述，满足条件的BE的值为3或5或1．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解
题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考
问题，属于中考压轴题．
八、解答题（14分）
26．【分析】（1）OB＝OC＝3，则：B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线方程，解得抛物
线方程为：y＝﹣x2+2x+3… ；
①
（2）S△COF ：S△CDF ＝3：2，则S△COF ＝ S△COD ，即：x
D
＝ x
F
，即可求解；
（3）分∠PBE或∠PEB等于2∠OBE两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）OB＝OC＝3，则：B（3，0），C（0，3），
把B、C坐标代入抛物线方程，
解得抛物线方程为：y＝﹣x2+2x+3… ；
（2）∵S△COF ：S△CDF ＝3：2， ①
∴S△COF ＝ S△COD ，即：x
D
＝ x
F
，
设：F点横坐标为3t，则D点横坐标为5t，
点F在直线BC上，
而BC所在的直线表达式为：y＝﹣x+3，则F（3t，3﹣3t），
则：直线OF所在的直线表达式为：y＝ x＝ x，
则点D（5t，5﹣5t），
把D点坐标代入 ，解得：t＝ 或 ，
①
则点D的坐标为（1，4）或（2，3）；
（3） 当∠PBE＝2∠OBE时，
①
第22页（共25页）当BP在x轴上方时，
如图2，设BP 交y轴于点E′，
1
∴∠P BE＝2∠OBE，∴∠E′BO＝∠EBO，又∠E′OB＝∠EBO＝60°，BO＝BO，
1
∴E′BO△≌△EBO（AAS），
∴EO＝EO＝ ，∴点E′（0， ），
直线BP 过点B、E′，则其直线方程为：y＝﹣ x+ … ，
1
②
联立 并解得：x＝﹣ ，
①②
故点P 的坐标为（﹣ ， ）；
1
当BP在x轴下方时，
如图2，过点E作EF∥BE′交BP 于点F，则∠FEB＝∠EBE′，
2
∴∠E′BE＝2∠OBE，∠EBP ＝2∠OBE，∴∠FEB＝∠EBF，
2
∴FE＝BF，
直线EF可以看成直线BE′平移而得，其k值为﹣ ，
则其直线表达式为：y＝﹣ x﹣ ，
设点F（m，﹣ m﹣ ），过点F作FH⊥y轴交于点H，作BK⊥HF于点K，
第23页（共25页）则点H（0，﹣ m﹣ ），K（3，﹣ m﹣ ），
∵EF＝BF，则FE2＝BF2，
即：m2+（﹣ + m+ ）2＝（3﹣m）2+（ m+ ）2，
解得：m＝ ，则点F（ ，﹣ ），
则直线BF的表达式为：y＝ x﹣ … ，
③
联立 并解得：x＝﹣ 或3（舍去3），
①③
则点P （﹣ ，﹣ ）；
2
当∠PEB＝2∠OBE时，
②
当EP在BE上方时，如图3，点E′为图2所求，
设BE′交EP 于点F，
3
∵∠EBE′＝2∠OBE，∴∠EBE′＝∠P EB，
3
∴FE＝BF，
由 知，直线BE′的表达式为：y＝﹣ x+ ，
①
设点F（n，﹣ n+ ），K（3，﹣ n+ ），
由FE＝BF，同理可得：n＝ ，
故点F（ ， ），则直线EF的表达式为：y＝ x﹣ … ，
④
联立 并解得：n＝1或﹣ （舍去负值），
①④
第24页（共25页）∴P （1，4）；
3
当EP在BE下方时，
同理可得：x＝ （舍去负值），
故点P （ ，﹣ ）．
4
故点P的坐标为：（1，4）或（﹣ ， ）或（﹣ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）．
【点评】本题是二次函数综合题，涉及到三角形相似、勾股定理运用等诸多知识点，是一道
难度较大的题目．
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