文档内容
2019 年湖南省娄底市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，满分 30 分，每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相
对应题号下的方框里）
1．2019 的相反数是（ ）
A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣
2．已知点 M、N、P、Q 在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的
点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
3．下列运算准确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．5a﹣2a=3a2 C．（a3）4=a12 D．（x+y）2=x2+y2
4．下列命题中，错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．内错角相等
5．下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ）A． B． C． D．
6．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，∠D=40°，则∠CAB 的 度
数为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．70°
7．11 名同学参加数学竞赛初赛，他们的等分互不相同，按从高分录到低分的
原则，取前 6 名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他
想知道自己能否进入复赛，那么还需知道所有参赛学生成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．函数 y= 的自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x≥0 且 x≠2 B．x≥0 C．x≠2 D．x＞2
9．“数学是将科学现象升华到科学本质理解的重要工具”，比如在化学中，
甲烷的化学式 CH ，乙烷的化学式是 C H ，丙烷的化学式是 C H ，…，设碳原
4 2 6 3 8
子的数目为 n（n 为正整数），则它们的化学式都能够用下列哪个式子来表示
（ ）
A．C H B．C H C．C H D．C H
n 2n+2 n 2n n 2n﹣2 n n+3
10．如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，点 D 沿 BC 自 B
向 C 运动（点 D 与点 B、C 不重合），作 BE⊥AD 于 E，CF⊥AD
于 F，则 BE+CF 的值（ ）A．不变 B．增大
C．减小 D．先变大再变小
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
11．已知反比例函数 y= 的图象经过点 A（1，﹣2），则 k= ．
12．已知某水库容量约为 112000 立方米，将 112000 用科学记数法表示为
．
13．如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知
∠C=∠D，则 AB 与 CD 的位置关系是 ．
14．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添
加一个条件，你添加的条件是 ．
（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
15．将直线 y=2x +1 向下平移 3 个单位长度后所得直线的解析式是 ．
16．从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个圆形中任取一个，
取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概是 ．
17．如图，将△ABC 沿直线 DE 折叠，使点 C 与点 A 重合，已
知 AB=7，BC=6，则△BCD 的周长为 ．
18．当 a、b 满足条件 a＞b＞0 时， + =1 表示焦点在 x
轴上的椭圆．若 + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是
．
三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 6 分，满分 12 分）19．计算：（π﹣ ）0+| ﹣1|+（ ）﹣1﹣2sin45°．
20．先化简，再求值：（1﹣ ）• ，其中 x 是从 1，2，3 中选择的一个
合适的数．
四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
21．在 2019CCTV 英语风采大赛中，娄底市参赛选手表现突出，成绩均不低于
60 分．为了更好地了解娄底赛区的成绩分布情况，随机抽取利了其中 200 名
学生的成绩（成绩x 取整数，总分 100 分）作为样本实行了整理，得到如图的
两幅不完整的统计图表：
根据所给信息，解答下列问题：
（1）在表中的频数分布表中，m= ，n= ．
成绩 频数 频率
60≤x＜70 60 0.30
70≤x＜80 m 0.40
80≤x＜90 40 n
90≤x≤100 20 0.10
（2）请补全图中的频数分布直方图．
（3）按规定，成绩在 80 分以上（包括 80
分）的选手进入决赛．若娄底市共有 4000
人参数，请估计约有多少人进入决赛？22．芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜
拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉
索 AB 与水平桥面的夹角是 30°，拉索 CD 与水平桥面的夹角是 60°，两拉索
顶端的距离 BC 为 2 米，两拉索底端距离 AD 为 20 米，请求出立柱 BH 的长．
（结果精确到 0.1 米， ≈1.732）
五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，满分 18 分）
23．甲、乙两同学的家与学校的距离均为 3000 米．甲同学先步行 600 米，然
后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车
速度的 ，公交车的速度是乙骑自行车速度的 2 倍．甲乙两同学同时从家发
去学校，结果甲同学比乙同学早到 2 分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
24．如图，将等腰△ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转 α 度到△A B C 的位置，
1 1 1
AB 与 A C 相交于点 D，AC 与 A C 、BC 分别交于点 E、F．
1 1 1 1 1（1）求证：△BCF≌△BA D．
1
（2）当∠C=α 度时，判定四边形 A BCE 的形 状
1
并说明理由．
六、解答题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）[来源：Z_xx
25．如图所示，在 Rt△ABC 与 Rt△OCD 中，∠ACB=∠DCO=90°，O 为 AB 的中
点．
（1）求证：∠B=∠ACD．
（2）已知点 E 在 AB 上，且 BC2=AB•BE．
（i）若 tan∠ACD= ，BC=10，求 CE 的长；
（ii）试判定 CD 与以 A 为圆心、AE 为半径的⊙A 的位置关系，并请说明理由．
26．如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，a≠0）经过点 A（﹣1，0），B
（5，﹣6），C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线 AB 下方的抛物线上是否存有点 P 使四边形 PACB 的面积最
大？若存有，请求出点 P 的坐标；若不存有，请说明理由；（3）若点 Q 为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB 为等腰三角形的
点 Q 一共有几个？并请求出其中某一个点 Q 的坐标．2019 年湖南省娄底市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，满分 30 分，每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相
对应题号下的方框里）
1．2019 的相反数是（ ）
A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
【解答】解：2019 的相反数是﹣2019，
故选：B．
2．已知点 M、N、P、Q 在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的
点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【考点】绝对值；数轴．
【分析】根据各点到原点的距离实行判断即可．
【解答】解：∵点 Q 到原点的距离最远，
∴点 Q 的绝对值最大．
故选：D．3．下列运算准确的是（ ）
A．a2•a3=a6B．5a﹣2a=3a2C．（a3）4=a12D．（x+y）2=x2+y2
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．
【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方
运算法则、完全平方公式分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2•a3=a5，故此选项错误；
B、5a﹣2a=3a，故此选项错误；
C、（a3）4=a12，准确；
D、（x+y）2=x2+y2+2xy，故此选项错误；
故选：C．
4．下列命题中，错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．内错角相等
【考点】命题与定理．
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法即可判断 A、B、C 准确．
【解答】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，准确．
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，准确．
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，准确．D、内错角相等，错误，缺少条件两直线平行，内错角相等．
故选 D．
5．下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】分别分析四个选项中圆锥、圆柱、球体、三棱柱的主视图、俯视图，从
而得出都为矩形的几何体．
【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项错误；
B、圆柱的主视图是矩形、俯视图是矩形，故本选项准确；
C、球的主视图、俯视图都是圆，故本选项错误；
D、三棱柱的主视图为矩形和俯视图为三角形，故本选项错误．
故选：B．
6．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，∠D=40°，则∠CAB 的度数为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．70°
【考点】圆周角定理．【分析】先根据圆周角定理求出∠B 及∠ACB 的度数，再由直角三角形的性质
即可得出结论．
【解答】解：∵∠D=40°，
∴∠B=∠D=40°．
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°﹣40°=50°．
故选 C．
7．11 名同学参加数学竞赛初赛，他们的等分互不相同，按从高分录到低分的
原则，取前 6 名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他
想知道自己能否进入复赛，那么还需知道所有参赛学生成绩的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【考点】统计量的选择．
【分析】11 人成绩的中位数是第 6 名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能
进入前 6 名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：因为总共有 11 个人，且他们的分数互不相同，第 6 的成绩是中位
数，要判断是否进入前 6 名，故应知道中位数．
故选：B．
8．函数 y= 的自变量 x 的取值范围是（ ）A．x≥0 且 x≠2 B．x≥0 C．x≠2 D．x＞2
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解．[来源：
学科网]
【解答】解：由题意得，x≥0 且 x﹣2≠0，
解得 x≥0 且 x≠2．
故选 A．
9．“数学是将科学现象升华到科学本质理解的重要工具”，比如在化学中，
甲烷的化学式 CH ，乙烷的化学式是 C H ，丙烷的化学式是 C H ，…，设碳原
4 2 6 3 8
子的数目为 n（n 为正整数），则它们的化学式都能够用下列哪个式子来表示
（ ）
A．C H B．C H C．C H D．C H
n 2n+2 n 2n n 2n﹣2 n n+3
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】设碳原子的数目为 n（n 为正整数）时，氢原子的数目为 a ，列出部分
n
a 的值，根据数值的变化找出变化规律“a =2n+2”，依次规律即可解决问
n n
题．
【解答】解：设碳原子的数目为 n（n 为正整数）时，氢原子的数目为 a ，
n
观察，发现规律：a =4=2×1+2，a =6=2×2+2，a =8=2×3+2，…，
1 2 3
∴a =2n+2．
n
∴碳原子的数目为 n（n 为正整数）时，它的化学式为 C H ．
n 2n+2
故选 A．10．如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，点 D 沿 BC 自 B 向 C 运动（点 D 与
点 B、C 不重合），作 BE⊥AD 于 E，CF⊥AD 于 F，则 BE+CF 的值（ ）
A．不变 B．增大 C．减小 D．先变大再变小
【考点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的增减性．
【分析】设 CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，易知 BE+CF=BC•cosα，根据 0＜
α＜90°，由此即可作出判断．
【解答】解：∵BE⊥AD 于 E，CF⊥AD 于 F，
∴CF∥BE，
∴∠DCF=∠DBF，设 CD=a，DB=b，∠DCF=∠DEB=α，
∴CF=DC•cosα，BE=DB•cosα，
∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC•cosα，
∵∠ABC=90°，
∴O＜α＜90°，
当点 D 从 B→D 运动时，α 是逐渐增大的，
∴cosα 的值是逐渐减小的，
∴BE+CF=BC•cosα 的值是逐渐减小的．
故选 C．二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
11．已知反比例函数 y= 的图象经过点 A（1，﹣2），则 k= ﹣ 2 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接把点 A（1，﹣2）代入 y= 求出 k 的值即可．
【解答】解：∵反比例函数 y= 的图象经过点 A（1，﹣2），
∴﹣2= ，
解得 k=﹣2．
故答案为：﹣2．
12．已知某水库容量约为 112000 立方米，将 112000 用科学记数法表示为
1.12×1 0 5 ．[来源：学_科_网 Z_X_X_K]
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整
数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值
与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝
对值小于 1 时，n 是负数．【解答】解：112000=1.12×105，
故答案为：1.12×105．
13．如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠C=∠D，则 AB 与 CD 的位
置关系是 A B ∥ C D ．
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】由圆内接四边形的对角互补的性质以及等角的补角相等求解即可．
【解答】解：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°
又∵∠C=∠D，
∴∠A+∠D=180°．
∴AB∥CD．
故答案为：AB∥CD．
14．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的
条件是 A B ∥ D E ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
【考点】相似三角形的判定．【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似实行添加条件．
【解答】解：∵∠A=∠D，
∴当∠B=∠DEF 时，△ABC∽△DEF，
∵AB∥DE 时，∠B=∠DEF，
∴添加 AB∥DE 时，使△ABC∽△DEF．
故答案为 AB∥DE．
15．将直线 y=2x+1 向下平移 3 个单位长度后所得直线的解析式是 y=2 x ﹣ 2
．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【分析】根据函数的平移规则“上加下减”，即可得出直线平移后的解析式．
【解答】解：根据平移的规则可知：
直线 y=2x+1 向下平移 3 个单位长度后所得直线的解析式为：y=2x+1﹣3=2x
﹣2．
故答案为：y=2x﹣2．
16．从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个圆形中任取一个，
取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ．
【考点】概率公式；轴对称图形；中心对称图形．
【分析】先找出既是轴对称图形又是中心对称图形的个数，再根据概率公式
实行计算即可．【解答】解：∵在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是
中心对称图形又是轴对称图形的有线段、圆、矩形、正六边形，共 4 个，
∴取到的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为 ，
故答案为： ．
17．如图，将△ABC 沿直线 DE 折叠，使点 C 与点 A 重合，已知 AB=7，BC=6，则
△BCD 的周长为 1 3 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】利用翻折变换的性质得出 AD=CD，进而利用 AD+CD=AB 得出即可．
【解答】解：∵将△ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 A 与点 C 重合，
∴AD=CD，
∵AB=7，BC=6，
∴△BCD 的周长=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=7+6=13．
故答案为：13
18．当 a、b 满足条件 a＞b＞0 时， + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆．若
+ =1 表示焦点在 x轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 3 ＜ m ＜ 8 ．【考点】解一元一次不等式．
【分析】根据题意就不等式组，解出解集即可．
【解答】解：∵ + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，a＞b＞0，
∵ + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，
∴ ，
解得 3＜m＜8，
∴m 的取值范围是 3＜m＜8，
故答案为：3＜m＜8．
三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 6 分，满分 12 分）
19．计算：（π﹣ ）0+| ﹣1|+（ ）﹣1﹣2sin45°．
【 考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值、零指数幂的性质分析得
出答案．
【解答】解：（π﹣ ）0+| ﹣1|+（ ）﹣1﹣2sin45°
=1+ ﹣1+2﹣
=2．20．先化简，再求值：（1﹣ ）• ，其中 x 是从 1，2，3 中选择的一个
合适的数．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先括号内通分，然后计算除法，最后取值时注意使得分式有意义，最
后代入化简即可．
【解答】解：原式= •
= ．
当 x=2 时，原式= =﹣2．
四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
21．在 2019CCTV 英语风采大赛中，娄底市参赛选手表现突出，成绩均不低于
60 分．为了更好地了解娄底赛区的成绩分布情况，随机抽取利了其中 200 名
学生的成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本实行了整理，得到如图的
两幅不完整的统计图表：
根据所给信息，解答下列问题：
（1）在表中的频数分布表中，m= 8 0 ，n= 0. 2 ．
成绩 频数 频率
60≤x＜70 60 0.30
70≤x＜80 m 0.40
80≤x＜90 40 n
90≤x≤100 20 0.10
（2）请补全图中的频数分布直方图．（3）按规定，成绩在 80 分以上（包括 80 分）的选手进入决赛．若娄底市共有
4000 人参数，请估计约有多少人进入决赛？
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．
【分析】（1）用抽查的总人数乘以成绩在 70≤x＜80 段的人数所占的百分比
求出 m；用成绩在 80≤x＜90 段的频数除以总人数即可求出 n；
（2）根据（1）求出的 m 的值，直接补全频数分布直方图即可；
（3）用娄底市共有的人数乘以 80 分以上（包括 80 分）所占的百分比，即可得
出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：
m=200×0.40=80（人），
n=40÷200=0.20；
故答案为：80，0.20；
（2）根据（1）可得：70≤x＜80 的人数有 80 人，补图如下：（3）根据题意得：
4000×（0.20+0.10）=1200（人）．
答：估计约有 1200 人进入决赛．
22．芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜
拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉
索 AB 与水平桥面的夹角是 30°，拉索 CD 与水平桥面的夹角是 60°，两拉索
顶端的距离 BC 为 2 米，两拉索底端距离 AD 为 20 米，请求出立柱 BH 的长．
（结果精确到 0.1 米， ≈1.732）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】设 DH=x 米，由三角函数得出= x，得出 BH=BC+CH=2+ x，求出 AH=
BH=2 +3x，由 AH=AD+DH 得出方程，解方程求出 x，即可得出结果．【解答】解：设 DH=x 米，
∵∠CDH=60°，∠H=90°，
∴CH=DH•sin60°= x，
∴BH=BC+CH=2+ x，
∵∠A=30°，
∴AH= BH=2 +3x，
∵AH=AD+DH，
∴2 +3x=20+x，
解得：x=10﹣ ，
∴BH=2+ （10﹣ ）=10 ﹣1≈16.3（米）．
答：立柱 BH 的长约为 16.3 米．
五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，满分 18 分）
23．甲、乙两同学的家与学校的距离均为 3000 米．甲同学先步行 600 米，然
后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车
速度的 ，公交车的速度是乙骑自行车速度的 2 倍．甲乙两同学同时从家发
去学校，结果甲同学比乙同学早到 2 分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
【考点】一元一次方程的应用．【分析】（1）设乙骑自行车的速度为 x 米/分钟，则甲步行速度是 x 米/分钟，
公交车的速度是 2x 米/分钟，
根据题意列方程即可得到结论；
（2）300×2=600 米即可得到结果．
【解答】解：（1）设乙骑自行车的速度为 x 米/分钟，则甲步行速度是 x 米/分
钟，公交车的速度是 2x 米/分钟，
根据题意得 + = ﹣2，
解得：x=300 米/分钟，
经检验 x=300 是方程的根，
答：乙骑自行车的速度为 300 米/分钟；
（2）∵300×2=600 米，
答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有 600 米．
24．如图，将等腰△ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转 α 度到△A B C 的位置，
1 1 1
AB 与 A C 相交于点 D，AC 与 A C 、BC 分别交于点 E、F．
1 1 1 1 1
（1）求证：△BCF≌△BA D．
1
（2）当∠C=α 度时，判定四边形 A BCE 的形状并说明理由．
1【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到 AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得
到 A B=AB=BC，∠A=∠A =∠C，∠A BD=∠CBC ，根据全等三角形的判定定理
1 1 1 1
得到△BCF≌△BA D；
1
（2）由旋转的性质得到∠A =∠A，根据平角的定义得到∠DEC=180°﹣α，
1
根据四边形的内角和得到∠ABC=360°﹣∠A ﹣∠C﹣∠A EC=180°﹣α，
1 1
证得四边形 A BCE 是平行四边形，因为 A B=BC，即可得到四边形 A BCE 是菱
1 1 1
形．
【解答】（1）证明：∵△ABC 是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵将等腰△ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转 α 度到△A B C 的位置，
1 1 1
∴A B=AB=BC，∠A=∠A =∠C，∠A BD=∠CBC ，
1 1 1 1
在△BCF 与△BA D 中，
1
，
∴△BCF≌△BA D；
1
（2）解：四边形 A BCE 是菱形，
1∵将等腰△ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转 α 度到△A B C 的位置，
1 1 1
∴∠A =∠A，
1
∵∠ADE=∠A DB，
1
∴∠AED=∠A BD=α，
1
∴∠DEC=180°﹣α，
∵∠C=α，
∴∠A =α，
1
∴∠ABC=360°﹣∠A ﹣∠C﹣∠A EC=180°﹣α，
1 1
∴∠A =∠C，∠A BC=∠AEC，
1 1
∴四边形 A BCE 是平行四边形，
1
∴A B=BC，
1
∴四边形 A BCE 是菱形．
1
六、解答题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）
25．如图所示，在 Rt△ABC 与 Rt△OCD 中，∠ACB=∠DCO=90°，O 为 AB 的中
点．
（1）求证：∠B=∠ACD．
（2）已知点 E 在 AB 上，且 BC2=AB•BE．
（i）若 tan∠ACD= ，BC=10，求 CE 的长；
（ii）试判定 CD 与以 A 为圆心、AE 为半径的⊙A 的位置关系，并请说明理由．【考点】圆的综合题．
【分析】（1）因为∠ACB=∠DCO=90°，所以∠ACD=∠OCB，又因为点 O 是
Rt△ACB 中斜边 AB 的中点，所以 OC=OB，所以∠OCB=∠B，利用等量代换可
知∠ACD=∠B；
（2）（i）因为 BC2=AB•BE，所以△ABC∽△CBE，所以∠ACB=∠CEB=90°，因
为 tan∠ACD=tan∠B，利用勾股定理即可求出 CE 的值；
（ii）过点 A 作 AF⊥CD 于点 F，易证∠DCA=∠ACE，所以 CA 是∠DCE 的平分线
所以 AF=AE，所以直线 CD 与⊙A 相切．
【解答】解：（1）∵∠ACB=∠DCO=90°，
∴∠ACB﹣∠ACO=∠DCO﹣∠ACO，
即∠ACD=∠OCB，
又∵点 O 是 AB 的中点，
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∴∠ACD=∠B，
（2）（i）∵BC2=AB•BE，
∴ = ，∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBE，
∴∠ACB=∠CEB=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴tan∠ACD=tan∠B= ，
设 BE=4x，CE=3x，
由勾股定理可知：BE2+CE2=BC2，
∴（4x）2+（3x）2=100，
∴解得 x=2 ，
∴CE=6 ；
（ii）过点 A 作 AF⊥CD 于点 F，
∵∠CEB=90°，
∴∠B+∠ECB=90°，
∵∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠B=∠ACE，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD=∠ACE，
∴CA 平分∠DCE，
∵AF⊥CE，AE⊥CE，
∴AF=AE，
∴直线 CD 与⊙A 相切．26．如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，a≠0）经过点 A（﹣1，0），B
（5，﹣6），C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线 AB 下方的抛物线上是否存有点 P 使四边形 PACB 的面积最
大？若存有，请求出点 P 的坐标；若不存有，请说明理由；
（3）若点 Q 为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB 为等腰三角形的
点 Q 一共有几个？并请求出其中某一个点 Q 的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）抛物线经过点 A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0），可利用两点式法
设抛物线的解析式为 y=a（x+1）（x﹣6），代入 B（5，﹣6）即可求得函数的解
析式；（2）作辅助线，将四边形 PACB 分成三个图形，两个三角形和一个梯形，设 P
（m，m2﹣5m﹣6），四边形 PACB 的面积为 S，用字母 m 表示出四边形 PACB 的
面积 S，发现是一个二次函数，利用顶点坐标求极值，从而求出点 P 的坐标．
（3）分三种情况画图：①以 A 为圆心，AB 为半径画弧，交对称轴于 Q 和 Q ，有
1 4
两个符合条件的 Q 和 Q ；②以 B 为圆心，以 BA 为半径画弧，也有两个符合条
1 4
件的 Q 和 Q ；③作 AB 的垂直平分线交对称轴于一点 Q ，有一个符合条件的
2 5 3
Q ；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出 Q 坐标．
3 3
【解答】解：（1）设 y=a（x+1）（x﹣6）（a≠0），[来源：学。科。网]
把 B（5，﹣6）代入：a（5+1）（5﹣6）=﹣6，
a=1，
∴y=（x+1）（x﹣6）=x2﹣5x﹣6；
（2）存有，
如图 1，分别过 P、B 向 x 轴作垂线 PM 和 BN，垂足分别为 M、N，
设 P（m，m2﹣5m﹣6），四边形 PACB 的面积为 S，
则 PM=﹣m2+5m+6，AM=m+1，MN=5﹣m，CN=6﹣5=1，BN=5，
∴S=S +S +S
△AMP 梯形PMNB △BNC
= （﹣m2+5m+6）（m+1）+ （6﹣m2+5m+6）（5﹣m）+ ×1×6
=﹣3m2+12m+36
=﹣3（m﹣2）2+48，
当 m=2 时，S 有最大值为 48，这时 m2﹣5m﹣6=22﹣5×2﹣6=﹣12，
∴P（2，﹣12），（3）这样的 Q 点一共有 5 个，连接 Q A、Q B，
3 3
y=x2﹣5x﹣6=（x﹣ ）2﹣ ；
因为 Q 在对称轴上，所以设 Q （ ，y），
3 3
∵△Q AB 是等腰三角形，且 Q A=Q B，
3 3 3
由勾股定理得：（ +1）2+y2=（ ﹣5）2+（y+6）2，
y=﹣ ，[来源：Z+xx+k.Com]
∴Q （ ，﹣ ）．
3
