文档内容
2019年山东省日照市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的
1．2的倒数是（ ）
A．﹣2 B． C．﹣ D．2
2．近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．在实数 ， ， ， 中有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的点数是6
B．13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
5．如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2
的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
7．把不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为
30°，则甲楼高度为（ ）
A．11米 B．（36﹣15 ）米 C．15 米 D．（36﹣10 ）米
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y＝ （k≠0）的图象大致是
（ ）A． B． C． D．
10．某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，
第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ）
A．1000（1+x）2＝3990 B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990
C．1000（1+2x）＝3990 D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990
11．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，下列结论中：
①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③ax2+bx+c+1＝0有两个相等的实数根；④﹣4a＜b＜﹣2a．其
中正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
12．如图，在单位为1的方格纸上，△AAA，△AAA，△AAA，…，都是斜边在x轴上，斜
1 2 3 3 4 5 5 6 7
边长分别为2，4，6，…的等直角三角形，若△AAA的顶点坐标分别为A（2，0），A（1，
1 2 3 1 2
1），A（0，0），则依图中所示规律，A 的坐标为（ ）
3 2019
A．（﹣1008，0） B．（﹣1006，0） C．（2，﹣504） D．（1，505）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分，不需写出解答过程请将答案直接
写在答题卡相应位置上
13．已知一组数据8，3，m，2的众数为3，则这组数据的平均数是 ．
14．如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为 cm．
15．规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P的坐标为（a，b），那
么向量 可以表示为： ＝（a，b），如果 与 互相垂直， ＝
（x，y）， ＝（x，y），那么xx+yy＝0．若 与 互相垂直， ＝（sinα，1）， ＝（2，﹣ ），则锐
1 1 2 2 1 2 1 2
角∠α＝ ．
16．如图，已知动点A在函数 的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，
延长CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E，延长BA交以A为圆心AC长为半径
的圆弧于点F，直线EF分别交x轴、y轴于点M、N，当NF＝4EM时，图中阴影部分的
面积等于 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分68分。请在答题卡指定区域内作16题图答解答时
应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（1）计算：| ﹣2|+π0+（﹣1）2019﹣（ ）﹣1；（2）先化简，再求值：1﹣ ÷ ，其中a＝2；（3）解方程组：
18．2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若
干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：
（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；
（3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法
或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
19．“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，某企业的产品对沿线地区实行优惠，决定在
原定价基础上每件降价40元，这样按原定价需花费5000元购买的产品，现在只花费了4000元，求每件
产品的实际定价是多少元？
20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转
α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．21．探究活动一：
如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB上的三点A（1，3）、B（2，5）、C（4，9），
有k＝ ＝2，k＝ ＝2，发现k＝k，兴趣小组提出猜想：若直线y＝kx+b（k≠0）上任意两点坐
AB AC AB AC
标P（x，y），Q（x，y）（x≠x），则k＝ 是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，k 是
1 1 2 2 1 2 PQ PQ
定值，并且是直线y＝kx+b（k≠0）中的k，叫做这条直线的斜率．
请你应用以上规律直接写出过S（﹣2，﹣2）、T（4，2）两点的直线ST的斜率k＝ ．
ST
探究活动二
数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相
要直时，这两条直线的斜率之积是定值．
如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，D（2，2），E（1，4），F（4，3）．请求出直线DE与直线DF的斜率之积．
综合应用
如图3，⊙M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆，M（1，2），N（4，5），请结合探究活动二的结论，求出过点
N的⊙M的切线的解析式．
22．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过
A，C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最
大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+ PA的值最小，
请求出这个最小值，并说明理由．答案解析
一．选择题（共12小题）
1．2的倒数是（ ）
A．﹣2 B． C．﹣ D．2
【分析】依据倒数的定义回答即可．
【解答】解：2的倒数为 ．
故选：B．
2．近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫
做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．在实数 ， ， ， 中有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】整数和分数统称为有理数，依此定义求解即可．【解答】解：在实数 ， ， ， 中 ＝2，有理数有 ， 共2个．
故选：B．
4．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的点数是6
B．13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是6，属于随机事件；
B.13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月，属于必然事件；
C．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件；
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件；
故选：B．
5．如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面可看到从上往下2行小正方形的个数为：2，1，并且下面一行的正方形靠左，
故选：B．
6．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为（ ）A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1＝35°，
∴∠3＝35°．
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝55°．
故选：C．
7．把不等式组 的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解
了确定不等式组的解集，再把不等式组 的解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：
解不等式①得：x≥﹣3，
解不等式②得：x＜1，
故不等式组的解集为：﹣3≤x＜1，
在数轴上表示为：故选：C．
8．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为
（ ）
A．11米 B．（36﹣15 ）米 C．15 米 D．（36﹣10 ）米
【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高
AC＝ED＝BD﹣BE．
【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，
在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，
∴BE＝30×tan30°＝10 （米），
∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10 ）（米）．
∴甲楼高为（36﹣10 ）米．
故选：D．
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y＝ （k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函
数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．
【解答】解：①当k＞0时，y＝kx+1过一、二、三象限；y＝ 过一、三象限；
②当k＜0时，y＝kx+1过一、二、四象象限；y＝ 过二、四象限．
观察图形可知，只有C选项符合题意．
故选：C．
10．某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，
第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ）
A．1000（1+x）2＝3990
B．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990
C．1000（1+2x）＝3990
D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990
【分析】设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100
（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为
100（1+x）2万元，
依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990．
故选：B．
11．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，下列结论中：
①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③ax2+bx+c+1＝0有两个相等的实数根；④﹣4a＜b＜﹣2a．其中正确结论的序
号为（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛
物线与x轴交点情况进行推理，进而对各个结论进行判断．
【解答】解：由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，
与y轴的交点为在y轴的负半轴上可推出c＝﹣1＜0，
对称轴为x＝﹣ ＞1＞0，a＞0，得b＜0，
故abc＞0，故①正确；
由对称轴为直线x＝﹣ ＞1，抛物线与x轴的一个交点交于（2，0），（3，0）之间，则另一个交点在（0，
0），（﹣1，0）之间，
所以当x＝﹣1时，y＞0，
所以a﹣b+c＞0，故②错误；
抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），由图象知二次函数y＝ax2+bx+c图象与直线y＝﹣1有两个交点，
故ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根，故③错误；
由对称轴为直线x＝﹣ ，由图象可知1＜﹣ ＜2，
所以﹣4a＜b＜﹣2a，故④正确．
故选：D．
12．如图，在单位为1的方格纸上，△AAA，△AAA，△AAA，…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，
1 2 3 3 4 5 5 6 7
6，…的等直角三角形，若△AAA的顶点坐标分别为A（2，0），A（1，1），A（0，0），则依图中所示规律，
1 2 3 1 2 3
A 的坐标为（ ）
2019
A．（﹣1008，0） B．（﹣1006，0） C．（2，﹣504） D．（1，505）
【分析】观察图形可以看出A﹣﹣A；A﹣﹣﹣A；…每4个为一组，由于2019÷4＝504…3，A 在x轴负
1 4 5 8 2019
半轴上，纵坐标为0，再根据横坐标变化找到规律即可解答．【解答】解：观察图形可以看出A﹣﹣A；A﹣﹣﹣A；…每4个为一组，
1 4 5 8
∵2019÷4＝504…3
∴A 在x轴负半轴上，纵坐标为0，
2019
∵A、A、A 的横坐标分别为0，﹣2，﹣4，
3 7 11
∴A 的横坐标为﹣（2019﹣3）× ＝﹣1008．
2019
∴A 的坐标为（﹣1008，0）．
2019
故选：A．
二．填空题（共4小题）
13．已知一组数据8，3，m，2的众数为3，则这组数据的平均数是 4 ．
【分析】直接利用众数的定义得出m的值，进而求出平均数；
【解答】解：∵一组数据8，3，m，2的众数为3，
∴m＝3，
∴这组数据的平均数： ＝4，
故答案为：4．
14．如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为 1 cm．
【分析】先根据中点定义求BC的长，再利用线段的差求CD的长．
【解答】解：∵C为AB的中点，AB＝8cm，
∴BC＝ AB＝ ×8＝4（cm），
∵BD＝3cm，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣3＝1（cm），
则CD的长为1cm；
故答案为：1．
15．规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P的坐标为（a，b），那么向量 可以表示为： ＝（a，b），如果
与 互相垂直， ＝（x，y）， ＝（x，y），那么xx+yy＝0．若 与 互相垂直， ＝（sinα，
1 1 2 2 1 2 1 2
1）， ＝（2，﹣ ），则锐角∠α＝ 60° ．
【分析】根据平面向量垂直的判定方法得到：2sinα+1×（﹣ ）＝0，结合特殊角的三角函数值解答．
【解答】解：依题意，得2sinα+1×（﹣ ）＝0，
解得sinα＝ ．
∵α是锐角，∴α＝60°．
故答案是：60°．
16．如图，已知动点A在函数 的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA交以A为圆心
AB长为半径的圆弧于点E，延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F，直线EF分别交x轴、y轴于
点M、N，当NF＝4EM时，图中阴影部分的面积等于 2. 5 π ．
【分析】作DF⊥y轴于点D，EG⊥x轴于G，得到△GEM∽△DNF，于是得到 ＝ ＝4，设GM＝t，则DF＝
4t，然后根据△AEF∽△GME，据此即可得到关于t的方程，求得t的值，进而求解．
【解答】解：作DF⊥y轴于点D，EG⊥x轴于G，
∴△GEM∽△DNF，
∵NF＝4EM，
∴ ＝ ＝4，
设GM＝t，则DF＝4t，
∴A（4t， ），
由AC＝AF，AE＝AB，
∴AF＝4t，AE＝ ，EG＝ ，
∵△AEF∽△GME，
∴AF：EG＝AE：GM，
即4t： ＝ ：t，即4t2＝ ，
∴t2＝ ，图中阴影部分的面积＝ + ＝2π+ π＝2.5π，
故答案为：2.5π．
三．解答题（共6小题）
17．（1）计算：| ﹣2|+π0+（﹣1）2019﹣（ ）﹣1；
（2）先化简，再求值：1﹣ ÷ ，其中a＝2；
（3）解方程组：
【分析】（1）根据绝对值、零指数幂和负整数指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题；
（3）根据解方程组的方法可以解答此方程组．
【解答】解：（1）| ﹣2|+π0+（﹣1）2019﹣（ ）﹣1
＝2﹣ +1+（﹣1）﹣2
＝﹣ ；
（2）1﹣ ÷
＝1﹣
＝1﹣
＝
＝当a＝2时，原式＝ ；
（3） ，
①×4+②，得
11x＝22，
解得，x＝2，
将x＝2代入①中，得
y＝﹣1，
故原方程组的解是 ．
18．2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若
干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：
（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；
（3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法
或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
【分析】（1）由一等奖人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去一等奖、三等奖人数求出二等奖人数
即可补全图形；
（2）用360°乘以二等奖人数所占百分比可得答案；
（3）画出树状图，由概率公式即可解决问题．
【解答】解：（1）本次比赛获奖的总人数为4÷10%＝40（人），
二等奖人数为40﹣（4+24）＝12（人），
补全条形图如下：（2）扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为360°× ＝108°；
（3）树状图如图所示，
∵从四人中随机抽取两人有12种可能，恰好是甲和乙的有2种可能，
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是 ＝ ．
19．“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，某企业的产品对沿线地区实行优惠，决定在
原定价基础上每件降价40元，这样按原定价需花费5000元购买的产品，现在只花费了4000元，求每件
产品的实际定价是多少元？
【分析】设每件产品的实际定价是x元，则原定价为（x+40）元，根据“按原定价需花费5000元购买的产
品，现在只花费了4000元”建立方程，解方程即可．
【解答】解：设每件产品的实际定价是x元，则原定价为（x+40）元，
由题意，得
＝ ．
解得x＝160．
经检验x＝160是原方程的解，且符合题意．
答：每件产品的实际定价是160元．
20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转
α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．
【分析】（1）由“ASA”可证△COF≌△AOE，可得EO＝FO，且GO＝HO，可证四边形EHFG是平行四边形；
（2）由题意可得EF垂直平分AC，可得AE＝CE，由勾股定理可求AE的长．
【解答】证明：（1）∵对角线AC的中点为O
∴AO＝CO，且AG＝CH
∴GO＝HO
∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB
∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA
∴△COF≌△AOE（ASA）
∴FO＝EO，且GO＝HO
∴四边形EHFG是平行四边形；
（2）如图，连接CE
∵∠α＝90°，
∴EF⊥AC，且AO＝CO
∴EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2，
∴AE2＝（9﹣AE）2+9，
∴AE＝5
21．探究活动一：
如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB上的三点A（1，3）、B（2，5）、C（4，9），有k ＝ ＝2，k ＝ ＝2，发现k ＝k ，兴趣小组提出猜想：若直线y＝kx+b（k≠0）上任意两点坐
AB AC AB AC
标P（x，y），Q（x，y）（x≠x），则k ＝ 是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，k
1 1 2 2 1 2 PQ PQ
是定值，并且是直线y＝kx+b（k≠0）中的k，叫做这条直线的斜率．
请你应用以上规律直接写出过S（﹣2，﹣2）、T（4，2）两点的直线ST的斜率k ＝ ．
ST
探究活动二
数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相
要直时，这两条直线的斜率之积是定值．
如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，D（2，2），E（1，4），F（4，3）．请求出直线DE与直线DF的斜率之积．
综合应用
如图3，⊙M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆，M（1，2），N（4，5），请结合探究活动二的结论，求出过点
N的⊙M的切线的解析式．
【分析】（1）直接利用公式计算即可；
（2）运用公式分别求出k 和k 的值，再计算k ×k ＝﹣1；
DE DF DE DF
（3）先求直线MN的斜率k ，根据切线性质可知PQ⊥MN，可得直线PQ的斜率k ，待定系数法即可求得直
MN PQ
线PQ解析式．
【解答】解：（1）∵S（﹣2，﹣2）、T（4，2）
∴k ＝ ＝
ST
故答案为：
（2）∵D（2，2），E（1，4），F（4，3）．
∴k ＝ ＝﹣2，k ＝ ＝ ，
DE DF∴k ×k ＝﹣2× ＝﹣1，
DE DF
∴任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于﹣1．
（3）设经过点N与⊙M的直线为PQ，解析式为y＝k x+b
PQ
∵M（1，2），N（4，5），
∴k ＝ ＝1，
MN
∵PQ为⊙M的切线
∴PQ⊥MN
∴k ×k ＝﹣1，
PQ MN
∴k ＝﹣1，
PQ
∵直线PQ经过点N（4，5），
∴5＝﹣1×4+b，解得 b＝9
∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+9．
22．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过
A，C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最
大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+ PA的值最小，
请求出这个最小值，并说明理由．
【分析】（1）由直线y＝﹣5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标．
（2）从x轴把四边形AMBC分成△ABC与△ABM；由点A、B、C坐标求△ABC面积；设点M横坐标为m，过点M
作x轴的垂线段MH，则能用m表示MH的长，进而求△ABM的面积，得到△ABM面积与m的二次函数关系式，
且对应的a值小于0，配方即求得m为何值时取得最大值，进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值．（3）作点D坐标为（4，0），可得BD＝1，进而有 ，再加上公共角∠PBD＝∠ABP，根据两边对应
成比例且夹角相等可证△PBD∽△ABP，得 等于相似比 ，进而得PD＝ AP，所以当C、P、D在同一直线
上时，PC+ PA＝PC+PD＝CD最小．用两点间距离公式即求得CD的长．
【解答】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5
∴C（0，5）
y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1
∴A（1，0）
∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5
当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x＝1，x＝5
1 2
∴B（5，0）
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H
∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）
∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5
∴S
△ABC
＝ AB•OC＝ ×4×5＝10
∵点M为x轴下方抛物线上的点
∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）
∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5
∴S
△ABM
＝ AB•MH＝ ×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8
∴S ＝S +S ＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18
四边形AMBC △ABC △ABM
∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18
（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD
∴BD＝5﹣4＝1
∵AB＝4，BP＝2∴
∵∠PBD＝∠ABP
∴△PBD∽△ABP
∴
∴PD＝ AP
∴PC+ PA＝PC+PD
∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+ PA＝PC+PD＝CD最小
∵CD＝
∴PC+ PA的最小值为
