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参考答案
学年 大学实验中学九年级(上)
2023-2024 ××
第一次月考数学试卷
1. 【解析】 不是轴对称图形 也不是中心对
C A. , O 的弦 AB CD AC
☉ , ⊥ ,∴
称图形 故本选项错误 是轴对称图形 也是
, ;B. ,
中心对称图形 故本选项错误 是轴对称图
, ;C.
形 但不是中心对称图形 故本选项正确 是
, , ;D.
轴对称图形 也是中心对称图形 故本选项
, ,
错误.
2. 【解析】 摸到红色球的频率稳定在 %左
B ∵ 15
右 口袋中红色球的频率为 % 故红球的个 ,∴ 15 ,
数为 % 个 .
40×15 =6( )
3. 【解析】 圆的直径为圆中最长的弦 O
B ∵ ,∴ ☉
中最长的弦长为 .
2×3=6(cm)
4. 【解析】 任意画一个三角形 该三角形的
C A. ,
内角和为 是必然事件 不符合题意 从分
180° , ;B.
别写有 的三张卡片中随机抽出一张 卡
2,4,6 ,
片上的数字能被 整除是必然事件 不符合题
2 ,
意 购买一张福利彩票就中奖是随机事件 符
;C. ,
合题意 从装有 个红球和 个黄球的袋中
;D. 4 2 ,
随机抽取一个是白球是不可能事件 不符合
,
题意.
5.
B
6. 【解析】 ACB B BAC
A ∵ ∠ =90°,∠ =60°,∴ ∠
AB BC ABC 绕点 C 顺
=30°,∴ =2 =2×1=2,∵ △
时针旋转得到 A′B′C A′B′ AB B′C
△ ,∴ = =2, =
BC A′C AC A′ BAC A′B′C
=1, = ,∠ =∠ =30°,∠ =
B CAA′为等腰三角形 CAA′
∠ =60°,∴ △ ,∴ ∠ =
A′ A B′ A′在同一条直线上 A′
∠ =30°,∵ , , ,∴ ∠
B′C B′AC B′CA B′CA
=∠ +∠ ,∴ ∠ =60°-30°=
B′A B′C AA′ AB′ A′B′ .
30°,∴ = =1,∴ = + =2+1=3
7. 【解析】 二次函数y x 2 抛物
D ∵ =-4( +6) -5,∴
线开口向下 对称轴为直线 x 顶点坐标为
, =-6,
当 x 时 y 随 x 的增大而增大
(-6,-5),∴ <-6 , ,
令x 则y 图象与y轴得交点为
=0, =-149,∴ (0,
故 选项错误 选项正确.
-149), A,B,C ,D
8. 【解析】 OCD AB CD AOC
B ∵ ∠ =20°, ⊥ ,∴ ∠ =
AB是 O的直径 CD是
180°-90°-20°=70°,∵ ☉ ,
(
AD
=
(
ABD
,∴ ∠ =
1 AOC .
∠ =35°
2
9. 【解析】由数轴上的点可得 b a 方程
B : <0< ,∴
ax2 bx 的根的判别式 Δ b2 a 则方
+ -1=0 = +4 >0,
程有两个不相等的实数根.
10. 【解析】设AB x 则BC x 由题
B = m, =(14- )m,
意得 : S 矩形ABCD= x (14- x )= - x2 +14 x =-( x -7) 2 +
当 x 时 矩形 ABCD 的面积
49,∵ -1<0,∴ =7 ,
最大 最大值是 2.
, 49 m
11. 【解析】如解图 过点 P 作 x 轴的垂线 垂
D , 1 ,
足为M AP B是等腰直角三角形且 P
,∵ △ 1 ∠ 1=
P M 1 OB OM A B
90°,∴ 1 = = ,∵ (0,0), (2,0),
2
P M OM 则点 P 的坐标为
∴ 1 = = 1, 1 (1,1);
BP C由 AP B 绕点 B 顺时针旋转
∵ △ 2 △ 1 180°
得到 点P 的坐标为 依次类推 点
,∴ 2 (3,-1); ,
P 的坐标为 点P 的坐标为 点
3 (5,1); 4 (7,-1);
P 的坐标为 由此可见 点 P n 为
5 (9,1);…, , n(
正整数 的横坐标为 n 当 n 为奇数时 其
) 2 -1, ,
纵坐标为 当 n 为偶数时 其纵坐标为 当
1; , -1;
n 时 n
=2023 ,2 -1=2×2023-1=4045,∵ 2023
是奇数 P 的坐标为 .
,∴ 2 023 (4 045,1)
第 题解图
11
12. 【解析】如解图 连接 OB OC 点 O 是
B , , ,∵
ABC的内心 A OB OC 是 ABC
△ ,∠ =84°,∴ , ∠ ,
ACB的平分线 OBC 1 ABC OCB
∠ ,∴ ∠ = ∠ ,∠
2
1 ACB BOC OBC OCB
= ∠ ,∴ ∠ =180°-∠ -∠ =
2
1 ABC ACB 1
180°- (∠ +∠ )= 180°- (180°-
2 2
1A 1 A 点 O 也是 DBC
∠ )= 90°+ ∠ =132°,∵ △
2
的外心 D 1 BOC 则 D 的度数
,∴ ∠ = ∠ =66°, ∠
2
为 .
66°
第 题解图
12
13. 【解析】点A 关于原点对称的
(3,-1) (-3,1)
点的坐标为 .
(3,-1)
14. 【解析】阴影部分的面积 S S
π-2 = 扇形ACB-
2
S 90π×2 1 .
△ ACB= - ×2×2=π-2
360 2
15. 【解析】根据题意得a 且 a 解得
2 +2≠0 | |=2,
a 即a的值为 .
=2, 2
16. 【解析】 OM 是直径 OFM
70° ∵ ,∴ ∠ =90°,
FOM 由作图可知 PQ 垂
∴ ∠ =90°-50°=40°, ,
直平分线段FM EF
,∴
(
EM
=
(
19. 解: 如解图 A′B′C′即为所求作
(1) ,△ ,………
分
………………………………………… (2 )
A′ B′ 分
(6,4), (5,1);…………………… (4 )
. 分
(2)π ………………………………… (7 )
【解法提示】由题得 BC 如解图 点 B 旋转
, =2, ,
到点B′所经过的路线长 90×π×2 .
= =π
180
第 题解图
19
20. 解: 1 分
(1) ; …………………………… (2 )
4
【解法提示】 A 盘中数字 所对扇形区域的
∵ 1
圆心角为 A 盘中数字 所对扇形区域
90°,∴ 1
占整体的 90 1 转动转盘 A 指向的数字
FOE MOE = ,∴ ,
,∴ ∠ =∠ 360 4
1 FOM OCF . 为 的概率是1 .
= ∠ =20°,∴ ∠ =90°-20°=70° 1
2 4
17. 解:解法一 a b c
不公平 分
:∵ =1, =-2, =-1, (2) ,…………………………… (3 )
如解图 将 A 盘 等分 这样才是指向每个区
b2 ac , 4 ,
∴ -4 =4-4×1×(-1)= 8>0,
域的可能性均等 用列表法表示所有等可能出
b b2 ac ,
x - ± -4 2± 8 现的结果如下
∴ = a = =1± 2, :
2 2×1
A盘
∴ x 1=1+ 2, x 2=1- 2; ……………… (6 分 ) B盘 1 2 2 2
解法二
:∵
x2
-2
x
-1=0, 3 1+3=4 2+3=5 2+3=5 2+3=5
则x2 x 4 1+4=5 2+4=6 2+4=6 2+4=6
-2 +1=2
x 2 5 1+5=6 2+5=7 2+5=7 2+5=7
∴ ( -1) =2,
共有 种等可能出现的结果 其中指针指向
开方得 x 12 ,
: -1=± 2,
的两个区域的数字之和大于 即甲获胜的有
x x . 分 5,
∴ 1=1+ 2, 2=1- 2 ……………… (6 ) 种
7 ,
18. 解: m是方程x2 x 的一个根
∵ +3 -2 022=0 ,
所以甲获胜的概率为7 乙获胜的概率为5
m2 m , ,
∴ +3 -2 022=0, 12 12
∴
m2
+3
m
=2 022,
所以这个游戏不公平
,
甲获胜的可能性更大.
∴
m3
+2
m2
-2 025
m
+2 022 …………………………………… (7
分
)
m m2 m m2
= ( +3 -2 025)- +2 022
m m2
= (2 022-2 025)- +2 022
m m2
=-3 - +2 022
=-2 022+2 022
第 题解图
. 分
=0 …………………………………… (6 ) 20
221. 解: 接受能力 y 与学习知识所用的连续时 23. 解: 把 A 代入 y ax2 ax 得 a
(1) (1) (-1,0) = -2 -3 +
a
间x 之间的函数关系式为 y 1 x2 bx 2 -3=0,
(min) =- +
解得a
10 =1,
c
+ , 抛物线解析式为y x2 x
∴ = -2 -3;
把
(0,43)(6,55)
代入y
=-
1x2
+
bx
+
c得
, ∵
y
=
x2
-2
x
-3=(
x
-1)
2
-4,
10 抛物线的顶点坐标为 分
ìc ì ∴ (1,-4); …… (4 )
ï ï
ï =43 ïb 13 点P x y 到y轴的距离不大于
í 解得í = (2)∵ ( , ) 2,
ïï 1 2 b c , ïï 5 , x
î- ×6 +6 + =55 îc ∴ -2≤ ≤2,
10 =43
x 时 y x2 x x 时 y x2 x
∵ =-2 , = -2 -3=5; =2 , = -2 -
∴
y
=-
1x2
+
13x
+43; ………………… (4
分
) x 时 y有最小值
3=-3; =1 , -4,
10 5
当 x 时 y
∴ -2≤ ≤2 ,-4≤ ≤5,
y 1x2 13x 1 x 2 .
(2)∵ =- + +43=- ( -13) +59 9, 即n m
10 5 10 =-4, =5,
当x 时 接受能力y最强 m n . 分
∴ =13 , , ∴ - =5-(-4)= 9 ………………… (8 )
重难点的部分需要讲 24. 解: 四边形ABCD为正方形
∵ 12 min, (1) ∵ ,
王老师应将重难点放在上课 到 AB BC CD ABC COB COD
∴ 7 min 19 min ∴ = = ,∠ =90°=∠ =∠ ,
的时候讲最好. 分 OC OD OCB ODC
……………………… (7 ) = ,∠ =∠ =45°,
22. 解: DE与 O相切 证明如下 分 ABC为等腰直角三角形
(1) ☉ , : … (1 ) ∴ △ ,
如解图 连接AD OD
AC
, , ,
AB 4 2
AB为 O的直径 ∴ = = =4,
∵ ☉ , 2 2
BDA
EO FO
∴ ∠ =90°,
∵ ⊥ ,
AD BC. EOF 即 COE COF
∴ ⊥ ∴ ∠ =90°, ∠ +∠ =90°,
AB AC
DOF COF
∵ = , ∵ ∠ +∠ =90°,
BD DC
COE DOF
∴ = , ∴ ∠ =∠ ,
OB OA
在 COE和 DOF中
∵ = ,
△ △ ,
OD是 ABC的中位线
ì OCE ODF
∴ △ , ï
ï∠ =∠
OD AC.
íOC OD
∴ ∥
ï = ,
DE AC ï
î COE DOF
∵ ⊥ ,
∠ =∠
DE OD
COE DOF
∴ ⊥ ,
∴ △ ≌△ (ASA),
DE是 O的切线 分
CE DF
∴ ☉ ; ………………… (4 )
∴ = ,
若 O的半径为5 则AB AC BE
(2) ☉ , = =5, ∵ =1,
2 CE BC CE
在 ADC中 AD AC ∴ = - =4-1=3,
Rt△ , =3, =5, DF CE CF CD DF
∴ = =3, = - =4-3=1,
DC 2 2
∴ = 5 -3 =4, 在 CEF 中 EF CE2 CF2 2 2
又 AC DE AD DC Rt△ , = + = 3 +1 =
∵ · = · ,
分
AD DC 10; ………………………………… (4 )
DE · 3×4 12. 分
∴ = AC = = ………… (7 )
证明:如解图 过点O′作O′G BD交CF于
(2) , ∥
5 5
点G
,
四边形ABCD为正方形
∵ ,
AC BD OCD ODC
∴ ⊥ ,∠ =∠ =45°,
O′G AC OCE OCD FCE
∴ ⊥ ,∠ =∠ +∠ =45°+90°
=135°,
第 题解图
EO′ FO′
22
∵ ⊥ ,
3EO′F FO′G EO′G O′GF O′CE
∴ ∠ =90°,∠ +∠ =90°, ∴ △ ≌△ (ASA),
CO′E EO′G GF CE
∵ ∠ +∠ =90°, ∴ = ,
FO′G CO′E CF CE CF GF CG O′C. 分
∴ ∠ =∠ , ∴ - = - = = 2 …… (8 )
O′G BD
∵ ∥ ,
O′GC ODC
∴ ∠ =∠ =45°,
O′GC为等腰直角三角形 CG O′C
∴ △ , = 2 ,
O′GF O′GC
∠ =180°-∠ =180°-45°=135°,
O′G O′C O′GF O′CE
∴ = ,∠ =∠ =135°,
在 O′GF和 O′CE中
△ △ ,
ì FO′G EO′C 第 题解图
ï ï∠ =∠ 24
íO′G O′C
ï = ,
ï
î O′CF O′CE
∠ =∠
学年 中学九年级(上)
2023-2024 ××
第一次月考数学试卷
1. 【解析】 该函数是二次函数 故本选项符
A A. , x 1 x 对应的函数值 y y y 中 最
合题意 该函数含有根号 不是二次函数 故 2= , 3=2,∴ 1, 2, 3 ,
2
;B. , ,
本选项不符合题意 该函数不是二次函数 故 大的为y .
;C. , 2
本选项不符合题意 该函数是一次函数 不是
8. 【解析】将 y 1 x 与 y 1 x 联立得
;D. ,
A =- +2 =
二次函数 故本选项不符合题意. 2 2
,
ì
2. 【解析】 y x 2 抛物线顶点坐 ï y 1x
A ∵ =3( +1) +4,∴ ïï =- +2 {x
标为 . í 2 解得 =2 点 D 的坐标为
(-1,4) ï , y ,∴ (2,
3.
B
【解析】
∵
x2
-4
x
+3=0,∴ (
x
-1)(
x
-3)= 0, î
ïy
=
1x =1
2
则x
-1=0
或x
-3=0,
解得x
1=1,
x
2=3
.
1)
. 由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标
4. 【解析】 b2 ac 二次
A ∵ -4 =4-4×1×3=-8<0,∴ 为 h k . 将 x h y k 代入 y 1 x 得 1 h
函数y x2 x 的图象与x轴没有交点. ( , ) ∵ = , = , = =
= +2 +3 2 2
b
5. 【解析】 a b c 抛物 k 解得k 1h 抛物线的解析式为y x h 2
D ∵ >0, <0, >0,∴ - a>0,∴ , = ,∴ =( - ) +
2 2
线的图象开口向上 对称轴在 y 轴的右边 交 y
, , 1h. 当抛物线经过点C 时 将 C 代入 y
, (0,0) =
轴于正半轴.
2
6. D 【解析】当 k -1≠0, 即 k ≠1 时 , 此方程为一 ( x - h ) 2 + 1h 得 h2 + 1 h =0, 解得 h 1=0( 舍去 ),
元二次方程. 关于 x 的方程 k 2x2 k 2 2
∵ ( -1) +(2 +
x 有实数根 Δ k 2 k 2 h 1 当抛物线经过点 D 时 将 D 代入
1) +1=0 ,∴ =(2 +1) -4×( -1) ×1= 2=- ; , (2,1)
2
k 解得k 1 当k 即k 时 方
12 -3≥0, ≥ ; -1=0, =1 , y x h 2 1h得 h 2 1h 整理得 h2
4 =( - ) + (2- ) + =1, 2 -
2 2
程为 x 显然有解.综上 k 的取值范围是
3 +1=0, ,
h 得 h h 3 舍去 . 综上所述
k 1 . 7 +6=0, 1 =2, 2 = 2 ( ) ,
≥
4
h的范围是 1 h .
7. 【解析】 二次函数y x2 x m 此函数 - ≤ ≤2
B ∵ =- +2 + ,∴ 2
的对称轴是直线x =1,∵ 当a <0 时 , 在对称轴左 9. ( x -3) 2 =4 【解析】x2 -6 x +5=0, 移项 , 得 x2 -
侧y随x的增大而增大 则三个x的值中与对称 x 配方 得x2 x x 2 .
, 6 =-5, , -6 +9=-5+9,( -3) =4
轴最接近的值
,
对应的函数值最大.
∵
x
1=-1,
10.
0
或
4
【解析】把x
=-2
代入方程x2
+4
kx
+2
k2
=4
4得 k k2 整理得k2 k 解得 k 所示.
4-8 +2 =4, -4 =0, 1=0,
k 即k的值为 或 .
2=4, 0 4
11. m 【解析】根据题意得Δ 2 m
≤2 =2 -4(-1+ )≥
解得m .
0, ≤2
12. x 2
100(1+ ) =121
13. 【解析】 y . 当 x2 时 x
2 ∵ =2 ∴ =2 , =± 2,∵ 0
x x 舍去 当 x 时 x .
≤ <1,∴ =± 2( ); 2 -2=2 , =2 第 题解图
14. 【解析】如解图 过 OC 的中点 作 AB 的平 16
4 , ,
17. 解: 因式分解得 x x
行线交抛物线于点P P 此时 P AB 的面积 (1) ,( -1)( +5)= 0,
1, 2, △ 1
x x
和 P AB 的面积等于 AOB 的面积的一半 -1=0, +5=0,
△ 2 △ ,
x x 分
作直线P
1
P
2
关于直线AB的对称直线
,
交抛物 ∴ 1=1, 2=-5; ……………………… (4 )
a b c
线于点 P P 此时 P AB 的面积和 P AB (2) =1, =-3, =1,
3, 4, △ 3 △ 4
的面积等于 AOB的面积的一半 所以这样的
∴
Δ
=
b2
-4
ac
=9-4=5>0,
△ ,
点P共有 个.
方程有两个不相等的实数根
∴ ,
4
b b2 ac
x - ± -4 3± 5
∴ = a = ,
2 2
x 3+ 5 x 3- 5. 分
∴ 1= , 2= ……………… (8 )
2 2
18. 解: 分
(1)×,×; ………………………… (2 )
【解法提示】小敏没有考虑 x 的情况 所
第 题解图 -3=0 ,
14 以 小霞提取公因式时出现了错误 所以 .
×; , ×
15. 【解析】 抛物线开口向上 a
①②③④⑤ ∵ ,∴ >0, 移项 得 x x 2
(2) , 3( -3)-( -3) =0,
对称轴在x轴左侧 b 抛物线与 y 轴
∵ ,∴ >0,∵ 提取公因式 得 x x
, ( -3)(3- +3)= 0,
b
交于负半轴 c abc 故 正确 则x 或 x
,∴ <0,∴ <0, ① ;∵ - a= -3=0 3- +3=0,
2 解得x x . 分
b a a b 故 正确 图象与 x 1=3, 2=6 …………………… (6 )
-1,∴ =2 ,∴ 2 - =0, ② ;∵ 19. 证明: a b m c m2
轴交于 a b c 故 正确 a b c (1) ∵ =1, =-4 , =3 ,
(1,0),∴ + + =0, ③ ;∵ + +
Δ b2 ac m 2 m2 m2.
b a c a a c a 故 正 ∴ = -4 =(-4 ) -4×1×3 =4
=0, =2 ,∴ =-3 ,∴ 8 + =5 >0, ④
无论m取何值时 m2 即Δ
确 图象与x轴交于 且对称轴为直线 ∵ ,4 ≥0, ≥0,
;∵ (1,0),
原方程总有两个实数根 分
x 抛物线与 x 轴的另一个交点为 ∴ ; ………… (2 )
=-1,∴ (-3,
解:方法一 x2 mx m2 即 x m
方程ax2 bx c 的两个根是 和 (2) :∵ -4 +3 =0, ( - )
0),∴ + + =0 -3 1,
x m
故 正确. ( -3 )= 0,
⑤
x m x m.
16.
(1)
F
;(2)8
【解析】
(1)
n为偶数时
,
y
=
x2
+
bx
+
c
,
∴ 1= , 2=3
m 且该方程的两个实数根的差为
{ b c ∵ >0, 2,
l经过点A 和 B 1+ + =0
m m
∵ (1,0) (2,0),∴ b c , ∴ 3 - =2,
4+2 + =0
m . 分
{b
∴ =1 ……………………………… (6 )
解得 =-3 抛物线解析式为 y x2 x 方法二 设方程的两根为 x x 则 x x m
c
=2
,∴ = -3 +2, : 1, 2, 1+ 2=4 ,
当x
=0
时
,
y
=2,∴
点 F
(0,2)
在抛物线上
,
x
1·
x
2=3
m2
,
x x
∴
抛物线还经过网格上的 F 点
;(2)
当 n 为奇 ∵ 1- 2=2,
数时 由 中的抛物线平移又得到 条抛物 x x 2
, (1) 3 ∴ ( 1- 2) =4,
线 如解图 所示 当 n 为偶数时 由 中的 x x 2 x x
, ① ; , (1) ∴ ( 1+ 2) -4 1 2=4,
抛物线平移又得到 条抛物线 如解图 m 2 m2
3 , ② ∴ (4 ) -4×3 =4,
5m 的销售利润 销售单价应定为 元
∴ =±1, , 40 ; ………
m 分
∵ >0, …………………………………… (4 )
m . 分 根据题意得 w x2 x x
∴ =1 ……………………………… (6 ) (3) : = - +90 -1800= -( -
{a k
2
20. 解: 由题意得 + =-3 45) +225,
(1) a 2 k ,
(3-1) + =0 ∵ -1<0,
{a 当x 时 w有最大值 最大值是 .
解得 =1 分 ∴ =45 , , 225
k ; ………………………… (2 ) 当这种双肩包销售单价定为 元时 每天
=-4 ∴ 45 ,
由 知 抛物线的解析式为 y x 2 的销售利润最大 最大利润是 元.
(2) (1) , =( -1) - , 225 ………
x2 x 列表如下 分 分
4= -2 -3, : ……………… (3 ) …………………………………… (7 )
x
… -1 0 1 2 3 … 23. 解: 当x 时 y 1 2 11
(1) =0 , =- ×(0-5) +6= ,
y 6 6
… 0 -3 -4 -3 0 … ( )
点A的坐标为 11
画出函数图象如解图 分 ∴ 0, ,
; ……………… (6 ) 6
雕塑高11 分
∴ m; ……………………… (2 )
6
当y 时 1 x 2
(2) =0 ,- ( -5) +6=0,
6
解得x 舍去 x
1=-1( ), 2=11,
点D的坐标为
∴ (11,0),
OD .
∴ =11 m
从 A 点向四周喷水 喷出的水柱为抛物线
∵ , ,
且形状相同
第 题解图 ,
20
OC OD
由平移的性质得 平移后的抛物线解析式 ∴ = =11 m,
(3) , CD OC OD 分
为y x 2 x 2 . 分 ∴ = + =22 m; ……………… (4 )
=( -1-1) -4+2=( -2) -2 … (8 )
21. 解: 抛物线y x2 mx过点A 当x 时 y 1 2 10
(1)∵ =2 + (2,0), (3) =9 , =- ×(9-5) +6= ,
6 3
∴ 2×2 2 +2 m =0, ( )
解得m 分
∴
点
9,
10 在抛物线y
=-
1
(
x
-5)
2
+6
上.
=-4, ………………………… (2 )
3 6
y x2 x x 2
∴ =2 -4 =2( -1) -2,
又 10 .
抛物线顶点M的坐标是 ∵ ≈3 33>3,
∴ (1,-2);………… 3
分 雕塑顶部F不会碰到水柱. 分
…………………………………… (4 ) ∴ ……… (7 )
直线y x 过点 M 由图象可得不等式 24. 解: 二次函数的图象经过点
(2) =2 -4 , (1)∵ (0,4),
x2 mx x 的解集为x 或x . c
2 + >2 -4 <1 >2 ……… ∴ =4;
分 b
…………………………………… (6 ) 对称轴为直线x
22. 解: w x y x x x2 ∵ =- =1,
(1) =( -30)· =(- +60)( -30)= - + 2
x x x2 x b
30 +60 -1800=- +90 -1800, ∴ =-2,
w与x之间的函数解析式为w x2 x 此二次函数的解析式为y x2 x
=- +90 -1800 ∴ 1= -2 +4;……
x 分 分
(30≤ ≤60);………………………… (2 ) …………………………………… (2 )
(2)
当w
=200
时
,-
x2
+90
x
-1800=200, (2)
当b2
-
c
=0
时
,
b2
=
c
,
此时函数的解析式为
解得x
1=40,
x
2=50,
y
1=
x2
+
bx
+
b2
,
根据题意可知 需要分三种情况
∵ 50>48, , :
x 不符合题意 舍去 b
∴ 2=50 , , 当b 即 b 时 二次函数的最小值在
答 该商店销售这种双肩包每天要获得 元 ① <- , <0 ,
: 200 2
6x b 处取到 BT AB
= ; ∵ = ,
∴
b2
+
b2
+
b2
=21,
解得 b
1 =- 7,
b
2 = 7 (
舍
∴
AB
+
BF
=2
BD.
去 AD BD AB
∵ + = ,
);
AD BF BD 分
b ∴ + = ; ……………………… (4 )
b 即 b 时 二次函数的最小值在
② -3>- , >2 , AD BF BD 分
2 (2) - = ;……………………… (5 )
x b 处取到 【解法提示】如解图 连接 BE 在 BC 的延长
= -3 ; ②, ,
∴ ( b -3) 2 + b ( b -3)+ b2 =21, 解得 b 3=4, b 4=-1 线上 截 取 BT , 使 得 BT = BA , 连 接 AT.
舍去 ABT AEF是等边三角形 AT AB AF
( ); ∵ △ ,△ ,∴ = , =
b AE TAB FAE TAF BAE
b b 即 b 时 二次函数的最 ,∠ = ∠ = 60°,∴ ∠ = ∠ ,
③ -3≤- ≤ , 0≤ ≤2 , ìAT AB
ï
2 ï =
b 在 ATF 与 ABE 中 í TAF BAE
小值在x 处取到 △ △ , ï∠ =∠ ,
=- ; î ï AF AE
2 =
( b ) 2 ( b ) ATF ABE TF BE ATF
b b2 解得 b ∴ △ ≌△ (SAS),∴ = ,∠ =
∴ - + · - + =21, =±2 7
2 2 ABE EBD ED AB
∠ = 60°,∴ ∠ = 60°,∵ ⊥ ,
舍去 .
( )
DEB BD 1 BE TF BD
综上所述 b的值为 或 分 ∴ ∠ = 30°,∴ = ,∴ = 2 ,
, - 7 4;………… (4 ) 2
(3)
由
(1)
知
,
二次函数的解析式为y
1=
x2
-2
x
+4, ∵
BT
=
AB
,∴
AB
-
BF
=2
BD
,∵
AB
=
AD
+
BD
,
AD BF BD.
设函数y y y x2 x m ∴ - =
3= 2- 1= +3 + -4,
BF AB BD. 分
(3) - =2 …………………… (7 )
对称轴为直线x 3
=- <0, 【解法提示】如解图 连接 BE 在 BC 上截取
2 ③, ,
当 x 时 y 随x的增大而增大 BT 使得BT BA 连接 AT. ABT AEF 是
∴ 0≤ ≤1 , 3 , , = , ∵ △ ,△
当x 时 y 即y y 有最小值m 等边三角形 AT AB AF AE TAF
∴ =0 , 3 2- 1 -4, ,∴ = , = ,∴ ∠ =
ìAT AB
∴ m -4≥0, ï ï =
BAE 在 ATF与 ABE中 í TAF BAE
∴
m
≥4,
即m的最小值为
4
.
………… (6
分
)
∠ , △ △ ,ï
ï
∠ =∠ ,
25. 证明:如解图 连接 BE 在 BC 的延长线
îAF
=
AE
(1) ①, ,
ATF ABE TF BE ATF
上截取BT 使得BT BA 连接AT. ∴ △ ≌△ (SAS),∴ = ,∠ =
, = ,
ABE EBD ED AB
BA BT ABT ∠ = 120°,∴ ∠ = 60°,∵ ⊥ ,
∵ = ,∠ =60°,
ABT是等边三角形 DEB BD 1 BE TF BD
∴ △ , ∴ ∠ = 30°,∴ = ,∴ = 2 ,
ABT AEF是等边三角形 2
∵ △ ,△ , BT AB BF AB BD.
AT AB AF AE TAB FAE ∵ = ,∴ - =2
∴ = , = ,∠ =∠ =60°,
TAF BAE
∴ ∠ =∠ ,
在 ATF与 ABE中
△ △ ,
ìAT AB
ï
ï =
í TAF BAE
ï∠ =∠ ,
ï
îAF AE
=
ATF ABE
∴ △ ≌△ (SAS),
TF BE ATB ABE
∴ = ,∠ =∠ =60°,
ED AB
∵ ⊥ ,
DEB
∴ ∠ =30°,
BD 1BE 第 题解图
∴ = , 25
2
TF BD 26. 解: 分
∴ =2 , (1)①(- 3,-1);②9;…………… (2 )
7【解法提示】 设点 的勤学点的坐标 t 2 t s m n t t 2 t
① (- 3,1) -[(2- ) + +1],∴ = - =- +[(2- ) + +1]
是 a b′ 则a b′ 故点 =
t2
-4
t
+5,∴
s关于t的函数解析式为 s
=
t2
-4
t
( , ), =- 3<1, =-1, (- 3,1)
t 当t 时 s取最小值 s的取值
的勤学点的坐标是 设点 A a +5,( <2), =1 , 2,∴
(- 3,-1);② (2, ) 范围是s 若 t 如解图 当 x 时
是函数 y x 图象上点 P 的勤学点 则 ≥2;③ ≤0, ③, <2 ,
=4 (2,8) , b′的最小值为 即m 当x 时 b′的最大
a . 0, =0; ≥2 ,
=8+1=9 值 t 2 t 即 n t 2 t
当 k 时 点P x x 的勤学点 Q 的 =-(2- ) - -1, =-[(2- ) + +1],
(2) 1≤ <3 , ( , +2) s m n t 2 t t2 t
纵坐标b′ x ∴ = - = 0+[(2- ) + +1] = -3 +5 =
= +3, ( )
2
k x t 3 11 s 关于 t 的函数解析式为 s
∵ ≤ <3, - + ,∴ =
2 4
k x
∴ +3≤ +3<6, ( ) 2
t 3 11 t 当 t 时 s 取最小值 .
k b′ - + ( ≤0), =0 , 5
∴ +3≤ <6;
2 4
当
-7<
k
<1
时
,
则
-3<
b′
≤-
k
-2
或
4≤
b′
<6;… 综上所述 s
{t2
-3
t
+5,(
t
≤0) .
…………………………………… (4 分 ) : = t2 t t
-2 +5,(0< <2)
{t2 t t
s -4 +5,( ≤0) . 分
(3) = t2 t t …………… (7 )
-2 +5,(0< <2)
【解法提示】 y x2 tx t2 t x t 2 t
∵ =- +2 - - =-( - ) - ,
顶点坐标为 t t . 图象上的点P的勤学点
∴ ( ,- )
{ x t 2 t x
Q必在函数 b′ ( - ) + ,( <2) 的图象
= x t 2 t x
-( - ) - -1,( ≥2)
上. 若t 如解图 b′的取值范围是 b′
① ≥2, ①, >
m或b′ n 与题意不符 若 t 如解图
≤ , ;② 0< <2,
第 题解图
当 x 时 b′的最小值为 t 即 m t 当 26
②, <2 , - , =- ;
x 时 b′的最大值 t 2 t 即 n
≥2 , =-(2- ) - -1, =
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