文档内容
2009 年江西高考文科数学试题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3
至4页，共150分。
考生注意：
1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题
卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是
否一致。
2. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡
上书写作答。在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式
如果事件A,B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)= P(A)+P(B) S =4pR2
如果事件A,B，相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A×B)=P(A)×P(B) 球的体积公式
4
如果事件A在一次试验中发生的概率是 p，那么 V = pR3
3
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
P (k) = Ck pk(1- p)n-k
n n
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．下列命题是真命题的为
1 1
A．若 = ,则x= y B．若x2 =1,则x=1
x y
第1页 | 共12页C．若x= y,则 x = y D．若x< y,则 x2 < y2
-x2 -3x+4
2．函数y = 的定义域为
x
A．[-4,1] B．[-4,0) C．(0,1] D．[-4,0) (0,1]
U
3．50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，
参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为
A．50 B．45 C．40 D．35
4．函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx的最小正周期为
3p p
A．2p B． C．p D．
2 2
5．已知函数 f(x)是(-¥,+¥)上的偶函数，若对于x³0，都有 f(x+2）= f(x)，且当
xÎ[0,2)时， f(x)=log (x+1），则 f(-2008)+ f(2009)的值为
2
A．-2 B．-1 C．1 D．2
6．若C1x+C2x2 + +Cnxn能被7整除，则x,n的值可能为
n n L n
A．x=4,n=3 B．x=4,n=4 C．x=5,n=4 D．x=6,n=5
x2 y2
7. 设F 和F 为双曲线 - =1(a>0,b>0)的两个焦点, 若F，F ，P(0,2b)是正三
1 2 a2 b2 1 2
角形的三个顶点,则双曲线的离心率为
3 5
A． B．2 C． D．3
2 2
8．公差不为零的等差数列{a }的前n项和为S .若a 是a 与a 的等比中项,
n n 4 3 7
S =32,则S 等于 A
8 10
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 N
D
9．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误 P
M
的为
B Q
C
A. AC ^ BD B. AC∥截面PQMN
C. AC = BD D. 异面直线PM 与BD所成的角为45o
第2页 | 共12页10．甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4
个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 3 2
y
11．如图所示，一质点P(x,y)在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不
P(x,y)
变，其在x轴上的投影点Q(x,0)的运动速度V =V(t)的图象大致为
O Q(x,0) x
V(t)
V(t) V(t) V(t)
O t O t O t
O t
A B C D
15
12．若存在过点(1,0)的直线与曲线y = x3和y =ax2 + x-9都相切，则a等于
4
25 21 7 25 7
A．-1或- B．-1或 C．- 或- D．- 或
64 4 4 64 4
7
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上
r r r r r r
13．已知向量a=(3,1)，b=(1,3)， c=(k,2)，若(a-c)^b 则k= ．
14．体积为8 的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于 ．
15．若不等式 4-x2 £k(x+1)的解集为区间a,b，且b-a=1,则 k = ．
16．设直线系M :xcosq+(y-2)sinq=1(0£q£2p),对于下列四个命题：
A．存在一个圆与所有直线相交
B．存在一个圆与所有直线不相交
C．存在一个圆与所有直线相切
第3页 | 共12页D．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
9
设函数 f(x)= x3- x2 +6x-a
2
（1）对于任意实数x， f¢(x)³m恒成立，求m的最大值；
（2）若方程 f(x)=0有且仅有一个实根，求a的取值范围
18．（本小题满分12分）
某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案
1
进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 .若某人获得两个“支持”，
2
则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支
持”，则不予资助．求：
(1) 该公司的资助总额为零的概率；
（2）该公司的资助总额超过15万元的概率．
19．（本小题满分12分）
p
在△ABC中，A, B,C所对的边分别为a,b,c，A= ，(1+ 3)c=2b．
6
（1）求C；
uuur uuur
（2）若CB×CA=1+ 3，求a,b，c．
P
20．（本小题满分12分）
M
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，
A D
第4页 | 共12页
O
B
CPA^平面ABCD，PA= AD=4，AB=2．以BD的中点O为球心、BD为直径的球面
交PD于点M ．
（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD；
（2）求直线PC与平面ABM 所成的角；
（3）求点O到平面ABM 的距离．
21．（本小题满分12分）
np np
数列{a }的通项a =n2(cos2 -sin2 )，其前n项和为S
n n 3 3 n
(1) 求S ;
n
S
(2) b = 3n ,求数列｛b ｝的前n项和T .
n n×4n n n
22．（本小题满分14分）
x2
如图，已知圆G:(x-2)2 + y2 =r2是椭圆 + y2 =1的内接△ABC的内切圆, 其中
16
A为椭圆的左顶点 y
（1）求圆G的半径r; M
B
（2）过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E，F A ．
F
G
0 x
两点，证明：直线EF 与圆G相切．
C
E
第5页 | 共12页绝密★启用前 秘密★启用后
2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D B A C C B C C D B A
1 1
1. 由 = 得x= y,而由x2 =1得x=±1,由x= y, x, y 不一定有意义,而x< y得
x y
不到x2 < y2
故选A.
ì x¹0
2. 由í 得-4£ x<0或0< x£1,故选D.
î-x2 -3x+4³0
3. 仅参加了一项活动的学生人数=50-(30+25-50)=45, 故选B.
p
4. 由 f(x)=(1+ 3tanx)cosx=cosx+ 3sinx=2sin(x+ )可得最小正周期为2p,
6
故选A.
5. f(-2008)+ f(2009)= f(0)+ f(1)=log1+log2 =1,故选C.
2 2
6. C1x+C2x2 + +Cnxn =(1+x)n -1,当 x=5,n=4时,(1+x)n -1=64 -1=35´37
n n L n
能被7整除, 故选C.
p c 3 c
7. 由tan = = 有3c2 =4b2 =4(c2 -a2),则e= =2,故选B.
6 2b 3 a
8. 由a2 =a a 得(a +3d)2 =(a +2d)(a +6d)得2a +3d =0,
4 3 7 1 1 1 1
56
再由S =8a + d =32得2a +7d =8
8 1 2 1
90
则d =2,a =-3,所以S =10a + d =60,.故选C
1 10 1 2
9. 由PQ∥AC，QM ∥BD，PQ⊥QM 可得AC⊥BD，故A正确；
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；
异面直线PM 与BD所成的角等于PM 与PN 所成的角，故D正确；
第6页 | 共12页综上C是错误的，故选C.
C2C2
10. 所有可能的比赛分组情况共有4´ 4 2 =12种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，故
2!
选D.
11. 由图可知，当质点P(x,y)在两个封闭曲线上运动时，投影点Q(x,0)的速度先由正到
0、到负数，再到0，到正，故A错误；质点P(x,y)在终点的速度是由大到小接近0，
故D错误；质点P(x,y)在开始时沿直线运动，故投影点Q(x,0)的速度为常数，因此C
是错误的，故选B.
12. 设过(1,0)的直线与y = x3相切于点(x ,x 3)，所以切线方程为y-x 3 =3x 2(x-x )
0 0 0 0 0
3
即y =3x 2x-2x 3，又(1,0)在切线上，则x =0或x =- ，
0 0 0 0 2
15 25
当x =0时，由y =0与y =ax2 + x-9相切可得a=- ，
0 4 64
3 27 27 15
当x =- 时，由y = x- 与y =ax2 + x-9相切可得a=-1，所以选A.
0 2 4 4 4
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
8 6p 3
13. 0 14. 15. 16. ABC
p 2
r r
13..因为a-c=(3-k,-1),所以k =0.
6
14.设球的半径为R，依题设有6(3 8)2 =4pR2，则R2 = ，球的体积为
p
3
4 4 æ 6 ö2 8 6p
pR3 = p
ç ÷
=
3 3 èpø p
15.由数形结合，半圆 y = 4-x2 在直线 y =k(x+1)之下必须 x =2,x =1，则直线
2 1
3
y =k(x+1)过点(1, 3)，则k =
2
16. 因为xcosq+(y-2)sinq=1所以点P(0,2)到M 中每条直线的距离
1
d = =1
cos2q+sin2q
即M 为圆C:x2 +(y-2)2 =1的全体切线组成的集合,所以存在圆心在(0,2),半径大于1
第7页 | 共12页的圆与M 中所有直线相交, 也存在圆心在(0,2),半径小于1的圆与M 中所有直线均不相
交, 也存在圆心在(0,2),半径等于1的圆与M 中所有直线相切,
故ABC正确,
又因M 中的边能组成两类大小不同的正三角形,故D错误,
故命题中正确的序号是ABC
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
17．解：(1) f '(x)=3x2 -9x+6=3(x-1)(x-2),
因为xÎ(-¥,+¥), f '(x)³m, 即 3x2 -9x+(6-m)³0恒成立,
3 3
所以 D=81-12(6-m)£0, 得m£- ，即m的最大值为-
4 4
(2) 因为 当x<1时, f '(x)>0;当1< x<2时, f '(x)<0;当x>2时, f '(x)>0;
5
所以 当x=1时, f(x)取极大值 f(1)= -a;
2
当x=2时, f(x)取极小值 f(2)=2-a;
5
故当 f(2)>0 或 f(1)<0时, 方程 f(x)=0仅有一个实根. 解得 a<2或a> .
2
18．解：（1）设A表示资助总额为零这个事件，则
6
æ1ö 1
P(A)= =
ç ÷
è2ø 64
（2）设B表示资助总额超过15万元这个事件，则
6 6 6
æ1ö æ1ö æ1ö 11
P(B)=15´ +6´ + =
ç ÷ ç ÷ ç ÷
è2ø è2ø è2ø 32
b 1 3 sinB
19．解：（1）由(1+ 3)c=2b 得 = + =
c 2 2 sinC
p 5p 5p
sin(p- -C) sin cosC-cos sinC
6 6 6 1 3 1 3
则有 = = cotC+ = +
sinC sinC 2 2 2 2
p
得cotC =1 即C = .
4
uuuv uuuv p
（2） 由 CB×CA=1+ 3 推出 abcosC =1+ 3 ；而C = ,
4
第8页 | 共12页2
即得 ab=1+ 3,
2
ì 2
ï 2 ab=1+ 3 ìa= 2
ï ï
ï ï
则有 í(1+ 3)c=2b 解得 íb=1+ 3
ï ï
a c c=2
ï = ïî
ïsinA sinC
î
20．解：方法（一）：
（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.
因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，
所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，
因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.
（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，
因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，
由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影，
所以 ÐPNM 就是PC与平面ABM 所成的角，
z
且ÐPNM =ÐPCD P
PD
tanÐPNM =tanÐPCD= =2 2 M
DC
所求角为arctan2 2
A N D
y
（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到
O
平面ABM距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，
B
C
x
则|DM|就是D点到平面ABM距离.
因为在 Rt△PAD 中， PA= AD=4， PD^ AM ，所以 M 为 PD中点，
DM =2 2，则O点到平面ABM的距离等于 2 。
方法二：
（1）同方法一；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， P(0,0,4)， B(2,0,0)，
第9页 | 共12页C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)，
r
设平面ABM 的一个法向量n=(x,y,z)，
r uuur r uuuur ì 2x=0
由n^ AB,n^ AM 可得：í ，
î2y+2z =0
r
令z =-1，则y =1，即n=(0,1,-1).
uuur r
PC×n 2 2
设所求角为a，则sina= = ，
uuur r
PC n 3
2 2
所求角的大小为arcsin .
3
uuur r
uuur AO×n
（3）设所求距离为h，由O(1,2,0),AO=(1,2,0)，得：h= = 2
r
n
21. 解:
np np 2np
（1）由于cos2 -sin2 =cos ,
3 3 3
故S =(a +a +a )+(a +a +a )+ +(a +a +a )
3k 1 2 3 4 5 6 L 3k-2 3k-1 3k
12 +22 42 +52 (3k-2)2 +(3k-1)2
=(- +32)+(- +62)+ +(- +(3k)2))
L
2 2 2
13 31 18k-5 k(9k+4)
= + + + = ,
L
2 2 2 2
k(4-9k)
S =S -a = ,
3k-1 3k 3k 2
k(4-9k) (3k-1)2 1 3k-2 1
S =S -a = + = -k =- - ,
3k-2 3k-1 3k-1 2 2 2 3 6
ì n 1
- - , n=3k-2
ï
3 6
ï
ï(n+1)(1-3n)
故 S =í , n=3k-1 (kÎN*)
n 6
ï
ï n(3n+4)
, n=3k
ï
î 6
S 9n+4
(2) b = 3n = ,
n n×4n 2×4n
第10页 | 共12页1 13 22 9n+4
T = [ + + + ],
n 2 4 42 L 4n
1 22 9n+4
4T = [13+ + + ],
n 2 4 L 4n-1
两式相减得
9 9
-
1 9 9 9n+4 1 4 4n 9n+4 1 9n
3T = [13+ + + - ]= [13+ - ]=8- - ,
n 2 4 L 4n-1 4n 2 1 4n 22n-3 22n+1
1-
4
8 1 3n
故T = - - .
n 3 3×22n-3 22n+1
22．解:
（1）设B（2+r,y），过圆心G作GD^ AB于D,BC交长轴于H
0
GD HB
由 =
AD AH
r y
得 = 0 ,
36-r2 6+r
r 6+r
即y = (1)
0
6-r
而点B（2+r,y）在椭圆上,
0
(2+r)2 12-4r-r2 (r-2)(r+6)
y 2 =1- = =- (2)
0 16 16 16
2 6
由(1)、 (2)式得15r2 +8r-12=0,解得r = 或r =- （舍去）
3 5
4
(2) 设过点M(0,1)与圆(x-2)2 + y2 = 相切的直线方程为:y-1=kx (3)
9
2 2k+1
则 = ,即32k2 +36k+5=0 (4)
3 1+k2
-9+ 41 -9- 41
解得k = ,k =
1 16 2 16
x2 32k
将(3)代入 + y2 =1得(16k2 +1)x2 +32kx=0,则异于零的解为x=-
16 16k2 +1
32k 32k
设F(x ,k x +1),E(x ,k x +1)，则x =- 1 ,x =- 2
1 1 1 2 2 2 1 16k2 +1 2 16k 2 +1
1 2
第11页 | 共12页k x -k x k +k 3
则直线FE的斜率为：k = 2 2 1 1 = 1 2 =
EF x -x 1-16k k 4
2 1 1 2
32k2 3 32k
于是直线FE的方程为:y+ 1 -1= (x+ 1 )
16k2 +1 4 16k2 +1
1 1
3 7
即y = x-
4 3
3 7
-
2 3 2
则圆心(2,0)到直线FE的距离d = =
9 3
1+
16
故结论成立.
第12页 | 共12页
