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2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
1 n 1 n
s2 = å(x - x)2,其中x = åx
x ,x , ,x n i n i
样本数据 1 2 L n的方差 i=1 i=1
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
z = 4+29i,z =6+9i i (z - z )i
1.若复数 1 2 ，其中 是虚数单位，则复数 1 2 的实部为______
a b 30o |a|= 2,|b|= 3 a b a b =
2.已知向量 和向量 的夹角为 ， ，则向量 和向量 的数量积 g _________
_ .
f (x) = x3 -15x2 -33x+6
3.函数 的单调减区间为_____
y
y = Asin(wx+j)(A,w,j 1
4.函数 为常数，
A>0,w>0) [-p,0]
在闭区间 上的图象如图所示，则 2p p O 1 x
-p - -
w= 3 3
_______ .
5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.
7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰
好相差0.3m的概率为________ .
6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下
表：
学生 1号 2号 3号 4号 5号
甲班 6 7 7 8 7
乙班 6 7 6 7 9
第1页 | 共12页s2 =
则以上两组数据的方差中较小的一个为 ________ .
开始
W =
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 ________ .
S ¬0
8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为
1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们
T ¬1
的体积比为________ .
xoy C: y = x3 -10x+3 S ¬ T2 - S
9.在平面直角坐标系 中，点P在曲线 上， T ¬T +2
且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐
标为________.
S ³10
N
Y
5 -1
a =
f (x) = ax m,n W ¬ S +T
2
10.已知 ，函数 ，若实数 满足
f (m) > f (n) m,n
，则 的大小关系为 _______
W
输出
.
A=x|log x£ 2 B =(-¥,a) AÍ B 结束
11.已知集合 2 ， ，若 则
a (c,+¥) c =
实数 的取值范围是 ，其中 ________ .
a b a b
12.设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条
a b a l a l a a
直线，则 平行于 ；（2）若 外一条直线 与 内的一条直线平行，则 和 平行；（3）设 和
b l a l a b l a
相交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 和 垂直；（4）直线 与 垂直的充分必要条件是
l a
与 内的两条直线垂直.
上面命题中，真命题的序号________（写出所有真命题的序号）.
xoy A,A ,B ,B
y
13．如图，在平面直角坐标系 中， 1 2 1 2为椭圆
T
x2 y2
B2
+ =1(a >b >0) M
a2 b2 F
的四个顶点， 为其右焦点，直线
AB B F OT M
1 2与直线 1 相交于点T，线段 与椭圆的交点 恰为线
A1 O A2 x
OT
段 的中点，则该椭圆的离心率为________.
a
q |q|>1
14．设 n 是公比为 的等比数列， ，令
第2页 | 共12页b = a +1(n =1,2, )
b -53,-23,19,37,82
6q =
n n L 若数列 n 有连续四项在集合 中，则
________
二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
15．（本小题满分14分）
a =(4cosa,sina),b =(sinb,4cosb),c =(cosb,-4sinb) a b-2c
设向量 （1）若 与 垂直，
tan(a+b) |b+c| tanatanb=16 a b
求 的值；（2）求 的最大值;（3）若 ，求证： ∥ .
16．（本小题满分14分）
ABC - ABC E,F AB,AC
如图，在直三棱柱 1 1 1中， 分别是 1 1 的中
BC AD ^ BC
D
点，点 在 1 1上， 1 1
EF
平面ABC 平面AFD ^平面BBCC
求证：(1) ∥ （2） 1 1 1
a
S n
17．（本小题满分14分） 设 n 是公差不为零的等差数列， n为其前 项和，满足
a2 +a2 = a2 +a2,S =7 a n S m
2 3 4 5 7 （1）求数列 n 的通项公式及前 项和 n；（2）试求所有的正整数
a a
m m+1
a
a
，使得 m+2 为数列 n 中的项.
18．（本小题满分16分）
xoy C :(x+3)2 +(y -1)2 = 4
在平面直角坐标系 中，已知圆 1 和圆
C :(x-4)2 +(y -5)2 = 4 l A(4,0) y
2 （1）若直线 过点 ，且被
.
C 2 3 l
圆 1截得的弦长为 ，求直线 的方程；（2）设P为平面上的
l和l
点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线 1 2，它们分别 .
1
C C l C l
与圆 1和圆 2相交，且直线 1被圆 1截得的弦长与直线 2被圆 O 1 x
C
2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.
第3页 | 共12页19.(本小题满分16分)
a m
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 元，如果他卖出该产品的单价为 元，则他的
m n
m+a n n+a
满意度为 ；如果他买进该产品的单价为 元，则他的满意度为 .如果一个人对两种交易(卖
h h hh
出或买进)的满意度分别为 1和 2，则他对这两种交易的综合满意度为 1 2 .
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和
m m h
20元，设产品A、B的单价分别为 A元和 B元，甲买进A与卖出B的综合满意度为 甲，乙卖出A与买进
h
B的综合满意度为 乙
3
m = m
h h m m A 5 B h h
求 甲和 乙关于 A、 B的表达式；当 时，求证： 甲= 乙；
3
m = m
A 5 B m m
设 ，当 A、 B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多
少？
h m m h ³ h h ³ h
记(2)中最大的综合满意度为 0，试问能否适当选取 A、 B的值，使得 甲 0和 乙 0同时成立
，但等号不同时成立？试说明理由。
3
m = m
h h m m A 5 B h h
求 甲和 乙关于 A、 B的表达式；当 时，求证： 甲= 乙；
3
m = m
A 5 B m m
设 ，当 A、 B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多
少？
h m m h ³ h h ³ h
记(2)中最大的综合满意度为 0，试问能否适当选取 A、 B的值，使得 甲 0和 乙 0同时成立
，但等号不同时成立？试说明理由。
a f (x) = 2x2 +(x-a)| x-a| f (0)³1 a
20．(本小题满分16分)设 为实数，函数 .若 ，求 的取值范
f (x) h(x) = f (x),xÎ(a,+¥)
围；求 的最小值；设函数 ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式
h(x)³1
的解集.
第4页 | 共12页数学Ⅱ（附加题）
n(n+1)(2n+1)
参考公式：12 +22 +32 + +n2 = .
L
6
21.[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答
，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A.选修4 - 1：几何证明选讲
如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.
求证：AB∥CD.
[解析] 本小题主要考查
四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力。满分10 分。
证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC≌△
BAD得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。
B. 选修4 - 2：矩阵与变换
é3 2ù
求矩阵A=
ê ú
的逆矩阵.
ë2 1û
[解析] 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分10分。
éx yù é3 2ùéx yù é1 0ù
解：设矩阵A的逆矩阵为
ê ú
,则
ê úê ú
=
ê ú
,
ëz wû ë2 1ûëz wû ë0 1û
é3x+2z 3y+2wù é1 0ù ì3x+2z =1,ì3y+2w=0,
即 ê ú = ê ú ,故í í
ë 2x+z 2y+w û ë0 1û î2x+z =0, î2y+w=1,
解得：x=-1,z =2,y =2,w=-3，
é-1 2 ù
从而A的逆矩阵为A-1 = ê ú.
ë 2 -3û
C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程
第5页 | 共12页ì 1
x= t -
ï
ï t
已知曲线C的参数方程为í ,（t为参数，t >0）.
1
ï
y =3(t+ )
ïî t
求曲线C的普通方程。
[解析] 本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。
1 1 y
解：因为x2 =t+ -2,所以x2 +2=t+ = ,
t t 3
故曲线C的普通方程为：3x2 - y+6=0.
D. 选修4 - 5：不等式选讲
设a≥b＞0,求证：3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
[解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。
证明：3a3+2b3 -(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2 -2b2)(a-b).
因为a≥b＞0,所以a-b≥0，3a2 -2b2＞0，从而(3a2 -2b2)(a-b)≥0，
即3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。
22.（本题满分10分）
在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦 点F
在x轴上。
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；
（3）设过点M(m,0)(m>0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D 和E
两点间的距离为 f(m)，求 f(m)关于m的表达式。
[解析] [必做
题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满分10分。
第6页 | 共12页23. （本题满分10分）
对于正整数n≥2，用T 表示关于x的一元二次方程x2 +2ax+b=0有实数根的有序数组(a,b)的组数，
n
其中a,bÎ1,2, ,n（a和b可以相等）；对于随机选取的a,bÎ1,2, ,n（a和b可以相等），记
L L
P 为关于x的一元二次方程x2 +2ax+b=0有实数根的概率。
n
（1）求T 和P ；
n2 n2
1
（2）求证：对任意正整数n≥2，有P >1- .
n
n
[解析] [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。
第7页 | 共12页参考答案
-20
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】3
3
a b = 2× 3× =3
g
2
【解析】
(-1,11)
3.【答案】
f¢(x) =3x2 -30x-33=3(x-11)(x+1) (x-11)(x+1)<0
【解析】 ，由 得单调减区间为
(-1,11)
。
4.【答案】3
3 2
T =p T = p
2 3 w=3
【解析】 ， ，所以 ，
5.【答案】0.2
【解析】略
2
5
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】22
【解析】略
第8页 | 共12页8.【答案】1：8
【解析】略
(-2,15)
9.【答案】
【解析】略
m< n
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】4
log x £ 2 0< x£ 4 A=(0,4] AÍ B a > 4 c =
【解析】由 2 得 ， ；由 知 ，所以 4。
12.【答案】（1）（2）
【解析】略
e= 2 7 -5 y
13.【答案】
T
【解析】用 a,b,c 表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转 B2
M
化解得离心率.
-9
14.【答案】
A1 O A2 x
【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得
解.
a b-2c
15.【解析】由 与 垂直，
a×(b-2c) =a×b-2a×c =0
，
4sin(a+b)-8cos(a+b) =0 tan(a+b) = 2
即 ， ；
b+c =(sinb+cosb,4cosb-4sinb)
|b+c|2=sin2b+2sinbcosb+cos2b+16cos2b-32cosbsinb+16sin2b
=17-30sinbcosb=17-15sin2b |b+c| 4 2
，最大值为32，所以 的最大值为 。
tanatanb=16 sinasinb=16cosacosb 4cosa×4cosb-sinasinb=0
由 得 ，即 ，
a b
所以 ∥ .
E,F AB,AC
16.【解析】证明：（1）因为 分别是 1 1 的中
A1 C1
EF // BC EF Ë面ABC
点，所以 ，又 ， D
BC Ì面ABC EF 平面ABC F B1
，所以 ∥ ；
ABC - ABC
（2）因为直三棱柱 1 1 1，所以 E
第9页 | 共12页
A C
BBB ^面ABC BB ^ AD AD ^ BC AD ^面BBCC AD Ì面AFD
1 1 1 1， 1 1 ，又 1 1 ，所以 1 1 1 ，又 1 1
平面AFD ^平面BBCC
，所以 1 1 1 。
d a2 -a2 = a2 -a2 -3d(a +a ) = d(a +a ) d ¹ 0
17.（1）设公差为 ，则 2 5 4 3 ，由性质得 4 3 4 3 ，因为
7´6
7a + d =7
a +a =0 2a +5d =0 S =7 1 2 a = -5
，所【解析】以 4 3 ，即 1 ，又由 7 得 ，解得 1
，
d = 2 a a = 2n-7 n S = n2 -6n
所以 n 的通项公式为 n ，前 项和 n 。
a a (2m-7)(2m-5) a a (t -4)(t -2) 8
m m+1 = m m+1 = =t + -6
a (2m-3) 2m-3=t a t t
（2） m+2 ，令 ， m+2 ，w
.w.w.k.s.5.u.c.o.m
8
t + -6=3
t t ±1 t =1 m = 2 t 2´5-7 =3
因为 是奇数，所以 可取的值为 ，当 ， 时， ， ，是数列
8
t + -6= -15
a a
t = -1 m =1 t -5
n 中的项； ， 时， ，数列 n 中的最小项是 ，不符合。
m = 2
所以满足条件的正整数 。
7
y = - (x-4)
y =0
24
18.【解析】(1) 或 ，
3 13
(- , )
2 2
(2)P在以C1C2的中垂线上，且与C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐标为 或
5 1
( ,- )
2 2
。
m m m m
h = A × B ,h = A × B ,
甲 m +12 m +5 乙 m +3 m +20 (m Î[3,12],m Î[5,20])
19.【解析】(1) A B A B A B
第10页 | 共12页3
m = m
A 5 B
当 时，
3 3
m m
5 B m m 2 5 B m m 2
h = × B = B , h = × B = B ,
甲 3 m +5 (m +20)(m +5) 乙 3 m +20 (m +5)(m +20)
m +12 B B B m +3 B B B
5 B 5 B
h =h
显然 甲 乙
m 2 1 1
h = B = = ,
3 甲 (m +20)(m +5) 20 5 1 1
m = m B B (1+ )(1+ ) 100( )2 +25 +1
A 5 B m m m m
(2)当 时， B B B B
1 1
1 1 1
m Î[5,20]得 Î[ , ] =
B m 20 5 m 20 m = 20,m =12
由 B ，故当 B 即 B A 时，甲乙两人同时取到最大的综
10
合满意度为 5
ìa<0
-a|a|³1Þí Þa£-1
f (0)³1 îa2 ³1
20.【解析】（1）若 ，则
ìf(a),a³0 ì2a2,a³0
ï ï
f(x) =í a =í2a2
min ï f( ),a<0 ï ,a<0
x³a f(x)=3x2 -2ax+a2, î 3 î 3
（2）当 时，
ìf(-a),a³0 ìï-2a2,a³0
f(x) =í =í
x£a f(x)= x2 +2ax-a2, min îf(a),a<0 ïî2a2,a<0
当 时，
ì-2a2,a³0
ï
f(x) =í2a2
min
ï ,a<0
î 3
综上
xÎ(a,+¥) h(x)³1 3x2 -2ax+a2 -1³0 D=4a2 -12(a2 -1)=12-8a2
(3) 时， 得 ，
6 6
a£- 或a³
当 2 2 时， D£0,xÎ(a,+¥) ；
ì a- 3-2a2 a+ 3-2a2
ï(x- )(x- )³0
6 6 í 3 3
- 0, 得 îx>a
第11页 | 共12页2 6
aÎ( , )
1） 2 2 时， xÎ(a,+¥)
2 2 a+ 3-2a2
aÎ[- , ] xÎ[ ,+¥)
2） 2 2 时， 3
6 2 a- 3-2a2 a+ 3-2a2
aÎ(- ,- ] xÎ(a, ] [ ,+¥)
U
3） 2 2 时， 3 3
第12页 | 共12页
