文档内容
2024 年邵阳市高三第一次联考试题卷
数学
本试卷共4页，22个小题.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形
码粘贴区”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上
要求作答无效.
4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1.已知集合 ，则集合 的元素个数为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
2.下列各式的运算结果不是纯虚数的是（ ）
A. B.
C. D.
3.命题“ ”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
4.若抛物线 上一点 到焦点的距离是 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
5.如图所示，四边形 是正方形， 分别 ， 的中点，若 ，则
的值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6.苗族四月八日“姑娘节”是流传于湖南省绥宁县的民俗活动，国家级非物质文化遗产之一.假设在即将举办
的“姑娘节”活动中，组委会原排定有8个“歌舞”节目，现计划增加2个“对唱”节目.若保持原来8个节
目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（ ）
A.56 B.90 C.110 D.132
7.已知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，则实数 的取值范
围为（ ）
A. B. C. D.
8.设 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.设点 为圆 上一点，已知点 ，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最大值为
B. 的最小值为8
C.存在点 使
D.过 点作圆 的切线，则切线长为
10.下列说法正确的有
学科网（北京）股份有限公司A.将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 ， 和 ，且
，则总体方差
B.在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 越接近于1
C.已知随机变量 ，若 ，则
D.已知一组数据为 ，则这组数据的第40百分位数为39
11.如图所示，已知正四棱柱 中， 为 的中点，则（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 为棱 上任一点，则三棱锥 的体积为定值
D.平面 截此四棱柱的外接球得到的截面面积为
12.已知函数 与其导函数 的定义域均为 ，且 和 都是奇函数，且 ，
则下列说法正确的有（ ）
A. 关于 对称 B. 关于 对称
C. 是周期函数 D.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
学科网（北京）股份有限公司13. 的展开式中 的系数为__________.
14.已知数列 的首项为 ，则 __________.
15.已知 ，则 __________.
16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点 ，它们的离心率分别为 ，点 为它们的一个交点，且
.当 取最小值时， 的值为__________.
四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17.（10分）现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为 ，第2台车床的正品率为 ，
将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的 .
（1）从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率；
（2）从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用 表示这10次抽取的零
件是次品的总件数，试估计 的数学期望 .
18.（12分）在 中，内角 满足 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的最大值.
19.（12分）如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为 和 为圆台的两条不同的母线.
分别为圆台的上､下底面圆的圆心，且 为等边三角形.
学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）截面 与下底面所成的夹角大小为 ，
求异面直线 与 所成角的余弦值.
20.（12分）设数列 满足： .等比数列 的首项 ，公比为2.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
21.（12分）已知陏圆 的短轴长为 ，右顶点到右焦点的距离为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）如图所示，设点 是椭圆 的右顶点.过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 ，且都在
轴的上方.在 轴上是否存在点 ，使 ，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明
理由.
22.（12分）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ，求证：当 时， 恰有两个零点.
学科网（北京）股份有限公司2024 年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准
数学
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D A D B C D
7.C 解析：由 ，得 ，
的单调增区间为 .
在 上递增， .
学科网（北京）股份有限公司由 ，得 的单调减区间为
.
综上， .
8.D 解析： ，设 ，
在 上单调递减.又 .又 ，
设 时， 在 单调递减.
.综上 .
二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 AD BCD BC ACD
11.BC 解析：A错.B. 平面 .又 平面
，B对. 平面 为定值， 对. .设外接球球心为 ，即为对
角线 中点. 到平面 距离为 到平面 距离的一半， 到平面 距离为 到平面
距离为 ，正四棱柱外接球半径为 截面圆半径 错.
12.ACD 解析：因为 为奇函数，所以 ，所以 ，即
，所以 的图象关于直线 对称.因为 为奇函数，所以函数 的
学科网（北京）股份有限公司图象关于点 对称，所以8是函数 的一个周期.因为 ，所以
，所以
.故选ACD.
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.25 14.9 15.1 16.
15.1 解析： ，所
以 ，即 ；故 或
，因为 ，所以 ，故
.
16. 解析：设椭圆方程为 ，双曲线方程为： .
不妨设点 为第一象限的交点，由题意知： 则
由余弦定理得： .
.
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时取等号， .
.
四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17.（10分）
解：（1）不难知，第1台加工零件的次品率为 ，第2台加工零件的次品率为 .
记事件 表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是次品”，
事件 表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是第 台车床加工的”， .
则 .
（2） 的可能取值为 ，且 服从二项分布.
由（1）知， .
.
18.（12分）
解：（1）由已知 .
.
.
（2） .
学科网（北京）股份有限公司又 ，
.
令 ，
.
当且仅当 取等号.
的最大值为 .
19.（12分）
（1）证明： 圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，所以圆台的母线也就是生成这个
圆台的圆锥相应母线的一部分.
母线 与母线 的延长线必交于一点，
四点共面.
圆面 圆面 ，且平面 圆面 ，平面 圆面 .
.
学科网（北京）股份有限公司（2）解： 为等边三角形，
，如图建立空间直角坐标系 ，
设 .
.
设平面 的一个法向量 .则有：
令 ，则 .
底面的一个法向量 ，
因为截面与下底面所成的夹角大小为 ，
所以 ，
，
，又 坐标为 .
，
.
异面直线 与 所成角的余弦是 .
20.（12分）
学科网（北京）股份有限公司解：（1） .
.
.即 .
当 时， ，满足上式.
.
（2）由（1）知： .
，
.
.
.
21.（12分）
解：（1）依题意得
解得 ，
学科网（北京）股份有限公司椭圆 的标准方程为 .
（2）存在点 ，使 ，点 的坐标为 .理由如下：
直线 过点 ，与椭圆 交于不同的两点 .且都在 轴上方.
直线 的斜率存在且不为0，设直线 的方程为 .
联立方程 消去 可得：
.
设 ，则 .
，
.
存在 点满足条件.
点坐标为 .
22.（12分）
（1）解： .
学科网（北京）股份有限公司当 时， 在 上单调递减.
当 时， 在 上单调递减， 上单调递增.
当 时， 在 上单调递增.
当 时， 在 上单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递减， 上单调递增.
当 时， 在 上单调递增.
当 时， 在 上单调递减.
（2）证明： 时， .
令 ，
则 .
令 .
i. 时， 恒成立，
在 上单调递增.
又 ，
存在一个零点 ，使 .
ii. ，
恒成立，
学科网（北京）股份有限公司在 上单调递减.
又 ，
.
存在零点 ，使 .
，
.
在 上单调递增， 上单调递减.
又 .
，
存在一个零点 ，使 .
iii. ，
恒成立.
在 单调递减.
恒成立.
在 没有零点.
iv. 时，
下面来证明当 时， .
学科网（北京）股份有限公司设 .
.
在 上单调递增，
，
恒成立.
综上所述， 在 只有两个零点.
又 是由 向右平移一个单位所得，
在 只有两个零点.
学科网（北京）股份有限公司
