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广东省肇庆市2026届高三上学期第一次模拟考试数学试题
一、单选题
1．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知方程 的两个复数根分别为 ， ，则 （ ）
A．0 B． C． D．3
3．已知点 ，向量 ， ，点P是线段AB靠近点A的三等分点，则点P的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
4．设 为正项等比数列 的前n项和，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．2
5．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知 ，若 成立，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ，且 ，则 （ ）A． B． C． D．
二、多选题
9．已知 是等差数列 的前n项和， ， ，则（ ）
A． B．
C．当 或 时， 取最大值 D． 的最小值为0
10．已知函数 ，其中 ，若 的最小正周期为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 的定义域为
C． 在 上单调递增
D．若 ，且 ，则a的最大值为
11．不动点理论是泛函分析与拓扑学中的重要理论，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数 ，存
在一个点 ，使得 ，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称 为该函数的一个不动点，依
据不动点理论，下列说法正确的是（ ）
A． 只有1个不动点
B．若 （ ）没有不动点，则 没有零点
C．若 （ ）没有不动点，则方程 无实根D． 有3个不动点
三、填空题
12．已知向量 ， ，且 ，则 .
13．已知曲线 在 处的切线也是曲线 的切线，则 .
14．在 中，三个内角 的对边分别为 ， 是钝角， ，则 的最大值是
.
四、解答题
15．已知函数 的两条相邻对称轴之间的距离为 .
(1)求 的值；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位长度后，在纵坐标不变的情况下，再将所有点的横坐标缩短为原
来的 ，得到函数 的图象，求 的函数解析式与对称中心.
16．已知a， ， ，
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)设 ，若 在 上有极值，求b的取值范围并证明此极值小于b．
17．已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边，且 .
(1)求A；
(2)设D为边AB上一点，且 ，若 ， 的周长为 ，求 的面积.
18．记 与 分别是数列 与 的前n项和，已知 ， ， ， ，.
(1)证明： 是等比数列并求 ；
(2)数列 是等差数列吗？若是，求出 的通项公式，若不是，说明理由；
(3)设 ，判断是否存在互不相等的正整数j，k，m，使得j，k，m成等差数列，并且 ， ， 成
等比数列.
19．已知函数 .
(1)当 ， 时，求证： ；
(2)当 时，
（ⅰ）求 在 上的所有极大值点之和；
（ⅱ）若 在 上有两个实根 ， ，比较 与 的大小关系.参考答案
1．A
【详解】因为集合 ，所以 或 ，
又 ,所以 .
故选：A
2．D
【详解】由 得 ，
可得方程 的两个复数根分别为 ， ，
所以 .
故选：D
3．B
【详解】由题意得 ，所以 ，即 ，
设 ，则 ，所以 .
故选：B
4．C
【详解】设等比数列 的公比为 ，∵ ，∴ .
由 得 ，∴ .
故选：C
5．C
【详解】∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ （ ），∴ .
故选：C.
6．A【详解】函数 的定义域为R， ，则函数 是奇函数，
而函数 在R上都单调递增，则函数 在R上单调递增，
不等式 ，则 ，解得 ，
所以x的取值范围是 .
故选：A
7．B
【详解】令 ，所以 ，令 有 ，
当 ，所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ，即 ，所以 ，即 ；
令 ，所以 ，当 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，所以 ，
所以 ，即 ；
综上所述， .
故选：B.
8．D
【详解】由 ，得 ，令 ，则 ，
即 ，于是 ， ， ，
所以 .
故选：D
9．BC
【详解】∵ ，所以 ，故A错误；∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
所以 ，故B正确；
由 ，所以当 或 时， 取最大值，即 ，故C正确；
由 ， 无最小值，故D错误；
故选：BC.
10．BCD
【详解】∵ ，∴ ，∴ ，故A错误；
∵ ，∴ ，
∴ 的定义域为 ，故B正确；
由 ，解得 ，
∴ 的单调增区间为 ， ，
时，单调增区间为 ，显然 ，故C正确；
由 得 ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ 时，a取最大值为 ，故D正确.
故选：BCD
11．AC【详解】对于A，令 ， ， ，当且仅当 时取“=”，
则 在 上单调递减，而 ，即 在 上只有一个零点，函数 只有一个不动点，A正确；
对于B， 没有不动点等价于 的图象与直线 没有交点，
没有零点等价于 的图象与 轴没有交点，
显然，当对称轴在 轴左边， 的图象与 没有交点时，不能推出与 轴没有交点，B错误；
对于C，依题意， 没有不动点等价于方程 无实数根 无实数根，
即 ，
当 时，二次函数 的图象开口向上，则 恒成立，
即 ，恒有 ，
而 ，因此有 恒成立，即方程 无实根，
当 时，二次函数 的图象开口向下，则 恒成立，
即 ，恒有 ，
而 ，因此有 恒成立，即方程 无实根，
所以函数 （ ）没有不动点，则方程 无实根，C正确；
对于D，由 ，得 ，
易知当 时， ， 单调递减，且 ，所以当 时， 的图象与直线
有且只有一个交点；
当 时， ， 单调递减，且 ；当 时， ， 单调递增.令 ，得 ，
解得 ，此时 ，所以直线 与曲线 相切于点 .
所以直线 与曲线 共有两个交点，所以 只有两个不动点，故D错误；
故选：AC．
12．
【详解】由题意知 ，
∴ ，即 ，
∴ ， ．
故答案为： ．
13．2
【详解】设 ，则 ，又 ，所以 ，
则切线方程为 ，
设 ，则 ，令 ，解得 ，
所以 .
故答案为：2
14．【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是钝角，∴ ，则 ，
又∵ 为三角形内角， ，∴ ，
因为 在 上单调递减，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
令 ， ，设 ，
所以当 时，函数 取最大值， .
15．(1)
(2) ，对称中心为 ， .
【详解】（1）由题意得，
∵两条相邻对称轴之间的距离为 ，
∴ ，∵ ，∴ ；
（2）函数 的图象向左平移 个单位长度后，
得 的图象，
再将横坐标缩短为原来的 可得 的图象，
令 ， ，解得 ， ，
∴ 的对称中心为 ， .
16．(1)答案见解析
(2) ，证明见解析
【详解】（1）由题意知 的定义域为 ，
当 时， ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时，由 ，解得 ；由 ，解得 .
即 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上所述，当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由题意得 ，所以 的定义域为 ，
在 上有极值等价于 在 上有变号零点.
令 ，即 在 上有变号零点.
当 时，显然 在 上恒成立，无变号零点，不满足题意；
当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
令 ，解得 ，此时 在 上有唯一零点 .
∵ 在 上单调递增，
∴当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，
故 在 上单调递减； 在 上单调递增，
故 是 的极小值点.
方法一：
由上分析， ，∵ ，∴ ，即极小值小于b.
方法二：
因 ，
由 ，可得 ，则 ，
令 ，显然 在 上单调递减，则 ，即 ，故 ，即极小值小于b．
17．(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理 得 ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ .
（2）由题意知 ， ，
由余弦定理得 ，
即 ，
联立得 ，代入 得 ，
所以
∴ ， ，
∴ .
18．(1)证明见解析，
(2)是，
(3)不存在【详解】（1）∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ 是首项为4，公比为2的等比数列.
∴ ，即 .
（2）方法一：∵ ，
∴ （ ），
两式相减得 ，
整理得 ，
∴ ，
两式相减得 ，即 ，
∴ 是等差数列，由于 ， ，∴公差 ，∴ 的通项公式为 .
方法二（数学归纳法）：
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，代入上式解得 ，
猜想 .
当 时， ，猜想成立，
假设 时，猜想成立，即 .下证 时，猜想成立，即证 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，解得 .
由数学归纳可得 是等差数列， .
（3）由（1）知， ，
∴当 时， ，经检验， 满足上式，
∴ （ ）， ，
假设存在这样的三个正整数，则 ， ，即 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， 解得 ，不满足题意，
∴假设不成立，不存在这样的正整数.
19．(1)证明见解析
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）
【详解】（1）当 ， 时， ，要证 ，即证： .设 ，则 ，∴ 在 上单调递减，
∵ ，∴ ，即 ，∴ 得证.
（2）（ⅰ）当 时， ，
.
当 时，由 得 或 ，
解得 ， ， ， ， 或 ，
当 ， ， ， 时， ，
∴ 在 ， ， ， 上单调递增；
当 ， ， 时， ，
∴ 在 ， ， 上单调递减.
∴当 时， 的极大值点为 ， ， ，所以极大值点的和为 .
（ⅱ） ，证明如下：
∵ 的定义域为 ，且 ，
∴ 为奇函数，由（ⅰ）知 是周期为 的周期函数，
∴易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 是 的极小值点.设 ，∴ ， ，∴ ，
要证 ，只需证 ，即证 ，
∴ ，∴只需证 .
令 ，
其中 ，
∴
，
∵ ，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ 在 上单调递增，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，所以得证.
