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2024 学年第二学期温州十校联合体期末联考
高二年级数学学科参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1. C 2. D 3.C 4.A 5.A 6.B 7.B 8.D
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目 要求，全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分．
9.BCD； 10.ABD； 11.AD；
三、填空题：本题 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
! !"#
12. 13. 10 14.
" ##
四、解答题：本题共 5 个小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. （本小题满分13分）
解：（1）𝑎 =0.02,𝑏 =0.01,𝑐 =0.005 .................................................................................. 3分
第25百分位数落在区间[120,140)内，设第25百分位数为 𝑥，由
(140−𝑥)×0.01=0.15 .......................................................................................................... 2分
得到 𝑥 =125． ........................................................................................................................ 1分
（2）设在门店内促销的利润为! 千元,!!""=#
设在门店内促销的利润为!千元
! -3 8
! ! !!!
写出𝑌的分布列3分
!!""=!# $$# ........................................................................................................................... 2分
!
由题意得!!"">!!#",!>""! #，即 !< .......................................................... 2分
""
!
注：结论为𝑝 ≤ 的也给满分
""
16.（本小题满分15分）
解：（1）由两角和差公式，
!!"#$"+!%&""=#+$ .............................................................................................. 1分
从而
!"#$!"#$"+"#$!%&""="#$#+"#$"="#$'!+"(+"#$"="#$!%&""+%&"!"#$"+"#$"
进而 !"#$!"#$"=%&"!"#$"+"#$" ........................................................................ 2分
因为!"#!!$，所以
! ("
!==## "#$%! &'#! (#$% $ ! %, .............................................................................. 2分
& )'
! (" ! " " !" " " !
即"#$ $ !#= % ．因为!2𝐵− A+ =
3 6 3 3
# "
可得sin>2𝐵− A= ， ............................................................................................................ 1分
! $
# # ""# # # # %# # #
因为− <2𝐵− < ，所以2𝐵− = 或2𝐵− = ，所以 𝐵 = 或𝐵 = ． ........ 2分
! ! ! ! ! ! ! ! $
方法二：
根据三角形面积公式，" 𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴= $√'， .............................................................................. 2分
$ '
(
可得𝑏𝑐 = ．
'
结合2$ =𝑏$+𝑐$−2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑏$+𝑐$−𝑏𝑐 ....................................................................... 2分
可得𝑏 = $√'，𝑐 = )√'或者𝑏 = )√'，𝑐 = $√'． ...................................................................... 2分
' ' ' '
当𝑏 = $√'，𝑐 = )√'时，𝑐𝑜𝑠𝐵 = *!+,!-.! = √'，所以 𝐵 = # ； .......................................... 1分
' ' $*, $ !
当𝑏 = )√'，𝑐 = $√'时，𝑐𝑜𝑠𝐵 = *!+,!-.! =0，所以 𝐵 = # ； ............................................ 1分
' ' $*, $
# #
因此𝐵 = 或𝐵 = ．
! $
17. （本小题满分15分）
解：(1) 此时 𝐴 ,𝐸,𝐶 三点共线，所以 𝐸𝐶 //𝐴𝐶，又因为 𝐴𝐶 ⊥𝐵𝐷，所以 𝐸𝐶 ⊥𝐵𝐷．2分
" " " "
因为 𝐶𝐶 ⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐵𝐷 ⊂面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以 𝐶𝐶 ⊥𝐵𝐷． ................................................ 2分
" "
因为 𝐶𝐶 ∩𝐸𝐶 =𝐶 ，𝐶𝐶 ⊂面𝐶𝐶 𝐸，𝐸𝐶 ⊂面𝐶𝐶 𝐸，所以𝐵𝐷 ⊥面𝐶𝐶 𝐸． ............... 1分
" " " " " " " "
又因为 𝐵𝐷 ⊂面𝐴 𝐵𝐷，所以面𝐴 𝐵𝐷 ⊥面𝐶𝐶 𝐸． .............................................................. 1分
" " "
(2)
传统方法：
由 𝐶𝐶 ⊥𝐵𝐷，𝐴 𝐶 ⊥𝐵𝐷，𝐶𝐶 ∩𝐴 𝐶 =𝐶 ，𝐴 𝐶 ⊂𝐴𝐴 𝐶 𝐶，𝐶𝐶 ⊂𝐴𝐴 𝐶 𝐶
" " " " " " " " " " " " " "
可知𝐵𝐷 ⊥𝐴𝐴 𝐶 𝐶．
" "从而𝐴 𝐵𝐷 ⊥𝐴𝐴 𝐶 𝐶．
" " " B" A"
又因为 𝐴 𝐵𝐷 ⊥𝐶𝐶 𝐸，
" "
D
所以 𝐸 在线段 𝐶 " 𝐴 " 上． ......................................................................... 3分 !" #"
过!做平面!"#A的垂线且交于!,则!在直线 !"上，连!"，!"
则!!"#即为直线!"与平面!"#A所成角 .............................................. 2分
!" ! A
!#$B"!&=" = ................................................................................. 2分 B
&! &! C
! #
!!"取最短时，!"#!$B&取最大，此时𝐵𝐸 = √!，𝑠𝑖𝑛∠𝐵𝐸𝐹 = √! ..... 2分
$ '
坐标法：
以 𝐷 为原点，𝐷𝐴,𝐷𝐶,𝐷𝐷 所在的直线分别为𝑥轴、𝑦轴、𝑧轴建立空间直角坐标系．
"
那么 𝐴(1,0,1)，𝐵(1,1,0)，𝐷(0,0,0)，𝐶(0,1,0)，𝐶 (0,1,1)，设 𝐸(𝑎,𝑏,1)． .................... 1分
"
由 𝐷RRRRR𝐵R⃗ =(1,1,0)，R𝐷RRRR𝐴RRR⃗ =(1,0,1)，
"
可得面 𝐴 𝐵𝐷的一个法向量为R𝑛RRR⃗=(1,−1,−1)， ................................................................ 2分
" "
由 𝐶RRRR𝐶RRR⃗=(0,0,1)，𝐶RRRRRR𝐸R⃗ =(𝑎,𝑏−1,0)，
" "
可得面 𝐶𝐶 𝐸 的一个法向量为 𝑛RRRR⃗=(1−𝑏,𝑎,0)． ............................................................ 2分
" $
于是由 R𝑛RRR⃗⋅𝑛RRRR⃗=1−𝑎−𝑏 =0可得𝑏 =1−𝑎． ................................................................. 1分
" $
所以 R𝐸RRR𝐵R⃗ =(1−𝑎,𝑎,−1)．面 𝐴𝐵𝐶𝐷 的一个法向量为𝑚RR⃗ =(0,0,1)． .............................. 1分
设直线 𝐸𝐵 与平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成角为θ，那么
/0222212⃗⋅5222⃗/ "
𝑠𝑖𝑛θ= = ....................................................................................................... 1分
/2022212⃗/|5222⃗| √$√*!-*+"
因此当𝑎 = " 时𝑠𝑖𝑛θ取到最大值√!． ....................................................................................... 1分
$ '
18. （本小题满分17分）
解：（1）此时 𝑐 =1．（2 分）因为 𝑎$ =𝑏$+𝑐$，（2 分）而 𝑎 =2，所以𝑏 =√3．（2 分）
! ! " !
（2）! !#" # $为椭圆在第一象限上的点，>! !">" !， " + " =#
!" ! ! ! $ #!
! !" !
由题意可得，!(!"")，!(!"#)，直线 #A"!= ! %+"，直线"#"!=! ! ($ #) 2分
% $ !#
! !
! !" " ! "! "
##$ ! "!%，"#!! ! $ ..................................................................................... 2分
'!& $ ( & "%# '
! !
" " " B& #" #' # # (!" +!!# !!)!
$# %#= %# = # "=&# A! % ! %#( ! B( =" " "
" # !!"# !A"# # # )B% ' *)#%& * ! (!!# )(!!" )
! ! " "
........................................................................................................................................ 4分
% !""" +##" +#!" +#!!" # #!!"" $!#
=" ! ! ! ! ! = ! ="! " & ......................................... 2分
" " # !!" !+"# "!
! ! ! !
!=! !!! "!
!椭圆!的标准方程为 + =" ............................................................................ 1分
# $
注：正确算出𝑆 =
7"8" ($8"-$.+.7" )
和𝑆 =𝑦 −𝑏+
.7"中的一个给2分，算出两个给3分．
" $(.-8")($-7") $ ; $
正确算出𝑆 −𝑆 再给1分．
" $
19. （本小题满分17分）
解：(1) 此时 𝑓(𝑥)=− " 𝑥+𝑙𝑛𝑥，从而𝑓<(𝑥)=− " + " = $-= .......................................... 2分
$ $ 7 $=
所以当 𝑥 ∈(0,2) 时 𝑓<(𝑥)>0，当 𝑥 ∈\2,+∞] 时 𝑓<(𝑥)<0 ...................................... 2分
因此 𝑓(𝑥) 的增区间是 (0,2)，𝑓(𝑥) 的减区间是 \2,+∞] ................................................ 2分
(2) #!!"+!!! "#!" "! $!!#得#!!"!!"!!""# ..................................................................... 2分
!
#!!"=!$!!" !#$! "则#""!#=!$!!" 在(!"+!)上单增. ........................................ 2分
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唯一>! !，!!"" #=!，得# ! !!"= ，! +"#! ="
! ! ! ! !
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当! ! 时，!!"">#，!!""单增
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#%!& =#%! &!=$! ! !"! '$"! " !又# ! !!"= ! +"#! ="
"#$ ! ! ! ! !
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"
得 −𝑥 −2𝑙𝑛𝑥 ≥0
; ;
7"
" "
因为 −𝑥 −2𝑙𝑛𝑥 关于 𝑥 递减，而且当 𝑥 =1 时 −𝑥 −2𝑙𝑛𝑥 =0
7" ; ; ; ; 7" ; ;
所以 !
#!"
!! "#恒成立
!
#!!" #!!""!!#$
$!!"= 得$""!$=
! !!
当!>!时，!!"">#，!!""单增
当!< !<"时，!!!""<#，!!""单减
"%#& ="%!&=$!!! ........................................................................................................ 2分
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因为!" "=! !
