文档内容
定价：8.55元Mathematics
普通高中课程标准实验教科书
数 学
第五册 ( 必修 )
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书书书统计和概率的有关问题和方法 在这一阶段的学习中
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我们将结合更多的实际问题情景 学习随机抽样 样
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本估计总体和线性回归的基本方法 体会用样本估计
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总体及其特征的思想 通过解决实际问题 较为系统
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地经历数据收集与处理的全过程 体会统计思维与确
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定性思维的差异 我们也将结合具体的实例 学习概
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率的某些基本性质和简单的概率模型 加深对随机现
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象的理解 我们还将动手动脑 通过有趣的实验 计
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算机或计算器的模拟 估计简单随机事件发生的概率
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用了计算机 可以更便捷地处理统计数据 模拟
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随机现象 以及执行形形色色的算法 希望大家尽可
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能地结合本册中的内容 学习信息技术有关的知识和
!
操作 在实际操作中 能够更切实地感受算法 统计
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和概率的思想
!
祝同学们在新的学期里学得好 玩得好
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3
书书书目 录
１１
第 章 算法初步
11.1 算法的概念 / ２
习题 １ / ４
11.2 算法结构与程序框图 / ５
11.2.1 顺序结构 / ７
11.2.2 条件结构 / １０
11.2.3 循环结构 / １４
阅读与思考 生活中的流程图 / １８
习题 ２ / １９
11.3 基本算法语句 / ２１
11.3.1 输入、输出语句和赋值语句 / ２１
11.3.2 条件语句 / ２４
11.3.3 循环语句 / ３０
习题 3 / ３６
11.4 算法案例 / ３８
习题 4 / ４７
阅读与思考 进位制 / ４９
小结与复习 / ５４
复习题十一 / ５６
１２
第 章 统计学初步
12.1 总体和个体 / ６０
12.1.1 总体、 个体和总体均值 / ６０
习题 1 / ６１
12.1.2 样本与样本均值 / ６２
习题 2 / ６４
12.1.3 方差和标准差 / ６４
1习题 3 / ６８
12.2 抽样调查方法 / 70
１２．２．１ 随机抽样 / ７1
习题 4 / ７３
阅读与思考 《文学摘要》的破产 / ７４
12.2.2 调查问卷的设计 / ７６
习题 5 / ７７
12.2.3 分层抽样和系统抽样 / ７８
习题 6 / ８１
12.3 用样本分布估计总体分布 / ８２
１２．３．１ 频率分布表 / ８２
习题 7 / ８５
12.3.2 频率分布直方图 / ８６
习题 8 / ８７
12.3.3 频率折线图 / ８８
习题 9 / ８９
12.3.4 数据茎叶图 / ８９
习题 10 / ９３
12.4 数据的相关性 / ９4
１２．４．１ 相关性 / ９５
习题 11 / ９７
１２．４．２ 回归直线 / ９７
习题 12 / １０2
数学实验 用计算机画回归直线和做统计计算 / １０５
小结与复习 / １０８
复习题十二 / １１１
2１３
第 章 概率
13.1 试验与事件 / １１６
１３．１．１ 事件 / １１６
习题 1 / １１８
１３．１．２ 事件的运算 / １１８
习题 2 / １２０
13.2 概率及其计算 / １２１
１３．２．１ 古典概率模型 / １２１
习题 3 / １２６
13.2.2 几何概率 / １２７
习题 4 / １２９
13.3 频率与概率 / １３０
习题 5 / １３４
数学文化 概率简史 /
１３５
数学实验 用计算机模拟随机试验 / １３８
小结与复习 / １４３
复习题十三 / １４４
［多知道一点］ 数据的茎叶图 / ９２
使用计算机或计算器做统计计
算 / １０２
使用计算机模拟随机试验 / １３７
附 录 数学词汇中英文对照表 / １４７
311
第 章
算法初步
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书书书第 １１ 章
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书书书
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书书书第 １１ 章
算法初步
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书书书第 １１ 章
算法初步
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书书书第 １１ 章
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书书书第 １１ 章
算法初步
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书书书第 １１ 章
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书书书
书书书第 １１ 章
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书书书第 １１ 章
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书书书
书书书第 １１ 章
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书书书
书书书第 １１ 章
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书书书第 １１ 章
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书书书第 １１ 章
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书书书
书书书
书书书第 １１ 章
算法初步
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15
书书书
书书书
书书书第 １１ 章
算法初步
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16
书书书
书书书第 １１ 章
算法初步
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书书书第 １１ 章
算法初步
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生活中的流程图
１１
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(cid:143)(cid:152)"(cid:145)*>(cid:153)(cid:154)&!|(cid:155)D"*(cid:156)’(cid:157)(cid:158)(cid:159)7#2(cid:160)4¡"¢£
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18
书书书第 １１ 章
算法初步
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t\@W-.#Y§u¤#(cid:148)(cid:149)#\-'(cid:153)(cid:154)#(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:159)#O(cid:137)vDm(cid:128)(cid:129)!
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书书书第 １１ 章
算法初步
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20
书书书第 １１ 章
算法初步
·················································
基本算法语句
１１． ３ 基本算法语句
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１１
前面我们学习了用自然语言和程序框图描述算法 但要使算法成
１１ !
为计算机解决问题的工具 还得借助计算机程序语言将算法编制成计
!
算机程序 尽管计算机程序语言种类很多 语法规则不尽相同 但都
! ! !
包含一些重要的基本语句 如输入语句 输出语句 赋值语句 条件
! " " "
语句和循环语句 下面我们将学习把算法转换成算法语言 或称伪代
! #
码 伪代码稍加改造 就可以很方便地转换成各种计算机程序语言了
$! ! !
１１
!１!１"．#３"．!１１输输入入、! 输输出出语语句句和和赋赋值值语语句句
在 节中 图 所示的算法就可以转换成下面的伪代码
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第四行是赋值语句 最后一行 是表示算法结束的语句
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"’()*#+,-.
别与程序框图中的输入 输出框相对应 通常表示输入的数据和输出
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的结果 6%!"$%789:
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输入语句的一般格式是 提示信息 变量 + , - 2 3 4 "%#
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其中 提示信息 一般是指提示用户输入什么样的内容 并非必
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需的部分 可以在语句中省略 输入语句在计算机中会等待用户人工
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21
书书书
书书书
书书书第 １１ 章
算法初步
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(cid:131)(cid:132)’(cid:142)(cid:143)(cid:144){!(cid:145)(cid:146)(cid:147)w(cid:148)(cid:149)(cid:150)!
(cid:131)(cid:132)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)"
34")9|}"swx!8yswx"%
35"(cid:129)(cid:131)~wx#$160!%"%
30")*#&
QRST(cid:153)T44 50(cid:155)3!
T44 50
22
书书书第 １１ 章
算法初步
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23
书书书
书书书
书书书
书书书第 １１ 章
算法初步
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书书书第 １１ 章
算法初步
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书书书第 １１ 章
算法初步
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28
书书书
书书书第 １１ 章
算法初步
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书书书第 １１ 章
算法初步
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书书书
书书书第 １１ 章
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书书书第 １１ 章
算法初步
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书书书第 １１ 章
算法初步
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书书书
书书书
书书书第 １１ 章
算法初步
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书书书
书书书第 １１ 章
算法初步
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书书书第 １１ 章
算法初步
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书书书第 １１ 章
算法初步
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37
书书书第 １１ 章
算法初步
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书书书
书书书第 １１ 章
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书书书
书书书第 １１ 章
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书书书第 １１ 章
算法初步
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书书书
书书书第 １１ 章
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书书书第 １１ 章
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书书书第 １１ 章
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书书书
书书书
书书书第 １１ 章
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书书书第 １１ 章
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书书书第 １１ 章
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书书书第 １１ 章
算法初步
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书书书第 １１ 章
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书书书第 １１ 章
算法初步
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书书书
书书书第 １１ 章
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书书书第 １１ 章
算法初步
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小结与复习
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书书书第 １１ 章
算法初步
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9y(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)#(cid:134)(cid:135)(cid:133)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:133)"i(cid:139)b(cid:140)9:JK(cid:141)(cid:142)$(cid:143)J
K(cid:144)(cid:145)(cid:146)JKL(cid:142)7(cid:147)(cid:148)$(cid:149)(cid:150)b(cid:140)(cid:151)(cid:152)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)N(cid:157)(cid:158)JK7(cid:159)
(cid:160)"JK¡Y¢7F$?@AB*CDE=!
$%F!G/0１HIJ56KLMCNO!GPQ>$R56-
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56
书书书第 １１ 章
算法初步
·················································
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57
书书书第 １１ 章
算法初步
·················································
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58
书书书12
第 章
统计学初步
数据纷繁沙一盘 管窥蠡测理当然
!! !
总体抽样图良策 均值方差求指南
!! !
辨明真假成功路 分清主次艳阳天
!! !
国运民生关统计 知风知浪好行船
!! !
高 斯
（Gauss）研究
测量误差时
发现了正态
分布曲线，这
是对统计学
的重要贡献.
现代生活是建立在数据之上的 没有数据 一切
! !
很难想象 统计学就是研究如何从数据中提取有用信
!
息的科学 内容包括如何收集 整理 描述和分析数
! " "
据 基于统计学的数据处理方法称为统计方法
! !
统计学初步仅仅帮助你了解统计学的一些基本语
言 知道一些统计学的基本概念 学习了统计学初步
! !
后你也许会觉得知道一些统计学的初步知识是有用的
!
我们认为统计学还可以激发你的智力 给你的生活带
!
来更多的乐趣
!
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
总体和个体
!１"２#．!１!总体和个体
!!
日常生活中我们总是自觉或不自觉地和总体与样本打交道 夏天
!! !
买西瓜时 先要看看这批西瓜甜不甜 如果瓜甜又不很贵 你可能买
! ! !
一个或两个
!
我们可以称这批西瓜是一个总体 单个的西瓜是个体 但是这样
! !
就不能强调我们关心的是西瓜的甜度 因为西瓜的好坏还有其他的指
!
标 例如个的大小 是否新上市的 等等
! ! ! !
在关心这批西瓜的甜度时 我们称单个西瓜的甜度是 个体
! " #!
称所有的西瓜的甜度为 总体 这样就把西瓜的甜不甜数量化了
" #! !
要了解一批西瓜的甜度情况 你不可能品尝每个西瓜 你只能买
! !
一两个尝一尝 然后通过这一两个西瓜的甜度判断这批西瓜的甜度
! !
这就是用少数个体推断总体 我们把买的西瓜的甜度称为 样本
! " #!
于是你已经可以用样本推断总体
!
!!
!１"#２．!#１．!１!总
总
体
体
!
、个
个
体
体
和
和
总
总
体
体
均
均
值
值
要调查全校期中考试的数学成绩时 称全校同学的期中数学成绩
!
总体 个体和均值 是总体 称单个同学的数学成绩是个体
!! ! ! !
是统计学的最基本概
要调查全校同学期中考试的语文成绩时 称全校同学的语文成绩
念 !
!
是总体 称单个同学的语文成绩是个体
! !
在统计学中 我们把所要调查对象的全体叫作总体
! $$%$&’()
把总体中的每个成员叫作个体
*+%,%! $+,-+.+-&(’%/
总体中个体的某一特征总可以用数量表示 为了叙述的简单和明
!
确 我们把个体看成数量 把总体看成数量的集合
! ! !
调查全校同学期中考试成绩时 指出数学或语文是为了明确总
!
体 不同的总体不能混为一谈
! !
60
书书书
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
总体中个体的数目有时是确定的 有时较难确定 调查全校同学 在判断一批西瓜甜
! ! !!
不甜时 你没有必要知
期中考试的数学成绩时 参加考试的人数是明确的 相应总体的个数 !
! ! 道一共有多少个西瓜
!
也就明确了 在调查全国人口的年龄分布时 总体是全国人口的年
! !
龄 是明确的 但是个体总数很难精确下来
! ! !
全校同学期中数学考试成绩的平均值是总体平均 全校同学期中
!
语文考试成绩的平均值也是总体平均 总体平均是总体的指标之一
! !
是我们所关心的指标
!
总体平均是总体的平均值 也称为总体均值
! "!"#$#!
在统计学中 常用 音 表示总体均值 当总体含有 个
! ! " !%&# ! "
个体 第 个个体是 时 总体均值
! # $ !
#
$&$&$&$
!% ’ ( "!
"
练 习
练习的结论表明
!! !
用 表示数据 的均值 用 表示常数 对于数据 每个数据增加相同的
’! ’!’!$!’ ! ) !
’ ( ( 量 数据的均值也增加
"
$’ %’ ’ &)!"$( %’ ( &)!"$!"$( %’ ( &) 相同的量
!
的均值 验证
$*! %
$*%’!&)!""
习题
" !
简述总体平均的含义
’! !
用 表示观测数据 的均值 用 表示常数 用 表示观测数据
(! ’! ’
’
!’
(
!$!’
(
! + ! $* 第 题的结论表
!! !
的均值时 证明 明 数据同时扩大
$’ %+’ ’ !$( %+’ ( !$!$( %+’ ( ! % ! !
倍 均值也扩大 倍
" ! "
$*%+’!!
61
书书书
书书书
书书书
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
对于数据
!!
"# "$ #% "$ #! "$ "& "!
’$ #% "# "" "’ #" "! "!
## #’ "( ") #" "" "# #’
用 分别表示第 第 第 行的平均值 用 表示全体 个数的
!) ! !& ! !! )! &! ! ! ! &*
平均值
!
计算 和
")#
!)
!
!&
!
!! !
$
是否有
"&# !"" !) #!& #!! #%!&
!! ) １ & ２ + ． ) １ + ． & ２!样 样 本 本 与 与 样 样 本 本 均 均 值 值
要了解一盘菜炒得好吃不好吃 你品尝一下就可以下结论了 没
! !
有必要等到把菜吃完再做结论 你品尝的菜就是样本 你的品尝就是
! !
把样本进行平均 然后你用样本的平均推断总体的平均
! !
考察 中学高一年级 个同学某时间的平均身高 要得到这
$ #$$ !!
个同学的平均身高不是一件很困难的事情 只要了解了每个同学
#$$ !
的身高就可以利用公式
这 个同学身高之和
#$$
!"
#$$
计算得到
!
同一天对每个同学进行一次身高测量可以得到均值 的准确值
!
!
但是要花费老师和同学们较多的时间和精力 统计上解决这类问题的
!
最好方法是进行抽样调查 例如在 个同学中只具体测量 个同
! #$$ #$
学的身高 用这 个同学的平均身高作为总体平均身高 的近似
! #$ ! !
这时我们称这 个同学的身高为总体的一个样本 称 为样本量
#$ ! #$ !
从总体中抽取一部分个体 称这些个体为样本
! ",-./01#!
样本也叫作观测数据
"23,145166-7-#!
称构成样本的个体数目为样本容量 简称为样本量
! ",-./01
,891#!
称从总体抽取样本的工作为抽样
",-./08:;#!
62
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
按照上面的定义 总体也是一个样本 称为全样本 但是样本一
! ! !
般不是总体
!
在考虑身高问题时 对于前述被选中的 个同学 用
! !" ! "!"!
# $
分别表示第 第 第 个同学在调查日的身高 则
"!" #! $!"! !" !
!"
这 个同学的身高
!"
"!"!"!"
# $ !"
是样本 用 表示样本量 则
! # ! #$!"!
样本均值是样本的平均值 用 表示
! "! !
总体均值是总体的指标 是一个固定的量 但是样本均值依赖于
!!!"#$%!! !
! ! !" !"!!" !&’!"(
样本的选择 从不同的样本会计算出不同的样本均值 所以我们说样
)#$*+#
! !
本均值带有随机性
!
和总体均值 做比较后知道 只要抽样合理 对于较大的样本量
! !
!
样本均值 会接近 于是 是总体均值 的近似 所以称为
#! "! !! !"! ! ! !
的估计
#%&’()*’+,$!
问题 在考察 中学高一年级 个同学的平均身高时 决定
" % !"" !
调查 个同学 用这 个同学的平均身高作为全年级平均身高的估
!" ! !"
计 有 名女同学主动承担了这次调查任务 她们每人负责选择了
! ! !
个同学 在 月的第一周测量出了所选择的 个同学的身高如下
#" ! - !"
单位
# %.)$%
#!/ #// #/! #!0 #/" #/1 #/$ #!2 #!2 #/1
#!! #/! #/! #0$ #/! #!2 #/1 #!! #/# #/#
#/$ #/" #/2 #!" #/1 #/0 #// #/! #/$ #//
#/! #/" #!- #/" #!3 #/" #/$ #/3 #0" #!-
#/! #// #/0 #!/ #/3 #/3 #!! #!0 #/2 #/#
其中 分别是第 第
"$#!/!"$#//!"$#/!!"!" $#/# #! $!
# $ 3 !"
第 个被选中的同学的身高 样本量
"! !" ! #$!"!
对上述 个测量数据进行平均后得到
!"
"&"&"&"
"!$ # $ #$#/#42/ #.)$!
#
于是 对全年级平均身高 的估计是
! ! #/#42/.)!
上述 调 查 结 果 公 布 后 引 起 了 同 学 们 的 议 论 普 遍 认 为
! !
63
书书书
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
偏小了 问题出在哪里呢 我们在学习抽样调查方法时再
!"!#$"%& ! !
解答这个问题
!
练 习
用 表示观测数据 的均值 用 表示常数 用 表示观测
"! "
!
""
’
"#""
#
" $"% ! ’&
数据 的均值时 证明
’! ($" ! )%"’’ ($" ’ )%"#"’# ($" # )% " ’&($"!)%!
习题
" !
简述样本均值和总体均值的关系
!! !
当样本 中有 个 个 个 时 验证
’! " ! "" ’ "#"" # # ! ’! "# ’ ’’ "#"# * ’* " $
"!(
# !’! )# ’’’ )#)# *’*!
#
将某调查公司得到的 个数据从小到大排列后得到如下数据
(! ’) $
"$) "$) "$) "$) "$* "$* "$* "$* "$* "+)
"+) "+) "+) "+) "+) "+" "+" "+" ,)) ,))
计算样本均值
"!!
将一个总体中的 个个体平均分成 份 每份 个个体 先计算每份的均值
-! *# # " * ! "
得到 个均值 这 个均值的平均值是否等于总体均值 证明你的结论
# ! # ! !
""
!１’２#．!１#．(３"方方差差和和标标准准差差
拔河比赛是一项有益于身体健康和增进团结的体育活动 某居民
"
区的 号楼和 号楼决定进行拔河比赛 号楼组成 号队 号楼组
’ " !’ ’ ""
64
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
成 号队 每队 人 参加比赛时 号队的年龄 单位 岁 组成是
! ! "# ! !$ " # $
%!%!&!&!&!"’!"’!"’!
"’!"$!#(!!"!!$!!#!!#!
号队的年龄 单位 岁 组成是
! " # $
$!!$!!$!!$!!$!!$(!$(!$(!
$(!$(!$%!$%!$%!$%!$%!
这两个队的平均年龄都是 岁 但是各队一出场 大家就基本能够
$( ! !
判断出比赛的结果了 号队的年龄相差悬殊 是老爷爷带小朋友
!$ ! %
号队的年龄整齐 都是中青年 看来只靠平均年龄无法判定拔河队
! ! !
的实力 还需要有一个能衡量年龄的整齐程度的量 这个量就是要学
! !
习的方差
!
总体方差
!! !
当 是总体的全部个体 是总体均值时 称
" " !" $ !&!" # ! ! ! 音 读
!!! !"#$%!!&
作 方
"$$
""
"
%! $$&""
$
%! $$&&&""
#
%! $$ !"#$% ’
#
可以计算 号拔河
是总体的平均平方误差 简称为总体方差或方差
!! !
! ")*+,*-./$! 队年龄的方差是
!!"
总体方差 描述了总体中的个体向总体均值 的集中程度 方差 !
"$ ! # "#"$%
号拔河队年龄的
越小 表示个体与 的距离越近 个体向 集中得越好 "
! ! ! ! ! 方差是 相差
!!"&$’!
总体方差 也描述了总体中个体的整齐程度或波动幅度 方差越 太悬殊了"
"$ ! !
小 表示个体越整齐 波动越小
! ! !
例 同一年级的甲班有 个同学 乙班有 个同学 期中考
!! 0# ! 0( !
试后 数学的平均成绩分别是 分和 分 方差分别是 和
! (&12 %$1( ! !%1!
如何就这次考试的结果评价这两个班的数学课的学习情况
"2%1%! ’
解 从平均分上看 乙班的数学平均成绩好于甲班 但是从成绩的
! ! !
整齐程度方面看 甲班好于乙班 甲班的分数比乙班的分数更集中
! ! !
下面是这两个班数学考试成绩从低到高的排列结果
#
甲班成绩
!’ !# !# !! (’ (" (" ($ ($ (# (! (%
(& (& %’ %’ %" %" %" %$ %$ %0 %0 %0
%2 %2 %# %# %# %# %! %( &" &# &%
65
书书书
书书书
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
乙班成绩
!" !# #$ #% #% #% #& %’ %$ %$ %% %% ()
(" (’ (’ (’ (’ (! (! (# (% (( (( (( ((
(& &) &) &" &% &( && && *))*))*))
从中看出 甲班没有同学不及格 也没有同学得满分 乙班有同学得
! ! "
满分 但是也有同学不及格 甲班的数学成绩更整齐
! ! !
样本方差
!! !
!!!"#$%&’! 给定 个观测数据 用 表示这 个数据的均
" # !#!#!#! #! "
* " "
()*+,-./0
值 称
12!! !
*
$"% $%#&#!&"’%#&#!&"’#’%#&#!&"’
" * " "
为这 个数据的样本方差 也简称为方差
" ! !
样本方差 是描述观测数据关于样本均值 发散程度的指标 也
$" #! !
是描述数据的发散程度或波动幅度的指标
!
样本方差依赖于样本的选取 也带有随机性 样本方差是总体方
! !
差的估计
!
例 一箱内有 个苹果 净重 则苹果的平均质量是
!" !) ! *)+,!
*))))
%")) %,&!
!)
要了解这箱苹果的整齐程度 就需要估计这箱苹果质量的方差
! !"!
解 从中抽出 个 测得这 个苹果的质量 单位 是
" *) ! *) % (,&
")*!"*(!*(%!*&"!*&’!*&(!")"!*&$!*%#!"&*!
样本均值是
")*-"*(-#-"&*
#!% %")!." %,&!
*)
样本方差是
*
$"% $%")*/")!."&"’%"*(/")!."&"’#’%"&*/")!."&"’
*)
%&"’.%# %,"&!
我们可以用样本方差 作为总体方差 的估计
$"%&"’.%# %,"& !" !
66
书书书
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
方差也可以通过下列公式来计算
!! !
"
"!# !%!&%!&"&%!#’%"!!
$ " ! $
将方差定义中的每个 展开 再利用
!%’%"#! $
(
%&%&"&%#$%"$
" ! $
得到
"
!!"!# %!%’%"#!&!%’%"#!&"&!%’%"#!&
$ " ! $
"
# %!%!&%!&"&%!#’!!%&%&"&%#%"&$%"!&
$ " ! $ " ! $
"
# %!%!&%!&"&%!#’!$%"%"&$%"!&
$ " ! $
"
# %!%!&%!&"&%!#’$%"!&
$ " ! $
"
# !%!&%!&"&%!#’%"!!
$ " ! $
标准差
!! !
在例 中 数据的单位是 样本方差 的单位是 和数据的
! $ #$ "! #!$
单位不一致 为了使描述数据的波动幅度的量和数据的单位一致 我
! $
们再引入标准差
!
标准差 是方差的算术平方根
!$%&’(&)((*+,&%,-’# ’
如果 是样本方差 就称 槡 是样本标准差
"! $ "# "! ’
如果 是总体方差 就称 槡 是总体标准差
!! $ !# !! !
在例 中 个苹果质量的标准差是 槡
! $". "# /!0123#0.10/ !##!
其单位和数据的单位一致
!
当数据带有单位时 标准差的单位是和数据的单位一致的 标准
$ !
差也是描述数据发散程度或波动幅度的指标 样本标准差是总体标准
!
差的估计
!
给定数据 和均值 由方差计算公式知道 标准
%$%$"$% %"! $
" ! $
差 可以由下面的公式之一计算
" !
槡
"
!!!!!!"# %!%’%"#!&!%’%"#!&"&!%’%"#!&$
$ " ! $
67
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
槡
!
!!!!!" !$"%$"%"%$"#&$""’
# ! " #
例 比赛中 甲乙两位射击运动员分别进行了 次射击 成
!! $ !# $
绩 单位 环 分别如下
! % # %
甲
%$%&!$%$!$%$!$%$!$%’!$%(!$%&!$%)!$%*!$%*
乙
%$%+!$%)!$%&!$%#!$%!!$%’!$%(!$%&!$%)!$%+
问 哪个运动员平均水平高 哪个运动员水平更稳定
% & &
解 用 和 分别表示甲和乙成绩的均值和标准差 经
! $"$! )($! ’
$ )
过计算得到
$""$%*($!!"#%!$&"$!)("$%+$!!"#%")"+’
$ )
因此 甲的平均水平和稳定性都比乙好
$ ’
练 习
!!!"#$%&’!
()*+,-./0, 用 表示 的方差 用 表示常数 用 表示 的
! $ " $ ! $$ " $"$$ # $ * $ ! ) " )! $)" $"$)#
#1*234567
方差 当 时 验证
8"9:;78! ’ )! "$ ! %*$)" "$ " %*$"$)# "$ # %* $ ! ) ""! $ "’
习题
! !
下面的数据是 年奥林匹克男子跳高比赛金牌获得者的跳跃高度
!’ !$##’!$)*
单位 计算均值 方差和标准差 精确到小数点后两位
! %,-#’ ( ! #’
年 份 高 度 年 份 高 度
! ! ! !
!$## !$#%# !$#+ !$#%)
!$#’ !$#%& !$!" !$)%#
!$"# !$)%& !$"+ !$’%!
!$"’ !$+%! !$)" !$(%!
!$)* "#"%$
68
书书书
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
某连锁超市销售部收到甲乙两厂家送来的质地相同的白糖各 包 测量后得
!! "# !
到甲乙两厂家白糖的质量 单位 分别是
" #$$ #
甲厂
%#" %## &’’ %## %#! %## %## %#" &’’ &’(
乙厂
&’) %#" %## %#! &’’ %#" %#* %## %## &’)
销售部应当销售哪家的白糖
%
某公司希望能为飞机制造公司提供零部件 在向飞机制造公司推荐自己的生产
*! !
能力时 应当重点明确以下哪些内容
! "!!$
所生产部件的平均规格符合标准
"+$
所生产部件的规格的方差不小于某个数
",$
所生产部件的规格的方差不大于某个数
"-$
能够按时供货
".$
对一本书进行校稿前 抽查了其中的 页 将排版时输入错误的情况总结如下
&! ! !" ! #
输入错误数
" ) & # "" / !
出现总页数
* / * ! ! " &
计算每页的平均输入错误数
""$ &
计算样本方差 精确到
"!$ " #0#"$&
计算样本标准差 精确到
"*$ " #0#"$!
当观测数据 的样本方差 时 证明所有的 相同
%! "!"!’!" $!%# ! " !
" ! # &
当数据 同时增加到原来的 倍时 证明方差增加到原来的 倍
/! "!"!’!" ’ ! ’! !
" ! #
当数据 同时增加到原来的 倍时 证明标准差增加到原来的 倍
)! "!"!’!" ’ ! "’" !
" ! #
69
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
!! 抽样调查方法
!!
１!２"．#２"! 抽样调查方法
在日常生活中人们总是自觉或不自觉地应用抽样方法 例如在市
!! !
场上买花生或瓜子时总要先抓几颗看看是否饱满 干燥 在厨房做饭
! !
的过程中经常要取一点尝尝咸淡
!
在考察锅里汤的味道时 没有必要把汤喝完 只要把汤搅拌均
! !
匀 从中品尝一勺就可以了 注意无论这锅汤有多少 只要一勺就够
! ! !
了 这就是窥一斑而知全豹
! !
记住上面的例子是大有好处的 因为它提供了抽样调查方法的最
!
!!!"#$%&’( 重要信息
)%*+,-!./0 !
第一 把汤搅拌均匀 是说明抽样的随机性 没有抽样的随机
) * 1 2 3 % 4 5
!" # !
67! 性 样本就不能很好地反映总体的情况
! !
第二 品尝一勺 指出了选取的样本量不能太少 也不必太大
!" # ! !
太少了不足以品出味道 品尝一大碗也没有必要
!!!"#$%&’( ! !
第三 无论这锅汤有多少 只要一勺就够了 这里体现出抽样
)$*+,!-./% !" ! #!
0123456,78 调查的如下基本性质 总体个数增大时 样本量不必跟着增大
!9":;<=>!? $ ! !
抽样调查的必要性
@A":,BCDEF
12,BC! 在评价 台同型号的微波炉的平均工作寿命 时 预备从中
!$$$ ! !
抽取 台进行工作寿命的测量试验 用这 台微波炉的平均工作寿命
" ! "
估计总体的平均工作寿命
!!
这里 总体是 台微波炉的工作寿命 样本量是 被选中
! !$$$ ! "!
的微波炉的工作寿命构成样本 样本平均 是总体均值 的估计
! #" ! !
在正确抽样的前提下 样本量越大 越接近总体均值 但
!!!"#$%&’! ! !#" !!
()*+,-./01 是 较大的样本量造成的损失很大 因为这 台微波炉做完寿命试验
! ! "
2%3456!
后就报废了 在本问题中要想得到真正的总体均值 是不可能的 除非
! ! !
把这 台微波炉都拿来做工作寿命试验 报废掉这 台微波炉
!$$$ ! !$$$ !
在很多实际问题中 采用抽样的方法来确定总体性质不仅是必要
!
!!!"#$%&’!
的 也是必须的
! !
70
书书书
书书书
书书书
书书书
书书书
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
!! !
１
"
２
#
．
"
２
#
．
!
１
!
随随机机抽抽样样
在 节的问题中 通过选取和测量 个同学的身高 得到
!"#!#" ! $% !
了总体平均身高 的估计 结果公布后 同学们普
! !""!&!#’& "()## !
遍反映估计值偏低 其原因是什么呢
# $
!!!"#$%&’(
原因在于女同学在选择调查对象时更倾向于 或更方便选择到女
! )*+,-./0$1
同学 所以 个同学的样本中女生身高占了绝大多数 这样就解释
23!
! $% #
了估计值偏低的原因
#
如何设计抽样方案才能得到满意的估计值呢
$
在对总体的情况不清楚的时候 最好的抽样方案应当将总体中的
! !!!"#!$%&’
个体一视同仁 每个个体被抽中的机会相同 ()*+,!-./0
" #
123456789
如果总体中的每个个体都有相同的机会被抽中 就称这样的抽样
! "!
方法为随机抽样方法
#
人们经常用 任取 随机抽取 或 等可能抽取 等来表示随
% &!% & % &
机抽样
#
例 口袋中有质地相同的小球 个 分 种颜色 从中无放回
! !% ! * #
地随机抽取 个 共抽取 个 这种抽样的方法被称为无放
! ! $"#!%# !
回地随机抽样 从袋中每次随机抽取一球记录颜色后放回 共抽取
# ! $
次 这样的抽样方法被称为有放回地随机抽样 这两种随机抽样有什
! #
么区别吗
$
解 无放回随机抽样下 同一个小球不会被抽中两次 而有放回
! ! #
地随机抽样下 同一个小球可能被抽中多次 当样本量 采用
! # $"!%!
无放回随机抽样就可以完全了解袋中小球的颜色分布情况 采用有放
!
回地随机抽样还不能对袋中小球的颜色分布作出准确判断
#
随机抽样又分为无放回地随机抽样和有放回地随机抽样 无放回
#
地随机抽样指在总体中抽出一个个体后 下次在余下的个体中再进行
!
随机抽样 有放回地随机抽样指抽出一个个体 记录下抽到的结果后
# !
放回 摇匀后再进行下一次随机抽样
! #
一般地 设一个总体含有 个个体 从中逐个不放回地抽取
! % ! $
71
书书书
书书书
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
个个体为样本 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的
!!!"" #
机会都相等 则把这样的抽样方法称为简单随机抽样
# #
简单随机样本指简单随机抽样得到的样本
#
在没有特殊声明时 所有的随机抽样都是指简单随机抽样
# #
试验和理论都证明 在随机抽样下 样本均值 是总体均值 很
$ # $" !
好的估计 样本标准差 是总体标准差 很好的估计 在样本量不大
!!!"#$%&’( # % " #
"#$)*+,!-. 时 增加样本量可以比较好地提高估计的精确度
# #
/01)23$456
在 节的问题中 实现简单随机抽样的方法是先将 个
789$/01)23 !"#!#" # $%%
$45:;!<=>% 同学从 到 进行编号 然后将 张由 到 编号的小纸片放
! $%% # $%% ! $%%
&$?+@A!)*+
入一个大纸箱充分地摇匀 最后从纸箱中无放回地抽取 张纸片
"B%&$?+C@D # $% #
E!FGH1)IJ2 纸片上的号码就是被选中的同学的号码 纸片上的这 个数被称为
# $%
3$45="K$!
随机数
!&’()*+(,+-.&"#
随机数可以利用计算机产生 下面是用计算机在 至 中随机
# ! $%%
抽取的 个随机数
$% #
个随机数
$%
!!!"#!$%&’
/01 !!1 2%/ "/2 //1 23" ""4 !0 /!! ""2
!"()*+,-.%
/&!"(01234 2%3 241 /1! 20% 34 "%2 /13 /$4 "%1 //0
50"63789:0 "4 !00 /%0 $ 4$ 0% !%" !%4 2%" !20
;?@ !! ! !
AB-+,CD#E 据 在统计学中都被称为观测数据或样本 观测数据也简称为数据
! ! !
F"B-GHIJ!
数据的个数被称为样本量
!
!!!"#$%&’(
在实际问题中 样本量往往是比较大的 这时数据中的主要信息
)*+,-./012 ! !
/345!./678 隐藏在背后 要从数据中得到这些信息 必须对观测数据进行整理
! ! !
’9:;%&
下面是几种常用的数据整理方法
6’?@9:ABCD
!
EF./G!./HI
+JKL!+M.N+
O/PQRSSTUV
W’/X!
!! !
１
"
２
#
．
$
３
#
．
!
１
!
频频率率分分布布表表
当样本量是 的观测数据中有 个 时 我们称
" " $ !
# #
"
%& #
# "
是 出现的频率 简称为 的频率 例如数据
$ "%&’()’*+,#! $ !
# #
"!"!"!"!$!$!$!-!-!-
中 的频率是 的频率是 的频率是
!" .$!/0/#.!$ $$!/0/#$!- $$!/
频率也可以用百分数表示 在上面的例子中 的频率是
0/#$! ! !"
的频率是 的频率是
./1!$ $/1!- $/1!
案例 自 年至 年的 年间 比较重要的战争 简
! !-// !2$! "&.$" ! "
称为战争 在全世界共发生了 次 以每年为一个时间段的记录如下
# "22 ! %
表
!!!!!! !"#!
爆发的战争数 爆发 次战争的年数 频率
# # " %&"$"
# # #
/ ""$ -!#31
! !." $"#21
" .4 !!#!1
$ !- $#-1
.5 . /#21
总 计
! .$" !//1
82
书书书
书书书
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
其中第一行的 表示在 年中有 年发生战争的次
!!""#!$%&’( )#" ""#
数是 发生的频率是
!!
""#
!" !$%&’("
% )#"
第二行的 表示在 年中有 年发生战争的次
%!%)"!#"&*( )#" %)"
数是 发生的频率是
%!
%)"
!" !#"&*("
" )#"
##
第五行表示在 年中有 年发生战争的次数是大于等于 次
)#" ) )
的 发生的频率是
!
)
!" !!&*(#
$ )#"
我们称表 是观测数据的频率分布表
%"&% $+,-./-0123456,47/6480
它简化了 年中有关战争爆发的 个观测数据 帮助我
697:-%# )#" )#" !
们更清楚地看到战争爆发的特征和规律
#
制作频率分布表时 先将数据从小到大排列 然后将排列后的数
! !
据进行分段 相等的数据分在同一段内 每段中的数据被称为一组数
! #
据 所以我们又把分段称为分组 一般来讲 当样本量是 可以参
! # ! $!
照下面的经验公式将数据分成大约
%"%;):<$
段 但是这里的经验公式只对分段起参考作用 实际应用时 应当根
# # !
据样本量的大小和数据的特点以及分析的要求灵活确定
#
让我们通过例子学习频率表的制作方法
#
例 下面是某城市公共图书馆在一年中通过随机抽样调查得到的
"
天的读者借书数 数据已经从小到大排列 请制作频率分布表
’! ! ! #
"%#""#!""#*""=*""*%"#!%"#!="#%!"#%%"#%"
#%="#%="##>"#)#"#))"#)="#)*"#$%"#’!"#’"
#’="#>""#>)"#>*"#=#"#=$"#*!"#*#"#*’"#**
)!!")!)")!’")"$")"*")#!")#’")#="))!"))%
)))"))’")$!")$#")$’")$=")>%")>#")>$")=#
83
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
!"!!!#$!!#"!!#"!$%&!$%!!$!#!$$’!$’"!$"!
解 数据中的最小值是 最大值是 这 个数据就散布
! %&(! $"!! ’)
在闭区间 中 取一个略大的区间 它的端
"%&(!$"!# ! "%))!’))#!
点都是整数 用经验公式计算出
!
"#&*!+,$#&*!+,’)""!
将 八等分 排在表的第一列 计算出数据落入各段的个
"%))!’))# ! !
数 填入第二列 计算出数据落入各段的频率
$! !
%
( % (
&# #$-!&# "(.(-!$!&# #$-!
& ’) % ’) " ’)
依次填入第三列 最后将各列之和填入最后一行 得到频率分布表
! !
&%.%!
表
!!!! !"#"
借出书数 发生次数 发生频率
% $ &#
% %
"%))!%$)# ( $-
!!!"#$%&’(
%%$)!())# % (.(-
)*+,-#$./!
%&01234!5 %())!($)# &% %)-
67! %($)!!))# &! %(.(-
%!))!!$)# &% %)-
%!$)!$))# && &".(-
%$))!$$)# ( $-
%$$)!’))# ( $-
总 计
!! ’) ##.#-
从上述频率分布表可以方便地分析出以下结果
!! &
有 的工作日借出的图书少于等于 册
".(- ()) ’
有 的工作日借出图书的数量在 至 册之间
’(.(- ()& !$) ’
有 的工作日借出的图书在 册以上
!".(- !)) ’
只有 的工作日借出的图书多于 册
&)- $)) !
当总体是全年每个工作日的借书数量时 上述结果可以作为对总
!
体的推测
!
从上例可以总结出制作频率分布表的一般步骤如下
&
第一步 将数据从小到大排列 将排列后的数据进行分段 相等
! ! !
的数据必须分在同一段内 每段中的数据被称为一组数据 所以我们
! !
84
书书书
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
又把分段称为分组
!
分段的多少应当适中 分段过多 数据过于分散 不利于看出数
! ! !
据的特征和规律 分段过少也不利于看到数据的特征和规律 当样本
" ! 槡
!!!"#$!" #
量是 可以参照经验公式将数据分成大约 段
"! #$!"#$%" ! %&’()$
第二步 决定各段的长短 在许多情况下 为了方便 除去第一
! ! ! !
和最后的两段 可以把其他各段的长度取作相同 还应当把各段的端
! !
点确定在便于记忆的数值上 为了达到以上目的 第一段的左端点可
! !
以比数据的最小值小一些 最后一段的右端点可以比数据的最大值大
!
一些
!
第三步 绘制频率分布表的第一列 参考上例
! # $!
第四部 计算每段内数据的个数 填入表格的第二列
! "! !
%
第五步 计算数据落在第一段内的频率 填入表格的第三列
! &! !
%
第六步 将第二 第三列之和填入最后一行
! % !
说明 由于频率分布表的制作没有统一的数据分段方法 所以对
! !
相同的数据 同学们可以作出不同的频率分布表 但是好的频率分布
! !
表应当是简单明了的
!
练 习
制作习题 第 题中 个同学身高的频率分布表
& ’ #( !
习题
! !
用随机抽样方法调查了某城市 辆公交车的营业额 单位 元 数据已从小
)* # & $!
到大排列
!
85
书书书
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
!!!"#!!#$!!#"!!#%!&’’!&’’!&’’!&’(!&’(!&’!
!!&’&!&’)!&’*!&’#!&((!&($!&("!&("!&!(!&!&
!!&!%!&!*!&&(!&&$!&&)!&&#!&&#!&&#!&$%!&$*
!!&"’!&"’!&"!!&""!&"#!&"#!&)(!&)&!&%’!&%)
!!&%%!&*&!&**!&*#!&#’!&#)!$’$!$(’!$(’!$((
制作频率分布表
!(" #
对频率分布表进行简单的分析 参考 的例题分析
!!" ! +,*$ "!
!!
(１!２,．&３,．!２!频频率率分分布布直直方方图图
数据的频率分布图初步展示了数据分布的一些规律 如果用图形
!
!!!"#$%&’!
来表示频率分布就会更加形象和直观 显示数据频率分布的图形有频
()*+!"#$,-. !
率分布直方图和茎叶图
/0123456!"
!
# "%&’()*+#789
有了数据的频率分布图 很容易作出频率分布的直方图
:!;<=>()*0 $ !
?@ABC!D+EF 将观测数据按照制作频率分布表的方法进行分段 计算出数据落
$
GH6IJKL0MN
入各段的频率 将各段的端点画在直角坐标系中的横坐标上 用
O!PQR!""$,S "$ $
#
!"",,1TUVWX 组距作为纵坐标的高 就得到了由相连接长方形构成的图形 我
"% $ !
YZ0[\BC8() #
们把所得到的图形称为数据的频率分布直方图 简称为直方图
*! $ !-./012
3456"!
例 绘制 例题中图书馆借出图书数据的频率分布直方图
! +,*& !
解 在横坐标上标出所有的数据分段的端点
! $
!’’$!"’$&$""’$)’’!
在区间 上绘制以 为高的矩形
’!’’$!"’( ’,’"%"’7’,’’( #
在区间 上绘制以频率 为高的矩形
’!"’$&’’( ’,’’’)) #
&&
在区间 上绘制以频率 为高的矩形
’""’$)’’( ’,’’( !
就得到了需要的频率分布直方图 如图
! (! (!
从频率分布直方图可以更直观地看到图书馆每日借出图书册数的
分布情况
!
86
书书书
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
图 频率表 的分布直方图
!" !! !"#"
练 习
制作习题 第 题中 个同学身高的频率分布直方图
$ " %& !
习题
! !
下面是 年至 年广州的月降水量 单位 数据摘自 中国气象年
!&&’ "((( ! "))# $
鉴 请绘制频率分布直方图
%&# !
年
!""# !$$!!($ !$( !!&’!!$$!%$&!"%* !"*"!"(%!!%+!!(!%&
年
!""$ !’+ !!" %! "%, +($ +’( ""+ !"! !$, %* "" !(
年
!""" !+% ( $" !!’ !," !," !’$ %&$ "’+ %( "$ ,%
年
%&&& !!! +( "* %!& "(+ !&’ "**#& !*, ,’ +(% +% %+
87
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
!!
!１"２#．$３#．$３!频频率率折折线线图图
用 分别表示频率分布直方图中各矩形上边的中
!!!!"!!
! " "
点 在直方图的左边延长出一个分段 分段的中点用 表示 在直
! ! ! #
%
方图的右边也延长出一个分段 分段的中点用 表示
! ! #
"$!
用直线连接 就得到了一条折线 这条折线叫作
!!!!"!! !
% ! "$!
频率折线图 频率折线图也反映出数据频率分布的规律
# #
图 是 的例题中图书馆借出图书数目的频率折线图
!" " &#’$ #
图 频率表 的频率折线图
!" "! !"#"
案例 选择性繁殖问题 为了研究老鼠的智力能否遗传 伯克
! ! " !
利 大学教授做了以下的试验 分别让 只老鼠走相同
#()*+),)-$ # !."
的迷宫 每只老鼠走 次 老鼠犯错误的次数就是走不出迷宫的次
! !/ #
数 我们把犯错误少的老鼠称为伶俐老鼠 记录每只老鼠犯错误的次
# #
数 得到 个数据 这 个数据的频率折线图如图
! !." # !." !" $#
图
!" $
试验后把伶俐的老鼠放在一起 让它们进行繁殖 把不伶俐的老
! !
鼠放在一起进行繁殖 繁殖 代之后 得到伶俐组的后代 只 非
# 0 ! ’1 !
88
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
伶俐组的后代 只 让这两组老鼠再走相同的迷宫 每只走 次
!" ! ! #$ !
得到各组老鼠犯错误的次数后 为两组数据作出的频率折线图如图
!
#% &!
图
#% &
左面的折线图是伶俐组后代的频率折线图 右面的折线图是非伶
!
俐组后代的频率折线图 这两条折线图有明显的差异 伶俐组的后代
! !
犯错误的次数明显地少 说明老鼠走迷宫的能力是具有遗传性的
! !
练 习
制作习题 第 题中 个同学身高的频率折线图
! % &$ !
习题
! !
根据习题 中 年至 年的广州月降水量数据 绘制频率折线图
" #$$’ %((( ! !
!! #１%２)．*３)．&４!数 数 据 据 茎 茎 叶 叶 图 图
直方图主要用于展示分段数据的频率分布 对于没有分段的观测
!
89
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
数据还可以用数据的茎叶图展示它的特性
!
数据的茎叶图 由 茎 和 叶 两部分组成 在制
!!"#$%&’"" # $ # $ %
作茎叶图的时候要先确定数据的 茎 和 叶 从数据的茎叶图可
# $ # $!
以看出数据的分布形状及数据是否对称 是否集中等分布特性
% !
我们通过举例说明茎叶图的制作方法
!
例 下面是上海市 年 月 日至 年 月 日空气中
!! ())* + ,, ())* - ,
可吸入颗粒物的监测数据 请为这批数据制作茎叶图
! !
-.!-.!//!+,!/(!.(!..!.0!.(!/(!.0
+)!-)!0/!0+!0*!/(!.,!.+!/+!0/!01
解 将数据从小到大排列得到
! &
.,!.(!.(!..!.+!.0!.0!/(!/(!/(!//
/+!+)!+,!-)!-.!-.!01!0*!0/!0/!0+
数据的十位上的数是 把它们叫作 茎 排列
.%/%+%-%0% # $%
在下面茎叶图的第一列
’
茎 后面的个位数分别是 把它们叫作茎
. ,%(%(%.%+%0%0%
的 叶 排在茎 的后面
. # $% . ’
按相同的方法把茎 的叶 排在茎 的右边
/ (%(%(%/%+ / ’
((
把茎 的叶 排在茎 的右边
0 1%*%/%/%+ 0 !
如此就得到了如图 所示的茎叶图
,( . !
树茎 树叶
. !,!(!(!.!+!0!0
/ !(!(!(!/!+
+ !)!,
- !)!.!.
0 !1!*!/!/!+
!!!!"#$%&’ 图
,( .
(!!"!!
从茎叶图中看出 尽管这 天中可吸入颗粒物都是处于良的水
)!"#$%&’ !! % ((
("#!#!!! 平 但是有较多的时间接近于优 也有较多的时间接近于轻微污染
% % !
*+,-!"#$
在同一个茎叶图中还可以表现两组数据的分布情况 这样做有利
%&’(#!#!#"!! %
于对这两组数据进行比较 我们称表示两组数据的茎叶图为双茎
!
90
书书书
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
叶图
!
例 下面是上海市 年 月 日至 年 月 日空气中
!! !""# $ %% !""# & %
二氧化硫和二氧化氮的监测数据 请为这两组数据制作一个双茎叶
!
图 并进行比较
! !
二氧化硫数据
"’’!(!!’#!$%!("!’%!’’!’(!’%!’&!
(%!(!!()!$*!$!!()!’&!#!!#!!(’!
$$!$*!
二氧化氮数据
"*&!*$!*"!*)!*%!%)!!!!!!!%&!!(!
!’!*%!*&!##!#!!*’!!!!%)!!!!*$!
’"!*&!
解 先将两组数据分别从小到大排列 得到
! ! "
二氧化硫数据
"#!!#!!’%!’%!’#!’’!’’!’(!’&!’&!
("!(%!(!!(!!(’!()!()!$%!$!!$*!
$*!$$!
二氧化氮数据
"%&!%)!%)!!!!!!!!!!!!!!’!!(!*"!
*%!*%!*’!*$!*$!*&!*&!*&!*)!#!!
##!’"!
这两组数据都是十位数 选用十位上的数作 茎 排在双茎叶
! # $!
图的中间一列 它们是
! %!!!%!$!
然后将二氧化硫的各位数作为 叶 依次排在相应的茎的左边
# $! !
例如 从数据 得到茎 的叶 排在 的左边
! #!!#! # !!!! # &
从数据 得到茎 的叶
’%!’%!’#!’’!’’!’(!’&!’& ’ %!%!
将它们从大到小排在 的左边得到
#!’!’!(!&!&! ’ &!&!(!’!
’!#!%!%&
%%
把茎 的叶 从大到小排在 的左边
$ %!!!*!*!$ $ &
再按照例 的方法把二氧化氮数据排在 茎 的右边
% # $ !
这样就得到了两组数据的双茎叶图 图
’ %! (("
91
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
二氧化硫 二氧化氮
树叶 树茎 树叶
! "!#!#
$ $!$!$!$!%!&
’ (!!!!!%!)!)!"!"!"!#
$!$ * $!*
"!"!&!%!%!*!!!! % (
#!#!%!$!$!!!( &
)!’!’!$!! )
图
!$ &
从上述茎叶图可以看出 二氧化硫的空气质量指标比二氧化氮的
!! !
空气质量指标要差很多 二氧化硫的空气质量指标基本都处在良好的
!
水平 而二氧化氮的空气质量指标都处在优的水平
! !
数据茎叶图的优点是显示了数据的每个信息 从茎叶图中可以直
!
观地看到数据的分布情况 但是数据量很大时 茎叶图的效果就不好
! !
了 因为这时的茎叶图会很长或很宽
! !
数据的茎叶图
茎叶图的茎也可以是两位或三位数
!
例 制作以下两组数据的双茎叶图
! !
数据
!!!!$"!!’"!!%"!$’"!$&"!$)"!’$"!’)"!’""!’#"
!*$"!*’"!%&"!%""!%#"!&!"!&*"!&%"!&%!
数据
$!!$’"!$*"!$&"!’*"!’%"!’%"!’)"!*$"!*’"!*&"
!*)"!*#"!%$"!%""!%#"!&$"!&’"!&*!
解 数据都是三位数 我们以前两位数作为茎 它们分别是
! " " !!"
按照例 的方法可以作出双茎叶图如图
!$"!’"!*"!%"!&! $ !$ )!
92
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
数据 数据
! "
树叶 树茎 树叶
#!$!" !!
%!&!$ !" $!’!&
(!)!%!" !$ ’!#!#!%
$!" !’ "!$!&!%!(
(!)!& !# "!)!(
#!#!’!! !& "!$!’
图
!" %
练 习
请分别制作下面的习题中数学 物理 语文考试成绩的茎叶图
! ! !
习题
!! !"
甲班的期中考试成绩排列如下
"
数学
"&##&##&%#&)#%*#%!#%##%&#%%#%(#)*#)"#)$#)$#)$#)’#
)’#)##)&#)&#)%#))#))#))#(!#($#($#($#($#($#(’#(##
(%#((#((#((#!**#!**#!**#!**!
物理
"#%#&*#&"#&’#&%#&%#%*#%"#%$#%’#%’#%’#%%#%%#%)#%)#
%(#)*#)*#)!#)!#)!#)"#)"#)’#)’#)’#)’#)&#)%#))#($#
(##(&#(&#()#((#((#!**#!**!
语文
"&"#&%#&%#%*#%*#%*#%!#%"#%"#%$#%’#%##%##%&#%&#%%#
%)#%)#%)#%)#%(#%(#)*#)*#)*#)*#)!#)"#)"#)"#)$#)$#
)’#)’#)&#))#)(#(*#($#(#!
请分别对数学和物理 物理和语文 数学和语文制作双茎叶图 并通过对茎
! ! #
叶图的观察回答以下问题
"
哪科平均成绩最好
$!% &
哪科成绩分布最集中
$"% &
93
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
数据的相关性
!１"２#．$４!数据的相关性
!!
在实际问题中 我们经常遇到有相关关系的变量 比如讲身高与
!! ! !
体重的关系时 虽然身高不能确定体重 但总的来讲 身高者 体
! ! ! !
也重
!
在考虑某一个特定地区居民的身高和体重的关系时 用 表示
! "
人的身高 用 表示体重 总体来讲 随着 的增大一般也会增
! # ! !# "
大 这时我们称 和 有相关关系
! " # !
在某地区的 岁居民中随机抽取了 个样本 用 和
!"!#$ !$ ! " #
$ $
分别表示第 个人的身高和体重 得到的数据如下
$ ! "
身高
#%& !’# !() !(* !+" !)( !+! !++ !)! !)’ !)$
体重
#,- ’! ’* )! +* ). )* +’ )* ). (’
数据 和 是成对出现的 所以用 表示第 个人的身高
" # ! $"!#% $
$ $ $ $
和体重 这时称数据对
!
$"!#%!$%!!"!&!!$
$ $
为样本或观测数据 样本是平面直角坐标系中的 个点 将这 个
! !$ ! !$
点画在坐标系上得到的图称为观测数据的散点图
$/%01123450-30&%6
见图
!" .!
图 例中数据的散点图
!" .!
从上面来看 用 泛指总体中某个体的身高和体重时
! $"!#% !
我们把身高和体重的关系说成是 和 的关系
" # !
94
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
!!
!１"２#．$４#．!１!相相关关性性
无论是从抽样调查中得到的成对数据 还是从科学实验 工农业
! "
生产中得到的成对数据 在统计学中也都称为观测数据或样本 称数
! !
据对的个数为样本量
!
样本量是 的成对观测数据是用
"
##!$$!##!$$!%!##!$$
! ! " " " "
表示的 这里 对固定的 和 或是来自相同的个体 或是同一
! ! %!# $ !
% %
次试验的观测数据 对 和 或是来自不同的个体
! %"&!##!$$ ##!$$ !
% % & &
或是不同试验的观测数据
!
在图 中 随着身高 的增加 体重 有明显的增加趋势
!" % ! # ! $ !
这时称 和 是正相关的 当数据
# $ !
##
!
!$! $!##
"
!$" $!%!##
"
!$" $
十分明显地集中在一条上升的直线附近时 我们称 和 是高度正
! # $
相关的
!
图
!" &
95
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
图 的 和 展示的数据是高度正相关的 当上述数据也
!" # !!" !"" !
分布在一条上升的直线附近 但集中的程度不十分明显时 我们称
# # "
和 是中度正相关的 图 中 和 展示的数据是中度正相
# ! !" # !$" !%"
关的
!
当数据 十分明显地集中
!"
!
##! "# !"
"
##" "#$# !"
$
##$ "
在一条下降的直线附近时 我们称 和 是高度负相关的 图
# " # ! !"
中 和 展示的数据是高度负相关的 和 展示的数据是
!& !!" !"" #!$" !%"
中度负相关的
!
图
!" !&
我们把有高度相关性或中度相关性的数据统称为有相关性的数
据 图 和图 中展示的数据都是具有相关性的数据 这
! !" # !" !& #
时也称 和 是相关的
" # !
练 习
请绘制以下数据的散点图
!
96
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
年份
! !"#$ !"#% !"## !"#& !"#"
比萨斜塔倾斜量
" %’( %’’ %$% %%# %#)
习题
!! !!
年的 月至 月北京和广州的月平均气温 单位 记录如下
(*** ) !* ! "+# #
月份
) ’ $ % # & " !*
北京
& !$ (* (# )* (% (( !)
广州
!" () (% (& (" (& (# ($
请分别绘制北京和广州月平均气温的散点图 并判断气温平均值与月份的相关性
$ #
!!
!
１
(
２
,
．
’
４
,
．
(
２ !回回归归直直线线
当 和 相关时 如果根据数据
%!& %"& $
$ $
!!$"#$!!$"#$’$!!$"#
! ! ( ( % %
描出的散点图中的点大致分布在一条直线的附近 我们将这条直线称
$
为回归直线 下面就寻找这条直线
# #
在平面直角坐标系中 两个点 可以决定一条
$ !!$"#$!!$"#
! ! ( (
直线
#
当 时
"("
!"! $&""’ ( !!!(!#)"$
( ! !(! ! !
( !
这时 两个点都在直线上 所以这两个点与直线 的距离平均最近
$ $ & #
给定三对观测数据
97
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
!!""#"!!""#"!!""#"
! ! " " # #
当 不全相同 我们也求一条直线 使得以上三个点与直
!"!"! " #"
! " #
线 的距离平均最近
# $
用
!!!!!!!!#$"%&!’(
表示要求的直线 在平行于 轴的方向 作以上三点到直线 的连
" " " #
线 交点 的坐标见图
" )"*"+ !" !!$
图
!" !!
)$!!"&!’(#"*$!!"&!’(#"+$!!"&!’(#$
! ! " " # #
三对观测数据和它们与直线 交点的距离分别是
#
"",!&!’(#"""",!&!’(#"""",!&!’(#"$
! ! " " # #
我们用这三个距离的平方和
!",&!,(#"’!",&!,(#"’!",&!,(#"
! ! " " # #
衡量这三个观测数据远离直线 的程度 如果 使得
# $ ("&
-!("&#%!",&!,(#"’!",&!,(#"’!",&!,(#"
! ! " " # #
达到最小 就称直线 是回归直线
" #$".%&!’( $
!!!""!! "!#$ ! % 一般地 要为样本量是 的观测数据
&""%"!" "!#$
"
%&"" " /
其中的 不全相同
%#%"!’ "!#$
’
%&""
!!""#"!!""#"%"!!""#!! ! #
! ! " " / / 0
#$%&’()!*
建立一条直线 使之与观测数据平均最近时 也采用相
+,( #$".%&!’(" "
同的方法 沿平行于 轴的方向 点 到它与 的交点的距
$ " " !!""# #
0 0
离是
"",!&!’(#""0%!"""%"/$
0 0
我们用这些距离的平方和
98
书书书
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
!!""##$!%&#’&"#"(!%&#’&"#"($(!%&#’&"#"
! ! " " ) )
衡量观测数据远离直线 的程度 如果常数 使得 达到最
* + ""# !!""##
小 就称直线
"
*%%,$#’("
是 与 的回归直线
&’’ &%’ +
- -
得到了回归直线后 只要 与 高度正相关或高度负相关
" &’’ &%’ "
- -
对于新的 就可以用回归直线上的点 作为 的预测值
’" %,$#’(" % +
用 和 分别表示 和 的样本均值 用 表示 的方
’! %" &’’ &%’ " ." &’’
- - ’ -
差 引入符号
+
’%(’%($(’%
. $ ! ! " " ) )&’!%"+
’% )
可以证明 只要 不全相同 回归直线中的
" ’"’"$"’ "
! " )
.
#$ ’%""$%"&#’!+
."
’
例 下面是某冷饮部 天中出售的冷饮杯数和当天最高气温的
!# #
记录数据
+
最高气温
($ "% "& !’ "( (% () * ("
杯数
(% (’ "& (’ *" )& !& )’
请建立坐标系 绘制上述数据的散点图 并建立回归直线方程
" " "
且在同一个坐标系中绘制数据的回归直线 并预测最高气温是
+ (+$
的一天大约能出售多少杯冷饮
+
解 用 表示最高气温 用 表示杯数 由题意可得数据的散
# ’ " % "
点图如图 所示
!" !" +
从数据的散点图看出卖出的冷饮杯数 和最高气温 是高度
&’’ &%’
- -
正相关的
+
先计算出 再计算出
’!$"*,"*"%"$(#,"*"
. $&*,))".$&,*&+
’% ’
最后得到
. &*,))
#$ ’%$ $!,+))
." &,*&"
’
"$%"&#’!$(#,"*-!,+)."*,"*$!"+
99
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
于是 回归直线是
! "!#!"#$$%!%&
因而 和 的回归直线如图 中直线所示
"$# ""# !% !% &
’ ’
图
!% !%
当 时 对 的预测值是
$#&#’ ! "
"!#!"#$(&#)!%*$&"%&
故最高气温是 时 大约可以出售 杯冷饮
&#’ ! $& &
例 在测量一根新弹簧的劲度系数时 测得了如下的结果
!! ! &
所挂重量
$+ !"## %"## &"## ,"## -"## ."##
弹簧长度
$/0 !#"!1 !!"%! !!"1, !&"#! !$"%. !,"#&
建立坐标系 绘制数据的散点图
%!& ! ’
建立回归直线方程 并在同一个坐标系中绘制数据的回归直线
%%& ! &
解 用 表示所挂重量 用 表示弹簧长度 由题意可得
! %!& $ ! " !
数据的散点图如图 所示
!% !& &
图
!% !&
100
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
从数据的散点图 可以看出 和 是高度正相关的
!!" "! "# #!$ ##$ $
" "
按例 中的方法可以计算出
"
!!%$%&’%#"%"!%&(&%& #$%)$%&#!%*"$
!# !
因此
& $%)$
’% !#% #’%+%
&! !%*"!
!
(%#")’!!#"!%&(&,’%+-$%&#(%($
于是 回归直线是
%
*&#+%’%+!,(%($
因而所求回归直线图如图 中直线所示
"! "# $
我们知道弹簧的拉伸长度和所挂重量之间的关系服从胡克
!.//01"
定律
&
#%’!,($
’ ’
其中 是弹簧所挂重物的重量 是弹簧拉伸后的长度 这里
! !2"%# $
的 和 是未知的 所以 和 分别是 和 的估计
( ’ % ’%’%+ (%(%( ’ ( $
’ ’ ’ ’
由于 是弹簧本身固有的量 把它们称为参数 由
(%’ % !345461715"$
’ ’
于 是通过求平方和 的最小值得到的 所以我们称回归直
(%’ -!(%’" %
线中的 分别是参数 的最小二乘估计 这里最小是求最小
(%’ (%’ $
’ ’
值的意思 二乘是平方和的意思
% $
练 习
请建立 与 的回归直线
$$ #!" $ ##" $ &
年份
! "(*$ "(*& "(*+ "(*)
比萨斜塔倾斜量
# )") )!& )$! )&)
101
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
习题
!! !"
当 不全相同时 证明 总在回归直线上
!! "
!
!"
"
!"!"
#
! #""!$#$ !
以下数据来自对 个职工的随机抽样调查 表示月平均收入 表示用于购
"! # !" !$
书和买报纸的月平均支出 单位 元
!# % $
职工
! " $ % #
" !"&& !%&& !’&& !(&& "!&&
$ !" !! !% !( "!
建立坐标系 绘制数据的散点图
#!$ ! &
请建立回归直线方程 并分别对月收入为 元和 元的职工预测他
#"$ ! !(#& !#&&
们每月平均用于购书和买报纸的支出 结果保留整数
# $&
在同一个坐标系中绘制数据的回归直线
#$$ !
以下是 个同学每天平均完成作业的时间和每天平均看电视的时间的调查结
$! %
果 调查在同一个班内用简单随机抽样方法完成 单位
! !# %)$
同学
!!!! ! " $ %
做作业的时间
" " "*# $*" $
看电视的时间
$ !*# &*+ &*! &*$
建立坐标系 绘制数据的散点图
#!$ ! &
请建立回归直线方程 并分别对平均每天用 和 完成作业的
#"$ ! !*,!"*( $*")
同学预测他们平均每天看电视的时间 结果保留两位小数
# $&
在同一个坐标系中绘制数据的回归直线
#$$ !
使用计算机或计算器做统计计算
是一个应用广泛的计算机软件 功能强大 使用方便
-./0.1 ! ! !
102
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
易学易懂 的各种版本大同小异 低版本的命令可以在高版
!"#$%#& !
本上应用 本书的统计部分使用 进行计算
! "#$%#& !
通过下面的例子可以初步学会使用
!"#$"%&
计算 均值时 用下面的两个语句 每个
’! ’()!’)(!"!’)’ ! !#
语句后面敲换行 括弧中的内容是语句的解释 不输入 后
$*+$,-%! ! !
同
!&
./#’()’’)(’"’’)’&’
计算 的均值
"/0,#+$.%!$ " %!
将数据 从小到大排序时 用下面的语句
1! ’()!’)(!"!’)’ ! (
./#’()’’)(’"’’)’&’
23-$$.%
计算 个数据 的方差时 用下面的
4! #$(5 )5!)(!)(!"!67 !
语句
(
+$(5’
8$#)5’)(’)(’"’67&’
计算 的方差 是样本量
21/9$:$8%"1#$+%’%)+!$ & !# %!
计算 个数据 的标准差时 用下面
;! #/(5 )5!)(!)(!"!67 !
的语句
(
+/(5’
8$#)5’)(’)(’"’67&’
计算 的标准差
2’/9$:$8%#2<-$$$+%’%)+%!$ & %!
计算回归直线中的最小二乘估计 时 用下面的语句
(! ’!( ! !
./#’’1’4’"’=’6&’
8$#’5>’7’’’>1’’"’’(>54&’
计算 和 输出的第一个数是 第二个
&#$?3@8AB$$.!8!’%!$ ( ’! (!
数是
’%
&!#
得到的结果
5>(67)!6>65’1!$ %!
通过下面的例子学会使用计算器做统计计算
!
计算 的样本均值 样本标准
’! 4!(!7!’1!’6!1’>(!41>4 *
103
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
差和样本方差
!
进入计算模式
!"#$ % !! ! "
清空统计存储器
&’()* &+, - !! ! "
. #* / #* 0 #* 1% #* 12 #* %13/
#* .%3. #*
计算的样本均值
&’()* "4 " 1535!! ! "
计算的样本标
&’()* 4!6 " 237001.8987!! !
准差
"
计算的样本方差
4% " 2.307!! ! "
计算回归直线中的参数 对 预测
%! ##$# %"12 &!
% 19 1/ %9 %/ .9 ./
& 19. 19/ 119 11/ 1%9 1%5
进入回归模式
!! !"#$ . 1 !! ! "
清空统计存储器
&’()* &+, " !! ! "
19#19. #* 1/#19/ #* %9#119 #* %/#
11/ #* .9#1%9 #* ./#1%5 #*
计算的
&’()* : " 2%32958712!! ! #"
计算的
&’()* ; " 9300/815%0/!! ! $"
对 预测的
12 &’()* <= 19238......! ! %"12 &"
104
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
数学实验
!! !!
用计算机画回归直线和做统计计算
打开用 超级画板 制作的课件 回归直线 屏幕
!!"! " ! #$%$"#
画面如图
&’ &($
图
&’ &(
图上显示出有 个数据点的散点图和对应的回归直线 这些
&) *
数据点可以上下拖动 回归直线随之变化 左边显示出每个点的坐
# #
标 即数据对 右边显示出为画出回归直线而必须做的统计计算
# %
结果
*!
鼠标单击右下方 显示或隐藏操作说明 按钮 仔细阅读出现
! " #
的文本内容 根据操作说明 输入本章 节例 中的数据
% # &’#(#’ ’ #
并把点的个数调整为 就得到书中图 所示的回归直线
+# &’ &, *
单击上方的 下一页 图标 屏幕上出现课件的第二页
! " # #
105
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
如图 即本章 节例 的回归直线图 对照一下 和
!" !#! !"$%$" " & !
你作的是否相同 如果不同 检查自己的操作是否有误
" ! &
图
!" !#
拖动横坐标轴上的红点 注意淡蓝色小框中数字的变化 想一
! !
想 这些数字的意义是什么 能利用这些数字预测弹簧所挂重量为
! "
时的长度吗
%$#’( "
类似地 可作出本章 节例 的图 并在图上预测最高
! !"$%$" ! !
气温为 时出售冷饮的数量
)*+ &
课件中设置了自动计算统计量的功能 为了熟悉统计量的计
&
算 也可以应用前一章学到的算法知识 自己写程序计算统计量
! ! $
下面举例说明如何在 超级画板 的程序工作区计算统
#,-, $
计量
&
最直接的办法是把数据和公式直接输入 如 节的例
& !"$!$) )!
要计算 个数据
!*
.$#!.$.!.$.!.$.!.$/!.$0!.$#!.$)!.$1!.$1
的均值并用 表示 就在程序工作区键入
!" ! %
!"#!$%&’$%$’$%$’$%$’$%(’$%)’$%&’$%*’
$%+’$%+"#,-$
按 键执行 下同 得到
2345-67384 & ’
106
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
!!"!!"#"#!$%%"!
如果想要用小数表示 可执行
$
!!!"#$%!&"%
返回
&
计算结果显示浮点数
!!" !
再键入
!!’(%
执行得
!!"!!"#"#!$%%"&!’"#!
要计算这组数据的方差 可键入
!($
)*+, !-./*+0-.-*+0-.-*+0-.-*+0-.1*+0-.2*+0-./*+0-.3*+0
-.4*+0-.4*+"#&56’(*+$
执行得到
!!"!)*$"#!$%%%%"&%’%)*$!
计算标准差则再键入
&
!!)(,)+*5./$
执行即得到
!!"!!)*$"+!$#(""#!$%%"&%’$!,$!(!
用这种方法计算的好处 在于能在计算过程中多次复习这些统
$
计量的意义和公式 用了计算机 计算统计量的主要工作就是输入
- $
数据 为了避免多次输入 号和平方运算符号 的重复性
- ’.( ’+((
工作 可以做一个 模板 也就是先打一行符号 如
$ ’ ($ $
!++0*+0*+0*+0*+0*+0*+0*+0*+0*+0*+0*+0*+0*+0*+0*+"
复制一下 用时随时粘贴 再在符号 前面依次键入数据就是了
$ $ ’+( -
107
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
!!
小结与复习
一 总体和个体
!
!!
样本 是从总体中抽取的一部分个体 也称为观测数据
!! ! " !
总体均值 总体的平均 常用 表示
"! ! " ! !
样本均值 样本的平均 常用 表示 样本平均是总体均
#! ! " "" !
值的估计
!
均值的性质
$! !
如果每个数据增加 均值也增加
#!$ #" #%
如果每个数据增加到原来的 倍 均值也增加到原来的 倍
#"$ $ " $ !
总体方差 当 是总体的全部个体 是总
%! ! % ! "% " "&"% & " !
体均值时 总体方差
"
""’
#%
!
(! $")#%
"
(! $")&)#%
&
(! $"
!
&
样本方差 用 表示样本 的均值时 样本
&! ! "" " """&"" "
! " *
方差
#"(""$")#"(""$")&)#"("""$
+"’ ! " * !
*
样本方差是总体方差的估计
!
方差的性质
’! !
方差描述数据向均值的集中程度 方差越小 个体向均值
#!$ ! "
集中得越好 方差也描述数据的整齐程度或波动幅度 方差越小
! ! "
数据就越整齐
!
!
#"$+"’ #"")"")&)""$("""!
* ! " *
标准差 标准差是方差的算术平方根 数据带有单位时
(! ! ! "
标准差的单位和数据的单位是一致的
!
108
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
二 抽样调查方法
!
!!
抽样调查的必要性 在很多实际问题中 采用抽样的方法
!! ! "
来确定总体性质不仅是必要的 也是必须的
" !
随机抽样 指总体中的每个个体都有相同的机会被抽中
"! ! !
简单随机抽样 无放回随机抽样
#! ! !
随机抽样的重要性 不进行随机抽样 就可能得到有偏的
$! ! "
样本 利用有偏的样本很容易得到错误的结论
! !
随机数 是从 至 个号码中用简单抽样方法抽到的
%! ! ! " #
个号码 随机数可以在计算机上产生
##""$ ! !
分层抽样 将总体分成若干层 子总体 然后在每层中独
&! ! # $"
立地进行简单随机抽样
!
分层抽样的特点
’! !
分层抽样在获得总体均值估计的同时 也得到各层的均值
#!$ "
估计
%
将差别不大的个体分在同一层 使得分层抽样得到的样本
#"$ "
更具有代表性 从而提高估计的准确度
" %
抽样调查的实施更加方便 调查数据的收集 处理也更加
##$ " &
方便
!
系统抽样 当总体中的个体按一定的方式排列 在规定的
(! ! "
范围内随机抽取一个个体 然后按照制定好的规则确定其他个体的
"
抽样方法
!
系统抽样的特点 实施简单 如果了解总体中个体排列的
)! ! "
规律 设计合适的系统抽样规则可以增加估计的精度
" !
三 用样本分布估计总体分布
!
!!
频率分布表 频率分布直方图 频率折线图和数据的茎叶
!! & &
图都是用来展示样本的分布性质的 这些分布性质是总体分布性质
"
的估计或近似
!
绘制频率分布表时 数据分段个数 可以参考经验公式
"! " $
109
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
!"!"#$%#
确定 但是经验公式只起参考作用 实际应用时 应当根据样本量
$ $ !
的大小和数据的特点以及分析的要求灵活确定
$
说明 由于频率分布表的制作没有统一的数据分段方法 所以
" !
对相同的数据 可以作出不同的频率分布表 因而也可以作出不同
! !
的直方图和频率折线图 但是好的频率分布表 直方图和频率折线
$ #
图应当是简单明了的
$
四 数据的相关性
!
!!
样本量是 的成对观测数据是用
#
$%!&%!$%!&%!&!$%!&%
! ! & & # #
表示的 这里 对固定的 和 或是来自相同的个体 或是同
$ ! ’!% & !
’ ’
一次试验的观测数据 对 和 或是来自不同的
$ ’"(!$%!&% $%!&%
’ ’ ( (
个体 或是不同次试验的观测数据
! $
当 十分明显地集中
!$ $%!&%!$%!&%!&! $%!&%
! ! & & # #
在一条上升的直线附近时 称 和 是高度正相关的 当它们分布
! % & ’
在一条上升的直线附近时称 和 是中度正相关的 高度正相关
% & $
和中度正相关统称为正相关
$
当 十分明显地集中
&$ $%!&%!$%!&%!&! $%!&%
! ! & & # #
在一条下降的直线附近时 称 是高度负相关的 当它们分布
! %!& ’
在一条下降的直线附近时 称 和 是中度负相关的 高度负相关
! % & $
和中度负相关统称为负相关
$
当 和 正相关或负相关时 称 和 是相关的
’$ % & ! % & $
回归直线 当 和 有相关性时 可以用一条直线描述
#$ " (%) (&) !
’ ’
数据 和 的关系 这条直线就是回归直线 用
(%) (&) ! $
’ ’
)"&*"+%,-
表示这条回归直线时 其中的 可以用下面的公式进行计算
! -!+ "
.
+" %&!-"&#/+%$$
.&
%
用回归直线进行预测 得到了回归直线后 只要 与
($ " ! (%)
’
110
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
高度相关 对于新的 就可以用回归直线上的点
!!" # ## !$%&#’(
"
作为 的预测值
! )
复习题十二
在调查某城市的居民对自来水调价的意见时 能否只在该市的娱乐场所进行随
!) #
机抽样 原因是什么 能否只在该市的公共汽车站进行随机抽样 原因是
$ $ $
什么
$ !!
以下是对某个公交车站候车的乘客候车时间的调查数据 单位
") % &#$%’)
"! ! "" !& & "’ !( !& ( " ) !’
* "+ "* !, - !- !& ( ! "! !- "
!* !- ) " ( ’ * !& ( !* !’ "+
!, & ) "" !+ & & "’ !! ! !, "!
请计算样本均值和样本标准差
)
甲 乙两篮球运动员上赛季每场比赛的得分如下 试通过画茎叶图比较这两名
’) ( #
运动员的得分水平
)
甲
!!"#!(#"*#"(#’!#’!#’-#’)#’&#**#*&#(+)
乙
!,#!’#!*#!-#"’#"-#",#’’#’,#’&#(!)
要在全年级 名同学中随机选取 人参加暑假的夏令营时 需完成以下工作
*) *(+ *( # &
设计一个随机抽样方案
%!’ )
设计一个系统抽样方案
%"’ )
设计一个分层抽样方案 使得选取出男生 名 女生 名
%’’ # "’ # "" )
如果全年级有 个班 设计一个分层抽样方案 使得各班随机选取 人
%*’ & # # ( )
从某个渔场通过简单随机抽样方法检查了 条鱼的质量 单位 如下
() ’+ % &.’ &
111
书书书第 １２ 章
统计学初步
···············································
!"# !$% &!’ &!" &#( &"# &)! &)( &)$ &(!
&($ &%’ &%! &%) &$* &$( &$( #** #*! #*$
#!! #&" #&% ##& ##( #"! #%’ "’) "!# "&$
制作频率分布表
!*" #
制作频率直方图
!!" #
制作频率折线图
!&" #
制作茎叶图
!#" #
计算样本均值
!"" #
计算样本方差
!)" !
按以下要求分别设计随机抽样调查方案 调查本年级的近视率
)! $ !
要求随机调查 个同学
!*" "’ #
要求调查男女同学各 人
!!" !" #
要求调查每班 个同学
!&" *’ #
要求调查每班的男女生各 人
!#" " !
年的 月北京和广州的月平均气温 单位 记录如下
(!!’’’ &%*’ ! &+" &
月份
& # " ) ( % $ *’
北京
" % *" !’ !( &’ !) !! *&
广州
# *$ !& !) !% !$ !% !( !"
请为北京和广州月平均气温建立回归直线
!
下面是世界上 个地区的人均收入 百元 和受教育比例的数据
%! *’ ! " &
人均收入
" )* *)" *!" )#" &$% !’% !%$ &** !#) %)
受教育比例
# ) #& "’ %( %’ (* &’ (( $) ((
建立坐标系 绘制数据的散点图
!*" $ #
请建立回归直线方程 并在同一个坐标系中绘制数据的回归直线
!!" $ #
对 分别预测 的值
!&" "$)’$(’$!’’ # #
对于 预测 的值
!#" #$%" " !
下面是某种合成纤维的拉伸强度 和拉伸倍数 之间的测量数据
$! # " !
112
书书书第 １２ 章
统计学初步
················································
编号
! " # $ % & ’ ( ) !* !! !"
拉伸倍
数 !+) "+* "+! "+% "+’ "+’ #+% #+% $+* $+* $+% $+&
!
强度
"
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编号
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拉伸倍
数 %+* %+" &+* &+# &+% ’+! (+* (+* (+) )+* )+% !*
!
强度
"
%+% %+* %+% &+$ &+* %+# &+% ’+* (+% (+* (+! (+!
!,-."
建立坐标系 绘制数据的散点图
!!" # $
请建立回归直线方程 并在同一个坐标系中绘制数据的回归直线 精确到
!"" # !
小数点后两位
"$
对 分别预测 的值 精确到小数点后两位
!#" !#%+*#%+" " ! "$
对于 预测 的值 精确到小数点后两位
!$" "#$+% ! ! "$
113
书书书13
第 章
概 率
沙场百胜古来稀
!!!
九密一疏已足奇
!!!
祸福偶然存概率
!!!
风云变幻识玄机
!!!
在考虑一个未来事件是否会发生的时候 人
!
们常关心该事件发生的可能性的大小 概率就是
!
用来衡量一个未来事件发生的可能性大小的度量
!
概率通过对简单随机事件的研究 将人们逐步引
!
入复杂随机现象规律的研究 概率是研究复杂随
!
机现象规律的有效方法和工具
!
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
投掷一枚均匀的硬币 出现正面朝上的机会是 在多次投
!! ! !"#!
掷这枚硬币后 正面朝上和反面朝上出现的次数大致相同 南非数学
! !
家凯瑞 是在非常困难的情况下发现这一点的 他的掷币
"$%&&’()# !
试验是在德国人的集中营里进行的 二战爆发时他访问哥本哈根 德
! !
国人入侵丹麦时他被关进集中营 在那里度过了漫长的岁月 为了消
! !
磨时间 他一次次地掷硬币 并记录了下面的结果
! ! $
掷币 正面朝上 频率 掷币 正面朝上 频率
次数 次数 次数 次数
" # $%#%" " # $%#%"
*" + ",+"" -"" .*/ ",!/"
/" *" ",!"" 0"" .-1 ",!/-
." *0 ",!-0 1"" +*. ",!*-
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2" +" ",+++ !""" /!.. ",!"0
*"" ++ ",++" -""" .""2 ",!"/
/"" 21 ",+2" 0""" .!*- ",!"/
."" *+- ",+10 1""" +".+ ",!"+
+"" *22 ",+21 2""" +!.1 ",!"+
!"" /!! ",!*" *"""" !"-0 ",!"0
从上述掷币结果看出 随着掷币次数的增加 正面朝上的频率稳定在
! !
附近 我们将这个性质称为频率的稳定性
",! ! !
由学习过的概率知识知道 投掷一枚硬币 出现正面朝上的概率
! !
是 在多次重复试验中 正面朝上的频率稳定在正面朝上的概率
",!! !
附近
!
115
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
试验与事件
!１"３#．!１!试验与事件
!!
!!
!１"３#．!１#．!１!事事件件
投掷一枚硬币 用 表示硬币正面朝上 用 表示硬币反面朝
! ! ! "
上 则试验有两个可能的结果 和 我们把 和 叫作试验的
! "! "# ! "
元素 把集合 叫作试验的全集
! #!!"$ #
投掷一枚骰子 用 表示掷出点数 用 表示掷出点数
! ! !! $ $!%!
用 表示掷出点数 则试验的可能结果是 我们
% %! !!$!"!&!’!%#
称这 个数是试验的元素 称
% #
#$"$%!!$!%!%$
为试验的全集
#
对于一个试验 我们将该试验的可能结果称为元素 称所有元素
! !
!!!!!!"#$%!
构成的集合为试验的全集
"#"!!!"#$%"
!
$!%&’! 以后总用 表示试验的全集 用 表示 的元素
! ! " ! !
例 同时投掷一枚 角的硬币和一枚 元的硬币 写出试验的
!! ! ! !
元素和全集
#
解 试验一共有 个元素 它们是
! & !
角硬币正面朝上 元硬币正面朝上
!!"! !! &
角硬币正面朝上 元硬币反面朝上
!""! !! &
角硬币反面朝上 元硬币正面朝上
"!"! !! &
角硬币反面朝上 元硬币反面朝上
"""! !! #
全集是
!%#!!!!"!"!!""$#
在上面的例子中 和 是不同的元素
!!" "! #
例 投掷两枚硬币 写出试验的元素和全集
"! ! #
解 将一个硬币视为硬币 另一个硬币视为硬币 试验有
! !! $# &
个元素 它们是
!
硬币 正面朝上 硬币 正面朝上
!!" ! ! $ &
116
书书书
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
硬币 正面朝上 硬币 反面朝上
!"! ! " " #
硬币 反面朝上 硬币 正面朝上
"!! ! " " #
硬币 反面朝上 硬币 反面朝上
""! ! " " #
全集是
!$$!!"!"""!"""%#
和例 中的情况相同 这里 和 也是不同的元素
! " !" "! #
投掷一枚骰子的全集是
!$$%!%$!"""&"#%#
用 表示掷出 点 是 的子集 我们称 是随机事件
&$$$% $ "& ! # &
简称为事件 掷出 点 就称事件 发生 否则称
’%&’()*+,+’-(" # $ " & "
事件 不发生
& #
用 表示掷出偶数点 是 的子集 我们也称 是
’$$""."#% "’ ! " ’
随机事件 简称为事件 当掷出偶数点 称事件 发生 否则称事
" # " ’ "
件 不发生 事件 发生和掷出偶数点是等价的
’ # ’ #
当 是试验的全集 我们称 的子集 是 的事件 简称为事
! ! ! ! ! ! !!!"#$%!"&
件 当试验结果 即试验的元素 属于 时 就称事件
"!"!#$#" " #" ! ! !
’(!
发生 否则称 不发生
! ! "
对于全集 是事件和 等价 元素 和事件 发生
!"& &"! # "#& & !!!"#$%&’(
等价
)*+!,-./01
#
空集 也是 的子集 所以空集 是事件 空集 中没有元素 23$%&’!"#
$ ! " $ # $ " "!"#$%&’()*’#
永远不会发生 所以我们称 是不可能事件
5678+
" $ #
也是 的子集 并且包括了所有的元素 所以必然发生 我
! ! " " # !!!"#$%!&
们称全集 是必然事件 ’()*+,-.!"
! # #$ !!"#$%&!$"’&"(
练 习
叙述什么是试验的元素和全集
!# #
简述事件和全集的关系
"# #
简述事件和元素的关系
$# #
117
书书书
书书书
书书书
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
习题
!! !
口袋中有标号 的球各 个 为以下的试验写出全集
!! !!" ! ! !
从中任取 个
!!" ! #
从中一次随机地取出 个
!#" # !
投掷一枚骰子和一枚硬币 写出全集
#! $ !
同时投掷一枚骰子和一枚硬币 写出以下事件
"! $ !
硬币是正面 骰子的点数是奇数
!!" $ #
硬币是正面 骰子的点数是偶数
!#" $ #
硬币是正面
!"" #
骰子的点数是
!$" %!
!!
!１"３&．!１&．#２!事事件件的的运运算算
由于事件就是集合 所以对事件可以进行并 交和补的运算
$ % !
例 投掷两枚骰子 一枚是红色 一枚是蓝色 写出全集和以
!! $ $ !
下事件
!
红骰子的点数是
!!""# & #’#
蓝骰子的点数是
!#"$# & "’#
!""""$#
!$""#$!
解 用 表示红色骰子的点数是 蓝色的点数是 试验的
! !%$&" %$ &!
全集是
!!!#(!!$!"$!!$#"$!!$""$!!$$"$!!$%"$!!$’"$
!#$!"$!#$#"$!#$""$!#$$"$!#$%"$!#$’"$
118
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
!!""#"!!"##"!!"!#"!!"$#"!!"%#"!!"&#"
!$""#"!$"##"!$"!#"!$"$#"!$"%#"!$"&#"
!%""#"!%"##"!%"!#"!%"$#"!%"%#"!%"&#"
!&""#"!&"##"!&"!#"!&"$#"!&"%#"!&"&#$!
根据事件的定义 得到
"
!"#"#%!#""#"!#"##"!#"!#"!#"$#"!#"%#"!#"&#$&
!##$#%!""!#"!#"!#"!!"!#"!$"!#"!%"!#"!&"!#$&
红骰子是 点 蓝骰子是 点
!!#"!$#%!#"!#$# ’ # " ! (&
!$#""$#%!#""#"!#"##"!#"!#"!#"$#"!#"%#"!#"
&#"!""!#"!!"!#"!$"!#"!%"!#"!&"!#$
!"#$%!"&
红骰子是 点或蓝骰子是 点
# ’ # ! (! !’()$*"+,-
用 表示 的补集 ./012!!"34
!#" " ! !5" &67#89
在例 中 表示红骰子的点数不是
" "!#" #! :;!!"# $#"##
对于试验的全集 和事件 由于 和 有且只能有一个 !<#$"%$
! "" " !#"
发生 所以我们称 是 的对立事件
" !#" " ! !!"#$%&’
例 铅笔盒中有圆珠笔 支 钢笔 支 从中无放回地任取
()*+!,%-./
!$ ! " # ! !
支 用集合 表示下面 中的事件 0123!"
" ""$"% !"#"!##"!!# ! !4!!!53"
支都是圆珠笔
!"#! &
#$%"
恰有 支圆珠笔
!## # &
恰有 支圆珠笔
!!# " &
用 表示
!$# ""$"% !&
解释事件 的含义
!%# ""$""!$""#$"!#" !
解 将 支圆珠笔标号 将 支钢笔编号 用 和
$ ! ""#"!" # ""#! &
’
分别表示取出的有第 支圆珠笔和第 支钢笔 用 表示取
( ’ ) ! &&&
) " # !
出的是 号 号和 号圆珠笔 表示取出的是 号 号圆
" "# ! "&&( " "#
" # "
珠笔和 号钢笔 按照事件的定义 得到
" )) "
!"#"#%&&&$!
" # !
!##$#%&&("&&("&&("&&("&&("&&($!
" # " " # # " ! " " ! # # ! " # ! #
!!#%#%&(("&(("&(($!
" " # # " # ! " #
因为必有事件 之一发生 所以全集
!$# ""$"% " !#""$"%!
119
书书书
书书书
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
至少有 支圆珠笔
!!"!!"# # " $%
不可能事件
!""### # $%
支都是圆珠笔
!$"#!# ## $%
至少有 支钢笔
!$!# # $ $$
!"#$%&!’ 在例 中 事件 的交集是空集 所以 发生 就不能发
" & !&" & ! &"
()*+,"
生 发生 就不能发生
%" &! $
当 我们称 互斥
!""##& !&" $
练 习
投掷 枚硬币 观察结果 写出全集 分别用集合 表示以下
# & $ & !&"&% !$"&
中的事件
!""&!#" $
恰好 个正面
!$" " %
至少 个正面
!"" $ %
都是反面
!#" %
计算 并解释它们的含义
!%" "$!&"$%&!$!& $
习题
%% !
投掷 枚硬币 观察结果 不写出全集 直接用集合 表示以下
$$ % & $ & !&"&% !$"&
中的事件
!""&!#" $
至少 个反面朝上
!$" $ %
至少 个反面朝上
!"" " %
恰好 个反面朝上
!#" " %
计算 并解释含义
!%" !&!"%&!$!& $
盒子中有标号 的白球各 个 标号 的黑球各 个 从中倒出 个
"$ $!# $ & $!" $ $ # &
120
书书书
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
观察结果 写出全集 用集合 表示下面 中的事件
! ! "!#!$ "!#!""#!"## !
个都是白球
"!## $
至少 个白球
""# " $
至少 个白球
"## ! $
计算 并解释它们的含义
"$# "!#!""#!"##!$##! !
概率及其计算
!１#３%．"２$概率及其计算
$$
$$
!１#%３．"%２．!１$古古典典概概率率模模型型
概率的定义
!! !
投掷一枚均匀的硬币 全集 中有两个元素 事件
! !%%&!’& ! "%
各有一个元素 根据已有的概率知识 得
%&&!#%%’& ! !
中元素数 中元素数
(""#%
!
%
"中元素数!$$$("##% !
%
#中元素数
!
!"#$%&’(
" ! " ! )*+,-.!
投掷一枚均匀的骰子 则全集是
!
!%%)%)%!!"!’!&&!
若 表示掷出的点数是 表示掷出偶数点 于是全
"%%#& #!#%%"!$!&& !
集 中元素的个数是 中元素的个数是 中元素的个数是 根
! &!" !!# #! !!!!"""!#""
据已有的概率知识 有
!
!$"##"$!%$%&
中元素数 中元素数 ’(&
(""#%
"中元素数
%
!
!$$("##%
#中元素数
%
!
!
! & ! "
由以上的例子引出概率的如下定义
!
定义 设试验的全集 有 个元素 且每个元素发生的
$$ $ ! * !
可能性相同 当 的事件 包含了 个元素时 称
! ! " + !
+
(""#%
*
为事件 发生的概率 简称为 的概率
" ! " "’()*+*,-,./#!
我们把上述定义描述的概率模型称为古典概率模型 简称为古典
!
121
书书书
书书书
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
概型
!
因此古典概型具有以下特点
!
试验中所有可能出现的元素只有有限个
"!# $
每个元素出现的可能性相等
""# !
对于古典概型 事件 的概率计算公式为
% " !
中包含的元素个数
#""#$
"全集中的元素个数
!
例 同时投掷 枚硬币 计算以下事件的概率
!! # ! !
至少 个反面朝上
"!# ! $
至少 个反面朝上
""# " $
恰好 个反面朝上
"## " !
解 试验的全集为
! !
!$&%%%%%%&%%&%%&%%%%&&%&%&%&&%%&&&’!
用 表示至少有一个反面朝上 则 中的元素至少含 个
"!# " % " ! &!
’"$&%%&%%&%%&%%%%&&%&%&%&&%%&&&’!
含有 个元素 于是
$
’" $ % #""#$ !
%
用 表示至少 个反面 则
""# ( " %
($&%&&%&&%%&%&%&&&’!
含有 个元素 于是
& !
’( & % #"(#$ $ !
% "
用 表示恰好 个反面朝上 则
"## ) " %
)$&%&&%&&%%&%&’!
含有 个元素 于是
#
’) # % #")#$ !
%
事件作为集合经过并 交 差和补的运算后得到的结果还是事
( (
件 于是可以计算经过集合运算后的事件的概率
% !
例 在例 中 计算事件 发生的
"! ! % ""(%"#)%($)%!$)
概率
!
解 全集 有 个元素 含有 个元素
! ! % !""($"% $ %
含有 个元素 含有 个元素
"#)$)% # %($)$&&&&’% ! %
122
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
含有 个元素 所以有
!!!"!###"##$"#$#"$##"$$$#" ! %
" $ % !
&$’"(%" "&$’#!%" "&$(!!%" "&$!!!%" %
# # # #
概率的性质
!% %
概率有如下的简单性质
&
概率总是 中的数
$%%&$&$’%$% $ ’&"%( %)
必然事件的概率是
$’%&$!%"% $ %%)
!!!"#$%&’(
不可能事件的概率是零
$$%&$%%"& $ %% )*"!
在一副扑克的 张牌中随机抽取 张 用 表示得到的是草
!( % % ’
花 用 表示得到的是黑桃 则 互斥 全集 有 个元素
" ( " ’"( % ! !( "
和 分别有 个元素 不用写出具体的全集 和事件 也
’ ( %$ % ! ’"("
可以直接计算出
%$ %$
&$’%" "&&$(%" %
!( !(
由于 也是事件 含有 个元素 所以
’"( " ’) "
’) %$ %$
&$’"(%" " ) "&$’%)&$(%%
!( !( !(
概率的加法公式 如果 的事件 互斥 则
&& ! ! ’"( "
&$’"(%"&$’%)&$(%%
我们把概率的加法公式称为概率的可加性 可加的前题是两个事
%
件互斥
%
证 设 有 个元素 有 个元素 有 且
& ! * "’ + $+$*% "( ,$,$*"
个元素 则 由于 互斥 所以
+),$*% % &$’%"+**"&$(%",**% ’"( "
中元素个数 中元素个数 中元素个数
’"( "’ )( "+),%
于是得到
+), + ,
&$’"(%" " ) "&$’%)&$(%%
* * *
对立事件的概率公式 如果 是全集 的事件 则
! ’ ! "
&$!!’%"%*&$’%%
123
书书书
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
证 和 互斥 并且 由概率的加法公式得到
!!"! ! ! !""!"!##!#
$"!#"$"!"!#%$"!##
再利用 得到 于是
$"!#"! !"$"!"!#%$"!#! $"!"!#"!#$"!##
例 在一副扑克的 张牌中随机抽取 张
!! $% ! #
计算抽到是草花或黑桃的概率
"!# $
计算抽到的不是草花的概率
"&# $
计算抽到的不是草花也不是黑桃的概率
"’# #
解 用 表示抽到的是草花 用 表示抽到的是黑桃 则
! "!# ! ! & !
表示抽到的是草花或黑桃 并且 互斥
!#& ! !!& #
因此由题意可得 所以
!’ !’
!$"!#" !$"&#" !
$% $%
!’ !’ !’
$"!#&#"$"!#%$"&#" % " #
$% $% &(
表示抽到的不是草花 是 的对立事件 所以
"&#!"! ! ! !
!’ %!
$"!"!#"!#$"!#"!# " #
$% $%
表示抽到的是草花或黑桃 表示抽到的不是
"’#’"!#& !!"’
草花也不是黑桃
#
!’ !%
$"!"’#"!#$"’#"!#$"!#&#"!# " #
&( &(
例 袋中有红球和白球各 个 每次抽 个 有放回地随机抽
"! ! ! ! !
取 次 计算
’ # %
至少有 个红球 的概率
"!#!" & ! ’ $
至少有 个白球 的概率
"&#&" & ! ’ $
有红球或有白球的概率
"’# #
解 用 表示第 第 和第 次分别取到白 红 白
! "!# &(& !( & ’ ( (
球等 全集是
#
!!")&&&!&&(!&(&!(&&!&((!((&!(&(!(((*!
!!")&&(!&(&!(&&!&((!((&!(&(!(((*!
因此
(
!!!$"!#" "*+)($#
)
由于红球和白球处于对称的地位 所以
"&# ! $"&#"$"!#"*+)($#
124
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
表示有红球或有白球 这是必然事件 所以
!!"!!" # # #!!!""$"%
例 彩票的中奖率是 每次抽 张 有放回地随机抽取 次
"
!" # " # ! %
#
计算
$
至少抽中 次 的概率
!""!$ % " & ’
次也没抽中的概率
!#"" %
解 由于彩票的中奖率是 因此可将中奖的彩票视为红球 不
"
" # #
#
中奖的彩票视为白球 于是 等价于至少抽中 个红球
# ! " %
由例 的结论知道
!"" $ #!!"$%&’()%
由于 是 次也没抽中的概率 因此
!#" !#! " #
#!!#!"$"*%&’()+%&"#)%
例 有 万张彩票 中奖率是 每次抽 张 无放回地随
"" "% # "(#% " #
机抽取 次 计算至少抽中 次的概率
! # " %
解 由于彩票数量很大 抽取一两张基本不会影响彩票的中奖比
" #
例 所以无放回抽奖的中奖概率和有放回抽奖的中奖概率基本是一样
#
的 因此 由例 可知 至少抽中 次的概率仍然是
% # )!"" # " %&’()%
有人认为既然每次抽中的概率是 抽 次必然抽中 这是不
"(## # #
对的 上面的例 例 告诉我们 抽奖 次时 至少抽中 次的概
% $) ) # ! # "
率只有
%&’()%
完全相同的道理 当彩票的中奖率是 时 你购买 张彩
# "("%% # "%%
票中奖的概率是严格小于 的 实际上只有
" ! %&,!$"%
练 习
投掷两枚骰子 一枚是红色 一枚是蓝色 计算以下事件的概率
# # % %
两枚骰子的点数相同
!""!$ % &’
红色骰子的点数小于蓝色骰子的点数
!#""$ % &’
两枚骰子的点数之和是
!!"&$ % ,&’
!$"!!"#!!&#&#"%
125
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
习题
!! !
假设每个人的生日在一年的 天中是等可能的 在全校随机挑选一名同学
!! "#$ ! !
计算以下事件的概率
!
该同学的生日在 月份
"!# $ $
该同学的生日在 月或 月份
"%# $ & $
该同学的生日是 日
""# ! $
该同学的生日是 日或 日
"’# ! % !
一批产品有 个 其中含有 个次品 从中随机抽取 个 计算
%! !(( ! !( ! ! ! %
这件产品是次品的概率
"!# $
这件产品是正品的概率
"%# $
这件产品是次品或是正品的概率
""# !
某电视台要招聘两名播音员 现在有三名符合条件的女士和两名符合条件的男
"! !
士前来应聘 如果每个应聘人员被录用的概率相同 计算以下概率
! ! !
一名男士和一名女士被录用的概率
"!# $
两名男士被录用的概率
"%# $
两名女士被录用的概率
""# !
投掷两枚骰子 不用写出全集 计算以下概率
’! ! ! !
两枚骰子的点数相同
"!# $
两枚骰子的点数之和是
"%# #$
两枚骰子的点数之和不是
""# #$
至少一枚骰子的点数是
"’# "!
一个口袋内装有大小 质地均相同的 只球 其中 只为白球 只为黑球
$! & $ ! " !% !
从中一次摸出 只球 求
% ! %
一共可能出现多少种不同的结果
"!# $
摸出的 只球均是白球的概率
"%# % $
摸出的 只球是 只白球与 只黑球的概率
""# % ! ! !
如果全集 的事件 两两互斥 用 表示事件 中至
#! ! "!#!$ ! ""#"$ "!#!$
126
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
少有一个发生 证明
! !
""#!$!%#&""##’""$#’""%#!
彩票的中奖率是 每次抽 张 有放回地随机抽取 张 计算至少抽中
!! "$#% " % # ! "
张的概率
!
""
"１#$３．%$２．%２"几几何何概概率率
例 在区间 中随机投掷一个质点 分别求质点落在区间
!" &&%## %
和 中的概率
&&%"# &"%%# !
解 用 表示质点落在 中 用 表示质点落
" #&&&%"# &&%"# % $&&"%%#
!!!"#$%&’!
在 中 用 表示质点落在 中 把 看作试验的 ()* "+,#-./
&"%%# % %&&%%## &%%## ! #%$%% "012#!
元素时 试验的全集 发生的可能性相
% !&#!$!%&&&%##!#%$%%
同 所以
%
的长度
""##&
"
&
#的长度
!
# !
的长度
""$#&
"
&
$的长度
!
# !
几何概率定义 设试验的全集 是长度为正数的
"" !" !
区间 是 的子区间 如果试验的结果随机地落在
%# ! ! !
中 则称
%
的长度
""##&
#的长度
!
为事件 发生的概率 简称为 的概率
# % # !
在几何概率定义 中 并不指定所述的 和 是开区间 闭区
" % ! # ’
间 还是半开半闭的区间 这是因为区间
% ! "(%)#%&(%)#%"(%)(%
有相同的长度
&(%)( !
例 公共汽车在 内随机地到达车站
"" &!’()* !
求汽车第 到达车站的概率
""# #()* )
求汽车在 到达车站的概率
"%# "!#()* !
127
书书书
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
解 试验的全集是 集合 表示汽车在第
! !!!!""#" "!!#"##
时到达 表示汽车在 到达 根据几何概
#$%& "’(!)"## )!#$%& #
率定义
$
! *
$%"&! !!"!$%%&! #
" "
在例 中也可以用 表示全集 用 表示汽
* !!%!""& " %!%)"#&
车在 到达 计算的 是一样的
)!#$%& # $%%& #
下面把几何概率的定义推广到平面上 我们把平面上的矩形
# ’
圆 椭圆等统一称为区域
’ #
几何概率定义 设试验的全集 是面积为正数的
!! !! !
区域 是 的子区域 如果试验的结果随机地落在
"" ! " !
中 则称
"
的面积
$%"&!
"的面积
!
为事件 发生的概率 简称为 的概率
" " " #
几何概率也有如下的基本性质
#
概率总是 中的数
%)&!"$%"&")!% !!")# &(
必然事件的概率是
%*&$%!&!)!% )&(
不可能事件的概率是零
%#&$%#&!!!% &(
如果 互斥 则
%+& ""% " $%"$%&!$%"&&$%%&(
对立事件概率之和等于
%"&$%"&&$%!%"&!)!% )&#
例 设雨点等可能地落在半径是 的圆 中 是半径为
"! )$ ! ""
的圆 如图
!,"$ % )# )&#
计算雨点落在小圆内的概率
%)& (
计算雨点落在小圆外的概率
%*& #
解 大圆的面积是 雨点等可能地落入大圆 小圆的
! %)& "$*" -
面积是 雨点落入小圆的概率是
")!,"*$*"
的面积
$%"&!
"的面积
!
")!,"*
!!,*"#
! "
根据几何概率的性质 雨点落入小圆外的概率是
%*& ""
128
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
!!!!""#!#$%&’($%)’$
例 陨石等可能地掉落在方圆为
!" &$$*+&
的区域内 该区域内有面积为 的湖泊
# ,$*+& $
求陨石溅落在湖泊中的概率
$
解 全集 的面积是 湖泊 的
" ! &$$*+&# "
面积是 元素等可能地落在 中 由几
,$*+&$ ! # 图
!" !
何概率的定义得到
的面积
!!""#
"的面积
#
,$
#$%-$
! &$$
陨石溅落在湖泊中的概率是
$%-$
练 习
每天的整点 如 时 时 时等 北京站都有列车发往天津 一名乘客
! . #!$ #!! " $
在 时至 时之间随机到达北京站 计算
. !$ $ $
他候车多于 的概率
!!" &$+/0 %
他候车恰好 的概率
!&" !’+/0 %
他候车少于 的概率
!"" "$+/0 %
他候车时间在 的概率
!-" &’!-’+/0 $
习题
"" !
一只麻雀随机地落在面积是 的广场上觅食 广场内有一个长 宽
!$ -$$+& $ &$+&
的草坪 还有一个半径是 的圆形花坛 计算
’+ # ’+ $ $
麻雀落在草坪中的概率
!!" %
麻雀落在花坛内的概率
!&" %
129
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
麻雀落在草坪或花坛内的概率
!!" #
麻雀落在草坪或花坛外的概率
!"" !
在长方形 中随机投掷一个质点 图 计算
#! !"#!$!%!& ! $! #"! $
!$"’!#"# # $
!#"’!#!$"# """""""""""" % &
图
!!"’!#!%!&"# $! #
证明
!"" ’!!#!$"#!#!%"""’!#!$"%’!#!%"!
在区间 中随机地投掷一点 计算该点落在 中的概率
!! &%’$( ’ &%’%&!( !
在区间 中随机地取两点 用 表示它们的平方和小于
"! &%’$( ’ # $!
写出试验的全集
!$" !#
用集合表示出事件
!#" ##
计算
!!" ’!#"!
在区间 中随机地投掷两个点 用 表示它们的差的绝对值小于
’! &$’#( ’ $ $)!!
写出试验的全集
!$" !#
用集合表示出事件
!#" $#
计算
!!" ’!$"!
两人在某天的 时至 时间各自独立随机到达某地会面 先到者等候 后
(! $ # ’ #%)*+
离去
!
写出试验的全集
!$" !#
用集合表示出事件 两人相遇
!#" $" * +#
计算这两人能相遇的概率
!!" !
频率与概率
$１!３&．!３"频率与概率
""
设 是某个试验的全集 是 的事件 在相同的条件下将该
"" ! ’# ! !
试验独立地重复 次 我们称
( ’
次试验中 发生的次数
( #
) "
( (
是 次独立重复试验中 事件 发生的频率
!!!"#$%&’( ( ’ # !
)*+,-./01! 理论和事实都证明 在相同的条件下 将一试验独立重复 次
$ ’ ( ’
130
书书书
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
用 表示事件 在这 次试验中发生的频率 当 增加时 将
! # " $ " !!
" "
在一个固定的数值 附近波动 这个数值 就是事件 的概率
% ! % #
于是 是 的估计
&"##$ !! &"## $
"
历史上许多著名的统计学家对概率和频率的关系进行过验证 他
$
们的试验结果总结在表 中
!"#! $
表
!! !"#!
试验者 掷币次数 正面朝上次数 频率
" !
"
德 摩根
$ $%&’ !%(! %#)!’!
蒲丰
&%&% $%&’ %#)%(*
凯瑞
+%%% ")!( %#)%$$
凯瑞
*%%% &)"’ %#)%&$
费勒
!%%%% &*+* %#&*+*
皮尔逊
!$%%% (%!* %#)%!(
皮尔逊
$&%%% !$%!$ %#)%%)
罗曼诺夫斯基
’%(&% &%!+" %#&*’$
现在的随机试验工作可以在计算机上方便地进行
$
例 表 是用计算机进行的投掷一枚均匀的骰子的试验总
!! !"#$
结 其中 是试验的次数 表中的百分数是频率 例如表中第 行
$ " ! $ "
第 列的 表示试验次数 时 点数 出现的频率是
$ !)#%%,! "’!%$ ! $
!)#%%,$
表
! ! ! !"#$
点数
"’!%$ "’!%" "’)%%% "’!%& "’!%) "’!%(
! !+#%%, !(#)%, !(#$’, !(#(!, !(#+$, !(#(*,
$ !)#%%, !)#)%, !+#!$, !(#($, !(#&&, !(#($,
" !’#%%, !+#!%, !(#+’, !(#*&, !(#’&, !(#(*,
& !’#%%, !(#%%, !(#(’, !(#*+, !(#+(, !(#(&,
) !"#%%, !(#(%, !)#)%, !)#*&, !(#(*, !(#(&,
( !*#%%, !’#"%, !+#(&, !(#*$, !(#)), !(#+$,
从表 可以看出 当试验的次数逐步增加时 每个点数出现
!"#$ ! !
的频率都向概率 靠近
!%("!(#(+, $
例 中的计算机试验称为计算机模拟试验 计算机模拟试验还可
! $
以解决很多其他的计算问题
$
例 利用几何概率估算圆周率 在平面上作一个边长是
$!! !" !%-.
131
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
的正方形 在正方形内作一个半径等于 的圆 见图
! !"# ! $% %!
图 在 内随机投掷的 个质点
$% %! ! $&&&
在该正方形内随机投掷 个质点 计算质点落入圆 的
"$# $ ! "
概率
$
利用计算机模拟的方法估计 的值
"’# ! !
解 试验的全集是正方形
! "$#
!#%"$!%#"&#$#$&!&#%#$&&!
事件
"#%"$!%#"$’&%’#’!&
是 的子集 根据圆面积的计算公式和几何概率定义 得到
! ! ’
的面积
’""##
"的面积
#
’!!
#
!
!
! $&& (
如果 是未知的 可以用如下的方法进行模拟计算
"’# ! ! !
独立重复地在 中投掷 个质点 对于较大的 质点落入圆
! ( ! (!
的频率
"
落入 的质点数
"
) # !
( (
由频率和概率的关系知道 是 的近似 所以对较大的
) ’""# ! (!
(
!
) $ !
( (
是可以计算的 于是
) !
(
)!#()
(
是 的估计
! !
132
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
利用计算机在 中随机投掷 个质点
! !"!"#!!"$!!"%!!"& !
见图 把依次得到的 列入表 从表 可以看出 对
!$ $! ’! !$($# !$($ !
于较大的 对 的近似是不错的
!!’! ! #
表
!!!!!!!!! !"#"
! !"# !"$ !"% !"&
’! $(")" $(!%) $(!*" $(!%+
为了看清计算机模拟结果的随机性 再次进行模拟计算时 得到
!! ! !
的结果如表 所示
!$(% #
表
!!!!!!! !"#$
! !"# !"$ !"% !"&
’! $(!*$ $(##! $(!#! $(!%%
例 是平面上的不规则区域 作一个长 宽 的矩形
!! "!$ ! !#," ),
使得 图 利用计算机在 中随机投掷了 万个质
!! $"! # !$ %$# ! #
点后 发现有 万个质点落入区域 中 估算 的面积
! !(!# $ ! $ #
图 估算 的面积
!$ %! $
解 质点落入 的频率是
! $
!(!#
% " ""(&*#
! #
根据频率和概率的关系知道
的面积
$的面积
% # #
! !
所以
!
的面积 的面积
$ #% &! ""(&*-!#-).&$(/* #,#$#
!
133
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
练 习
是平面上的不规则区域 作一个半径为 的圆 使得 在 中随
! ! !"#$ !! !!!" !
机投掷了 个质点后 发现有 个质点落入区域 中 估算 的面积
%&&& ! !’’& ! ! !
结果精确到小数点后两位
" #"
习题
"" !
某老师在某大学连续 年主讲高等数学这门课 年来学生学习这门课的成绩
!" % !%
汇总如下
$
成 绩 人 数
" "
分以上
(& )&
分
*&!*( !*&
分
+&!+( ",&
分
,&!,( (&
分以下
,& ,&
学生甲下学期将学习该老师的高等数学课 用已有的信息估计他得以下分数的
!
概率
$
分以上 分 分以上
"!#(& %" ""#,&!,( %" "%#,& "
某人捡到不规则形状的五面体石块 他将每个面分别标上 后
"" ! !!"!%!’!) !
投掷了 次 并且记录了每个面落在桌面上的次数 如下表 如果再投掷
!&& ! " #"
一次 请估计标记为 的这一面落在桌面上的概率是多少
! ’ "
石块的面
! " % ’ )
频 数
" %" !* !) !% ""
134
书书书数学文化
···················································
数学文化
!!!
概概率率简简史史
概率的概念形成于 世纪 与用投掷骰子的方法进行赌博有
!" !
密切的关系
!
重复投掷一枚硬币 万次 你会得到什么结果呢 如果硬币是
! ! "
均匀的 你会判断正面出现的频率大约是 吗 初看起来这是一
! !## "
个简单的问题 数学上首先证明这个结论的人是伯努利
! $$%&’()*+
尽管他说 哪怕最笨的人 不通过别人的教诲也能理解频率大
*,%! & !
约是 但是要在数学上证明它却不容易
!##! !
伯努利 年出生于瑞士的巴赛尔 在他的家族成员中 程度
!"-. ! !
不同地对数学的许多方面作出过贡献 其中至少有 人在概率论方
! -
面作出过贡献 他的父亲希望他成为神职人员 但是伯努利自己更
! !
喜欢数学 他和同时代的牛顿等人保持密切的通信联系 现在国际
! !
上的伯努利统计期刊和伯努利统计学会就是以他的名字命名的
!
学习数学的人对费马 是不陌生的 因
$/%&012!!"3!4!""-% !
为 费马大定理 在前些年得到证明 费马的名声早已传播到数学
’ ( !
的领域之外 但是费马和概率论的关系并不为很多人所了解
! !
费马和笛卡儿 同享发明解析几何
$5%671&2%6!!-8"4!"-3%
的荣誉 但是费马最重要的研究工作是在数论方面 费马不写论文
! !
发表 只是通过书信的形式和朋友们交流数学研究的思想和成果
! !
他和帕斯卡 的通信是建立概率论的数学基
$91671*!!"#:4!""#%
础的起点
!
帕斯卡出身于贵族家庭 岁时就发表了圆锥曲线方面的数
!!"
学论文 为了帮助他父亲管理账目 他还发明了一个早期的计算
! !
机 帕斯卡对于概率论的贡献体现在他和费马的通信中
! !
135
书书书数学文化
···················································
促使帕斯卡和费马通信的人是
德梅尔 他向帕斯卡请教几个有关
!
赌博的问题 年 月 日帕
!!"#$ % &’
斯卡首先给费马写信 转达了德梅
!
尔的以下问题 投掷两个骰子
" &$
次 至少掷出一对 的概率小于
! "
这 个 概 率 实 际 上 近 似 等 于
!#&!
()$’!$!!
概率论的数学理论基础是由著
名的苏联数学家 柯尔莫哥罗 夫
在 年建立的
$*+,-+.+/+0!!’(12!’3%% !’11 !
在我国 许宝马录教授是概率论和统计学研究的先驱 有很大的
! !
学术成就 在国际上享有盛誉 对概率论和统计学作出了杰出的贡
! !
献 年 世界著名的统计期刊 数理统计年鉴
!!’%’ ! & ’$"#$%&&’()
邀请了一些著名学者撰文介绍他的生平 高度评价
*+,-’-.)-./)% !
了他在概率论和统计学两方面的研究工作
!
136
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
使用计算机模拟随机试验
利用计算机和 进行计算机模拟时 可以仿照下面程序
!"#$"% !
进行
&
用计算机进行投掷 次硬币试验 计算正面出现的频率时
’! ’() ! !
直接输入下面的语句 括弧的内容是语句的解释 不输入
! ! !
!!*"’(")"
产生 个取值 或 的随机
!!+,-+./0+/ #1!’!*$2’ # ’() ( ’
数 相当于投掷 次硬币
! ’() $"
计算正面朝上的次数
!!3,4-5 #+$# $"
计算正面出现的频率
!!!,56"+ #+$# $!
用计算机进行独立重复投掷一枚均匀的骰子的试验时 用下
1! !
面的语句
!
产生 个 中的随机数
!!+,-+./0+/ #7!’!’(")$# ’() ’!7 $"
计算出现的次数和频率
!!#"%-8"#6#+$# $&
利用计算机和几何概率估算圆周率 时 直接输入以下语句
)! " ! %
在 中投掷
!!9,0"+/ #1!’(")$#’("# &(!’(’: &(!’(’
个质点
’() $
!!+,;60<4#’!’(")$"
!!=<0>,’?’(")
!!.=!#9#’!>$#@$1$#A#’!>$#@$1$1@
!!+ #>$,’"
!!6+/
!!6+/
计算
!!!,56"+ #+$#B # C"$&
137
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
数学实验
!!! !
用计算机模拟随机试验
打开用 超级画板 制作的课件 圆中投豆 屏幕
!!"! " ! #$%$"#
画面如图
&’ ($
图
&’ (
鼠标单击右下方 显示或隐藏说明 按钮 仔细阅读出现的文
! " #
本内容 根据操作说明 单击灰色按钮上的副钮使还原 待变量尺
% # %
指向 再单击蓝色按钮两次使数据置零 单击灰色按钮上的主钮
)# %
做预备 待变量尺指向 单击绿色按钮开始试验
% &# *
图 是试验若干次后的画面
&’ + *
138
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
图
!" #
利用几何概率求圆周率的另一个著名的试验是投针试验 在纸
$
上画一些等距离的平行直线 使相邻直线距离为 将一枚长度为
! !%
的针随机地投到纸上 可以算出针和直线相交的概率为
"""!!# !
!#
!"
!$
想一想 若在 次投针中和直线相交 次 当 较大时相交频
! # $ ! #
率与 有何关系
! $
打开用 超级画板 制作的课件 投针试验 屏幕
%&’& & % %()(&!
画面如图
!" *’
139
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
图
!" #
单击 显示或隐藏说明 按钮 仔细阅读出现的说明 依法操
! " # #
作 模拟投针若干次后的效果类似图
# !" $$
图
!" $
下面举例说明 如何在 超级画板 的程序工作区直接
# !%&% "
计算模拟随机试验
’
根据学过的算法知识 不难理解下面的几个程序 注意其中使
# ’
140
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
用的函数 可以每次随机地产生 之间的一个具有
!"#$!!""#" !""
指定的有效数字的实数
#
模拟投掷硬币输出正面向上的频率的函数 其中
!!" "#!!"# !
是投掷次数
"
键入程序
$
!!"#!$"$%&$%’&(%
!)*+,-!%"("
!! $%&%.!%
!!!’&’/0+1’ !23’4 !(#!"#(56"%&
!!’’$%&
执行 用 键 下同 后返回
! %&!’()#&*! " # $
!!#+,!-#!
如希望将频率表示成小数 可键入
"
!!7,839!.#%
返回
$
计算结果显示浮点数
!!# !
要模拟试验 次 可键入
./// "
!!"# !!(((#%
执行后返回
$
!!#!0/1#&!.///#2/30/1!
模拟掷骰子 次 输出 点向上的频率的函数
!:" ! # # 0;!!"(
!!0;!$#4"$%&$%’&(%
!!)*+,-!%"("
!!!$%&%.!%
+((#:"%
141
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
执行后返回
!
!!""!"#$"#$$#%$&’()))"!
模拟投豆试验用几何概率求圆周率的近似值的程序
!!" "
#$%!&"#
’(&$)(*$
+,-.$!’#*"
#’(’/0$
-1!!23)4!*%0*"/5"678!23)4!*%5"/5"67$75"#)()80$&&
9%)’&$&
键入程序执行后返回
!
!!"*+,"-#!
要模拟投豆 次的试验 只要输入
’$$$ %
!!#$%!0***"$
执行后返回
!
!!""#..#$"’/(#%#&’$!!
当然 你在计算机上运行的结果和这里可能不同
% 0
有了这些程序 你可以在不长的时间做大量的有关随机数的试
%
验了
0
142
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
!!!!
小结与复习
元素 是试验的可能结果 也称为样本点或基本事件
!! ! " !
全集 是试验的元素的集合 常用 表示 也称为样本空间
"! ! " ! ! !
事件 是全集的子集
#! ! !
古典概型 设全集 中有 个元素 事件 包含了 个元素
$! ! ! " " # $ !
如果 的每个元素发生的可能性相同 就称
! "
$
%##$&
"
是事件 的概率 称这个模型是古典概型
# " !
几何概率 设试验的全集 是长度为正数的区间 是 的
%! !! ! "# !
子区间 如果试验的结果随机地落在 中 则称
! ! "
的长度
%##$&
#的长度
!
为事件 的概率
# !
几何概率 设试验的全集 是面积为正数的区域 是 的
&! "! ! "# !
子区域 如果元素随机地落在 中 则称
! ! "
的面积
%##$&
#的面积
!
为事件 的概率
# !
概率的性质
’! !
#!$("%##$"!%
#"$%#!$&!%
##$%##$&(%
如果 互斥 则
#$$ #"’ " %##$’$&%##$(%#’$%
#%$%##$(%#!%#$&!!
概率和频率 在相同的条件下 将一试验独立重复 次 用 表
)! ! " ) " *
)
143
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
示事件 在这 次试验中发生的频率 当 增加时 将在一
! " # " !$
"
个固定的数值 附近波动 这个 就是事件 的概率
% ! % ! &"!##$
"
是 的估计
&"!# #
复习题十三
口袋中有标号 的球各 个 为以下的试验写出全集
!# !!" ! # #
从中任取 个
"!# ! $
从中一次任取出 个
"## # #
投掷一枚骰子和两枚硬币 写出全集
## ! #
同时投掷一枚骰子和一枚硬币 计算概率
$# ! #
硬币是正面 骰子的点数是
"!# ! $$
硬币是正面 骰子的点数是 或
"## ! # %#
豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定 其中决定高的基因记为 决定矮
%# ! &!
的基因记为 则杂交所得第一子代的一对基因为 若第二子代的 基
’! &’( &!’
因的遗传是等可能的 求第二子代为高茎的概率 只要有基因 则其就是高
! " &
茎 只有两个基因全是 时 才显现矮茎
! ’ ! #(
将一枚骰子先后抛掷 次 观察向上的点数 问
"# # ! ! %
共有多少种不同的可能结果
"!# &
点数之和是 的倍数的可能结果有多少种
"## $ &
点数之和是 的倍数的概率是多少
"$# $ &
投掷两枚骰子 计算以下事件的概率
)# ! #
两枚骰子的点数之和是
"!#!’ ’ #($
两枚骰子的点数之和是
"##(’ ’ %($
两枚骰子的点数之和是
"$#)’ ’ )($
144
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
以上三个事件中 哪个概率最大 为什么
!!" # # $
一批产品有 个 其中含有 个次品 从中随机抽取 个 计算
"! #$ # # # % ! %
这个产品是次品的概率
!%" &
这个产品是正品的概率
!&" !
黄色人种种群中各种血型的人所占的比如下表所示
’! %
血 型
! ( ) () *
该血型的人所占比
’+ &’ &, ’ #-
已知同种血型的人可以输血 型血可以输给任一种血型的人 任何人的血都
#* #
可以输给 型血的人 其他不同血型的人不能互相输血 小明是 型血 若
() # . ) #
小明因病需要输血 问
# %
任找一个人 其血可以输给小明的概率是多少
!%" # $
任找一个人 其血不能输给小明的概率是多少
!&" # $
某射击手在同一条件下进行射击 结果如下
,! # %
射击次数
!"" %$ &$ -$ %$$ &$$ -$$
击中靶心次数
!#" ’ %, !! ,& %"’ !--
击中靶心频率!#"
"
计算表中击中靶心的各个概率
!%" &
这个射手射击一次 击中靶心的概率约是多少
!&" # $
如果全集 的事件 两两互斥 用 表示事件
%$! ! $#%#&#’ # $"%"&"’ $#%#
中至少有一个发生 证明
&#’ ! %
(!$"%"&"’")(!$"*(!%"*(!&"*(!’"!
设 是长 宽 的长方形 是以长方形对角线交点为圆心 以
%%! ! &/0( #/0 #$ # &/0
长为直径的圆 如果质点等可能地落在 中
! ! #
计算质点落在 内的概率
!%" $ &
计算质点落在 外的概率
!&" $ !
在区间 中随机地投掷两个质点 计算这两个质点都落在 中
%&! )%##* # )%#&*
的概率
!
145
书书书第 １３ 章
概 率
··················································
两人在某天的 时至 时间相互独立随机到达某地会面 先到者等候
!"! # $ ! "%&’(
后离去
!
写出试验的全集
"!# !$
用集合表示出事件 两人相遇
")# "# % &$
计算这两人能相遇的概率
""# !
智者千虑! 必有一失"
一金融公司的主要工作是进行投资 尽管每次投资前都有缜密的投资分析
!*! ! !
但是投资失败的概率仍保留在 利用频率和概率的关系 说明该公司一次
#+! !
次相互独立的投资一定有失败的时候
!
某射击运动员脱靶的概率是 如果他独立重复射击下去 必有一次脱
!#! %,%!+! !
靶发生 利用频率和概率的关系说明
!" !#
愚者千虑! 必有一得"
张三和好友李四下棋时 赢李四的概率只有 张三不服输 不断约李四
!-! ! !%+! !
下棋 试说明张三总有赢棋的时候
! !
!!!"#$%&’(
是赌徒就要破产"
)*!"#!+,!"
#$’-./0!1%
&’()234/0! 一个赌徒手中有 元本金 赌博时每次赌注是 元 输赢的概率都是
!$! !%%% ! ! ! !’)!
在赌博期间 一旦输光则宣告破产 现在该赌徒决心赢到手中有 万元后再
! ! )
停止赌博 你认为他的目的可以达到吗 对掷硬币的试验再次理解后给出
! ( "
答案
!#!!
146
书书书
书书书附 录
··················································
附 录
!
数学词汇中英文对照表
按词汇所在页码的先后排序
! "
中文名 英 文 名 页 码
! ! ! !
算法
! !"#$%&’() *
顺序结构
! +,-.,/0,+’%.0’.%, 1
条件结构
! 0$/2&’&$/!"+’%.0’.%, 34
循环结构
! 050",+’%.0’.%, 36
输入语句
! &/7.’+’!’,),/’ *3
输出语句
! $.’7.’+’!’,),/’ *3
赋值语句
! !++&#/),/’+’!’,),/’ **
条件语句
! 0$/2&’&$/!"+’!’,),/’ *6
循环语句
! 050",+’!’,),/’ 84
总体
! 7$7."!’&$/ 94
个体
! &/2&:&2.!" 94
均值
! ),!/ 93
样本
! +!)7", 9*
观测数据
! $;+,%:,22!’! 9*
样本量
! +!)7",+&<, 9*
抽样
! +!)7"&/# 9*
估计
! ,+’&)!’$% 98
方差
! :!%&!/0, 9=
标准差
! +’!/2!%22,:&!’&$/ 91
随机数
! %!/2$)/.);,% 1*
层权
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系统抽样方法
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频率
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频率分布表
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147
书书书附 录
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直方图
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茎叶图
! #$,)-.%$ /0
散点图
! #1($$,’2"(&’() /3
参数
! -(’(),$,’ 404
随机事件
! ’(52%),6,5$ 447
事件
! ,6,5$ 447
样本点
! #()-.,%8$1%), 447
样本空间
! #()-.,#-(1, 447
概率
! -’%9(9"."$: 4;4
数理统计年鉴
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148
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