文档内容
昆明市第一中学 2026 届高三年级第三次联考
数学试卷
【考试时间：10月29日 14： 30—16： 30】
命题人：昆一中数学命题小组
审题人：杨昆华 刘皖明 莫利琴 毛孝宗 凹婷波 王佳文 顾先成 丁茵 张远雄 蔺书琴本试卷
共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解方程求得集合 ，利用交集的意义求解即可.
【详解】由 ，可得 ，解得 或 或 ，
所以 ，又 ，所以 .
故选：B.
2. 函数 的最小正周期是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 2π B. π C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于正切函数 ，其最小正周期公式为 .
【详解】由题意可得 .
故选：C
3. 已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A. B. 5 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数除法法则得到 ，进而由模长公式得到答案.
【详解】 ，
故 .
故选：A
4. 已知向量 满足 ，则 ＝（ ）
A. 5 B. －5 C. －11 D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】由题可求 ，再求值即可.
【详解】 ，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
故选：B.
5. 已知双曲线 ，则顶点到渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】写出双曲线的顶点和渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求解即可.
【详解】双曲线 的顶点坐标为 ，渐近线方程为 即 ，
根据双曲线的对称性，取顶点 ，渐近线 ，
根据点到直线的距离公式得顶点到渐近线的距离为 .
故选：C．
的
6. 若一个圆锥与一个圆柱 体积相等，侧面积也相等，且圆锥底面半径是圆柱底面半径的 倍，圆柱
的高为3，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆柱和圆锥的结构和体积公式进行求解即可.
【详解】设该圆锥的高为 ，圆柱底面半径为 ，圆锥底面半径为 ，
则 ，解得 ，圆锥的体积为 ，
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司7. 在 中， ， 的平分线交 于 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理，求得 ，得到 ，得出 为直角三角形，结合
，列出方程，即可得到 的长，得到答案.
【详解】在 中， ，
由余弦定理得 ，
所以 ，所以 ，则 为直角三角形，所以 ，
如图所示，设 ，因为 ，
可得 ，即 ，
解得 ，所以 .
故选：D．
8. 设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最小值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用隐零点结合函数单调性和最值可得答案，或者利用同构结合单调性可得答案.
【详解】实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，
即为 ，
设 ， ， ，
令 ，可得 ，
由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，
可得 和 有且只有一个交点，
设为 ，当 时， ， 递增；
当 时， ， 递减．
即有 在 处取得极小值，且为最小值．
即有 ， ；
当 时， ，此时 恒成立，符合题意；
当 时，由 可得 ，即 ；
由 两边取对数可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，
所以 的最小值为 ．
故选：A．
另解：因为 ，不等式 恒成立，即为 ，
当 时， ，此时 恒成立；
当 时，上式可化为 ，
令 ，由 可得 在 递增，
所以 ，即有 ，
由 的导数为 ，当 时， 递减． 时， 递增，
可得 时， 取得最大值 ．则 ，
的最小值为 ．
故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设抛物线 的焦点为 ，过点F的直线与C交于M，N两点，则下列选项中正确的是（
）
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学科网（北京）股份有限公司A. 抛物线C的准线方程为
B. 若 ，则点M的纵坐标为2
C. 以MN为直径的圆与直线 相切
D. 以MF为直径的圆与直线 相切
【答案】ABC
【解析】
【分析】先求得 ，以及抛物线的焦点，进而求得抛物线的准线方程，结合抛物线的定义以及直线与圆的
位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由抛物线 的方程得 ， ，所以焦点 ，
对于A，抛物线C的准线方程为 ，A正确；
对于B，根据抛物线的定义，若 ，则点 到准线 的距离为3，
则点 的纵坐标为2，B正确；
对于C，设线段 的中点为 ，准线为直线 ，
过 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，
由抛物线定义可知， ， ，
由梯形中位线定理， ，故以 为直径的圆与准线相切，C正确；
对于D，设 ，则 的中点坐标为 ，
由 的长度的一半（圆的半径）为 ，
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学科网（北京）股份有限公司而 的中点 到直线 的距离为 ，即以MF为直径的圆与直线
相离，故D错误.
故选：ABC．
10. 函数 的图象如图所示， 若 的图象与 的图象在
处有公切线，其中 ，则（ ）
A.
B. 为奇函数
C.
D. 的图象与 的图象在 处的公切线为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据余弦函数的图象和性质逐项判断即可.
【详解】由图可知， ，所以 ，A正确；
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学科网（北京）股份有限公司因为 的图象不关于原点对称，不是奇函数，B错误；
因为 ， ，所以 ，解得 ， ，C正确；
所以 的图象与 的图象在 处的公切线方程为 ，D正确.
故选：ACD．
11. 在长方体 中， 底面ABCD为正方形. ，E为棱 上的一个点，
平面 与棱 交于点F，则下列结论正确的有（ ）
A. 当点 E为棱 的中点时，
B. 当点 E为棱 的中点时，点 D 到平面 的距离为
C. 存在点E，使得平面 平面
D. 四边形 的周长的最小值是
【答案】BC
【解析】
【分析】连接 ，利用 与 不垂直 判断A；利用等体积法求解点面距离判断B；利用
定义法作出二面角 的平面角，然后利用面面垂直得确定点 E位置判断C；先判定四边形
为平行四边形，然后 和 展开在同一平面内利用三点共线最短求解最小值判断D.
【详解】对于A，当点 为棱 的中点时，连接 ，则 ，
在长方形 中， ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，
所以 不垂直 ，所以 不垂直 ，故A错误；
对于B，当点 为棱 的中点时，由 可知 ，
又 ，故 是等边三角形，
设点 到平面 的距离为 ，所以 ，
，由 得 ，所以 ，
即点 到平面 的距离为 ，故B正确；
对于C，在长方体 中，平面 ，
为
连接 交 于点 ，因 为 中点， ，
所以 ，
所以 即为二面角 的平面角，当平面 平面 时， ，
设 ， ，在直角三角形 中， ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ， ，
所以 ，
所以 ，即 时，使得平面 平面 ，故C正确；
对于D，如图，在棱 上取一点 ，使 ，在棱 上取一点 ，使 ，
连接 ，
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，且 ，又因为 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ， ，所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，则周长 ，
将 和 展开在同一平面内，如图：
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学科网（北京）股份有限公司可知 ，此时点 为棱 的中点，
故当点 为棱 的中点时，四边形 的周长的最小值，
最小值是 ，故D错误.
故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ______________________.
【答案】
【解析】
【分析】由对数运算性质可得答案.
【详解】原式= ．
故答案为：
13. 盒子中有5个小球，分别标有数字为1，2，3，4，5，这些小球除数字外完全相同，现从中依次随机抽
取2个小球(不放回)，记取出的两个小球数字分别为m和n，使得关于x的一元二次方程
有实数根的概率为__________.
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】先求出从有5个小球随机抽取2个小球的所有情况，再找出符合方程要有实数根的情况，最后根
据古典概型概率公式即可求出.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】从中依次随机抽取2个小球(不放回)，共有 种，
方程要有实数根，即判别式 ，
满足条件的有：当 时， ，共一种情况；
当 时， 共两种情况；
当 时， 共三种情况；
当 时， 共四种情况，
满足方程要有实数根共有 种情况，
所以概率为 .
故答案为： .
14. 已知实数 满足： 则
的最大值为__________.
【答案】8
【解析】
【分析】根据题意可得点 在以原点为圆心，半径为2的圆上，进而把 转化
为点到直线的距离问题求解即可.
【详解】由 ， ， ，可设点 ，
且 ，因此，点 在以原点为圆心，半径为2的圆上，
故 ，
所求最大值可转化为点 到直线 的距离的和的最大值的 倍.
由下图可知，直线与圆相交，则点 在优弧上的时候所求距离最大，
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学科网（北京）股份有限公司从 作直线 的垂线，垂足分别为 ，则 ,
所以四边形 是梯形，分别取 的中点 ，则 .
于是所求距离的最大值等于点 的中点 到直线 距离的最大值的 倍.
设 ，由 得 ，即 ，
故点 的中点坐标为 ，
则点 的中点到直线 的距离为 ，
当 时， ，
则 的最大值为 ．
故答案为：8
四、解答题：本题共5小题， 其中第15题13 分， 第16、17题15 分， 第18、19 题17
分， 共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某工厂的一个生产车间举行了生产技能测试(满分100分)，经统计，全部测试成绩均位于[50，100]内，
按区间[50， 60)， [60， 70)，[70， 80)， [80， 90)， [90， 100]分成5组， 绘制频率分布直方图如
图，其中在[90，100]内的人数为6.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求a的值，并估计参加测试的职工的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；
的
（2）现将[50， 60)和[90， 100]内 所有职工的工号贴在形状、大小和质地均相同的小球上(每个小球贴
一个工号)，并放入盒内，从盒中随机抽取两个小球，若抽出的两人成绩差不小于30，称这两人为“黄金搭
档组”.若抽取4次，每次取出2个球，记下工号后再放回盒内.记取得“黄金搭档组”的次数为X，求X=2的
概率和X的数学期望.
【答案】（1） ，75；
（2） ，2.
【解析】
【分析】（1）在频率分布直方图中，利用所有小矩形面积和为1，列出 的等式，解出 ．在频率分布直
方图中，利用平均数等于每个小矩形的中点值乘以这个小矩形的面积相加求和求出平均成绩；
（2）求出 内的频率和人数，求出 内的人数，求出每次抽取取得“黄金搭档组”的概率，又
，利用二项分布求出 和
【小问1详解】
由题意，得 ，解得 ．参加测试的职工的平均成绩估计为
【小问2详解】
在 内的频率为 ，由题意得总人数为 ，
所以在 内的人数为 ．
每次抽取取得“黄金搭档组”的概率 ，因此 ，
， 数学期望 .
的
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学科网（北京）股份有限公司16. 已知数列{ }的首项 且满足
（1）求数列{ }的通项公式；
（2）求数列{ }的前n项和S.
n
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据题干构造出 是以 为首项， 为公比的等比数列，进而求出数列{ }的通
项公式；
（2）由（1）可知数列{ }的通项公式为等差乘等比，利用错位相减求出前n项和即可.
【小问1详解】
由于 ，则 ，
化简得 ，
又 ，则 是以 为首项， 为公比的等比数列，
得 ，所以 ．
【小问2详解】
由(1)得， ，则 ，则
，①
，②
① ②，得
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学科网（北京）股份有限公司化简后得 ．
17. 已知函数 的图象记为曲线C.
（1）若点A(2，4)在曲线C上，求过点A与曲线C相切的直线方程；
（2）若过点B(2，0)作曲线C的切线恰有三条，且三条切线的切点横坐标构成等差数列，求实数 的值.
【答案】（1） 或
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据 点坐标求得 ，利用导数求得切线方程.
（2）设切点为 ，求得切线方程并代入点 的坐标，利用等差数列的性质以及方程的思想列方程，
化简求得 的值.
【小问1详解】
函数 对应图象为曲线 ，因为点 在曲线 上，
所以 ，所以 ， ，
设切点为 ，切线方程为: ，即 ，
因为切线过点 ，所以 ，即 ，
，
，所以 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以切点为 或 ，
将 或 代入 ，
可得切线方程为： 或 ．
【小问2详解】
函数 ，求导得 ，
设切点为 ，切线方程为 ，即 ，
切线过点 ，则 ，
依题意方程有三个不同解，且成等差数列，
设三个不同解为 ，且 ，
，
则 ，结合 ，得 ， ，
，所以 ，
所以 ．
18. 已知椭圆E： 的左焦点为 ，过点F且与x轴不重合的直线l交E于
A，B，当直线l的斜率为1时，直线l恰好过椭圆的一个顶点.
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若在x轴上存在异于F 的定点Q，使得直线 QA 与直线QB的斜率比值为定值，
①求定点 Q 的坐标；
②求△ABQ 面积的最大值.
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2） ；
① ②
【解析】
【分析】（1）易得 ，再由直线 恰好过椭圆的一个顶点得到 求解；
（2）①设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，再结合韦达定理求解；② 由①得到
， ， ，再由 求解.
【小问1详解】
由题意知， ，
当直线 的斜率为 时，直线 恰好过椭圆的一个顶点，
所以 ，所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
【小问2详解】
①由题意可设 ， ， ，
设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
则 ， ，得 ，
记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司要使 为定值，则 ，解得 或 (舍去)，此时 ，
故在 轴上存在异于点 的定点 ，使得直线 与直线 的斜率比值为定值．
② 由①可得 ， ， ，
则
由 ，
故 ，
，
当且仅当 时等号成立，所以△ 面积的最大值为 .
在
19. 如图， 三棱锥 中.
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 ， ， 证明： ；
（2）若 ， 平面 ， ，
①求三棱锥 体积的最大值；
②D为平面 内一点， 且点 D 与点A 位于 两侧， ，求直线 与平面 所成
角的正弦值的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）设 ， ， ，利用空间向量的数量积与运算律可得 ，进
而可得结论；
（2）①利用锥体的体积公式，以及 ，可求体积的最大值；②取 的中点 ，
以 为原点， 为 轴，过点 且平行于 的直线为 轴，过点 且平行于 的直线为 轴，建立
空 间 直 角 坐 标 系 ， 设 与 轴 交 于 点 ， 求 得 平 面 的 一 个 法 向 量 ， 设 点
，求得直线 的方向向量 ，利用向量法可得 ，进
而计算可求得直线 与平面 所成角的正弦值的最小值.
【小问1详解】
设 ， ， ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ①
又 且 ，所以 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ②
由①②知 ， 所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，即 ．
【小问2详解】
① 平面 ， 平面 ，所以 ，又因为 ， ，
所以 平面 ，所以平面 平面 ，
作 ，则 平面 ，
由 平面 ， 平面 ，则 ，
又 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
由 ，得 ，
而 ，
所以 ，
所以三棱锥 体积的最大值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司②取 的中点 ，以 为原点， 为 轴，过点 且平行于 的直线为 轴，
过点 且平行于 的直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ，所以 ，
即 ，所以 ，设 与 轴交于点 ，则 ，
而 ，点 在以 为直径的半圆上，
设点 ，其中 ( )，
所以 ，
平面 的一个法向量为 ，设直线 与平面 所成角为 ，
所以
，
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 ， 时，等号成立，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值的最小值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司
