文档内容
2 0 2 5 年 教 师 资 格 证
理 论 精 讲-大学电磁学
主讲老师 楠风
粉笔教师教育 粉笔教师第 一 节 真 空 中 的 静 电 场
一、真空中的库仑定律
1 𝑞 𝑞
1 2
𝑭 = 𝒓
4𝜋𝜀 𝑟3
0
式中，𝑞 、𝑞 分别为两点电荷所带电量；𝑟为两点电荷之间的距离；𝒓为施力电荷指向
1 2
受力电荷的位置矢量；𝜀 （埃普西隆）称为真空介电常数或真空电容率，𝜀 = 8.85 ×
0 0
−12
10 F/m。
Ԧ
𝑞 𝐹
𝑞
2
1二 、 电 场
（一）点电荷的电场
𝑭 1 𝑞
𝑬 = = 𝒓
𝑞 4𝜋𝜀 𝑟3
0 0
式中，𝑬是电量为𝑞的点电荷产生的电场，𝑞 为
0
试验电荷的电量，𝑭为试验电荷受到的电场力。
（二）电荷连续分布的带电体产生的场强
1 𝒓d𝑞
𝑬 = ∫ d𝑬 = ∫
𝑄 4𝜋𝜀 𝑄 𝑟3
0
∫ 表示对整个带电体求积分。
𝑄【例1】在𝑦𝑂𝑧平面上有一半径为𝑅的圆环，均匀带有电量𝑄（正电荷），求均匀带
电圆环轴线上（𝑥轴）某点𝑃处的场强。
𝑬
//
𝑬
⊥【例2】试计算均匀带电圆盘轴线上与盘心 𝑂 相距为x的任一给定点 𝑃 处的电场强度，
设盘的半径为𝑅，电荷面密度为𝜎。【例3】已知半圆环的半径为𝑅、电荷线密度为𝜆，则均匀带电半圆环圆心处的电场
强度为
2024FENBI三 、 真 空 中 静 电 场 的 高 斯 定 理
（一）电场线的基本性质
1.静电场的电场线总是起始于正电荷（或无穷远），终止于负电荷（或无穷远），不会在
没有电荷的地方中断。这一特点叫做静电场的有源性，即电场线是有头有尾的，有起点和终点。
2.静电场中的电场线是永不闭合的曲线。这一特点叫做静电场的无旋性。
3.任何两条电场线不会相交。（二）电通量
1.概念
将通过电场中某一个面的电场线的条数称为通过该面的电通量，用Φ 表示。
𝑒
2.公式
（1）任一曲面的电通量为
Φ = ∬ dΦ = ∬ 𝑬 ⋅ d𝑺
𝑒 𝑆 𝑒 𝑆
这是一个面积分，积分号下标𝑆表示此积分的范围遍及整个曲面。
（2）如果S为闭合曲面，则
Φ = ∯ 𝑬 ⋅ d𝑺
𝑒 𝑆
式中，∯ 表示对闭合曲面的积分。
𝑆（三）高斯定理
1.内容
在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的净电荷（电量
的代数和）除以𝜀 。
0
2.公式
1
Φ = ∯ 𝑬 ⋅ d𝑺 = 𝑞
𝑒 𝑆 𝜀 𝑖
0
式中，σ 𝑞 表示闭合曲面S内的电荷的代数和。
𝑖
𝐸
d𝑆 Ԧ d𝑆 Ԧ【例1】求电荷呈球对称分布时所激发的电场强度。
𝑆
𝑅
𝑟【例2】电荷均匀分布于一个无限大平面上，其面密度为𝜎,求其激发的静电场的电场强度。
𝜎
𝑆 𝑆
2 1
𝒆 𝒆
𝑛2 𝑛1【例3】1.求电荷呈“无限长”圆柱形轴对称均匀分布时所激发的电场强度。（圆柱半径为
𝑅，单位长度的电荷量为𝜆。）
2.求半径为𝑅、面电荷密度为𝜎的无限长均匀带电圆柱面内、外的场强。【例4】求半径为𝑅、面电荷密度为𝜎的无限长均匀带电圆柱面内、外的场强。
2024FENBI（真题2018年上高中）【例】球形电容器由两个同心的球壳导体A、B组成，如图所示。
导体𝐴、𝐵的半径分别为𝑅 和𝑅 ，且𝑅 < 𝑅 ，导体𝐴、𝐵在真空中分别带有电荷+𝑞和−𝑞，求：
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
(1)导体𝐴、𝐵之间的电场强度；
(2)该电容器的电容。
2024FENBI四 、 静 电 场 的 环 路 定 理 电 势 能 电 势
（一）静电场力的功
在点电荷的电场中移动试验电荷时，电场力做的功除了与其电量𝑞 成正比外，还与移动试验电
0
荷的始、末位置有关，而与路径无关。若使试验电荷沿任一闭合回路𝐿绕行一周，则点电荷的静电场
力所做的功为零，即：𝐴 = ∮ 𝑞 𝑬 ⋅ d𝒍 = 0
𝐿 0
（二）环路定理
1．内容：在静电场中沿任意闭合路径，场强的环流恒为零，即静电场是保守力场。
2．公式：∮ 𝑬 ⋅ d𝒍 = 0
𝐿
该公式称为静电场的环路定理，公式左边的积分称为场强𝐸的环流。
𝑞
𝐸
0
𝐴 𝐵（三）电势能 电势 电势差
1．电势能
当场源电荷局限在有限大小的空间里时，常把电势能零点选在无穷远处，则𝑞 在𝑎点的电势
0
能𝑊 为
𝑎
∞
𝑊 = න 𝑞 𝑬 ⋅ d𝒍
𝑎 0
𝑎
该公式表明，试验电荷𝑞 在电场中𝑎点的电势能，等于将试验电荷由𝑎点沿任意路径移至无
0
穷远处的过程中电场力做的功。2．电势
（1）公式
𝑊 ∞
𝑎
𝑉 = = න 𝑬 ⋅ d𝒍
𝑎
𝑞
0 𝑎
该公式表明，电场中任意点𝑎的电势𝑉 在数值上等于单位正电荷在该点的电势能，也等于单
𝑎
位正电荷从该点沿任意路径移至无穷远处的过程中电场力所做的功。（2）电势的计算
①点电荷电场的电势
在点电荷𝑞的电场中，若选取无穷远处作为电势零点，在𝑎点产生的电势为
∞ ∞ 𝑞 𝑞
𝑉 = න 𝑬 ⋅ d𝒓 = න d𝑟𝑐𝑜𝑠0° =
𝑎 4𝜋𝜀 𝑟2 4𝜋𝜀 𝑟
𝑎 𝑟 0 0
式中，𝑟是电荷𝑞到𝑎点的距离。②点电荷系电场的电势
若真空中有𝑛个点电荷，其电量分别为𝑞 、𝑞 ，…，𝑞 ，这𝑛个点电荷在𝑎点产生的电势为
1 2 𝑛
𝑛
𝑞
𝑖
𝑉 =
𝑎
4𝜋𝜀 𝑟
0 𝑖
𝑖=1
式中，𝑟 、𝑟 ，…，𝑟 分别为各点电荷到𝑎点的距离。
1 2 𝑛
该公式表明，在点电荷系的电场中，某一点的电势等于各点电荷单独存在时在该点产生的电势的代
数和。这一结论称为电势叠加原理
③电荷连续分布带电体系电场的电势
∞ d𝑞
对一个电荷连续分布的带点体系，在𝑎点产生的电势为：𝑉 = ∫
𝑎
𝑎 4𝜋𝜀 𝑟
0
式中，𝑟是电荷元d𝑞到𝑎点的距离。（四）导体的静电平衡
导体中没有电荷作任何宏观定向运动的状态称为静电平衡状态。
导体静电平衡的必要条件是导体内任一点的电场强度都等于零。
推论：1.导体是等势体，其表面是等势面
2.导体表面的电场强度垂直于导体表面【例1】一半径为𝑅的带电细圆环，所带电量为𝑞，求在圆环轴线上任一点𝑃的电势。【例2】计算均匀带电球面电场中的电势分布【例3】两个同心球面，半径分别为10cm和30cm。小球面均匀带有10−8𝐶正电荷，大球
面均匀带有1.5 × 10−8𝐶正电荷。求离球心分别为20cm、50cm处的电势。（3）场强与电势的关系
电场中某一点的场强𝐸沿着某一方向的分量𝐸 等于电势沿该方向上变化率的负值。表
𝑙
d𝑉 𝑉 𝑉
达式为𝐸 = − 𝑎 𝑏
𝑙
d𝑙
𝑎 𝑏
Ԧ
场强的矢量表达式可写成： 𝐸 d𝑙
𝑙
注：因为d𝑙很小，可认为𝐸 是匀强
𝑙
𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 电场的电场强度；𝑉 − 𝑉 = −d𝑉
𝑬 = − 𝒊 + 𝒋 + 𝒌 。 𝑎 𝑏
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉
矢量 𝒊 + 𝒋 + 𝒌称为电势的梯度，用grad𝑉或𝛁𝑉（读nabla ）表示。上式又可写
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
成
𝑬 = −grad𝑉 = −𝛁𝑉
该公式表明：电场中任意一点的场强等于该点电势梯度的负值。3．电势差
静电场中任意两点𝑎、𝑏的电势之差称为电势差，用𝑈 表示。
𝑎𝑏
𝑊 − 𝑊 𝑏
𝑎 𝑏
𝑈 = 𝑉 − 𝑉 = = න 𝑬 ⋅ d𝒍
𝑎𝑏 𝑎 𝑏
𝑞
0 𝑎【例1】半径为𝑅 的金属球𝐴外罩一同心球壳𝐵，球壳极薄，内、外半径均可看作𝑅 。𝐴、𝐵的电
𝐴 𝐵
荷量分别为𝑄 和𝑄 。（1）求𝐴的表面𝑆 及𝐵的内、外表面𝑆 、𝑆 的电荷量𝑞 、𝑞 和𝑞 ；
𝐴 𝐵 1 2 3 1 2 3
（2）求𝐴和𝐵的电势𝑉 和𝑉 。
𝐴 𝐵（真题2016年上高中）如图所示，半径为𝑏的圆环状导线均匀带电，在垂直于环平面
的轴线上有两点𝑃 、𝑃 ，𝑃 、𝑃 到环心距离为𝑏和2𝑏；设无限远处电势为零，𝑃 、𝑃 的电
1 2 1 2 1 2
𝜑
势分别为𝜑 和𝜑 ，则 1 为（ ）。
1 2
𝜑
2
5 5
A.3 B. C.2 D.
2 2
2024FENBI（真题2017年下高中）空间某静电场的电势𝜑随𝑥的变化情况如图所示,根据图中信息，
下列选项中能正确表示𝜑对应的电场强度𝐸随𝑥变化关系的是（ ）。
2024FENBI（真题2022下高中）同轴传输线由长直圆柱形导线和套在它外面的同轴导体圆管构成，已知
长直导线的半径为𝑅 圆管的内半径为𝑅 ，中间空气的介电常量为𝜀 。
1 2 0
（1）若长直导线上的电荷线密度为𝜆，求离轴线中心𝑟处（𝑅 < 𝑟 < 𝑅 ）的电场强度𝐸的大小。
1 2
（2）若测得长直导线的电势为𝑉 ，圆管内壁的电势为𝑉 ，求长直导线上的电荷线密度𝜆。
1 2
2024FENBI五、电容器的电容
电容：表征导体储电能力的物理量，其物理意义是：使导体升高单位电势所需要的电荷量。
𝑞
孤立导体的电容：𝐶 =
𝑉
比例常量𝐶称为孤立导体的电容，只与导体大小、形状和周围
介质有关。
𝑞
电容器的电容： 𝐶 =
𝑉 −𝑉
𝐴 𝐵
其值只取决于两极板的大小、形状、相对位置及极板间的电介质
𝐶
若电容中有电介质，则充有电介质的电容𝐶为两极板间为真空时的电容𝐶 的𝜀 倍： 𝜀 =
0 𝑟 𝑟
𝐶
0
𝜀 为介质的相对电容率或相对介电常量
𝑟最简单的电容器是由靠得很近、相互平行、同样大小的两片金属板组成的，设每块极板的面
积为𝑆，两极板内表面间的距离为𝑑，求平行板电容器的电容。（真题2021年下初中）如图5所示，有一面积为𝑆，板间距为𝑑的平行板电容器，充电后保持
电量𝑄不变，将一块厚度为𝑏，面积为𝑆的金属板平行于两极板插入、边缘对齐，忽略金属板对
电容的影响，金属板插入前后，关于电容器的电容和储能变化。下列说法正确的是（ ）。
2
𝜀 𝑏𝑆 𝑄 𝑏
0
A.电容增大 ，储能增加
𝑑(𝑑−𝑏) 2𝜀 𝑆
0
2
𝜀 𝑏𝑆 𝑄 𝑏
0
B.电容增大 ，储能减小
𝑑(𝑑−𝑏) 2𝜀 𝑆
0
2
𝜀 𝑏𝑆 𝑄 𝑏
0
C.电容减少 ，储能增加
𝑑(𝑑−𝑏) 2𝜀 𝑆
0
2
𝜀 𝑏𝑆 𝑄 𝑏
0
D.电容减少 ，储能减小
𝑑(𝑑−𝑏) 2𝜀 𝑆
0
