数学答案-山西省太原师范学院附属中学、太原市师苑中学2023高二上学期9月开学分班考试(1)_1多考区联考_09142024-2025学年高二上学期9月初开学数学试卷1

太原师范学院附属中学 太原市师苑中学校
2023 级高二年级分班测评 数学参考答案
一、选择题
1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．B 7．B 8．D
二、选择题
9．BD 10．CD 11．ACD
三、填空题
5
12． 10 13． 14．2,5
4
四、解答题
2
15．解：（1）因为 f x 2sin2x 6sinxcosx
2
21cos2x
6 2
  sin2x
2 2 2
6 2  3 1   π
 sin2x cos2x 2

sin2x cos2x

 2sin2x ，...............................(3分）
2 2  2 2   6
π π π
令 2kπ 2x  2kπ,kZ， ................................(4分）
2 6 2
π π
解得 kπ x kπ,kZ， ................................(5分）
6 3
 π π 
所以 f x的单调递增区间为

 kπ, kπ

,kZ. ................................(6分）
 6 3 
 π π π  π 5π
（2）因为x

 ,

，则2x 

 ,

， ................................(8分）
 24 2 6  4 6 
 π  2 
所以sin2x  ,1，所以 f x

1, 2

， ............................(10分）
 6  2 
 π π
所以函数 f x在区间   ,  上的值域为  1, 2 . ..............................(13分）
 24 2
16．解：（1）由图得(0.005a0.0450.020.005)101， ................................(1分）
解得a0.025， ................................(2分）
则x 500.05600.25700.45800.2900.0569.5， ................................(3分）
0.050.250.450.750.8，
0.750.20.950.8， ................................(4分）
设第80百分位数为x，则x[75,85)， ................................(5分）
{#{QQABaYKEggggAJAAABhCUwG6CEOQkAAACagOxEAIIAAAARFABAA=}#}0.75(x75)0.020.8，解得x77.5， ................................(6分）
故这100名候选者面试成绩的平均数为69.5，第80百分位数为77.5. ..........................(7分）
（2）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数、方差分别为x,x ,s2,s2，
1 2 1 2
根据频率之比，抽取的20人中第二组、第四组分别为5人，4人，................................(9分）
562480
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为x  70，..............(11分）
9
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为：
5 4
s2  s2(x x)2 s2(x x)2
9  1 1  9  2 2 
5 4
 40(6270)2 50(8070)2
   
9 9
520 600 1120
   ， ..............................(14分）
9 9 9
1120
故第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 . ...............................(15分）
9
17．解：（1）由abc 2cb2 R  b2c2a2 ，
abc 2cb2 b2c2a2 a 2b
可得 R ，所以  RcosA， ................................(1分）
2bc 2bc 2 2
a b
又由正弦定理  2R，可得sinA 2sinBcosA， ................................(2分）
sinA sinB
 π  π
即sinAcosA 2sin A  2sinB ，所以sinA sinB，................................(4分）
 4  4
π π π 5π
可得A B或A Bπ，即AB 或AB （舍去），................................(5分）
4 4 4 4
π
所以AB . ................................(7分）
4
π π
（2）因为B ，AB ， ................................(8分）
6 4
5π 5π
所以A ，C πAB ，所以VABC为等腰三角形， ................................(9分）
12 12
5π π π π π π π
sin sin  sin cos cos sin
12 4 6 4 6 4 6
2 3 2 1 6 2
     ， ................................(10分）
2 2 2 2 4
a sinA 6 2 1 6 2
所以     ， ................................(11分）
b sinB 4 2 2
 
令a 6 2 k,b2k ,其中k0，则 ...............................(12分）
1 1   6  2
S  absinC   6 2 k2k
ABC 2 2 4
{#{QQABaYKEggggAJAAABhCUwG6CEOQkAAACagOxEAIIAAAARFABAA=}#} 
 2 3 k22 3 ， ...............................(13分）
解得k 1， ................................(14分）
因此VABC的周长为abc( 6 2)2( 6 2)22 22 6.....................(15分）
18．（1）证明：在正方形ABCD中，连接AC,BD,EF ，则AC BD， ................(1分）
因为点E,F分别是AB,BC的中点，所以EF∥AC， ................................(2分）
所以EF BD， ................................(3分）
因为PDPE,PDPF，PEPF P，PE,PF 平面PEF，
所以PD平面PEF， ................................(4分）
因为EF 平面PEF，所以PDEF， ................................(5分）
因为PDBDD，PD,BD平面PBD，
所以EF 平面PBD， ................................(6分）
因为PB平面PBD，所以EF PB. ................................(7分）
（2）解：由（1）知PD平面PEF，所以MFP为直线MF与平面PEF所成角，
...............................(8分）
MP 1
所以tanMFP  ， ................................(9分）
PF 2
令MP1,PF 2，则BF  BE 2,PD4， ..............................(10分）
所以 DEDF  2242 2 5 ， ................................(11分）
设EFBDO，连接OM ，
由（1）知EF 平面PBD，因为OM 平面PBD，所以EF OM ，
因为EF BD，所以MOD为二面角M EFD的平面角， .............................(12分）
因为O为EF 的中点，EF OM ，所以EMF为等腰三角形，
所以 EM FM  PM2PF2  14  5 ，
因为 EF  BE2 BF2  44 2 2 ，所以OEOF  2，
所以 OM  MF2OF2  52  3 ，
3 3
OD BD 4 2 3 2 ，MDPDPM 413， .........................(15分）
4 4
OM2 OD2 MD2
在MOD中，由余弦定理得cosMOD
2OM OD
{#{QQABaYKEggggAJAAABhCUwG6CEOQkAAACagOxEAIIAAAARFABAA=}#}3189 6
  ， ................................(16分）
2 33 2 3
6
所以二面角M EFD的余弦值为 . ................................(17分）
3
19．解：（1）因为gx ex 4,xR, f x x4,x4,8，
则 f x0,4， ................................(1分）
任取t0,4，令 ex 4 t， ................................(2分）
可得ex4t，
即ex 4t4,8或ex 4t0,4，
可得xln4t，或xln4t， ................................(3分）
所以对于任意x 4,8，能找到两个x ，使得 exi 4  x 4，
0 i 0
所以gx是 f x的“n重覆盖函数”，且n2. ...............................(4分）
ex2  1 
（2）由题意 f xlog log 1 的定义域为R， ................................(5分）
2 ex1 2 ex1
即对任意x R，存在3个不同的实数x,x ,x 1,，
0 1 2 3
使得gx  f x （其中i1,2,3）， ................................(6分）
i 0
1 1
因为ex 0，则ex110 111 2，
ex1 ex1
 1 
所以0log 1 1，
2 ex 1
 1 
即gx log 1 0,1，
i 2 ex0 1
即对任意0k1,gxk有3个实根， ................................(7分）
当x0时，gx x1 k有2个根，
{#{QQABaYKEggggAJAAABhCUwG6CEOQkAAACagOxEAIIAAAARFABAA=}#}故只需在1≤x≤0时，gxk仅有1个根， ................................(8分）
当a0时，gx2x22,0 ，不符合题意，
当a0时，g020，则需满足g1a2a221，解得a1，此时a无解，
22a
当a0时，抛物线开口向下，由a0，可得 1，
2a
所以函数gx在1,0 上单调递减，
又g020，
所以g1a2a221，
所以a1， ................................(10分）
综上，实数a的取值范围是,1  . ................................(11分）
2x
（3）因为 f x ,x0,， ................................(12分）
x24
2x 2 2 1
f x   
当x0时 f 00，当x0时 f x0且 x24 4 4 2，
x 2 x
x x
1
当且仅当x2时取等号，所以0 f x ，
2
综上可得0 f x 1 2 ，即 f x 0  x 2 2 x  0 4     0, 1 2    ， ................................(13分）
0
 1  π
则对于任意m

0,

,gxsinx m,x 0,2 π要有2024个根，
 2  6
π π π
 x 2π ,
6 6 6
π π
由函数gtsint, t2π 的图象，
6 6
  
要使gtsintm,t

 ,2π

要有2024个根，
 6 6
π
则2023π2π 2024π， ................................(15分）
6
1 1
2023 2024
又0，则 6 6 ， ................................(16分）

2 2
 7 1 
故正实数的取值范围是  1011 ,1012 . ................................(17分）
 12 12
{#{QQABaYKEggggAJAAABhCUwG6CEOQkAAACagOxEAIIAAAARFABAA=}#}