数学答案-山西省太原师范学院附属中学、太原市师苑中学2023高二上学期9月开学分班考试(1)_1多考区联考_09142024-2025学年高二上学期9月初开学数学试卷1

太原师范学院附属中学 太原市师苑中学校 2023 级高二年级分班测评 数学参考答案 一、选择题 1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．B 7．B 8．D 二、选择题 9．BD 10．CD 11．ACD 三、填空题 5 12． 10 13． 14．2,5 4 四、解答题 2 15．解：（1）因为 f x 2sin2x 6sinxcosx 2 21cos2x 6 2   sin2x 2 2 2 6 2  3 1   π  sin2x cos2x 2  sin2x cos2x   2sin2x ，...............................(3分） 2 2  2 2   6 π π π 令 2kπ 2x  2kπ,kZ， ................................(4分） 2 6 2 π π 解得 kπ x kπ,kZ， ................................(5分） 6 3  π π  所以 f x的单调递增区间为   kπ, kπ  ,kZ. ................................(6分）  6 3   π π π  π 5π （2）因为x   ,  ，则2x    ,  ， ................................(8分）  24 2 6  4 6   π  2  所以sin2x  ,1，所以 f x  1, 2  ， ............................(10分）  6  2   π π 所以函数 f x在区间   ,  上的值域为  1, 2 . ..............................(13分）  24 2 16．解：（1）由图得(0.005a0.0450.020.005)101， ................................(1分） 解得a0.025， ................................(2分） 则x 500.05600.25700.45800.2900.0569.5， ................................(3分） 0.050.250.450.750.8， 0.750.20.950.8， ................................(4分） 设第80百分位数为x，则x[75,85)， ................................(5分） {#{QQABaYKEggggAJAAABhCUwG6CEOQkAAACagOxEAIIAAAARFABAA=}#}0.75(x75)0.020.8，解得x77.5， ................................(6分） 故这100名候选者面试成绩的平均数为69.5，第80百分位数为77.5. ..........................(7分） （2）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数、方差分别为x,x ,s2,s2， 1 2 1 2 根据频率之比，抽取的20人中第二组、第四组分别为5人，4人，................................(9分） 562480 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为x  70，..............(11分） 9 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为： 5 4 s2  s2(x x)2 s2(x x)2 9  1 1  9  2 2  5 4  40(6270)2 50(8070)2     9 9 520 600 1120    ， ..............................(14分） 9 9 9 1120 故第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 . ...............................(15分） 9 17．解：（1）由abc 2cb2 R  b2c2a2 ， abc 2cb2 b2c2a2 a 2b 可得 R ，所以  RcosA， ................................(1分） 2bc 2bc 2 2 a b 又由正弦定理  2R，可得sinA 2sinBcosA， ................................(2分） sinA sinB  π  π 即sinAcosA 2sin A  2sinB ，所以sinA sinB，................................(4分）  4  4 π π π 5π 可得A B或A Bπ，即AB 或AB （舍去），................................(5分） 4 4 4 4 π 所以AB . ................................(7分） 4 π π （2）因为B ，AB ， ................................(8分） 6 4 5π 5π 所以A ，C πAB ，所以VABC为等腰三角形， ................................(9分） 12 12 5π π π π π π π sin sin  sin cos cos sin 12 4 6 4 6 4 6 2 3 2 1 6 2      ， ................................(10分） 2 2 2 2 4 a sinA 6 2 1 6 2 所以     ， ................................(11分） b sinB 4 2 2   令a 6 2 k,b2k ,其中k0，则 ...............................(12分） 1 1   6  2 S  absinC   6 2 k2k ABC 2 2 4 {#{QQABaYKEggggAJAAABhCUwG6CEOQkAAACagOxEAIIAAAARFABAA=}#}   2 3 k22 3 ， ...............................(13分） 解得k 1， ................................(14分） 因此VABC的周长为abc( 6 2)2( 6 2)22 22 6.....................(15分） 18．（1）证明：在正方形ABCD中，连接AC,BD,EF ，则AC BD， ................(1分） 因为点E,F分别是AB,BC的中点，所以EF∥AC， ................................(2分） 所以EF BD， ................................(3分） 因为PDPE,PDPF，PEPF P，PE,PF 平面PEF， 所以PD平面PEF， ................................(4分） 因为EF 平面PEF，所以PDEF， ................................(5分） 因为PDBDD，PD,BD平面PBD， 所以EF 平面PBD， ................................(6分） 因为PB平面PBD，所以EF PB. ................................(7分） （2）解：由（1）知PD平面PEF，所以MFP为直线MF与平面PEF所成角， ...............................(8分） MP 1 所以tanMFP  ， ................................(9分） PF 2 令MP1,PF 2，则BF  BE 2,PD4， ..............................(10分） 所以 DEDF  2242 2 5 ， ................................(11分） 设EFBDO，连接OM ， 由（1）知EF 平面PBD，因为OM 平面PBD，所以EF OM ， 因为EF BD，所以MOD为二面角M EFD的平面角， .............................(12分） 因为O为EF 的中点，EF OM ，所以EMF为等腰三角形， 所以 EM FM  PM2PF2  14  5 ， 因为 EF  BE2 BF2  44 2 2 ，所以OEOF  2， 所以 OM  MF2OF2  52  3 ， 3 3 OD BD 4 2 3 2 ，MDPDPM 413， .........................(15分） 4 4 OM2 OD2 MD2 在MOD中，由余弦定理得cosMOD 2OM OD {#{QQABaYKEggggAJAAABhCUwG6CEOQkAAACagOxEAIIAAAARFABAA=}#}3189 6   ， ................................(16分） 2 33 2 3 6 所以二面角M EFD的余弦值为 . ................................(17分） 3 19．解：（1）因为gx ex 4,xR, f x x4,x4,8， 则 f x0,4， ................................(1分） 任取t0,4，令 ex 4 t， ................................(2分） 可得ex4t， 即ex 4t4,8或ex 4t0,4， 可得xln4t，或xln4t， ................................(3分） 所以对于任意x 4,8，能找到两个x ，使得 exi 4  x 4， 0 i 0 所以gx是 f x的“n重覆盖函数”，且n2. ...............................(4分） ex2  1  （2）由题意 f xlog log 1 的定义域为R， ................................(5分） 2 ex1 2 ex1 即对任意x R，存在3个不同的实数x,x ,x 1,， 0 1 2 3 使得gx  f x （其中i1,2,3）， ................................(6分） i 0 1 1 因为ex 0，则ex110 111 2， ex1 ex1  1  所以0log 1 1， 2 ex 1  1  即gx log 1 0,1， i 2 ex0 1 即对任意0k1,gxk有3个实根， ................................(7分） 当x0时，gx x1 k有2个根， {#{QQABaYKEggggAJAAABhCUwG6CEOQkAAACagOxEAIIAAAARFABAA=}#}故只需在1≤x≤0时，gxk仅有1个根， ................................(8分） 当a0时，gx2x22,0 ，不符合题意， 当a0时，g020，则需满足g1a2a221，解得a1，此时a无解， 22a 当a0时，抛物线开口向下，由a0，可得 1， 2a 所以函数gx在1,0 上单调递减， 又g020， 所以g1a2a221， 所以a1， ................................(10分） 综上，实数a的取值范围是,1  . ................................(11分） 2x （3）因为 f x ,x0,， ................................(12分） x24 2x 2 2 1 f x    当x0时 f 00，当x0时 f x0且 x24 4 4 2， x 2 x x x 1 当且仅当x2时取等号，所以0 f x ， 2 综上可得0 f x 1 2 ，即 f x 0  x 2 2 x  0 4     0, 1 2    ， ................................(13分） 0  1  π 则对于任意m  0,  ,gxsinx m,x 0,2 π要有2024个根，  2  6 π π π  x 2π , 6 6 6 π π 由函数gtsint, t2π 的图象， 6 6    要使gtsintm,t   ,2π  要有2024个根，  6 6 π 则2023π2π 2024π， ................................(15分） 6 1 1 2023 2024 又0，则 6 6 ， ................................(16分）  2 2  7 1  故正实数的取值范围是  1011 ,1012 . ................................(17分）  12 12 {#{QQABaYKEggggAJAAABhCUwG6CEOQkAAACagOxEAIIAAAARFABAA=}#}