文档内容
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数学
卷I（选择题）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、
多选，错选，均不得分）
1. ﹣8的立方根是（ ）
A. ±2 B. 2 C. ﹣2 D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】根据立方根的定义进行解答．
【详解】∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故选C．
【点睛】本题主要考查了立方根，解决本题的关键是数积立方根的定义．
2. 如图的几何体由3个同样大小的正方体搭成，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从上面所看到的图形即可．
【详解】解：从上面看从下往上数，左边有1个正方形，右边有1个正方形，
∴俯视图是：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握三视图．
3. 在下面的调查中，最适合用全面调查的是（ ）
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A. 了解一批节能灯管的使用寿命 B. 了解某校803班学生的视力情况
C. 了解某省初中生每周上网时长情况 D. 了解京杭大运河中鱼的种类
【答案】B
【解析】
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点对四个选项进行判断．
【详解】A、了解一批节能灯管的使用寿命，具有破坏性，适合采用抽样调查，不符合题意；
B、了解某校803班学生的视力情况，适合采用普查，符合题意；
C、了解某省初中生每周上网时长情况，适合采用抽样调查，不合题意；
D、了解京杭大运河中鱼的种类，适合采用抽样调查，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查：如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查
可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其二，
调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实
验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．
4. 美术老师写的下列四个字中，为轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分
能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以是
轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5. 如图，在直角坐标系中， 的三个顶点分别为 ，现以原点O为位似中心，
在第一象限内作与 的位似比为2的位似图形 ，则顶点 的坐标是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：∵ 的位似比为2的位似图形是 ，且 ，
，即 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
6. 下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正数 负数，即可进行解答．
【详解】解：∵
∴
∴
∴比1小的正无理数是 ．
故选：A．
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【点睛】本题主要考查了比较实数是大小，无理数的估算，解题的关键是掌握正数 负数．
7. 如图，已知矩形纸片 ，其中 ，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使 与 重合，折痕为 ，展开后如图②；
第二步，再将图②中的纸片沿对角线 折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点 的直线折叠，使点 落在对角线 上的点 处，如图④．则 的
长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 根 据 折 叠 的 性 质 得 出 ， ， 等 面 积 法 求 得 ， 根 据
，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵折叠，
∴
∴ 在以 为圆心， 为直径的圆上，
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∴ ，
∴
∵矩形 ，其中 ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，正切的定义，熟练掌握以上
知识是解题的关键．
8. 已知点 均在反比例函数 的图象上，则 ，的大小关系是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵ ，
∴ ．
5【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数 (k是常数， )的图象是双曲线，当
，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反
比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
9. 如图，点 是 的重心，点 是边 的中点， 交 于点 ， 交 于点
，若四边形 的面积为6，则 的面积为（ ）
A. 12 B. 14 C. 18 D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】连接 ，由点 是 的重心，点 是边 的中点，可得点 在一条直线上，且
， ，通过 可得 ，从而得到
，通过 ，可得 ，再根据四边
形 的面积为6，可得出 ，进而可得出 的面积．
【详解】解：如图所示，连接 ，
6【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
点 是 的重心，点 是边 的中点，
点 在一条直线上，且 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
7【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，根据三角形的中线求面积，熟
练掌握三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
的
10. 下图是底部放有一个实心铁球 长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反
映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据蓄水池的横断面示意图，可知水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，
进而求解即可．
【详解】解：由蓄水池的横断面示意图可得，
水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，
故选：D．
【点睛】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象
上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
卷Ⅱ（非选择题）
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. ___________．
【答案】2023
【解析】
【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此可解．
8【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】解： 的相反数是2023，故 ，
故答案为：2023．
【点睛】本题考查求一个数的绝对值，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数．
12. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为 ，请你写出一个符合条件的多项式：___________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据平方差公式或完全平方公式等知识解答即可．
【详解】解：∵ ，因式分解后有一个因式为 ，
∴这个多项式可以是 （答案不唯一）；
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解此题的关键．
13. 现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，
其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是
___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率公式即可求解．
【详解】解：将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是
故答案为： ．
9【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
14. 如图，点 是 外一点， ， 分别与 相切于点 ， ，点 在 上，已知
，则 的度数是___________．
【答案】 ## 度
【解析】
【分析】连接 ，根据切线的性质得出 ，根据四边形内角和得出
，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图 ，
∵ ， 分别与 相切于点 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
10【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求得 是解题的关键．
15. 我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，
现花 钱买了 只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有 只，小鸡有 只，可列方程组为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据“现花 钱买了 只鸡”，列出方程组即可．
【详解】解：依题意得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用．明确题意，准确列出方程组是解题的关键．
16. 一副三角板 和 中， ．将它们叠
合在一起，边 与 重合， 与 相交于点G（如图1），此时线段 的长是___________，现
将 绕点 按顺时针方向旋转（如图2），边 与 相交于点H，连结 ，在旋转 到
的过程中，线段 扫过的面积是___________．
【答案】 ①. ②.
11【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【解析】
【分析】如图1，过点G作 于H，根据含 直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出
， ，然后由 可求出 的长，进而可得线段 的长；如图2，将
绕点C顺时针旋转 得到 ， 与 交于 ，连接 ， ， 是
旋转 到 的过程中任意位置，作 于N，过点B作 交 的延长线于M，首先
证明 是等边三角形，点 在直线 上，然后可得线段 扫过的面积是弓形 的面积加
上 的面积，求出 和 ，然后根据线段 扫过的面积
列式计算即可．
【详解】解：如图1，过点G作 于H，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
如图2，将 绕点C顺时针旋转 得到 ， 与 交于 ，连接 ，
12【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
由旋转的性质得： ， ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 垂直平分 ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴点 在直线 上，
连接 ， 是 旋转 到 的过程中任意位置，
则线段 扫过的面积是弓形 的面积加上 的面积，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
作 于N，则 ，
∴ ，
过点B作 交 的延长线于M，则 ，
∵ ， ，
13【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ ，
∴线段 扫过的面积 ，
，
，
，
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含 直角三角
形的性质，二次根式的运算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算等知
识，作出图形，证明点 在直线 上是本题的突破点，灵活运用各知识点是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题
10分，第24题12分，共66分）
17. （1）解不等式： ．
（2）已知 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）5
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【解析】
【分析】（1）不等式移项合并，把x系数化为1求解即可；
（2）先将 展开化简，然后将 整体代入求解即可．
【详解】（1）解：移项，得 ，
解得， ；
（2）解：∵ ，
原式 ，
，
．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，整式的混合运算以及代数求值，解题的关键是熟练掌握以上运算
法则．
18. 小丁和小迪分别解方程 过程如下：
小丁： 小迪：
解：去分母，得 解：去分母，得
去括号，得 去括号得
合并同类项，得 合并同类项得
解得 解得
∴原方程的解是 经检验， 是方程的增根，原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答
过程．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．
【详解】小丁和小迪的解法错误；
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
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解得， ，
经检验： 是方程的解．
【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
19. 如图，在菱形 中， 于点 ， 于点 ，连接
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明 ．
（2）根据菱形的性质和已知条件可推出 度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可
求出 和 度数，从而求出 度数，证明了等边三角形 ，即可求出 的度数．
【小问1详解】
证明： 菱形 ，
，
又 ，
．
在 和 中，
，
．
．
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【小问2详解】
解： 菱形 ，
，
，
．
又 ，
．
由（1）知 ，
．
．
，
等边三角形．
．
【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等的方法
和菱形的性质．
20. 观察下面的等式：
（1）写出 的结果．
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题干的规律求解即可；
（2）根据题干的规律求解即可；
（3）将 因式分解，展开化简求解即可．
17【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
．
【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳
发现其中的变化规律．
21. 小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车．在爸爸的预算范围内，小明收集了A，B，C三款汽车在2022
年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项
评分数据，统计如下：
（1）数据分析：
①求B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数；
②若将车辆的外观造型，舒适程度、操控性能，售后服务等四项评分数据按 的比例统计，求A款
新能原汽车四项评分数据的平均数．
（2）合理建议：
请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小明的爸爸购
18【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
买哪款汽车？说说你的理由．
【答案】（1）①3015辆，②68.3分
（2）选B款，理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据中位数的概念求解即可；
②根据加权平均数的计算方法求解即可；
（2）根据加权平均数的意义求解即可．
【小问1详解】
①由中位数的概念可得，
B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数为3015辆；
② 分．
∴A款新能原汽车四项评分数据的平均数为 分；
【小问2详解】
给出 的权重时，
A，B，C三款新能源汽车评分的加权平均数分别为67.8分、69.7分、65.7分，
结合2023年3月的销售量，
∴可以选B款．
【点睛】此题考查了中位数和加权平均数，以及利用加权平均数做决策，解题的关键是熟练掌握以上知识
点．
22. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，
摄像头 的仰角、俯角均为 ，摄像头高度 ，识别的最远水平距离 ．
（1）身高 的小杜，头部高度为 ，他站在离摄像头水平距离 的点C处，请问小杜最少
需要下蹲多少厘米才能被识别．
19【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2）身高 的小若，头部高度为 ，踮起脚尖可以增高 ，但仍无法被识别．社区及时将摄
像头的仰角、俯角都调整为 （如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到 ，参考
数据 ）
【答案】（1）
（2）能，见解析
【解析】
【分析】（1）根据正切值求出 长度，再利用三角形全等可求出 ，最后利用矩形
的性质求出 的长度，从而求出蹲下的高度．
（2）根据正切值求出 长度，再利用三角形全等可求出 ，最后利用矩形 的性质
求出 的长度，即可求出 长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案．
【小问1详解】
解：过点 作 的垂线分别交仰角、俯角线于点 ， ，交水平线于点 ，如图所示，
在 中， ．
．
，
20【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
．
．
， ，
小杜下蹲的最小距离 ．
【小问2详解】
解：能，理由如下：
的
过点 作 垂线分别交仰角、俯角线于点 ， ，交水平线于点 ，如图所示，
在 中， ．
，
，
．
，
．
小若垫起脚尖后头顶的高度为 ．
小若头顶超出点N的高度 ．
小若垫起脚尖后能被识别．
21【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性
质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握
相关概念、性质和全等方法．
23. 在二次函数 中，
（1）若它的图象过点 ，则t的值为多少？
（2）当 时，y的最小值为 ，求出t的值：
（3）如果 都在这个二次函数的图象上，且 ，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值；
（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，若 ，当 时，函数值最小，求得 ，
若 ，当 时，函数值最小，解得 （不合题意，舍去）；
（3）由 关于对称轴对称得 ，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛
物线与y轴交点 ，此交点关于对称轴的对称点为 ；由 且
解得 ；分类讨论：当A，B都在对称轴左边时，
，解得 ，当A，B分别在对称轴两侧时， ，解得
．
22【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问1详解】
将 代入 中，
得 ，解得， ；
【小问2详解】
抛物线对称轴为 ．
若 ，当 时，函数值最小，
，解得 ．
，
若 ，当 时，函数值最小，
，解得 （不合题意，舍去）
综上所述 ．
【小问3详解】
关于对称轴对称
，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
抛物线与y轴交点为 ，抛物线对称轴为直线 ，
此交点关于对称轴的对称点为
且
，解得 ．
当A，B都在对称轴左边时，
23【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，解得 ，
当A，B分别在对称轴两侧时
到对称轴的距离大于A到对称轴的距离
，解得
综上所述 或 ．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作完备的分类讨
论是解题的关键．
24. 已知， 是半径为1的 的弦， 的另一条弦 满足 ，且 于点H（其中
点H在圆内，且 ）．
（1）在图1中用尺规作出弦 与点H（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）连结 ，猜想，当弦 的长度发生变化时，线段 的长度是否变化？若发生变化，说明理由：
若不变，求出 的长度；
（3）如图2，延长 至点F，使得 ，连结 ， 的平分线 交 的延长线于点
P，点M为 的中点，连结 ，若 ．求证： ．
【答案】（1）作图见解析
（2）线段 是定长，长度不发生变化，值为
（3）证明见解析
【解析】
24【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【分析】（1）以 为圆心，大于 长为半径画弧，交点为 ，连接 ，与 交点为 ，
与 交点为 ，则 ，分别以 为圆心，大于 长为半径画弧，交点为 ，连接 ，
则 ，以 为圆心， 长为半径画弧与 交点为 ，则 ，以 为圆心， 长为
半径，交直线 于 ，以 为圆心，大于 长为半径画弧，交点为 ，连接 ，则 ，
与 交点为 ，与 交点为 ，即 、点 即为所求；
（2）如图2，连结 ，连接 并延长交 于 ，连结 ， ，过 作 于 ，
于 ，证明四边形 是正方形，则可证 是等腰直角三角形，则 ，由
，可知 ，由 是 的直径，可得 ，则 是等腰直角三
角形， ；
（3）如图3，延长 、 ，交点为 ，由题意知 是 的中位线，则 ，
，由 ，可得 ，证明 ，则 ，即
，如图3，作 的外接圆，延长 交外接圆于点 ，连结 、 ，由
是 的平分线，可得 ，则 ，证明 ，则
，即 ，由 ，可得 ，进而结论得证．
25【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问1详解】
解：如图1， 、点 即为所求；
【小问2详解】
：当弦 的长度发生变化时，线段 的长度不变；
如图2，连结 ，连接 并延长交 于 ，连结 ， ，过 作 于 ，
于 ，则四边形 是矩形，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
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∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴线段 是定长，长度不发生变化，值为 ；
【
小问3详解】
证明：如图3，延长 、 ，交点为 ，
∵ ，
∴点H为 的中点，
又∵点M为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
27【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，即 ，
的
如图3，作 外接圆，延长 交外接圆于点 ，连结 、 ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了作垂线，同弧或等弧所对的圆周角相等，正弦，正方形的判定与性质，等腰三角形的
判定与性质，中位线，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，
角平分线等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
28
