文档内容
2026年中考数学常考考点专题之一元二次方程
一．选择题（共12小题）
1．（2025•东光县二模）甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到
方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为﹣2和﹣5，
则原方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．两根分别是2和5 D．两根分别是﹣6和﹣1
2．（2025•渝中区校级模拟）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值
范围是（ ）
A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≠0 D．k＞1
3．（2025•龙岗区模拟）一元二次方程x2＝x的根为（ ）
A．x ＝x ＝0 B．x ＝x ＝1
1 2 1 2
C．x ＝0，x ＝1 D．x ＝0，x ＝﹣1
1 2 1 2
4．（2025•天山区校级模拟）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+4＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1且k≠0 B．k≤1 C．k≤1且k≠0 D．k＜1
5．（2025•乌鲁木齐模拟）在一幅长80cm，宽40cm的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如
图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是4500cm2，设白色纸边的宽度为x cm，则所列方程正确的是（
）
A．80×40+2×80x+2×40x+2x2＝4500
B．（80+x）（40+x）＝4500
C．80×40+2×80x+2×40x＝4500
D．（80+2x）（40+2x）＝4500
6．（2025•沈阳模拟）摩拜共享单车计划2023年第三季度（7，8，9月）连续3个月对成都投放新型摩拜
单车，计划7月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为 x，
则可列方程（ ）
A．3000（1+x）2＝12000
第1页（共25页）B．3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000
C．3000（1﹣x）2＝12000
D．3000+3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000
7．（2025•北流市一模）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销
商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年 3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽
车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16
C．16（1+2x）2＝23 D．23（1﹣2x）2＝16
8．（2025•烟台一模）若x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，则关于x的方程a（x+2）
2+bx+2b＝﹣1必有一个根为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2027
9．（2025•临沧模拟）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个
红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收
到132个红包，则该群一共有（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
10．（2025•宁波模拟）已知y＝x2﹣mx+m2+2m﹣4（1≤x≤3），设y的最大值为M，则M的最小值为（
）
13 19
A．- B．7 C． D．9
4 4
11．（2025•珠海校级三模）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是
（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
b-1 a-1
12．（2025•古丈县模拟）若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则 + 的值是（ ）
a-1 b-1
1
A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．
2
二．填空题（共8小题）
1 1
13．（2025•阳山县二模）已知m、n是x2﹣x﹣3＝0的两个根，则 + 的值为 ．
m n
14．（2025•临川区校级一模）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 90场，共有
个队参加比赛．
15．（2025•浦口区校级模拟）设m、n是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则m2+4m+n＝ ．
第2页（共25页）16．（2025•濮阳模拟）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是
．
17．（2025•兴庆区校级二模）若关于 x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是
．
18．（2025•鼓楼区校级模拟）设 x ，x 是一元一次方程 2x2﹣3x﹣10＝0的两根，2x2-3x +x x =
1 2 1 1 1 2
．
19．（2025•海陵区校级三模）已知x ，x ，x 是方程x3+3x2﹣9x﹣4＝0的三个实数根，则下列结论：
1 2 3
（1）x •x •x ＜0，（2）x +x +x ＜0中，正确的是 （填序号）．
1 2 3 1 2 3
20．（2025•新蔡县三模）对于实数m，n定义新运算：m※n＝mn+m2．例如：3※5＝3×5+32＝24，若关
于x的方程（2x）※1＝a有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•雁塔区校级模拟）社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示，已
知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为 x米的道路．已知
铺花砖的面积为640m2．求道路的宽是多少米？
22．（2025•泸县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x ﹣3）（x ﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
1 2
23．（2025•滨海新区校级模拟）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣4＝0有两个不等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一根．
24．（2025•泗阳县校级一模）阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是x ，x ，
1 2
b c
那么x +x =- ，x ⋅x = ．借助该材料完成下列各题：
1 2 a 1 2 a
1 1
（1）若 x ，x 是方程 x2+6x﹣3＝0 的两个实数根，则 x +x ＝ ， ⋅ =
1 2 1 2 x x
1 2
第3页（共25页）．
m2+8
（2）若x ，x 是方程x2-(m-3)x+ =0的两个实数根，且x2+x2=19，求m的值．
1 2 4 1 2
25．（2025•大渡口区模拟）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3
月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份
两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元
范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利
4800元，则这种台灯售价应定为多少元？
第4页（共25页）2026年中考数学常考考点专题之一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B C C D D B A D C A
题号 12
答案 C
一．选择题（共12小题）
1．（2025•东光县二模）甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到
方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为﹣2和﹣5，
则原方程根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．两根分别是2和5 D．两根分别是﹣6和﹣1
【考点】根与系数的关系；解一元二次方程﹣因式分解法．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
b c
【分析】设原方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），利用根与系数的关系，可得出- =6+1＝7， =（﹣2）×
a a
（﹣5）＝10，即b＝﹣7a，c＝10a，再将其代入到原方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设原方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），
b c
根据题意得：- = 6+1＝7， =（﹣2）×（﹣5）＝10，
a a
∴b＝﹣7a，c＝10a，
∴原方程为ax2﹣7ax+10a＝0（a≠0），
即x2﹣7x+10＝0，
∴（x﹣2）（x﹣5）＝0，
解得：x ＝2，x ＝5，
1 2
∴原方程根的情况是两根分别是2和5．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，利用根与系数的关系，找出 b
第5页（共25页）＝﹣7a，c＝10a是解题的关键．
2．（2025•渝中区校级模拟）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值
范围是（ ）
A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≠0 D．k＞1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×k×9＞0，然后求出两
不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×k×9＞0，
解得k＜1且k≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程
无实数根．
3．（2025•龙岗区模拟）一元二次方程x2＝x的根为（ ）
A．x ＝x ＝0 B．x ＝x ＝1
1 2 1 2
C．x ＝0，x ＝1 D．x ＝0，x ＝﹣1
1 2 1 2
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【解答】解：原方程移项、因式分解可得x（x﹣1）＝0，
解得：x ＝0，x ＝1，
1 2
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是关键．
4．（2025•天山区校级模拟）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+4＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1且k≠0 B．k≤1 C．k≤1且k≠0 D．k＜1
【考点】根的判别式．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
第6页（共25页）【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣16k≥0，然后求出两
不等式的公共部分即可．
【解答】解：由题意得k≠0且Δ＝（﹣4）2﹣16k≥0，
解得k≤1且k≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程
无实数根．
5．（2025•乌鲁木齐模拟）在一幅长80cm，宽40cm的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如
图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是4500cm2，设白色纸边的宽度为x cm，则所列方程正确的是（
）
A．80×40+2×80x+2×40x+2x2＝4500
B．（80+x）（40+x）＝4500
C．80×40+2×80x+2×40x＝4500
D．（80+2x）（40+2x）＝4500
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据题意可知：矩形挂图的长为（80+2x）cm，宽为（40+2x）cm；则运用面积公式列方程即
可．
【解答】解：挂图长为（80+2x）cm，宽为（40+2x）cm，
所以根据矩形的面积公式可得：（80+2x）（40+2x）4500．
故选：D．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解此类题的关键是看准题型列面积方程，矩形
的面积＝矩形的长×矩形的宽．
6．（2025•沈阳模拟）摩拜共享单车计划2023年第三季度（7，8，9月）连续3个月对成都投放新型摩拜
单车，计划7月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为 x，
第7页（共25页）则可列方程（ ）
A．3000（1+x）2＝12000
B．3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000
C．3000（1﹣x）2＝12000
D．3000+3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】8月投放摩拜单车3000（1+x）台，9月投放摩拜单车3000（1+x）2台，由此即可列出方程求
解．
【解答】解：由题意得：3000+3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000．
故选：D．
【点评】此题考查从实际问题抽象出一元二次方程，解决变化类问题，可利用公式 a（1+x）2＝b，其
中a是变化前的原始量，b是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率是解题的关键．
7．（2025•北流市一模）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销
商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年 3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽
车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．16（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝16
C．16（1+2x）2＝23 D．23（1﹣2x）2＝16
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为23（1﹣x）万元，5
月份的售价为23（1﹣x）（1﹣x）＝23（1﹣x）2万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，
进而可得出答案．
【解答】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元，
∴23（1﹣x）2＝16．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价
是解答此题的关键．
8．（2025•烟台一模）若x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，则关于x的方程a（x+2）
第8页（共25页）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2027
【考点】一元二次方程的解．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1变形为a（x+2）2+b（x+2）+1＝0，此方程可看作关于
（x+2）的一元二次方程，根据题意得到x+2＝2025，从而得到x＝2023．
【解答】解：关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1变形为a（x+2）2+b（x+2）+1＝0，
此方程可看作关于（x+2）的一元二次方程，
∵x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，
∴x+2＝2025是关于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+1＝0的一个根，
∴x+2＝2025，
解得x＝2023，
∴关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为x＝2023．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方
程的解．
9．（2025•临沧模拟）今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个
红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收
到132个红包，则该群一共有（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【考点】一元二次方程的应用．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，根据群内所有人共收到132个红包，即可
得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，
依题意列方程得：x（x﹣1）＝132，
整理得，x2﹣x﹣132＝0，
解得x ＝12，x ＝﹣11（不符合题意，舍去）．
1 2
则该群一共有12人，
第9页（共25页）故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2025•宁波模拟）已知y＝x2﹣mx+m2+2m﹣4（1≤x≤3），设y的最大值为M，则M的最小值为（
）
13 19
A．- B．7 C． D．9
4 4
【考点】配方法的应用；二次函数的性质；二次函数的最值；非负数的性质：偶次方．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
m m
【分析】根据题意可求出原函数的对称轴为直线x= ，当 ≤2，即m≤4时，则原函数在x＝3时取
2 2
m
到最大值，当 ≥2，即m≥4时，则原函数在x＝1时取到最大值，据此分两种情况讨论求解即可．
2
【解答】解：y＝x2﹣mx+m2+2m﹣4
1 1
＝x2﹣mx+ m2- m2+m2+2m﹣4
4 4
1 3
＝（x- m）2+ m2+2m﹣4，
2 4
1
∴原函数对称轴为直线x= m，
2
m
①若 ≤2，即m≤4，则原函数在x＝3时取到最大值，
2
1 19 19
∴y的最大值＝9﹣3m+m2+2m﹣4＝m2﹣m+5＝（m- ）2+ ≥ ，
2 4 4
m
②若 ≥2，即m≥4，则原函数在x＝1时取到最大值，
2
1 13
∴y的最大值＝1﹣m+m2+2m﹣4＝m2+m﹣3＝（m+ ）2- ≥17，
2 4
1 19
综上，可知当m= 时，M = ．
2 min 4
故选：C．
【点评】本题主要考查了配方法的应用，二次函数的性质及二次函数的最值，解题时要熟练掌握并理
解是关键．
11．（2025•珠海校级三模）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是
第10页（共25页）（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
【考点】根的判别式．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝22﹣4×1×m＞0，
解得m＜1，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
b-1 a-1
12．（2025•古丈县模拟）若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则 + 的值是（ ）
a-1 b-1
1
A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．
2
【考点】根与系数的关系．
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【专题】分类讨论．
【答案】C
【分析】分两种情况进行讨论，①a＝b，②a≠b，根据实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，
即可看成a、b是方程x2﹣8x+5＝0的解，根据根与系数的关系列出关于a，b的等式即可求解．
【解答】解：①当a＝b时，原式＝2；
②当a≠b时，
根据实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，即可看成a、b是方程x2﹣8x+5＝0的解，
∴a+b＝8，ab＝5．
b-1 a-1 (b-1) 2+(a-1) 2
则 + =
a-1 b-1 (a-1)(b-1)
(a+b) 2-2ab-2(a+b)+2
= ，
ab-(a+b)+1
把a+b＝8，ab＝5代入得：
82-10-16+2
=
5-8+1
第11页（共25页）＝﹣20．
b-1 a-1
综上可得 + 的值为2或﹣20．
a-1 b-1
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是把a、b看作是方程x2﹣8x+5＝0的解，然后
根据根与系数的关系解题．
二．填空题（共8小题）
1 1 1
13．（2025•阳山县二模）已知m、n是x2﹣x﹣3＝0的两个根，则 + 的值为 - ．
m n 3
【考点】根与系数的关系．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n＝﹣3，mn＝﹣1，代入整理后的代数式，即可求
解．
【解答】解：∵m、n是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，
∴m+n＝1，mn＝﹣3，
1 1 m+n 1 1
∴ + = = =- ，
m n mn -3 3
1
故答案为：- ．
3
b
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于- ，
a
c
两根之积等于 ”是解题的关键．
a
14．（2025•临川区校级一模）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有 10
个队参加比赛．
【考点】一元二次方程的应用．
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【专题】方程思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x的
一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设共有x个队参加比赛，
第12页（共25页）1
根据题意得：2× x（x﹣1）＝90，
2
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x＝10或x＝﹣9（舍去）．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了 90场列出关于
x的一元二次方程是解题的关键．
15．（2025•浦口区校级模拟）设m、n是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，则m2+4m+n＝ 2 ．
【考点】根与系数的关系．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2＝﹣3m+5，则m2+4m+n化为m+n+5，再利用根与系数
的关系得到m+n＝﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的根，
∴m2+3m﹣5＝0，
∴m2＝﹣3m+5，
∴m2+4m+n＝﹣3m+5+4m+n＝m+n+5，
∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根，
∴m+n＝﹣3，
∴m2+4m+n＝﹣3+5＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x +x
1 2 1 2
b c
=- ，x x = ．
a 1 2 a
16．（2025•濮阳模拟）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是
m ≤4 且 m ≠2 ．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0
时，方程没有实数根．
第13页（共25页）根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×（m﹣2）×2≥0且m﹣2≠0，
解得m≤4且m≠2，
故答案为：m≤4且m≠2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的定义以及根的判别式Δ＝b2
﹣4ac，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．
17．（2025•兴庆区校级二模）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是 k ＞ 1
．
【考点】根的判别式．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】k＞1．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4k＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4k＜0，
解得k＞1．
故答案为：k＞1．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0 方程有两
个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．⇔
18．（2025•鼓楼区校级模拟）设x ⇔ ，x 是一元一次方程2x2﹣3x﹣10＝0的两 ⇔ 根，2x2-3x +x x = 5
1 2 1 1 1 2
．
【考点】根与系数的关系．
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【专题】一元二次方程及应用．
【答案】5．
【分析】由题意易得2x2-3x =10，则根据一元二次方程根与系数的关系可知x x ＝﹣5，然后代入求
1 1 1 2
解即可．
【解答】解：由一元二次方程的解可得2x2-3x =10，根据一元二次方程根与系数的关系可知x x ＝
1 1 1 2
﹣5，
∴2x2-3x +x x =10-5=5；
1 1 1 2
第14页（共25页）故答案为：5．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数
的关系是解题的关键．
19．（2025•海陵区校级三模）已知x ，x ，x 是方程x3+3x2﹣9x﹣4＝0的三个实数根，则下列结论：
1 2 3
（1）x •x •x ＜0，（2）x +x +x ＜0中，正确的是 （ 2 ） （填序号）．
1 2 3 1 2 3
【考点】高次方程．
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【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】（2）．
【分析】根据因式定理可知 x﹣x ，x﹣x ，x﹣x 是多项式 x3+3x2﹣9x﹣4 的因式，得到
1 2 3
(x-x )(x-x )(x-x )=x3+3x2-9x-4，再利用多项式的乘法得到﹣（x +x +x ）＝3，﹣x x x ＝
1 2 3 1 2 3 1 2 3
﹣4，得到x +x +x ＝﹣3＜0，x x x ＝4＞0，即可得出结论．
1 2 3 1 2 3
【解答】解：∵x ，x ，x 是方程x3+3x2﹣9x﹣4＝0的三个实数根，
1 2 3
∴(x-x )(x-x )(x-x )=x3+3x2-9x-4，
1 2 3
∴x3-(x +x +x )x2+(x x +x x +x x )x-x x x =x3+3x2-9x-4，
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
∴﹣（x +x +x ）＝3，﹣x x x ＝﹣4，
1 2 3 1 2 3
∴x +x +x ＝﹣3＜0，x x x ＝4＞0，
1 2 3 1 2 3
∴（2）正确，（1）错误，
∴正确的是（2）．
故答案为：（2）．
【点评】本题考查了高次方程、因式定理、多项式的乘法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
20．（2025•新蔡县三模）对于实数m，n定义新运算：m※n＝mn+m2．例如：3※5＝3×5+32＝24，若关
1
于x的方程（2x）※1＝a有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a＞- ．
4
【考点】根的判别式；实数的运算；一元一次方程的解．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
1
【答案】a＞- ．
4
【分析】先根据新定义得到2x+4x2＝a，再把方程化为一般式，接着利用根的判别式的意义得到Δ＝22
﹣4×4×（﹣a）＞0，然后解不等式即可．
第15页（共25页）【解答】解：∵（2x）※1＝a，
∴2x+4x2＝a，
方程化为一般式为4x2+2x﹣a＝0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×4×（﹣a）＞0，
1
解得a＞- ，
4
1
故答案为：a＞- ．
4
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程
无实数根．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•雁塔区校级模拟）社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示，已
知AD＝52m，AB＝28m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为 x米的道路．已知
铺花砖的面积为640m2．求道路的宽是多少米？
【考点】一元二次方程的应用．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设道路的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为（52﹣2x）米，宽为
（28﹣2x）米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可．
【解答】解：设道路的宽为x米，根据题意结合平移的性质可得：
（52﹣2x）（28﹣2x）＝640，
4x2﹣160x+816＝0，
x2﹣40x+204＝0，
（x﹣34）（x﹣6）＝0，
第16页（共25页）解得：x＝34（舍去）或x＝6，
答：道路的宽为6米．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．
22．（2025•泸县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x ﹣3）（x ﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
1 2
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
17
【答案】（1）m≤ ；
8
（2）﹣1．
【分析】（1）利用判别式得到Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x +x ＝1，x x ＝2m﹣4，（x ﹣3）（x ﹣3）＝m2﹣1变形得到x x ﹣3
1 2 1 2 1 2 1 2
（x +x ）+9＝m2﹣1，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
1 2
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0，
17
解得m≤ ；
8
（2）根据题意得x +x ＝1，x x ＝2m﹣4，
1 2 1 2
∵（x ﹣3）（x ﹣3）＝m2﹣1，
1 2
∴x x ﹣3（x +x ）+9＝m2﹣1，
1 2 1 2
∴2m﹣4﹣3×1+9＝m2﹣1，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
解得m ＝﹣1，m ＝3（不合题意，舍去）．
1 2
故m的值是﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x +x
1 2 1 2
b c
=- ，x •x = ．也考查了根的判别式．
a 1 2 a
23．（2025•滨海新区校级模拟）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣4＝0有两个不等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一根．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
第17页（共25页）【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据不等式组求解即可；
（2）求出求出k，再解方程求出另一个根．
{ k≠0
【解答】解：（1）由题意 ，
4+16k＞0
1
∴k＞- 且k≠0；
4
（2）∵方程有一个根为2，
∴4k﹣4﹣4＝0，
∴k＝2，
∴方程为2x2﹣2x﹣4＝0，即x2﹣x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x﹣2＝0或x+1＝0，
∴x＝2或﹣1，
∴另一个根为﹣1．
【点评】本题考查根与系数关系，根的判别式等知识，解题的关键是转化利用转化的思想解决问题．
24．（2025•泗阳县校级一模）阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是x ，x ，
1 2
b c
那么x +x =- ，x ⋅x = ．借助该材料完成下列各题：
1 2 a 1 2 a
1 1 1
（1）若x ，x 是方程x2+6x﹣3＝0的两个实数根，则x +x ＝ ﹣ 6 ， ⋅ = - ．
1 2 1 2 x x 3
1 2
m2+8
（2）若x ，x 是方程x2-(m-3)x+ =0的两个实数根，且x2+x2=19，求m的值．
1 2 4 1 2
【考点】根与系数的关系．
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【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
1
【答案】（1）﹣6，- ；
3
（2）﹣2．
b c
【分析】（1）根据根与系数的关系：x +x =- ，x ⋅x = 求解即可；
1 2 a 1 2 a
（2）首先根据根的判别式求得m的取值范围，然后由根与系数的关系来求m的值．
b c
【解答】解：（1）由题意可知：x +x =- =-6，x •x = =-3，
1 2 a 1 2 a
第18页（共25页）1 1 1 1
∴ ⋅ = =-
x x x ⋅x 3
1 2 1 2
1
故答案为：﹣6，- ；
3
m2+8
（2）Δ=(m-3) 2-4× ≥0，
4
1
解得：m≤ ，
6
m2+8
∵x 、x 是关于x的方程x2-(m-3)x+ =0的两个实数根，
1 2
4
m2+8
∴x +x ＝m﹣3，x ⋅x = ，
1 2 1 2 4
又∵x2+x2=19，
1 2
m2+8
∴x2+x2=(x +x ) 2-2x ⋅x =19，即(m-3) 2-2× =19，
1 2 1 2 1 2 4
解得，m＝﹣2或m＝14，
1
又∵m≤ ，
6
∴m的值是﹣2．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键．
25．（2025•大渡口区模拟）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3
月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份
两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元
范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利
4800元，则这种台灯售价应定为多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
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【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x，根据1月份销售400个，2月份和
3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，列一元二次方程，
求解即可；
第19页（共25页）（2）设这种台灯售价应定为m元，根据商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，列一元二次方
程，求解即可．
【解答】解：（1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x，
根据题意，得400（1+x）2＝576，
解得x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（舍去），
1 2
答：2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为20%；
（2）设这种台灯售价应定为m元，
6
根据题意，得（m﹣30）[576+ （40﹣m）]＝4800，
0.5
解得m ＝38，m ＝80，
1 2
∵售价在35元至40元范围内，
∴m＝38，
答：这种台灯售价应定为38元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立相应的等量关系是解题的关键．
第20页（共25页）考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，
又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算
加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊
三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运
算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
3．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
4．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数
的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
5．一元二次方程的解
第21页（共25页）（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的
解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这 x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0
1 2
（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax 2+bx +c＝0（a≠0），ax 2+bx +c＝0（a≠0）．
1 1 2 2
6．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方
法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两
个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一
元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，
得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
7．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x ，x 是方程x2+px+q＝0的两根时，x +x ＝﹣p，x x ＝q，反过
1 2 1 2 1 2
来可得p＝﹣（x +x ），q＝x x ，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系
1 2 1 2
数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，
1 2
b c b c
x +x =- ，x x = ，反过来也成立，即 =-（x +x ）， =x x ．
1 2 a 1 2 a a 1 2 a 1 2
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
第22页（共25页）①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未
知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x 2+x 2等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥
1 2
由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同
时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
9．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表
示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
10．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检
验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一
次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱
形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例
关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角
形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
11．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为 1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平
方．
第23页（共25页）2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
12．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二
次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算
和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求
解．
13．二次函数的性质
b 4ac-b2 b
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（- ， ），对称轴直线x=- ，二次函数y＝
2a 4a 2a
ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
b b
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜- 时，y随x的增大而减小；x＞- 时，
2a 2a
b 4ac-b2
y随x的增大而增大；x=- 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．
2a 4a
b b
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜- 时，y随x的增大而增大；x＞- 时，
2a 2a
b 4ac-b2
y随x的增大而减小；x=- 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
2a 4a
b
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|- |个单位，再向上或
2a
4ac-b2
向下平移| |个单位得到的．
4a
14．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为
b 4ac-b2
图象有最低点，所以函数有最小值，当x=- 时，y= ．
2a 4a
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为
第24页（共25页）b 4ac-b2
图象有最高点，所以函数有最大值，当x=- 时，y= ．
2a 4a
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶
点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，
从而获得最值．
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