文档内容
2026年中考数学常考考点专题之相交线与平行线
一．选择题（共9小题）
1．（2025•惠城区校级三模）如图，直线a∥b，若∠1＝25°，那么∠2的大小为（ ）
A．60° B．65° C．55° D．45°
2．（2025•新华区校级一模）如图是古城墙的一角，因墙角内设有石雕无法直接测量墙角∠AOB的度数，
嘉嘉延长AO至点C后，测得∠BOC＝42°，则∠AOB＝（ ）
A．148° B．138° C．48° D．42°
3．（2025•永城市模拟）如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝65°，则∠2＝（ ）
A．105° B．110° C．115° D．125°
4．（2025•朝阳区校级模拟）小明同学学习时善于自己动手操作，以加深对知识的理解和掌握．在学习了
相交线与平行线的知识后，他又探索起来：将直角三角板按如图方式放置在直尺上，则∠1+∠2的度数
为（ ）
A．270° B．265° C．260° D．240°
5．（2025•宿城区校级一模）如图，已知直线a∥b，将含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置，若
第1页（共30页）∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
6．（2025•新城区三模）如图，直线AB与CD交于点O，OM⊥CD，若∠1＝140°，则∠2的度数为（
）
A．40° B．45° C．50° D．55°
7．（2025•鞍山二模）当光线从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空
气中也是平行的，如图，一组平行光线从水中射向空气，且∠1＝45°，∠2＝115°，则∠3的度数是（
）
A．45° B．65° C．115° D．135°
8．（2025•海南模拟）绿色出行，健康出行，某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图 1是
共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，∠1＝62°，∠BAC
＝58°，已知BC∥AM，则∠ACB的度数为（ ）
第2页（共30页）A．60° B．50° C．58° D．40°
9．（2025•河北模拟）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD．若∠1减少2°，则下列说法正确的是
（ ）
A．∠3减少2° B．∠2增加2°
C．∠1与∠2的和不变 D．∠2减少2°
二．填空题（共11小题）
10．（2025•桂阳县校级模拟）如图是凸透镜成像原理图，已知物 AB和像DC都与主光轴BC垂直，
∠BAO＝63°，则∠ODC的度数为 ．
11．（2025•安阳模拟）将一副三角板按如图所示摆放，过点 E 作直线 AB，过点 F 作直线 CD，且
AB∥CD．若∠HFD＝30°，则∠AEG＝ °．
12．（2025•海陵区校级三模）光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，
MN∥EF，光线AB从空气中射入水中时发生了折射，沿BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长
线．已知∠1＝58°，∠2＝43°，则∠DBC的大小为 °．
第3页（共30页）13．（2025•沙坪坝区模拟）一个魔方静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支
持力F的方向与斜面垂直，摩擦力f的方向与斜面平行．若斜面的坡角 的度数为40°，则支持力F与
重力G方向的夹角 的度数为 ． α
β
14．（2025•杭州模拟）如图，将一副三角尺的直角顶点重合，且使 AB∥CD，则∠DEB的度数是
°．
15．（2025•利通区校级三模）如图，直线l 1∥l
2
，A，B为直线l
2
上的两个定点，C是直线l
1
上一动点，
E，F分别为CA，CB的中点，对于下列各值：①线段EF的长；②△CEF的周长；③△CEF的面积；
④∠ECF的度数，其中不随点C的移动而改变的是 ．
16．（2025•济南校级模拟）将一个含有30°角的直角三角板和一把直尺按如图方式摆放．若∠1＝32°，则
∠2＝ ．
第4页（共30页）17．（2025•济南校级模拟）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法
线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水
平面上，形成∠AOB形状，∠AOB＝36°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经
平面镜点D处反射光线DC刚好与OB平行，则∠DEB的度数为 ．
18．（2025•前郭县模拟）如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到公路边，所以选择沿线段PC去公
路边，那么他的这一选择体现的数学基本事实是 ．
19．（2025•渭源县校级三模）如图，一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中点 C在FD的延长线
上，且AB∥FC，则∠CBD的度数为 ．
20．（2025•剑阁县模拟）近年来，随着大家对身体健康的重视，骑自行车健身渐渐流行开来．如图1是
某品牌自行车放在水平地面的实物图，图 2是其示意图，其中AB，CD都与地面平行，AM∥BC，
∠BCD＝65°，∠MAC＝60°，则∠BAC的度数为 ．
第5页（共30页）三．解答题（共5小题）
21．（2025•巴中）如图，已知∠1＝40°，∠B＝50°，AB⊥AC，AD＝BC．
（1）求证：AD∥BC；
（2）求∠D的度数．
22．（2025•桑植县三模）已知直线l 1∥l
2
，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所
示的位置摆放，若∠2＝100°，试求∠1的度数．
23．（2024•凉州区三模）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥AE；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝120°，求∠1的度数．
24．（2024•东西湖区校级模拟）已知：如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，EF交DC于点
F，∠3+∠2＝180°，∠1＝∠B．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若DE平分∠ADC，∠3＝3∠B，求∠2的度数．
第6页（共30页）25．（2024•凉州区二模）如图，已知∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若BF⊥AC，∠2＝135°，求∠AFG 的度数．
第7页（共30页）2026年中考数学常考考点专题之相交线与平行线
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B B C A A C B A D
一．选择题（共9小题）
1．（2025•惠城区校级三模）如图，直线a∥b，若∠1＝25°，那么∠2的大小为（ ）
A．60° B．65° C．55° D．45°
【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由平行线的性质得∠3＝∠1＝25°，再根据平角的定义解答即可求解．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝25°（两直线平行，内错角相等），
∴∠2＝180°﹣90°﹣25°＝65°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
2．（2025•新华区校级一模）如图是古城墙的一角，因墙角内设有石雕无法直接测量墙角∠AOB的度数，
嘉嘉延长AO至点C后，测得∠BOC＝42°，则∠AOB＝（ ）
A．148° B．138° C．48° D．42°
第8页（共30页）【考点】对顶角、邻补角．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据邻补角性质计算即可．
【解答】解：∵∠AOB+∠BOC＝180°，∠BOC＝42°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BOC
＝180°﹣42°
＝138°．
故选：B．
【点评】本题考查了邻补角，掌握邻补角性质是解题的关键．
3．（2025•永城市模拟）如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝65°，则∠2＝（ ）
A．105° B．110° C．115° D．125°
【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得出∠1＝∠3＝65°，再根据邻补角的定义即可得出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝65°，
∴∠1＝∠3＝65°（两直线平行，同位角相等），
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣65°＝115°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
4．（2025•朝阳区校级模拟）小明同学学习时善于自己动手操作，以加深对知识的理解和掌握．在学习了
相交线与平行线的知识后，他又探索起来：将直角三角板按如图方式放置在直尺上，则∠1+∠2的度数
第9页（共30页）为（ ）
A．270° B．265° C．260° D．240°
【考点】平行线的性质；相交线；平行线．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】过点E作EF∥AB，然后利用铅笔模型进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：过点E作EF∥AB，
∴∠2+∠4＝180°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠1+∠3＝180°，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠3+∠4）＝270°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，相交线，平行线，熟练掌握铅笔模型是解题的关键．
5．（2025•宿城区校级一模）如图，已知直线a∥b，将含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置，若
∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
第10页（共30页）【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】利用两直线平行，同旁内角互补得到∠1+∠CAB+∠CBA+∠2＝180°，代入数据计算即可求解．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+∠CAB+∠CBA+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
即40°+90°+30°+∠2＝180°，
∴∠2＝20°，
即∠2的度数为20°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
6．（2025•新城区三模）如图，直线AB与CD交于点O，OM⊥CD，若∠1＝140°，则∠2的度数为（
）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【考点】垂线．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据对顶角相等的性质和垂直的定义即可求解．
【解答】解：由条件可知∠DOM＝90°，
∴∠AOD＝140°，
∴∠2＝∠AOD﹣∠DOM＝140°﹣90°＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了角度计算、对顶角、垂直的定义，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．
第11页（共30页）7．（2025•鞍山二模）当光线从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空
气中也是平行的，如图，一组平行光线从水中射向空气，且∠1＝45°，∠2＝115°，则∠3的度数是（
）
A．45° B．65° C．115° D．135°
【考点】平行线的性质．
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【答案】B
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠2+∠4＝180°，
又∵∠2＝115°，
∴∠4＝180°﹣115°＝65°，
又∵c∥d，
∴∠3＝∠4＝65°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互
补是解题的关键．
8．（2025•海南模拟）绿色出行，健康出行，某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图 1是
共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，∠1＝62°，∠BAC
＝58°，已知BC∥AM，则∠ACB的度数为（ ）
第12页（共30页）A．60° B．50° C．58° D．40°
【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据平角的定义，求出∠CAM＝80°，再根据平行线的性质即可．
【解答】解：∵∠1＝62°，∠BAC＝58°，
∴∠CAM＝180°﹣∠1﹣∠CAB＝180°﹣62°﹣58°＝60°，
∵BC∥AM，
∴∠ACB＝∠CAM＝60°（两直线平行，内错角相等），
即∠ACB的度数为60°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9．（2025•河北模拟）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD．若∠1减少2°，则下列说法正确的是
（ ）
A．∠3减少2° B．∠2增加2°
C．∠1与∠2的和不变 D．∠2减少2°
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】D
【分析】根据垂直定义可得：∠COE＝90°，从而利用平角的定义可得：∠3+∠1＝90°，进而可得∠3
增加2°，然后根据对顶角相等可得：∠2＝∠BOC＝90°+∠1，从而可得∠2﹣∠1＝90°，即可解答．
第13页（共30页）【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∴∠3+∠1＝180°﹣∠COE＝90°，
∵∠1减少2°，
∴∠3增加2°，
∵∠2＝∠BOC＝90°+∠1，
∴∠2﹣∠1＝90°，
∵∠1减少2°，
∴∠2减少2°，
故选：D．
【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
二．填空题（共11小题）
10．（2025•桂阳县校级模拟）如图是凸透镜成像原理图，已知物 AB和像DC都与主光轴BC垂直，
∠BAO＝63°，则∠ODC的度数为 63 ° ．
【考点】平行线的判定与性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】63°．
【分析】先根据题意得出AB∥CD，再由平行线的性质即可得出结果．
【解答】解：∵已知物AB和像DC都与主光轴BC垂直，
∴AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥CD，
∴∠ODC＝∠BAO，
∵∠BAO＝63°，
∴∠ODC＝63°，
故答案为：63°．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相
平行是解题的关键．
11．（2025•安阳模拟）将一副三角板按如图所示摆放，过点 E 作直线 AB，过点 F 作直线 CD，且
第14页（共30页）AB∥CD．若∠HFD＝30°，则∠AEG＝ 4 5 °．
【考点】平行线的判定与性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意得∠EGH＝∠EHG＝45°，再证明AB∥GH，由平行线的性质可得结论．
【解答】解：由题意得，∠EGH＝∠EHG＝45°，
∵∠HFD＝30°，
∴∠GFH＝90°﹣30°＝60°，
∴∠GHF＝30°，
∴∠GHF＝∠HFD＝30°，
∴CD∥GH，
∵AB∥CD，
∴AB∥GH，
∴∠AEG＝∠EGH＝45°，
所以∠AEG的度数为45°．
故答案为：45．
【点评】本题主要考查平等线的判定与性质，关键是平行线判定定理的应用．
12．（2025•海陵区校级三模）光线从空气射入水中时，传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，
MN∥EF，光线AB从空气中射入水中时发生了折射，沿BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长
线．已知∠1＝58°，∠2＝43°，则∠DBC的大小为 1 5 °．
【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】15．
第15页（共30页）【分析】通过射线BD与EF的交点H，利用平行线性质和三角形外角性质来计算∠DBC的大小．
【解答】解：设射线BD交EF于点H．
∵MN∥EF，∠2＝43°，
∴∠2＝∠BHC＝43°（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1是△BHC的外角，
∴∠1＝∠DBC+∠BHC．
∵∠1＝58°，
∴58°＝∠DBC+43°，
∴∠DBC＝58°﹣43°＝15°．
则∠DBC的大小为15°．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13．（2025•沙坪坝区模拟）一个魔方静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支
持力F的方向与斜面垂直，摩擦力f的方向与斜面平行．若斜面的坡角 的度数为40°，则支持力F与
重力G方向的夹角 的度数为 140 ° ． α
β
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用垂直的定义得到∠1＝90°﹣∠ ＝50°，然后利用平行线的性质得到∠2＝∠1＝50°，即
可得∠ 的度数． α
β
第16页（共30页）【解答】解：如图，
∵重力G的方向竖直向下，
∴∠1＝90°﹣∠ ＝50°，
∵摩擦力f的方α向与斜面平行．
∵∠1＝∠2＝50°，
∵支持力F的方向与斜面垂直，
∴∠ ＝50°+90°＝140°．
故答β案为：140°．
【点评】本题考查了平行线的性质，正确利用平行线的性质是解决问题的关键．
14．（2025•杭州模拟）如图，将一副三角尺的直角顶点重合，且使 AB∥CD，则∠DEB的度数是 1 5
°．
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质；角的计算．
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【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，延长EC交AB于H．利用三角形的外角的性质求出∠AEH，再证明∠DEB＝∠AEH即
可解决问题．
【解答】解：如图，延长EC交AB于H．
第17页（共30页）∵AB∥CD，
∴∠ECD＝∠EHB＝60°，
∵∠EHB＝∠A+∠AEH，∠A＝45°，
∴∠AEH＝60°﹣45°＝15°，
∵∠AEB＝∠CED，
∴∠DEB＝∠AEH＝15°，
故答案为15．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
属于中考常考题型．
15．（2025•利通区校级三模）如图，直线l 1∥l
2
，A，B为直线l
2
上的两个定点，C是直线l
1
上一动点，
E，F分别为CA，CB的中点，对于下列各值：①线段EF的长；②△CEF的周长；③△CEF的面积；
④∠ECF的度数，其中不随点C的移动而改变的是 ①③ ．
【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】①③．
【分析】判断出AB长为定值，C到AB的距离为定值，再根据三角形的中位线与平行线的性质即可判
断①③，根据运动得出CA+CB不断发生变化、∠ACB的大小不断发生变化，即可判断②④．
【解答】解：∵A、B为定点，
∴AB长为定值，
∵点E，F分别为CA，CB的中点，
∴EF是△CAB的中位线，
1
∴EF= AB为定值，故①正确；
2
∵点A，B为直线l
2
上定点，直线l 1∥l
2
，
∴C到l 的距离为定值，
2
∵EF是△CAB的中位线，
∴EF∥l 1∥l
2
，
第18页（共30页）∴C到EF的距离为定值，
又∵EF为定值，
∴△CEF的面积为定值，故③正确；
当C点移动时，CA+CB的长发生变化，
则CE+CF的长发生变化，
∴△CEF的周长发生变化，故②错误；
当C点移动时，∠ACB发生变化，则∠ECF发生变化，故④错误；
故答案为：①③．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形中位线定理、三角形面积等知识，掌握以上性质是解题的
关键．
16．（2025•济南校级模拟）将一个含有30°角的直角三角板和一把直尺按如图方式摆放．若∠1＝32°，则
∠2＝ 118 ° ．
【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】118°．
【分析】根据平行线的性质，求出∠BPM＝180°﹣∠DMP＝118°，再由对顶角相等，得到∠2＝∠BPM
＝118°，即可解答．
【解答】解：如图
∵AB∥CD，∠PMF＝30°，∠1＝32°，
∴∠DMP+∠BPM＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∠PMD＝∠PMF+∠1＝30°+32°＝62°，
第19页（共30页）∴∠BPM＝180°﹣∠DMP＝180°﹣62°＝118°，
∴∠2＝∠BPM＝118°（对顶角相等）．
故答案为：118°．
【点评】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
17．（2025•济南校级模拟）光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法
线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水
平面上，形成∠AOB形状，∠AOB＝36°，在OB上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经
平面镜点D处反射光线DC刚好与OB平行，则∠DEB的度数为 72 ° ．
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】72°．
【分析】过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，故∠1＝∠3；然后
又由两直线CD∥OB推知内错角∠1＝∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的 度数．
【解答】解：从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点 D处反射光线DC刚好与OB平行，如
图，过点D作DF⊥AO交OB于点F．
∵入射角等于反射角，
∴∠1＝∠3，
∵CD∥OB，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠AOB＝36°，
∴∠2＝90°﹣36°＝54°，
在△DEF 中，∠DEB＝180°﹣2∠2＝72°，
故答案为：72°．
第20页（共30页）【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，解答本题的关键是作
出辅助线DF⊥AO，在直角三角形中解决问题．
18．（2025•前郭县模拟）如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到公路边，所以选择沿线段PC去公
路边，那么他的这一选择体现的数学基本事实是 垂线段最短 ．
【考点】垂线段最短．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短即可得出答案．
【解答】解：如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到公路边，所以选择沿线段PC去公路边，那
么他的这一选择体现的数学基本事实是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题考查了垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．
19．（2025•渭源县校级三模）如图，一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中点 C在FD的延长线
上，且AB∥FC，则∠CBD的度数为 15 ° ．
【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据平行线的性质得出∠ABD的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°．
故答案为：15°．
第21页（共30页）【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
20．（2025•剑阁县模拟）近年来，随着大家对身体健康的重视，骑自行车健身渐渐流行开来．如图1是
某品牌自行车放在水平地面的实物图，图 2是其示意图，其中AB，CD都与地面平行，AM∥BC，
∠BCD＝65°，∠MAC＝60°，则∠BAC的度数为 55 ° ．
【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】55°．
【分析】首先根据平行公理的推论可证得AB∥CD，然后利用平行线的性质可求得∠ABC和∠ACB，再
根据三角形的内角和定理即可求得∠BAC的度数．
【解答】解：∵AB，CD都与地面平行，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝65°（两直线平行，内错角相等），
∵AM∥BC，
∴∠ACB＝∠MAC＝60°（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣60°＝55°，
即∠BAC的度数为55°．
故答案为：55°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•巴中）如图，已知∠1＝40°，∠B＝50°，AB⊥AC，AD＝BC．
（1）求证：AD∥BC；
（2）求∠D的度数．
第22页（共30页）【考点】平行线的判定与性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）∵AB⊥AC，∠B＝50°，
∴∠ACB＝90°﹣50°＝40°．
又∵∠1＝40°，
∴∠1＝∠ACB，
∴AD∥BC；
（2）50°．
【分析】（1）先求出∠ACB的度数，再结合平行线的判定即可解决问题；
（2）根据题意，得出四边形ABCD是平行四边形，据此可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB⊥AC，∠B＝50°，
∴∠ACB＝90°﹣50°＝40°．
又∵∠1＝40°，
∴∠1＝∠ACB，
∴AD∥BC；
（2）解：∵AD＝BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝50°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键．
22．（2025•桑植县三模）已知直线l 1∥l
2
，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所
示的位置摆放，若∠2＝100°，试求∠1的度数．
【考点】平行线的性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】50°．
【分析】根据平行线的可得∠1＝∠3，根据平角的性质即可求解．
【解答】解：如图所示，∠4＝30°，
第23页（共30页）由条件可知∠2+∠4＝130°，
∴∠3＝180°﹣130°＝50°，
由条件可知∠1＝∠3＝50°．
答：∠1的度数为50°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，理解并掌握平行线的性质是解题的关键．
23．（2024•凉州区三模）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥AE；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝120°，求∠1的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）∠1的度数为60°．
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠1＝∠FGC，再结合已知可得∠2＝∠FGC，然后利用平行线的
判定，即可解答；
（2）根据垂直定义可得∠FHB＝90°，再利用平行线的性质可得∠ABD＝60°，然后利用角平分线的定
义可得∠ABH＝30°，从而利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠FGC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠FGC，
∴FG∥AE；
（2）解：∵FG⊥BC，
∴∠FHB＝90°，
第24页（共30页）∵AB∥CD，∠D＝120°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D＝60°，
∵BC平分∠ABD，
1
∴∠ABH= ∠ABD＝30°，
2
∴∠1＝90°﹣∠ABH＝60°，
∴∠1的度数为60°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
24．（2024•东西湖区校级模拟）已知：如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，EF交DC于点
F，∠3+∠2＝180°，∠1＝∠B．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若DE平分∠ADC，∠3＝3∠B，求∠2的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）见解答过程；
（2）72°．
【分析】（1）由题意可得∠DFE+∠2＝180°，从而得∠DFE＝∠3，由平行线的判定条件可得
BD∥EF，则有∠1＝∠ADE，从而得∠ADE＝∠B，即可判断DE∥BC；
（2）由（1）可知∠ADE＝∠B，再由角平分线的定义得∠ADC＝2∠ADE＝2∠B，再由∠3+∠ADC＝
180°，即可求∠ADC的度数，即可得∠2的度数．
【解答】（1）证明：∵∠DFE+∠2＝180°，∠3+∠2＝180°，
∴∠DFE＝∠3，
∴BD∥EF，
∴∠1＝∠ADE，
∵∠1＝∠B，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC；
（2）解：由（1）知，∠ADE＝∠B，BD∥EF，
第25页（共30页）∴∠2＝∠ADC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADE＝2∠B，
∵∠3+∠ADC＝180°，∠3＝3∠B，
∴3∠B+2∠B＝180°，
解得：∠B＝36°，
∴∠ADC＝72°，
∴∠2＝72°．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
25．（2024•凉州区二模）如图，已知∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若BF⊥AC，∠2＝135°，求∠AFG 的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
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【专题】几何图形；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）见解答；（2）45°．
【分析】（1）由于∠AGF＝∠ABC，可判断GF∥BC，则∠1＝∠3，由∠1+∠2＝180°得出∠3+∠2＝
180°判断出BF∥DE；
（2）由BF∥DE，BF⊥AC得到DE⊥AC，由∠2＝135°得出∠1＝45°，得出∠AFG的度数．
【解答】解：（1）BF∥DE，理由如下：
∵∠AGF＝∠ABC，
∴GF∥BC，
∴∠1＝∠3，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠3+∠2＝180°，
∴BF∥DE；
（2）∵BF∥DE，BF⊥AC，
∴DE⊥AC，
第26页（共30页）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝135°，
∴∠1＝45°，
∴∠AFG＝90°﹣45°＝45°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等，同
旁内角互补．
第27页（共30页）考点卡片
1．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
1
则∠AOC＝∠BOC= ∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
2
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
2．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记
1
作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=
3
∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，
逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒
分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
3．相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
4．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置
第28页（共30页）关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两
个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
5．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另
一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
6．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与
直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两
个中去选择．
7．平行线
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
8．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
第29页（共30页）定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
9．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数
量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
10．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大
于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助
平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方
法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
11．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
第30页（共30页）
