文档内容
南充市二○二四年初中学业水平考试
数学试题
（满分150分，时间120分钟）
注意事项：
1.答题前将姓名、座位号、身份证号、准考证号填在答题卡指定位置；
2.所有解答内容均须涂、写在答题卡上；
3.选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；
4.填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A，B，C，D
四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂
正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．
1. 如图，数轴上表示 的点是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．先估算出 的范围，再找出符合条件的数轴上的点即
可．
【详解】解：∵ ，
∴数轴上表示 的点是点C，
故选：C．
2. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后
再按控球技能占 ，投球技能占 计算选手的综合成绩（百分制人选手李林控球技能得90分，投球
技能得80分．李林综合成绩为（ ）
A. 170分 B. 86分 C. 85分 D. 84分
1【答案】B
【解析】
【分析】本题考查求加权平均数，利用加权平均数的计算方法，进行求解即可．
【详解】解： （分）；
故选B．
3. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，平角的定义求出 的度数，再根据平行线的性质，即
可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵两个平面镜平行放置，
∴经过两次反射后的光线与入射光线平行，
∴ ；
故选C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法则，积的乘方和幂的乘方法则，逐一
进行判断即可．
2【详解】解：A、 不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
B、 ，原选项计算错误，不符合题意；
C、 ，原选项计算错误，不符合题意；
D、 ，原选项计算正确，符合题意；
故选D．
5. 如图，在 中， ， 平分 交 于点D，点E为边
上一点，则线段 长度的最小值为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质，垂线段最短，根据题意求得 和 ，结
合角平分线的性质得到 和 ，当 时，线段 长度的最小，结合角平线的性质可得
即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
在 中， ，解得 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
3∴ ，解得 ，
当 时，线段 长度 的最小，
∵ 平分 ，
∴ ．
故选∶C．
6. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房
九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9
人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客
房”分别列出两个方程，联立成方程组即可．
【详解】根据题意有
故选：A．
【点睛】本题主要考查列二元一次方程组，读懂题意找到等量关系是解题的关键．
7. 若关于x的不等式组 的解集为 ，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于
参数的不等式，进行求解即可．
4【详解】解：解 ，得： ，
∵不等式组的解集为： ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
8. 如图，已知线段 ，按以下步骤作图：①过点B作 ，使 ，连接 ；②以点C
为圆心，以 长为半径画弧，交 于点D；③以点A为圆心，以 长为半径画弧，交 于点E．
若 ，则m的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得 ，再根据 ，设 ，然后
在 中，利用勾股定理可得 ，再根据题意可得： ，从而
利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
5【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，设
∴ ，
∴ ，
由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A
9. 当 时，一次函数 有最大值6，则实数m的值为（ ）
A. 或0 B. 0或1 C. 或 D. 或1
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当 时和当
，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：当 即 时，一次函数y随x的增大而增大，
∴当 时， ，
即 ，
6整理得：
解得： 或 （舍去）
当 即 时，一次函数y随x的增大而减小，
∴当 时， ，
即 ，
整理得：
解得： 或 （舍去）
综上， 或 ，
故选：A
10. 如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直
角三角形和一个小正方形组成．在正方形 中， ．下列三个结论：①若 ，
则 ；②若 的面积是正方形 面积的3倍，则点F是 的三等分点；③将
绕点A逆时针旋转 得到 ，则 的最大值为 ．其中正确的结论是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
7【解析】
【分析】根据 ，设 ，得到 ，进而得到 ，求
出 的值，判定①，根据 的面积是正方形 面积的3倍，求出 ，进而得到
，判断②；旋转得到 ，进而得到点 在以 为直径的
半圆上，取 的中点 ，连接 ，得到 ，判断③．
【详解】解：在 中， ，
∴设 ，则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；故①正确；
若 的面积是正方形 面积的3倍，则： ，
∴ ，即： ，
∴ 或 （舍去），
∴ ，
8∴点F是 的三等分点；故②正确；
∵将 绕点A逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴点 在以 为直径的半圆上，
取 的中点 ，连接 ，则： ， ，
∴ ，
∴ ，
即： 的最大值为 ；故③正确；
故选D．
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，解一元二次方程，求圆外一点到圆上一点的最
值，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．
11. 计算 的结果为___________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了同分母分式减法运算，按照同分母减法运算法则计算即可．
9【详解】解： ，
故答案为：1．
12. 若一组数据 ， ， ， ， ， 的众数为 ，则这组数据的中位数为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中
间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．根据
众数的定义可得 的值，再依据中位数的定义即可得答案．
【详解】解：∵ ， ， ， ， ， 的众数为 ，
∴ ，
为
把这组数据从小到大排列 ： ， ， ， ， ， ，
则中位数为 ．
故答案为： ．
13. 如图， 是 的直径，位于 两侧的点C，D均在 上， ，则 ______度
【答案】75
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，补角求出 ，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即
可．
【详解】解：∵ 是 的直径，位于 两侧的点C，D均在 上， ，
∴ ，
10∴ ；
故答案为：75．
14. 已知m是方程 的一个根，则 的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据 m 是方程
的一个根，可得出 ，再化简代数式，整体代入即可求解．
【详解】解： m是方程 的一个根，
∵
∴
，
故答案为： ．
15. 如图，在矩形 中， 为 边上一点， ，将 沿 折叠得 ，连接
， ，若 平分 ， ，则 的长为_____．
11【答案】
【解析】
【分析】过 作 于点 ， 于点 ， ，由四边形 是
矩形，得 ， ，证明四边形 是矩形，通过角平分线的性质证
得四边形 是正方形，最后根据折叠的性质和勾股定理即可求解．
【详解】如图，过 作 于点 ， 于点 ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形，
∵ 平分 ，
∴ ， ，
12∴四边形 是正方形，
由折叠性质可知： ， ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理， 所对直角边是斜边的一半，角平分
线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
16. 已 知 抛 物 线 与 轴 交 于 两 点 ， （ 在 的 左 侧 ） ， 抛 物 线
与 轴交于两点 ， （ 在 的左侧），且 ．下列四个结论：
与 交点为 ； ； ； ， 两点关于 对称．其中正确的结
论是_____．（填写序号）
【答案】
【解析】
【分析】由题意得 ，根据 可以判断 ；令 求出
， ，由 可以判断 ；抛物线 与
轴交于两点 ， （ 在 的左侧），抛物线 与 轴交于两点 ， （ 在
的左侧），根据根的判别式得出 或 ， 或 ，可以判断 ，利用两点间的距离可
以判断 ．
13【详解】解： 由题意得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ 与 交点为 ，故 正确，
当 时， ，解得 ，
∴ ，
当 时， ，解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，则有： ，
∵ ，
∴ ，故 正确；
∵抛物线 与 轴交于两点 ， （ 在 的左侧），抛物线
与 轴交于两点 ， （ 在 的左侧），
∴ ， ，
14解得： 或 ， 或 ，
由 得 ，
∴ ，
当 时， ，或当 时， ，
∴ ，故 错误；
由 得： ，解得 ，
∵ 在 的左侧， 在 的左侧，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，整理得： ，
∴ ，
∴由对称性可知： ， 两点关于 对称，故 正确；
综上可知： 正确，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判
别式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
17. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
15【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，运用完全平方公式展开，先算除法，再算加减法，最后代入求
值即可．
【详解】解：原式
，
当 时，原式 ．
18. 如图，在 中，点D为 边的中点，过点B作 交 的延长线于点E．
（1）求证： ．
（2）若 ，求证：
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质：
（1）由中点，得到 ，由 ，得到 ，即可得证；
（2）由全等三角形的性质，得到 ，进而推出 垂直平分 ，即可得证．
【小问1详解】
证明： 为 的中点，
．
；
16在 和 中，
；
【小问2详解】
证明：
垂直平分 ，
．
19. 某研学基地开设有A，B，C，D四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部
分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘
制成两幅不完整的统计图，（如图）．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加调查统计的学生中喜爱B类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求C类研学项目所在扇形的
圆心角的度数．
（2）从参加调查统计喜爱D类研学项目的4名学生（2名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰
好选中一名男生一名女生的概率．
【答案】（1）喜爱B类研学项目有8人，C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为
（2）
【解析】
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率：
（1） 类项目的人数除以所占的比例求出总人数，再用总人数乘以 类项目的人数所占的比例求解即可；
17（2）设喜爱D类研学项目的4名学生分别记为男1，男2，女1，女2，列出表格，利用概率公式进行计算
即可．
【小问1详解】
解： （人）．
．
答：喜爱B类研学项目有8人，C类研学项目所在扇形的圆心角的度数为 ．
【小问2详解】
喜爱D类研学项目的4名学生分别记为男1，男2，女1，女2，列表如下：
第2位
男1 男2 女1 女2
第1位
男1 男1男2 男1女1 男1女2
男2 男2男1 男2女1 男2女2
女1 女1男1 女1男2 女1女2
女2 女2男1 女2男2 女2女1
由表可知，抽选2名学生共有12种等可能结果，抽中一名男生和一名女生（记作事件M）共8种可能．
．
答：抽中一名男生和一名女生的概率为 ．
20. 已知 ， 是关于 的方程 的两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围．
（2）若 ，且 ， ， 都是整数，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方
程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
18（1）根据“ ， 是关于 的方程 的两个不相等的实数根”，则 ，得出
关于 的不等式求解即可；
（2）根据 ，结合（1）所求 的取值范围，得出整数 的值有 ， ， ，分别计算讨论整数 的不
同取值时，方程 的两个实数根 ， 是否符合都是整数，选择符合情况的整数
的值即可．
【小问1详解】
解：∵ ， 是关于 的方程 的两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
【小问2详解】
解：∵ ，由（1）得 ，
∴ ，
∴整数 的值有 ， ， ，
当 时，方程为 ，
解得： ， （都是整数，此情况符合题意）；
当 时，方程为 ，
解得： （不是整数，此情况不符合题意）；
为
当 时，方程 ，
解得： （不是整数，此情况不符合题意）；
19综上所述， 的值为 ．
21. 如图，直线 经过 两点，与双曲线 交于点 ．
（1）求直线和双曲线的解析式．
（2）过点C作 轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与 相似，直接写
出点P的坐标．
【答案】（1）直线解析式为 ，双曲线解析式为
（2）点P坐标为 或 或 或
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，相似三角形的性质：
（1）待定系数法求出一次函数的解析式，进而求出点 的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解
析式即可；
（2）分 和 ，两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：直线 经过 两点，
∴ ，解得： ，
∴ ，
20当 时， ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ， ，
当以O，A，P为顶点的三角形与 相似时，分两种情况进行讨论：
①当 ，则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ；
②当 ，则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ；
综上：点P坐标为 或 或 或 ．
2122. 如图，在 中， 是直径， 是弦，点F是 上一点， ， 交于点C，点D
为 延长线上一点，且 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）若 ，求 的半径长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）圆周角定理推出 ，根据 ，结合三角形的内角和定理，推出
，即 即可得证；
（2）连接 ，易得 ，直径得到 在 中，勾股定理求出 的长，
三角函数求出 的长即可．
【小问1详解】
证明：
．
，
．
即
．
又∵ 为半径，
22是 的切线．
【小问2详解】
解：连接 ．
∴ ．
是直径，
．
在 中， ．
．
又 是直径
的半径长为 ．
23. 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类
特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需
540元．
（1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10
件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并
23写出自变量x的取值范围．
（3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售
这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，
最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）
【答案】（1）A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件
（2） （ ）
（3）A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质，
根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为 元，进一步得到关于x的
一元一次方程求解即可；
根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x
得取值范围；
结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，
整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为 元．
根据题意得 ．
解得 ．
则每件B类特产的售价 （元）．
答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．
【小问2详解】
由题意得
∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价
∴ ．
24答： （ ）．
【小问3详解】
．
∴当 时，w有最大值1840．
答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．
24. 如图，正方形 边长为 ，点 E 为对角线 上一点， ，点 P 在 边上以
的速度由点A向点B运动，同时点Q在 边上以 的速度由点C向点B运动，设运动时间
为t秒（ ）．
（1）求证： ．
（2）当 是直角三角形时，求t的值．
（3）连接 ，当 时，求 的面积．
【答案】（1）见解析 （2） 秒或2秒
（3）
【解析】
25【分析】（1）根据正方形性质，得到 ，再题意得到 ，从而得到
；
（2）利用题目中的条件，分别用t表示 、 、 ，再分别讨论当 、
和 时，利用勾股定理构造方程求出t即可；
（3）过点A作 ，交 的延长线于点F，连接 交 于点G．由此得到 ，由已
知得到 进而得到 ，由题意 ，则 ，再依次证
明 、 ，得到 ，从而证明 ，即 是
等腰直角三角形．则 ，再用 求出 的面积．
【小问1详解】
证明： 四边形 是正方形，
．
，
．
【小问2详解】
解：过点E作 于点M，过点E作 于点N．
由题意知 ，
∵
26∴ ，
∵
∴
由已知，
．
，即 ，
，即 ，
，即 ．
①当 时，有 ．
即 ，整理得 ．
解得 （不合题意，舍去）．
②当 时，有 ．
即 ，整理得 ，解得 ．
③当 时，有 ．
即 ，整理得 ，该方程无实数解．
综上所述，当 是直角三角形时，t的值为 秒或2秒．
【小问3详解】
27解：过点A作 ，交 的延长线于点F，连接 交 于点G．
，
．
又 ，
．
，
，
，
，
，
，
，
28即 ，
是等腰直角三角形．
，
【点睛】本题考查了正方形的性格、相似三角形的性质与判定、正切定义以及勾股定理．解答过程中，灵
活的利用勾股定理构造方程、根据题意找到相似三角形是解题关键．
25. 已知抛物线 与 轴交于点 ， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 ，抛物线与 轴交于点 ，点 为线段 上一点（不与端点重合），直线 ， 分别交
29抛物线于点 ， ，设 面积为 ， 面积为 ，求 的值；
（3）如图 ，点 是抛物线对称轴与 轴的交点，过点 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点 ，
，过抛物线顶点 作直线 轴，点 是直线 上一动点．求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（ ）利用待定系数法即可求解；
（ ）设 ，直线 为 ，求出 ，直线 为 ，求出
，联立方程组得 ， ，再根据 ，
即可求解；
（ ）设直线 为 ，由 得 ，得 ，设 ，
，联立直线 与抛物 ，得 ，根据根与系
数的关系可得： ， ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，则有
，过 点作 于F，则 ，则
， ，根据勾股定理得 ，即可求
30出 最小值．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与 轴交于点 ， ，
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
设 ，直线 为 ，据题意得，
，解得 ，
∴ ，
联立得 ，
解得 或 ，
∴ ，
设 ，直线 为 ，据题意得，
，解得 ，
∴ ，
31联立得 ，
解得 或 ，
∴ ，
，
，
∴ ；
【小问3详解】
设直线 为 ，由 得 ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，
联立直线 与抛物线 ，
得 ，
，
根据根与系数的关系可得： ， ，
作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，
32由题意得直线 ，则 ，
∴ ，
过 点作 于F，则 ．
则 ， ，
在 中，
，
即当 时， ，此时 ，
故 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数 的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方
程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
33
