文档内容
2024 年河北省初中毕业生升学文化课考试
数学试卷
一、选择题（本大题共 16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键．
由五日气温为 得到 ， ， ，则气温变化为先下降，然后
上升，再上升，再下降．
【详解】解：由五日气温为 得到 ， ，
气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
故选：A．
∴
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对
各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则．
【详解】解：A． ， 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B． ，故此选项不符合题意；
C． ，故此选项符合题意；
D． ，故此选项不符合题意．
故选：C．
3. 如图， 与 交于点O， 和 关于直线 对称，点A，B的对称点分别是点C，D．
下列不一定正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D．
【详解】解：由轴对称图形的性质得到 ， ，
，
B、C、D选项不符合题意，
∴
故选：A．
∴
4. 下列数中，能使不等式 成立的x的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到 ，
以此判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∴符合题意的是A
故选A．
5. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段 一定是 的（ ）
A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得 ，从而可得答
案．
【详解】解：由作图可得： ，∴线段 一定是 的高线；
故选B
6. 如图是由 个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查简单组合体的三视图，左视图每一列的小正方体个数，由该方向上的小正方体个数最多
的那个来确定，通过观察即可得出结论．掌握几何体三种视图之间的关系是解题的关键．
【详解】解：通过左边看可以确定出左视图一共有 列，每列上小正方体个数从左往右分别为 、 、
．
故选：D．
7. 节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说
法错误的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若x减小，则y也减小 D. 若x减小一半，则y增大一倍
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可．
【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天．
∴ ，
∴ ，
当 时， ，故A不符合题意；
当 时， ，故B不符合题意；
∵ ， ，
∴当x减小，则y增大，故C符合题意；
若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意；
故选：C．8. 若a，b是正整数，且满足 ，则a与b的关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得： ，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．
【详解】解：由题意得： ，
，
∴ ，
故选：A．
∴
9. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 1或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得方程 ，利用公式法求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： 或 （舍）
故选：C．
10. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图， 中， ， 平分 的外角 ，点 是 的
中点，连接 并延长交 于点 ，连接 ．
求证：四边形 是平行四边形．
证明：∵ ，∴ ．
∵ ， ， ，
∴①______．
又∵ ， ，
∴ （②______）．
∴ ．∴四边形 是平行四边形．若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得 ，根据
三角形外角的性质及角平分线的定义可得 ，证明 ，得到 ，再结
合中点的定义得出 ，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【详解】证明：∵ ，∴ ．
∵ ， ， ，
∴① ．
又∵ ， ，
∴ （② ）．
∴ ．∴四边形 是平行四边形．
故选：D．
11. 直线l与正六边形 的边 分别相交于点M，N，如图所示，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关
键．
先求出正六边形的每个内角为 ，再根据六边形 的内角和为 即可求解
的度数，最后根据邻补角的意义即可求解．
【详解】解：正六边形每个内角为： ，而六边形 的内角和也为 ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
故选：B．
∴
12. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形
位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设 ， ，
，可得 ， ， ，再结合新定义与分式的值的大小比较即可
得到答案．
【详解】解：设 ， ， ，
∵矩形 ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，而 ，
∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B；
故选：B．
13. 已知A为整式，若计算 的结果为 ，则 （ ）
A. x B. y C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的
关键．
由题意得 ，对 进行通分化简即可．【详解】解： 的结果为 ，
∵
，
∴
，
∴ ，
故选：A．
∴
14. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为
时，扇面面积为 、该折扇张开的角度为 时，扇面面积为 ，若 ，则 与 关系的图象大致
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为 ，根据扇形的面积公式
表示出 ，进一步得出 ，再代入 即可得出结论．掌握扇形的面积公式
是解题的关键．
【详解】解：设该扇面所在圆的半径为 ，
，
∴ ，
∵该折扇张开的角度为 时，扇面面积为 ，
∴ ，
∴ ，∴ 是 的正比例函数，
∵ ，
∴它的图像是过原点的一条射线．
故选：C．
15. “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运
算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示 ，运算结果为3036．图2表示
一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（
）
A. “20”左边的数是16 B. “20”右边的“□”表示5
C. 运算结果小于6000 D. 运算结果可以表示为
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．
设一个三位数与一个两位数分别为 和 ，则 ，即
，可确定 时，则 ，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结
果可以表示为： ，故可判断C、D选项．
【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为 和
如图：
则由题意得：
，
∴ ，即 ，∴当 时， 不是正整数，不符合题意，故舍；
当 时，则 ，如图：
，
∴A、“20”左边的数是 ，故本选项不符合题意；
B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；
∴ 上面的数应为 ，如图：
∴运算结果可以表示为： ，
∴D选项符合题意，
当 时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意，
故选：D．
16. 平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于 0的点称为“和点”．将
某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平
移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点” 按上述规则连续平移3次后，到达点 ，其平移过程如
下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点 ，则点Q的坐标为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】D【解析】
【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．
先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、
向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照 的反向运动理解去分类讨论：① 先向右1个单位，
不符合题意；② 先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移
了7次，此时坐标为 ，那么最后一次若向右平移则为 ，若向左平移则为 ．
【详解】解：由点 可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到
，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到 ，此时横、
纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位 ，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标
之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律
平移，
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点 ，则按照“和点” 反向运动16次求点
Q坐标理解，可以分为两种情况：
① 先向右1个单位得到 ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是 向右平移1
个单位得到 ，故矛盾，不成立；
② 先向下1个单位得到 ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个
单位得到 ，故符合题意，那么点 先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了
8次，向右平移了7次，此时坐标为 ，即 ，那么最后一次若向右平移则为 ，若
向左平移则为 ，
故选：D．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）
17. 某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，
73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为______．
【答案】89
【解析】
【分析】本题考查了众数，众数是一组数据中次数出现最多的数．
根据众数的定义求解即可判断．
【详解】解：几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，
89出现的次数最多，
以上数据的众数为89．
故答案为：89．
18. 已知a，b，n均为正整数．
（1）若 ，则 ______；（2）若 ，则满足条件 a的个数总比b的个数少______个．
【答案】 . .
【解析】
① ②
【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键；
（1）由 即可得到答案；
（ 2 ） 由 ， ， 为 连 续 的 三 个 自 然 数 ， ， 可 得
， ，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即
可得到答案．
【详解】解：（1）∵ ，而 ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）∵a，b，n均为正整数．
∴ ， ， 为连续的三个自然数，而 ，
∴ ， ，
观察 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
而 ， ， ， ， ，
∴ 与 之间的整数有 个，
与 之间的整数有 个，
∴满足条件的a的个数总比b的个数少 （个），
故答案为： ．
19. 如图， 的面积为 ， 为 边上的中线，点 ， ， ， 是线段 的五等分点，点
， ， 是线段 的四等分点，点 是线段 的中点．
（1） 的面积为______；
（2） 的面积为______．
【答案】 . .
① ②【解析】
【分析】（1）根据三角形中线的性质得 ，证明
，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）证明 ，得 ，推出 、 、 三点共线，得
，继而得出 ， ，证明
，得 ，推出 ，最后代入
即可．
【详解】解：（1）连接 、 、 、 、 ，
∵ 的面积为 ， 为 边上的中线，
∴ ，
∵点 ， ， ， 是线段 的五等分点，
∴ ，
∵点 ， ， 是线段 的四等分点，
∴ ，
∵点 是线段 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 的面积为 ，
故答案为： ；
（2）在 和 中，
，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 、 、 三点共线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意
义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20. 如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为 ，2，32，乙数轴上的三点
D，E，F所对应的数依次为0，x，12．
（1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求 的值；
（2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键；
（1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算 ，从而可得答案；
（2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为 ，2，32，
∴ ， ， ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
21. 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有 ，除正面的代数式不同外，其余均相同．（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当 时，求取出的卡片上代数式的值
为负数的概率；
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中
补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．
【答案】（1）
（2）填表见解析，
【解析】
【分析】（1）先分别求解三个代数式当 时的值，再利用概率公式计算即可；
（2）先把表格补充完整，结合所有可能的结果数与符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：当 时，
， ， ，
∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为： ；
【小问2详解】
解：补全表格如下：
∴所有等可能的结果数有 种，和为单项式的结果数有 种，
∴和为单项式的概率为 ．
【点睛】本题考查的是代数式的值，正负数的含义，多项式与单项式的概念，利用列表法求解简单随机事
件的概率，掌握基础知识是解本题的关键．
22. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星
星，此时淇淇距窗户的水平距离 ，仰角为 ；淇淇向前走了 后到达点D，透过点P恰好看
到月亮，仰角为 ，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面 的距离 ，点P到 的距离 ， 的延长线交 于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
（1）求 的大小及 的值；
（2）求 的长及 的值．
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关
键；
（1）根据题意先求解 ，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；
（2）利用勾股定理先求解 ，如图，过 作 于 ，结合
，设 ，则 ，再建立方程求解 ，即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得： ， ， ，
， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
如图，过 作 于 ，∵ ，设 ，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
23. 情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．
该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线 ， 裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉
嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段 的长；
（2）直接写出图3中所有与线段 相等的线段，并计算 的长．探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图 5所示纸片的 边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画
出裁剪线（线段 ）的位置，并直接写出 的长．
【答案】（1） ；（2） ， ； 的长为 或 ．
【解析】
【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合
运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度．
（1）如图，过 作 于 ，结合题意可得：四边形 为矩形，可得 ，由拼
接可得： ，可得 ， ， 为等腰直角三角形， 为等腰直角
三角形，设 ，则 ，再进一步解答即可；
（2）由 为等腰直角三角形， ；求解 ，再分别求解 ；可
得答案，如图，以 为圆心， 为半径画弧交 于 ，交 于 ，则直线 为分割线，或以
圆心， 为半径画弧，交 于 ，交 于 ，则直线 为分割线，再进一步求解 的长即
可．
【详解】解：如图，过 作 于 ，
结合题意可得：四边形 为矩形，
∴ ，
由拼接可得： ，
由正方形的性质可得： ，
∴ ， ， 为等腰直角三角形，
∴ 为等腰直角三角形，
设 ，∴ ，
∴ ， ，
∵正方形的边长为 ，
∴对角线的长 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（2）∵ 为等腰直角三角形， ；
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ；
如图，以 为圆心， 为半径画弧交 于 ，交 于 ，则直线 为分割线，
此时 ， ，符合要求，
或以 圆心， 为半径画弧，交 于 ，交 于 ，则直线 为分割线，
此时 ， ，
∴ ，
综上： 的长为 或 ．
24. 某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩
x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下：
当 时， ；当 时， ．
（其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）
公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格．
（1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若 ，求甲、乙的报告成绩；
（2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值：
（3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：
原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150
人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5
①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；
②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．
【答案】（1）甲、乙的报告成绩分别为76，92分
（2）125 （3）①130；②
【解析】
【分析】（1）当 时，甲的报告成绩为： 分，乙的报告成绩为：
分；
（2）设丙的原始成绩为 分，则丁的原始成绩为 分，① 时和② 时
均不符合题意，③ 时， ，
，解得 ；
（3）①共计100名员工，且成绩已经排列好，则中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第
50，51名员工成绩都是130分，故中位数为130；②当 时，则 ，解得
，故不成立，舍；当 时，则 ，解得 ，符合题
意，而由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为 ，故合格率为：
．
【小问1详解】
解：当 时，甲的报告成绩为： 分，
乙的报告成绩为： 分；【小问2详解】
解：设丙的原始成绩为 分，则丁的原始成绩为 分，
① 时， ， ，
由① ②得 ，
∴ ，
∴ ，故不成立，舍；
② 时， ，
，
由③ ④得： ，
∴ ，
∴ ，
，
∴
，故不成立，舍；
∴
③ 时， ，
，
联立⑤⑥解得：
，且符合题意，
综上所述 ；
【小问3详解】
解：①共计100名员工，且成绩已经排列好，
中位数是第50，51名员工成绩的平均数，
由表格得第50，51名员工成绩都是130分，
∴
中位数为130；
∴②当 时，则 ，解得 ，故不成立，舍；
当 时，则 ，解得 ，符合题意，
由表格得到原始成绩为110及110以上 人数为 ，
∴
合格率为： ．
【点睛】本题考查了函数关系式，自变量与函数值，中位数的定义，合格率，解分式方程，熟练知识点，
∴
正确理解题意是解决本题的关键．
25. 已知 的半径为3，弦 ， 中， ．在平面上，先
将 和 按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在 上，点C在 内），随后移动
，使点B在弦 上移动，点A始终在 上随之移动，设 ．
（1）当点B与点N重合时，求劣弧 的长；
（2）当 时，如图2，求点B到 的距离，并求此时x的值；
（3）设点O到 的距离为d．
①当点A在劣弧 上，且过点A的切线与 垂直时，求d的值；
②直接写出d的最小值．
【答案】（1）
（2）点B到 的距离为 ；
（3）① ；②
【解析】
【分析】（1）如图，连接 ， ，先证明 为等边三角形，再利用等边三角形的性质结合弧长
公式可得答案；
（2）过 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，证明四边形 是矩形，可得
， ，再结合勾股定理可得答案；
（3）①如图，由过点A的切线与 垂直，可得 过圆心，过 作 于 ，过 作
于 ，而 ，可得四边形 为矩形，可得 ，再进一步利用勾股定理
与锐角三角函数可得答案；②如图，当 为 中点时，过 作 于 ，过 作 于， ，此时 最短，如图，过 作 于 ，而 ，证明
，求解 ，再结合等角的三角函数可得答案．
【小问1详解】
解：如图，连接 ， ，
∵ 的半径为3， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ 的长为 ；
【小问2详解】
解：过 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴点B到 的距离为 ；
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：①如图，∵过点A的切线与 垂直，
∴ 过圆心，
过 作 于 ，过 作 于 ，而 ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
②如图，当 为 中点时，
过 作 于 ，过 作 于 ，
∴ ，
∴ ，此时 最短，
如图，过 作 于 ，而 ，
∵ 为 中点，则 ，
∴由（2）可得 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得： （不符合题意的根舍去），
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题属于圆的综合题，难度很大，考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，垂径定理的应
用，锐角三角函数的应用，切线的性质，熟练的利用数形结合的方法，作出合适的辅助线是解本题的关
键．
26. 如图，抛物线 过点 ，顶点为Q．抛物线 （其中t
为常数，且 ），顶点为P．（1）直接写出a的值和点Q的坐标．
（2）嘉嘉说：无论t为何值，将 的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在 上．
淇淇说：无论t为何值， 总经过一个定点．
请选择其中一人的说法进行说理．
（3）当 时，
①求直线PQ的解析式；
②作直线 ，当l与 的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标．
（4）设 与 的交点A，B的横坐标分别为 ，且 ．点M在 上，横坐标为
．点N在 上，横坐标为 ．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距
离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n．
【答案】（1） ，
（2）两人说法都正确，理由见解析
（3）① ；② 或
（4）
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标；
（2）把 向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为： ，再检验即可，再根据函数化为
，可得函数过定点；（3）①先求解 的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；②如图，当
（等于6两直线重合不符合题意），可得 ，可得交点
，交点 ，再进一步求解即可；
（4）如图，由题意可得 是由 通过旋转 ，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连
接 交 于 ，连接 ， ， ， ，可得四边形 是平行四边形，当点M是到直线
PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时 与 重合， 与 重
合，再进一步利用中点坐标公式解答即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线 过点 ，顶点为Q．
∴ ，
解得： ，
∴抛物线为： ，
∴ ；
小问2详解】
解：把 向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为： ，
当 时，
∴ ，
∴ 在 上，
∴嘉嘉说法正确；
∵
，
当 时， ，
∴ 过定点 ；
∴淇淇说法正确；
【小问3详解】
解：①当 时，
，∴顶点 ，而 ，
设 ，
∴ ，
解得： ，
∴ 为 ；
②如图，当 （等于6两直线重合不符合题意），
∴ ，
∴交点 ，交点 ，
由直线 ，设直线 为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 为： ，
当 时， ，
此时直线 与 轴交点的横坐标为 ，
同理当直线 过点 ，
直线 为： ，当 时， ，
此时直线 与 轴交点的横坐标为 ，
【小问4详解】
解：如图，∵ ， ，
∴ 是由 通过旋转 ，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，
如图，连接 交 于 ，连接 ， ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，
此时 与 重合， 与 重合，
∵ ， ，
∴ 的横坐标为 ，
∵ ， ，
∴ 横坐标为 ，
∴ ，
解得： ；
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的综合应用，
二次函数的平移与旋转，以及特殊四边形的性质，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．
