A10 联盟 2023 级高二上学期 9 月初开学摸底考
数学（北师大版）试题
命题单位：淮南二中数学教研组 编审单位：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150分，考试时间 120分钟.请
在答题卡上作答.
第Ⅰ卷（选择题 共 58分）
一、选择题：本大题共 8个小题，每小题 5分，共 40分．在每小题所给四个选项中，只有一
项是符合题意的．
A={−3,−2,0,1,2} B= { x∈N x2 −x−6≥0 } A( B )=
1. 已知集合 ， ，则 N （ ）
A.
{−3,−2,0,1,2 }
B.
{−1,0,1,2 }
C. { 0,1,2 } D. { 1,2 }
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次不等式化简集合B= { x∈N x≥3或x≤−2 } ，即可利用集合的补集以及交集定义求
解.
【详解】由B= { x∈N x2 −x−6≥0 } 可得B= { x∈N x≥3或x≤−2 } ，
故 B= { x∈N −2< x<3 } ={ 0,1,2 } ，
N
故A∩ ( B ) ={ 0,1,2 } ，
N
故选：C.
1 1
2. 设a,b∈R，则“ >b>0”是“a< ”的（ ）
a b
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用不等式的性质化简，即可根据逻辑关系求解.
1
【详解】由 >b>0可得a >0,b>0,ab<1，
a
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ab−1 ab<1 ab>1
由a< 可得 <0⇒ 或 ，
b b b>0 b<0
1 1 1 1
故 >b>0能得到a< ，同时a< 也无法推出 >b>0，
a b b a
1 1
故“ >b>0”是“a< ”的充分不必要条件，
a b
故选：A.
3. 已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，
90，则这组数据的第75百分位数是（ ）
A. 86 B. 87 C. 88 D. 90
【答案】B
【解析】
【分析】根据样本数据百分位数的定义求解即可.
【详解】将数据从小到大排序得72,78,80,81,83,86,88,90，
因为8×75%=6，
86+88
所以第75百分位数是 =87．
2
故选：B．
4. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，
并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向
下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
1
A. P(A)= B. 事件A与事件B互斥
4
1
C. 事件A与事件B相互独立 D. P(A∪B)=
2
【答案】C
【解析】
【分析】利用互斥事件、相互独立事件的意义及古典概率公式逐项计算判断作答.
【详解】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，则
2 1
P(A)= = ，A不正确；
4 2
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学科网（北京）股份有限公司事件B含有的基本事件有8个：(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)，
其中事件(2,1),(2,3),(3,2),(3,4)发生时，事件A也发生，即事件A，B可以同时发生，B不正确；
8 1 4 1
抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，P(B)= = ,P(AB)= = = P(A)P(B)，
16 2 16 4
即事件A与事件B相互独立，C正确；
1 1 1 3
P(A∪B)= P(A)+P(B)−P(AB)= + − = ，D不正确.
2 2 4 4
故选：C
4 π π π
5. 已知tan2θ= ，θ∈ 0, ，若cos −θ =mcos +θ ，则实数m的值为（ ）
3 4 4 4
A. −3 B. −2 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】
m−1 π 1
【分析】根据余弦和差公式化简得到tanθ= ，由正切二倍角公式和θ∈ 0, 得到tanθ= ，从而得
m+1 4 2
到方程，求出实数m的值.
π π π π
【详解】cos cosθ+sin sinθ=mcos cosθ−sin sinθ ，
4 4 4 4
2 2 2 2
即 cosθ+ sinθ=m cosθ− sinθ，
2 2 2 2
cosθ+sinθ=m ( cosθ−sinθ) ，故 ( 1+m ) sinθ=( m−1 ) cosθ，
m−1
则tanθ= ，
m+1
2tanθ 4
由于tan2θ= = ，故2tan2θ+3tanθ−2=0，
1−tan2θ 3
1
解得tanθ=−2或 ，
2
π 1
因为θ∈ 0, ，所以tanθ>0，故tanθ= ，
4 2
m−1 1
即 = ，解得m=3.
m+1 2
故选：C
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6. 已知平面向量e 和e 满足 e =2 e =2，e 在e 上的投影向量为−e ，则e 在e 上的投影向量为
1 2 2 1 2 1 1 1 2
（ ）
1 1
A. − e B. −
4 2 2
1
C. − e D. −e
2 2 2
【答案】A
【解析】
e ⋅e e
【分析】根据e 在e 上的投影向量得到方程，求出e ⋅e =−1，进而利用 12 ⋅ 2 求出答案.
2 1 1 2 e e
2 2
【详解】因为 e =2 e =2，所以 e =2, e =1，
2 1 2 1
e ⋅e e e ⋅e
e
2
在e
1
上的投影向量为−e
1
，故 1
e
2 ⋅
e
1 =−e
1
，故 1
e
2
2 =−1 ，
1 1 1
所以e ⋅e =−1，
1 2
e ⋅e e 1
则e 在e 上的投影向量为 12 ⋅ 2 =− e .
1 2 e e 4 2
2 2
故选：A
lgx ,0< x≤10
7. 已知函数 f
(
x
)=
1 ，若a，b，c，d互不相等，且 f
(
a
)=
f
(
b
)=
f
(
c
)=
f
(
d
)
，则
− x+6 ,x>10
2
a+b+c+d 的取值范围为（ ）
A. [ 26,+∞) B. ( 14,+∞)
341 221
C. 26, D. 26,
10 10
【答案】C
【解析】
【分析】由分段函数的性质画出函数图象，若 f
(
a
)=
f
(
b
)=
f
(
c
)=
f
(
d
)=m
a<b<c<d ，将问题转化
为 f(x)与 y =m的交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合绝对值函数、对数函数的性质可得
1
<a<1<b<10<c<12<d <14，c+d =10，ab=1，结合对勾函数的性质求范围即可．
10
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【详解】令 lgx =1，则x= 故x=10，令 − x+6 =1，则x=10或x=14，
10 2
由解析式知：f(x)在 ( 0,1 ] 上递减且值域(0,+∞)，在 ( 1,10 ] 上递增且值域为 ( 0,1 ] ，在 ( 10,12 ) 上递减且值
域为 ( 0,1 ] ，在 ( 12,+∞) 上递增且值域为(0,+∞)．
( )
作出 f x 的草图如下，
令 f ( a )= f ( b )= f ( c )= f ( d )=m且a<b<c<d ，则a，b，c，d 为 f(x)与y =m的交点横坐标，
1
由图知：c+d =24，ab=1且 <a<1<b<10<c<12<d <14，
10
1
则a+b+c+d =24+a+ ，
a
1 1 1 101
由对勾函数可知y =a+ 在 ,1上递减，故y =a+ ∈ 2,
a 10 a 10
1 341
故a+b+c+d =24+a+ ∈ 26,
a 10
故选：C
8. 在ABC中，M为BC上一点且满足BM =2MC ，∠AMC =120°，AM =2，若S =3− 3，
△ABM
则ABC的外接圆半径为（ ）
A. 2 3 B. 5 C. 1 D. 3− 3
【答案】D
【解析】
【分析】设MC = x，则BM =2x，又∠AMB=60°，由三角形面积公式得到方程，求出x= 3−1，
在AMC和AMB中，利用余弦定理得到AC = 6，AB=3 2− 6 ，在ABC中，由余弦定理得
π
∠BAC = ，利用正弦定理求出外接圆半径.
3
【详解】设MC = x，则BM =2x，
因为∠AMC =120°，所以∠AMB=60°，
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由三角形面积公式得 AM ⋅MBsin∠AMB= ×2⋅2xsin60°=3− 3，
2 2
解得x= 3−1，
在AMC中，由余弦定理得AC2 = AM2 +MC2 −2AM ⋅MCcos120°
( )2 ( ) 1
=4+ 3−1 −2×2× 3−1 ×
−
=6，
2
故AC = 6，
在AMB中，由余弦定理得AB2 = AM2 +MB2 −2AM ⋅MBcos60°
( )2 ( ) 1
=4+4 3−1 −2×2×2 3−1 × =24−12 3，
2
( )
故AB= 24−12 3 = 6 4−2 3 = 6 3−1 =3 2− 6，
( )2
AB2 + AC2 −BC2 24−12 3+6− 3 3−3 1
在ABC中，由余弦定理得cos∠BAC = = = ，
( )
2AB⋅AC 2 3 2− 6 × 6 2
π
故∠BAC = ，
3
BC 3 3−3
= =3− 3
则ABC的外接圆半径为2sin∠BAC
3
.
2×
2
故选：D
二、选择题：本题共 3个小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对的得部分分．
9. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：eix =cosx+isinx其中e是自然对数的底数，i是虚
数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占
有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
π
A. i 的虚部为1
e2
π
B. 复数 i在复平面内对应的点位于第二象限
e4
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学科网（北京）股份有限公司eix −e−ix
C. sinx=
2i
π
D. 若 z =e3 i，z 2 =eθi在复平面内分别对应点Z 1 ，Z 2 ，则OZ 1 Z 2 面积的最大值为1
1
【答案】AC
【解析】
π π i 2 2
【分析】A选项，根据题意得到 e2 i =i ，得到虚部；B选项，求出e4 = + i，故对应的点坐标为
2 2
2 2
, ，得到B错误；C选项，计算出eix =cosx+isinx,e−ix =cosx−isinx，故C正确；D选
2 2
1 3
1
项，计算出Z , ，Z cosθ,sinθ，则 OZ = OZ =1，故S = sin∠Z OZ ，得到面积
1 2 2 2 1 2 OZ 1 Z 2 2 1 2
1
最大值为 .
2
π i π π π
【详解】A选项，e2 =cos +isin =i，故 i的虚部为1，A正确；
e2
2 2
π i π π 2 2
B选项，e4 =cos +isin = + i，
4 4 2 2
2 2
π
故 i在复平面内对应的点坐标为 , ，在第一象限，B错误；
e4
2 2
C选项，eix =cosx+isinx,e−ix =cos (−x )+isin (−x )=cosx−isinx，
eix −e−ix 2isinx
故 = =sinx，C正确；
2i 2i
D选项，若z =e π 3 i =cos π +isin π = 1 + 3 i，z =eθi =cosθ+isinθ，
1 3 3 2 2 2
1 3
故Z , ，Z cosθ,sinθ，
1 2 2 2
1 1
则 OZ = OZ =1，故S = OZ ⋅ OZ sin∠Z OZ = sin∠Z OZ ，
1 2 OZ 1 Z 2 2 1 2 1 2 2 1 2
1
当sin∠Z OZ =1，即∠Z OZ =90°时，面积取得最大值，最大值为 ，D错误.
1 2 1 2
2
故选：AC
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学科网（北京）股份有限公司 π π
10. 把函数 f ( x )=1+4sinωx⋅cos ωx+ ( 0<ω<π ) 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数是
6 12
一个奇函数，则下列说法正确的是（ ）
( )
A. f x 的最小正周期为2π
π
B. f −x = f ( x )
3
π
C. 当x∈ 0, 时， f ( x ) 的值域为 [ 1,2 ]
3
7π
D. 若方程 f
(
x
)=1在区间 (−π,m )
上恰有六个不等实根，则实数m的取值范围为2π,
3
【答案】BCD
【解析】
π
【分析】根据三角恒等变换化简 f
(
x
)=2sin2ωx+
，即可利用平移以及奇函数的性质求解ω=1，由
6
周期公式即可求解A，代入验证即可求解B，利用整体法求解即可判断CD.
π
【详解】由 f ( x )=1+4sinωx⋅cos ωx+ ( 0<ω<π ) ，
6
π π π
得 f ( x )=1+4sinωx⋅ cosωxcos −sinωxsin = 3sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+ ，
6 6 6
π π π π ωπ
故 f x− =2sin2ω x− + =2sin2ωx+ − ，
12 12 6 6 6
π π ωπ
由于 f x− 为奇函数，故 − =kπ,k∈Z，
12 6 6
由于0<ω< π，故取k =0，则ω=1，
π
故 f
(
x
)=2sin2x+
，
6
对于A，最小正周期为π，A错误，
对于B，由于
π π π 5π 5π π
f −x =2sin2 −x + =2sin −2x =2sinπ− −2x =2sin2x+ = f (x)，故B正
3 3 6 6 6 6
第8页/共22页
学科网（北京）股份有限公司确，
π π π 5π π 1
对于C，当x∈ 0, 时，则2x+ ∈ , ，故sin2x+ ∈ ,1 ，故 f ( x ) 的值域为 ，C正
3 6 6 6 6 2
[1,2]
确，
π 11π π
对于D，x∈(−π,m ) 时，则2x+ ∈ − ,2m+ ，要使 f ( x )=1在区间 (−π,m ) 上恰有六个不等实
6 6 6
25π π 29π 7π
根，则 <2m+ ≤ ，解得2π<m≤ ，故D正确，
6 6 6 3
故选：BCD
11. 如图，M为棱长为2的正方体ABCD− ABC D 表面上的一个动点，则（ ）
1 1 1 1
A. 当M 在平面ABC D 内运动时，四棱锥M −ABCD的体积是定值
1 1 1 1
π π
B. 当M 在直线A 1 C 1 上运动时，BM 与AC所成角的取值范围为 4 , 2
3π+8 3
C. 使得直线MA与平面ABCD所成的角为60°的点M 的轨迹长度为
3
D. 若N 为棱AB 的中点，当M 在底面ABCD内运动，且MN //平面BCD 时，MN 的最小值 6
1 1 1 1
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，利用体积公式可得体积不变；B选项，根据AC //AC找到异面
1 1
直线所成角为BM 与 AC 所成的角，即可判断；C 选项，找到M 的轨迹为线段 AH,AT ，以及在平面
1 1
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ABC D 内以A为圆心、HA = HA= 为半径的 圆弧，计算即可；D 选项，利用中点得线线平行,
1 1 1 1 1 1 2 3 4
即可找到M 的轨迹，计算即可．
【详解】对于A，因为底面正方形ABCD的面积不变，M 在平面ABC D 内运动时,又M 到平面ABCD
1 1 1 1
的距离为正方体棱长，故四棱锥M −ABCD的体积不变，故A正确；
对于B，由于AC //AC，故BM 与AC所成的角即为BM 与AC 所成的角，
1 1 1 1
π
当M 在端点A,C 时，ABC 为等边三角形，此时所成的角最小，最小为 ，
1 1 1 1 3
π π π
当M 在A
1
C
1
的中点时，所成的角最大，最大为
2
，故BM 与AC所成角的取值范围为
3
,
2
，故B错误；
2 4
MA= =
对于C，由于M 在正方体表面上，若直线MA与平面ABCD所成的角为60°，则 π 3 ,故以A
sin
3
2 4
MA= =
为圆心，以 π 3 为半径作球，与棱AD ,AB 相交于点H,T ，则M 的轨迹为线段AH,AT ，
sin 1 1 1 1
3
1 2 1
以及在平面ABC D 内以 A 为圆心、HA = HA= 为半径的 圆弧，如图①，故M 的轨迹长度为
1 1 1 1 1 1 2 3 4
4 π 2 3π+8 3
2HA+l =2× + × = ，故C正确；
HT
3 2 3 3
分别取AD 、DD 、BC、BB、CD的中点K、F 、S、E、P，
1 1 1 1
由正方体的性质可知K、F 、S、E、P，N 六点共面，且为正六边形PSENKF ，如图②,
第10页/共22页
学科网（北京）股份有限公司由中位线定理，KN //BD ，BD ⊂平面BCD ，KN ⊄平面BCD ，所以KN //平面BCD ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
同理NE//平面BCD ，且KN∩NE=N ，KN,NE⊂平面PSENKF ，
1 1
所以平面PSENKF //平面BCD ，
1 1
M 在底面ABCD内运动,所以M 轨迹为线段PS ，
取AB中点N′，连接N′N,N′S,则N′N ⊥平面ABCD，
故MN = N′N2 +N′M2 = 4+N′M2
故当N′M 最小时，MN最小，由于SB= N′B= PC =CS,∴N′S = PS = 2,PN′=2,故N′S ⊥ PS，故当
( )2
M 为S时，N′M 的长最小，此时N′N = 2,故MN最小为 4+ 2 = 6 ，D正确．
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及
了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过
计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，
即线段型，平面型，二次曲线型，球型.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共 3个小题，每小题 5分，共 15分．
12. 在ABC中，D为BC边上的中点，E是AD上靠近A的四等分点，若BE = xAB+ yAC，则
x+ y = ______．
3
【答案】− ##-0.75
4
【解析】
【分析】根据向量的加减法运算，用基底AB,AC表示BE，再根据平面向量基本定理确定x,y的值.
第11页/共22页
学科网（北京）股份有限公司【详解】
1 1 1( ) 7 1
由BE = BA+ AE =−AB+ AD=−AB+ × AB+ AC =− AB+ AC = xAB+ yAC，
4 4 2 8 8
7 1
则x=− ,y = ，
8 8
3
因此x+ y =−
4
3
故答案为：−
4
q
13. 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为v=5log
210
（米/秒），若某只两岁的燕子耗氧量为q 时的飞行速度为v （米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为q 时的
1 1 2
飞行速度为v （米/秒），两只燕子同时起飞，当q =4q 时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的
2 1 2
路程为______米
【答案】600
【解析】
【分析】由条件列出q ,v 及q ,v 的关系，结合q =4q ，求出v −v ，由此可得结论.
1 1 2 2 1 2 1 2
q v
【详解】因为v=5log
210
，所以
q=10⋅25
，
v v
所以
q =10⋅25
1 ，
q =10⋅25
2 ， 又q
1
=4q
2
，
1 2
v v
所以 1 2 ，
10⋅25 =40⋅25
v v
所以 1− 2 ，
25 5 =4
所以v −v =10，
1 2
所以一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为60×10=600（米），
故答案为：600.
14. 已知P,A,B,C,D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，
AB= DC = AD=1，BC = PA=2，PD⊥平面ABCD，则球O的表面积为______．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】7π
【解析】
【分析】取BC中点E，则易得EA= ED=1，根据已知可确定E为梯形ABCD外接圆圆心，过E作EF ⊥
平面ABCD，且使得EF = PD，从而球心O在EF 的中点，然后结合勾股定理求出R，进而可求．
【详解】取BC中点E，由于AD∥BC，AB= DC = AD=1，
故AD//BE,AD= BE,则四边形ABED为平行四边形，
故AB= ED=1，同理可得AE = DC =1，故EA=ED= AD=1，
故E为梯形ABCD外接圆圆心，过E作EF ⊥平面ABCD，且使得EF = PD，
则四边形PDEF 为矩形，故球心O在EF 的中点，设球的半径R，
PD= PA2 −AD2 = 22 −12 = 3，
2
3 7 7
根据球的性质得，R2 =OE2 +BE2 = +12 = ，故R2 = ，
2 4 4
故表面积为S =4πR2 =7π．
故答案为：7π．
四、解答题：本大题共 5个小题，共 77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤．
15. 2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“哈尔滨与小土豆”，
“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平台发布了六安的宣传片：六安
瓜片、舒城小兰花、固镇大白鹅等等出现在大众视野现为进一步发展六安文旅，提升六安经济，在5月份
对来六安旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采
用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中b=4a.
第13页/共22页
学科网（北京）股份有限公司（1）试估计游客满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第60百分位数.
（2）六安文旅6月份继续对来六安旅游的游客发起满意度调查现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中
其满意度的平均值为85，方差为74：6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为95，方差
为69.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差.
【答案】（1）平均值为79.5，第60百分位数为82.5；
（2）总样本的平均数为91，方差为95.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求出a,b，进而即可求出平均数；先确定60%分位数的位置，再
由频率分布直方图求求值；
（2）求出总样本平均数，根据方差的定义，即可求出总样本方差.
【小问1详解】
由题意知 ( a+0.015+0.035+b )×10=1，b=4a，所以a =0.010,b=0.040，
所以满意度得分的平均值为65×0.15+75×0.35+85×0.4+95×0.1=79.5，
因为0.15+0.35=0.5<0.6，0.5+0.4=0.9>0.6，
所以第60百分位数位于第三个区间内，
0.6−0.5
所以第60百分位数为80+ ×10=82.5分.
0.9−0.5
【小问2详解】
把6月1日—6月7日的样本记为x ,x ,x ?··,x ，其平均数记为x ，方差记为s2，
1 2 3 40000 x
把6月8日—6月14日的样本记为y ,y ,y ?··,y ，其平均数记为y，方差记为s2，总样本方差为
1 2 3 60000 y
s2，
40000 40000
则总样本平均数z = ×85+ ×95=91，
60000+40000 60000+40000
{ }
由方差的定义，样本总方差为：s2 = 1 4 s2 +( x −z )2+6 s2 + ( y−z )2
10 x y
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学科网（北京）股份有限公司1
所以s2 = ×
4×( 74+36 )+6×( 69+16 )
=95，
10
所以总样本的平均数为91，方差为95.
16. 已知锐角ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC+ 3asinC−b−c=0．
（1）求A；
（2）若a=2，求ABC周长的取值范围．
π
【答案】（1）A=
3
(
（2） 2+2 3,6
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换等知识求得正确答案.
（2）将b,c转化为B来表示，再根据三角函数的性质求得正确答案.
【小问1详解】
由正弦定理得sinAcosC+ 3sinAsinC−sinB−sinC =0，
则sinAcosC+ 3sinAsinC−sin ( A+C )−sinC =0，
所以sinAcosC+ 3sinAsinC−sinAcosC−cosAsinC−sinC =0，
即 3sinAsinC−cosAsinC−sinC =0，
π
由于0<C< ，所以sinC >0，所以 3sinA−cosA=1，
2
π π 1 π π π π
则2sinA− =1，sinA− = ，由于0< A< ,− < A− < ，
6 6 2 2 6 6 3
π π π
所以A− = ,A= .
6 6 3
【小问2详解】
2 b c 4
= = =
若a=2，由正弦定理得 π sinB sinC 3 ，
sin
3
4 4
所以b= sinB,c= sinC ，
3 3
4 4
所以三角形ABC 的周长为a+b+c=2+ sinB+ sinC
3 3
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学科网（北京）股份有限公司4 4 π
=2+ sinB+ sin +B
3 3 3
4 4 3 1
=2+ sinB+ cosB+ sinB
3 3 2 2
1 3 π
=2+4
cosB+ sinB
=2+4sinB+ ，
2 2 6
π
0< B<
2 π π
由于三角形ABC是锐角三角形，所以 ，所以 < B< ，
π π 6 2
+B>
3 2
π π 2π 3 π π
所以 < B+ < ，所以 <sinB+ ≤1⇒2+2 3 <2+4sinB+ ≤6，
3 6 3 2 6 6
(
所以三角形ABC周长的取值范围是 2+2 3,6 .
17. 如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC =1，E为边CD上的一点．现将ADE沿着AE折起，使点
D到达点P的位置．
（1）如图2，若E为边CD的中点，点F 为线段PB的中点，求证：CF//平面PAE；
（2）如图3，设点P在平面ABCE内的射影K落在线段AB上．
①求证：CB⊥平面PAB；
1
②当AK = AB时，求直线PC与平面ABCE所成的角的余弦值．
4
【答案】（1）证明见解析
13
（2）①证明见解析，②
4
【解析】
【分析】（1）设Q是线段PA的中点，根据线线平行可得四边形FQCE是平行四边形，再结合线面平行的
判定定理即可得证；
（2）①根据线面垂直的性质可得PK ⊥CB，结合矩形性质，即可由线面垂直的判定求证，
第16页/共22页
学科网（北京）股份有限公司②根据线面垂直可得∠PCK为直线PC与平面ABCE所成的角，即可利用三角形的边角关系求解.
【小问1详解】
证明：如图，取Q是线段PA的中点，连接QE，FQ，
1
因为点F 是线段PB的中点，所以FQ//AB，FQ= AB，
2
1
因为EC //AB，EC = AB，所以FQ//EC，FQ= EC，
2
即四边形FQCE是平行四边形，
所以CF //QE，又因为CF ⊂/ 平面PAE，QE ⊂平面PAE，
所以CF//平面PAE；
【小问2详解】
①由题意可知PK ⊥平面ABCE，CB⊂平面ABCE，故PK ⊥CB，
又CB⊥ AB,PK ∩AB= K,PK,AB⊂平面PAB，故CB⊥平面PAB
②由于PK ⊥平面ABCE，故∠PCK为直线PC与平面ABCE所成的角，
1 1 3
AK = AB= ，PA=1，故PK = PA2 −AK2 = ,
4 2 2
3 13
KB= ,BC =1,KC = KB2 +BC2 = ,
2 2
13
则PC = PK2 +KC2 =2，故 KC 2 13
cos∠PCK = = =
PC 2 4
13
故直线PC与平面ABCE所成的角的余弦值为
4
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学科网（北京）股份有限公司ex −e−x ex +e−x
18. 设函数 f (x)= ，g ( x )= ．
2 2
( )
（1）判断函数 f x 的奇偶性，并讨论其单调性（不需证明单调性）；
f ( x+ y )+ f ( x− y )
（2）求证： f ( x ) g ( y )= ；
2
（3）若h ( x )=22x − f ( ln4x ) +2t⋅ f ( ln2x ) 在区间 [−1,1 ] 上的最小值为− 7 ，求t的值．
8
【答案】（1）奇函数，
(−∞,+∞)
上单调递增
（2）证明见解析 （3）±2
【解析】
( )
【分析】（1）利用奇偶函数的定义进行证明奇偶性，利用单调性的性质判 f x 的单调性；
f ( x+ y )+ f ( x− y )
( ) ( )
（2）求 f x g y 和 即可证明；
2
（3）令m=2x −2−x，利用换元转化为一元二次函数轴动区间定求最值的问题进行求解.
【小问1详解】
( )
由题意可知， f x 的定义域为R，定义域关于原点对称，
又 f (−x )=
e−x −ex
=−f ( x )，所以 f ( x ) 为奇函数；
2
因为y =ex在 (−∞,+∞) 上单调递增，y =−e−x在 (−∞,+∞) 上单调递增，
所以， f
(
x
)
在
(−∞,+∞)
上单调递增；
【小问2详解】
ex −e−x ey +e−y ( ex −e−x )( ey +e−y )
因为 f ( x ) g ( y )= × = ，
2 2 4
ex+y −e −(x+y) ex−y −e −(x−y)
f ( x+ y )+ f ( x− y ) +
2 2
=
2 2
ex ( ey +e−y ) −e−x ( ey +e−y ) ( ex −e−x )( ey +e−y )
= = ，
4 4
第18页/共22页
学科网（北京）股份有限公司f ( x+ y )+ f ( x− y )
所以可得 f ( x ) g ( y )= ；
2
【小问3详解】
由h ( x )=22x − f ( ln4x ) +2t⋅ f ( ln2x ) =22x −
4x −4−x
+2t⋅
2x −2−x
=
4x +4−x
+2t⋅
2x −2−x
，
2 2 2 2
3 3
令m=2x −2−x，由x∈[−1,1 ]，则m∈
− ,
，
2 2
又 h ( x )=
( 2x −2−x )2 +2
+2t⋅
2x −2−x
，则令H ( m )=
m2 +2
+2t⋅
m
=
1
m2 +t⋅m+1，
2 2 2 2 2
t
m=− =−t
对称轴 1 ，
2×
2
3 3 3 1 3 2 3 3 17 7
当−t <− ，即t> 时，H ( m ) = H − = × − +t⋅ − +1=− t+ =− ，
2 2 min 2 2 2 2 2 8 8
解得t =2，
3 3 3 3 1 1 7
当− ≤−t ≤ ，即− ≤t ≤ 时，H ( m ) = H (−t )= (−t )2 +t×(−t )+1=− t2 +1=− ，
2 2 2 2 min 2 2 8
15 3 3
解得t =± ，又− ≤t ≤ ，因此不符合题意，
2 2 2
3 3 3 1 3 2 3 3 17 7
当−t > ，即t <− 时，H ( m ) = H = × +t× +1= t+ =− ，
2 2 min 2 2 2 2 2 8 8
解得t =−2，
综上知，t=±2
【点睛】方法点睛：
1.函数最值与值域的求法：单调性法；不等式法；配方法；换元法；数形结合法；分离常数法；导数法.
2.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴是
指对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
19. 对于集合A={θ,θ,,θ} 和常数θ，定义：
1 2 n 0
sin2(θ−θ)+sin2(θ −θ)++sin2(θ −θ)
σ= 1 0 2 0 n 0 为集合A相对的θ的“正弦标准差”．
0
n
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学科网（北京）股份有限公司π π π
（1）若集合A= , ，θ = ，求A相对的θ的“正弦标准差”；
6 3 0 4 0
π 3π 3π 7π
（2）若集合A= 4 ,α,β ，是否存在α∈ 4 ,π ，β∈ 2 , 4 ，使得相对任何常数θ 0 的“正弦标
准差”是一个与θ无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
0
6− 2
【答案】（1）
4
11π 19π
（2）存在α= ，β= ，使得相对任何常数θ的“正弦标准差”是一个与θ无关的定值，理由见解
0 0
12 12
析
【解析】
【分析】（1）根据题意，代入公式计算，结合正弦差角公式得到答案；
sin2α+sin2β=−1 1
（2）利用三角恒等变换化简，从而 ，平方相加，得到cos ( 2α−2β)=− ，结合
cos2α+cos2β=0 2
3π 3π 7π 4π
α∈ ,π ， β∈ , 求出 2α−2β=− ，从而消元，结合 cos2α+cos2β=0 得到
4 2 4 3
3 11π 11π 19π
tan2α=− ，得到2α= ，求出α= ，β= .
3 6 12 12
【小问1详解】
π π π π π π π π
sin2
−
+sin2
−
sin2
−
+sin2 sin2 +sin2
6 4 3 4 12 12 12 12 π ，
σ= = = =sin
2 2 2 12
π π π π π π π 3 2 1 2 6− 2
其中sin =sin − =sin cos −cos sin = × − × = .
12 3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 4
【小问2详解】
11π 19π
存在α= ，β= ，使得相对任何常数θ的“正弦标准差”是一个与θ无关的定值，理由如下：
0 0
12 12
π
sin2
−θ
+sin2(α−θ)+sin2(β−θ)
4 0 0 0
π
1−cos
2
−2θ
0 1−cos ( 2α−2θ) 1−cos ( 2β−2θ)
= + 0 + 0
2 2 2
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学科网（北京）股份有限公司3 1
= − ( sin2θ +cos2αcos2θ +sin2αsin2θ +cos2βcos2θ +sin2βsin2θ)
2 2 0 0 0 0 0
3 1
= −
sin2θ ( 1+sin2α+sin2β)+cos2θ ( cos2α+sin2β)
，
2 2 0 0
sin2α+sin2β=−1
只需 ，则( cos2α+cos2β)2 +( sin2α+sin2β)2 =1，
cos2α+cos2β=0
1
即2+2cos2αcos2β+2sin2αsin2β=1，整理得cos ( 2α−2β)=− ，
2
3π 3π 7π
因为α∈
,π，β∈
, ，
4 2 4
3π 7π 7π
所以2α∈ ,2π，2β∈ 3π, ，−2β∈ − ,−3π ，
2 2 2
则2α−2β∈(−2π,π )
，
4π 4π
所以2α−2β=− ，则2β=2α+ ，
3 3
4π
所以cos2α+cos2β=cos2α+cos2α+
=0，
3
4π 4π
即cos2α+cos2αcos −sin2αsin =0，
3 3
3
整理得cos2α+ 3sin2α=0，故tan2α=− ，
3
3π 11π 11π
因为 2α∈
,2π，所以2α= ，α= ，
2 6 12
4π 11π 4π 19π 19π
则2β=2α+ = + = ，β= ，
3 6 3 6 12
11π 19π sin2α+sin2β=−1
检验，将α= ，β= 代入 得
12 12 cos2α+cos2β=0
11π 19π π 7π 1 1
sin +sin =sin − +sin =− + − =−1
6 6 6 6 2 2
，满足要求，
11π 19π π 7π π π
cos +cos =cos − +cos =cos −cos =0
6 6 6 6 6 6
11π 19π
故存在α= ，β= ，使得相对任何常数θ的“正弦标准差”是一个与θ无关的定值，
0 0
12 12
π
sin2
−θ
+sin2(α−θ)+sin2(β−θ)
此时 4 0 0 0 2 .
σ= =
3 2
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧，
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用
书上的概念.
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