文档内容
A10 联盟 2023 级高二上学期 9 月初开学摸底考
数学（北师大版）试题
命题单位：淮南二中数学教研组 编审单位：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150分，考试时间 120分钟.请
在答题卡上作答.
第Ⅰ卷（选择题 共 58分）
一、选择题：本大题共 8个小题，每小题 5分，共 40分．在每小题所给四个选项中，只有一
项是符合题意的．
A={−3,−2,0,1,2} B= { x∈N x2 −x−6≥0 } A( B )=
1. 已知集合 ， ，则 N （ ）
A.
{−3,−2,0,1,2 }
B.
{−1,0,1,2 }
C. { 0,1,2 } D. { 1,2 }
1 1
2. 设a,b∈R，则“ >b>0”是“a< ”的（ ）
a b
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，
90，则这组数据的第75百分位数是（ ）
A. 86 B. 87 C. 88 D. 90
4. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，
并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向
下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
1
A. P(A)= B. 事件A与事件B互斥
4
1
C. 事件A与事件B相互独立 D. P(A∪B)=
2
4 π π π
5. 已知tan2θ= ，θ∈ 0, ，若cos −θ =mcos +θ ，则实数m的值为（ ）
3 4 4 4
A. −3 B. −2 C. 3 D. 2
6. 已知平面向量e 和e 满足 e =2 e =2，e 在e 上的投影向量为−e ，则e 在e 上的投影向量为
1 2 2 1 2 1 1 1 2
（ ）
第1页/共5页
学科网（北京）股份有限公司
1 1
A. − e B. −
4 2 2
1
C. − e D. −e
2 2 2
lgx ,0< x≤10
7. 已知函数 f
(
x
)=
1 ，若a，b，c，d互不相等，且 f
(
a
)=
f
(
b
)=
f
(
c
)=
f
(
d
)
，则
− x+6 ,x>10
2
a+b+c+d 的取值范围为（ ）
A.
[ 26,+∞)
B.
( 14,+∞)
341 221
C. 26, D. 26,
10 10
8. 在ABC中，M为BC上一点且满足BM =2MC ，∠AMC =120°，AM =2，若S =3− 3，
△ABM
则ABC的外接圆半径为（ ）
A. 2 3 B. 5 C. 1 D. 3− 3
二、选择题：本题共 3个小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对的得部分分．
9. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：eix =cosx+isinx其中e是自然对数的底数，i是虚
数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占
有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
π
A. i的虚部为1
e2
π
B. 复数 i在复平面内对应的点位于第二象限
e4
eix −e−ix
C. sinx=
2i
π
D. 若 z =e3 i，z 2 =eθi在复平面内分别对应点Z 1 ，Z 2 ，则OZ 1 Z 2 面积的最大值为1
1
π π
10. 把函数 f ( x )=1+4sinωx⋅cos ωx+ ( 0<ω<π ) 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数是
6 12
一个奇函数，则下列说法正确的是（ ）
( )
A. f x 的最小正周期为2π
π
B. f −x = f ( x )
3
第2页/共5页
学科网（北京）股份有限公司 π
C. 当x∈ 0, 时， f ( x ) 的值域为 [ 1,2 ]
3
7π
D. 若方程 f
(
x
)=1在区间 (−π,m )
上恰有六个不等实根，则实数m的取值范围为2π,
3
11. 如图，M为棱长为2的正方体ABCD− ABC D 表面上的一个动点，则（ ）
1 1 1 1
A. 当M 在平面ABC D 内运动时，四棱锥M −ABCD的体积是定值
1 1 1 1
π π
B. 当M 在直线A 1 C 1 上运动时，BM 与AC所成角的取值范围为 4 , 2
3π+8 3
C. 使得直线MA与平面ABCD所成的角为60°的点M 的轨迹长度为
3
D. 若N 为棱AB 的中点，当M 在底面ABCD内运动，且MN //平面BCD 时，MN 的最小值 6
1 1 1 1
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共 3个小题，每小题 5分，共 15分．
12. 在ABC中，D为BC边上的中点，E是AD上靠近A的四等分点，若BE = xAB+ yAC，则
x+ y = ______．
q
13. 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为v=5log
210
（米/秒），若某只两岁的燕子耗氧量为q 时的飞行速度为v （米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为q 时的
1 1 2
飞行速度为v （米/秒），两只燕子同时起飞，当q =4q 时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的
2 1 2
路程为______米
14. 已知P,A,B,C,D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，
AB= DC = AD=1，BC = PA=2，PD⊥平面ABCD，则球O的表面积为______．
四、解答题：本大题共 5个小题，共 77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤．
第3页/共5页
学科网（北京）股份有限公司15. 2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“哈尔滨与小土豆”，
“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平台发布了六安的宣传片：六安
瓜片、舒城小兰花、固镇大白鹅等等出现在大众视野现为进一步发展六安文旅，提升六安经济，在5月份
对来六安旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采
用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中b=4a.
（1）试估计游客满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第60百分位数.
（2）六安文旅6月份继续对来六安旅游的游客发起满意度调查现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中
其满意度的平均值为85，方差为74：6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为95，方差
为69.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差.
16. 已知锐角ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC+ 3asinC−b−c=0．
（1）求A；
（2）若a=2，求ABC周长的取值范围．
17. 如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC =1，E为边CD上的一点．现将ADE沿着AE折起，使点
D到达点P的位置．
（1）如图2，若E为边CD的中点，点F 为线段PB的中点，求证：CF//平面PAE；
（2）如图3，设点P在平面ABCE内的射影K落在线段AB上．
①求证：CB⊥平面PAB；
1
②当AK = AB时，求直线PC与平面ABCE所成的角的余弦值．
4
ex −e−x ex +e−x
18. 设函数 f (x)= ，g ( x )= ．
2 2
第4页/共5页
学科网（北京）股份有限公司( )
（1）判断函数 f x 的奇偶性，并讨论其单调性（不需证明单调性）；
f ( x+ y )+ f ( x− y )
（2）求证： f ( x ) g ( y )= ；
2
（3）若h ( x )=22x − f ( ln4x ) +2t⋅ f ( ln2x ) 在区间 [−1,1 ] 上的最小值为− 7 ，求t的值．
8
19. 对于集合A={θ,θ,,θ} 和常数θ，定义：
1 2 n 0
sin2(θ−θ)+sin2(θ −θ)++sin2(θ −θ)
σ= 1 0 2 0 n 0 为集合A相对的θ的“正弦标准差”．
0
n
π π π
（1）若集合A= , ，θ = ，求A相对的θ的“正弦标准差”；
6 3 0 4 0
π 3π 3π 7π
（2）若集合A= 4 ,α,β ，是否存在α∈ 4 ,π ，β∈ 2 , 4 ，使得相对任何常数θ 0 的“正弦标
准差”是一个与θ无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
0
第5页/共5页
学科网（北京）股份有限公司
