文档内容
2020 年广西北部湾经济区初中学业水平考试
数学
(考试时间：120分钟 满分：120分)
注意事项：
1.本试卷分试题卷和答题卡两部分．答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．
2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．
3.不能使用计算器．考试结束时，将本试题卷和答题卡一并交回．
第I卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.下列实数是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式求解即可．
【详解】解：1，0，-5是有理数， 是无理数．
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无
限不循环小数，③含有π的数．
2.下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
由中心对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
3.2020年2月至5月，由广西教育厅主办，南宁市教育局承办的广西中小学“空中课堂”是同期全国服务
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次数约 次，则数据 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的
绝对值＜1时，n是负数．
【详解】 这个数据用科学记数法表示为 ．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
的
4.下列运算正确 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及单项式除以单项式分别求出每个式子的
值，再判断即可．【详解】A. ，故本选项不符合题意；
B. ，故本选项不符合题意；
C. ，故本选项不符合题意；
D. ，正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法以及单项式除以单项式等知
识点，能正确求出每个式子的值是解答此题的关键．
5.以下调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A. 检测长征运载火箭的零部件质量情况 B. 了解全国中小学生课外阅读情况
C. 调查某批次汽车的抗撞击能力 D. 检测某城市的空气质量
【答案】A
【解析】
【分析】
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似
解答即可．
【详解】A.检测长征运载火箭的零部件质量情况,必须全面调查才能得到准确数据；
B.了解全国中小学生课外阅读情况，量比较大，用抽样调查；
C.调查某批次汽车的抗撞击能力，具有破坏性，用抽样调查；
D.检测某城市的空气质量，不可能全面调查，用抽样调查.
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征
灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，
对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6.一元二次方程 的根的情况是（ ）
A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断．【详解】∵ ， ， ，
∴ ，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程 （ ）的根的判别式 ：当 ＞0，方
程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 ＜0，方程没有实数根．
7.如图，在 中， ，观察图中尺规作图的痕迹，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠BCA，进而求得∠ACD，由作图痕迹可知CE为
∠ACD的平分线，利用角平分线定义求解即可．
【详解】∵在 中， ，
∴ ，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，
由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义和作法，熟练掌握等腰三
角形的性质以及角平分线的尺规作图法是解答的关键．8.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的
概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：
它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，
∴它有6种路径，
∵获得食物的有2种路径，
∴获得食物的概率是： ，
故选：C．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.如图，在 中， ，高 ，正方形 一边在 上，点 分别在
上， 交 于点 ，则 的长为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得．
【详解】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ．
设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，
∴
解得：x=20
所以，AN=20．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．
10.甲、乙两地相距 ，提速前动车的速度为 ，提速后动车的速度是提速前的 倍，提速后
行车时间比提速前减少 ，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A【解析】
【分析】
行驶路程都是600千米；提速前后行驶时间分别是： ；因为提速后行车时间比提速前减少
，所以，提速前的时间-提速后的时间= ．
【详解】根据提速前的时间-提速后的时间= ，可得
即
故选：A
【点睛】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题
考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
11.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读 ，门槛的意思)一尺，不合二寸，
问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙 的距离为 寸，
点 和点 距离门槛 都为 尺( 尺 寸)，则 的长是（ ）
A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸
【答案】C
【解析】
【分析】
画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．【详解】设OA=OB=AD=BC= ，过D作DE⊥AB于E，
则DE=10，OE= CD=1，AE= ．
在Rt△ADE中，
，即 ，
解得 ．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12.如图，点 是直线 上的两点，过 两点分别作 轴的平行线交双曲线 于点
．若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设点A的坐标为( ， )，则点C的坐标为( ， )，设点B的坐标为( ， )，则点D的坐标为( ， )，
根据AC= BD即可得到a，b的关系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子从而求解．
【详解】∵点A、B在直线 上，点C、D在双曲线 上，
∴设点A的坐标为( ， )，则点C的坐标为( ， )，
设点B的坐标为( ， )，则点D的坐标为( ， )，
∴BD= ，AC= ，
∵AC= BD，
∴ ，
两边同时平方，得 ，
整理得： ，
由勾股定理知： ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
的
【点睛】本题考查了反比例函数与勾股定理 综合应用，正确利用AC= BD得到 的关系是解题的
关键．第II卷
二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
13.如图，数轴上所表示的x的取值范围为_____．
【答案】﹣1＜x≤3
【解析】
【分析】
根据数轴上表示的不等式的解集即可得结论．
【详解】解：观察数轴可知：
x＞﹣1，且x≤3，
所以x的取值范围为﹣1＜x≤3．
故答案为﹣1＜x≤3．
【点睛】本题考查的是不等式的解集在数轴上的表示，注意数轴上的点是空心点还是实心点.
14.计算： ．
【答案】
【解析】
15.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
“射中 环以上”的次数
“射中 环以上”的频率(结
果保留小数点后两位)
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是_______(结果保留小数点后一
位)．
【答案】0.8
【解析】
【分析】
根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论．【详解】∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，
∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8．
故答案为：0.8．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率．
16.如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有 排， 其中第 排共有 个座位(含左、右区域)，往
后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有 排，则该礼堂的座位总数是
_____．
【答案】556个
【解析】
【分析】
先计算前区共有多少个座位和前区最后一排有多少个座位，再计算后区一共有多少个座位即可得解．
【详解】∵前区共有 排， 其中第 排共有 个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，
∴前区共有座位数为：20+(20+1×2)+(20+2×2)+(20+3×2)+ +(20+7×2)
=8×20+(1+2+3+4+5+6+7) ×2 ⋯⋯
=216(个)；
∵前区最后一排的座位数为：20+7×2=34，
∴后区的座位数为：34×10=340（个）
因此，该礼堂的座位总数是216+340=556（个）
故答案为：556个．
【点睛】此题考查了找规律，根据题干得出每一排座位的个数排列规律是解决本题的关键．
17.在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标
为__________．
【答案】（-4，3）【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点B的坐标即可．
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（-4，3）．
故答案为（-4，3）．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
18.如图，在边长为 的菱形 中， ，点 分别是 上的动点，且
与 交于点 .当点 从点 运动到点 时，则点 的运动路径长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意证得 ，推出∠BPE =60 ，∠BPD =120 ，得到C、B、P、D四点共圆，知点
的运动路径长为 的长，利用弧长公式即可求解．
【详解】连接BD，∵菱形 中， ，
∴∠C=∠A=60 ，AB=BC=CD=AD，
∴ ABD和 CBD都为等边三角形，
∴△BD=AD，△∠BDF=∠DAE=60 ，
∵DF=AE，
∴ ，
∴∠DBF=∠ADE，
∵∠BPE=∠BDP+∠DBF =∠BDP+∠ADE=∠BDF =60 ，
∴∠BPD=180 -∠BPE=120 ，
∵∠C=60 ，
∴∠C+∠BPD =180 ，
∴C、B、P、D四点共圆，即⊙O是 的外接圆，
∴当点 从点 运动到点 时，则点 的运动路径长为 的长，
∴∠BOD =2∠BCD =120 ，
作OG⊥BD于G，
根据垂径定理得：BG=GD= BD= ，∠BOG = ∠BOD =60 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
从而 点的路径长为 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹．
三、解答题(本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
19.计算： ．
【答案】-5
【解析】
【分析】
根据有理数的运算法则计算即可得到答案．
【详解】
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解决本题的关键．
20.先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【解析】
【分析】
先用异分母加法法则计算括号内的，再把除法运算转化为乘法运算，化简化把x的值代入求值．
【详解】，
当 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题关键．
21.如图，点 在一条直线上， ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，求证：四边形 是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）先证明 ，再利用SSS证明 ；
（2）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形 是平行四边形即可．
【详解】 证明：
即
证明：四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形
的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
22.小手拉大手，共创文明城.某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发
放问卷进行测评，从中随机抽取 份答卷，并统计成绩(成绩得分用 表示，单位：分)，收集数据如下：
整理数据：
分析数据：
平均分 中位数 众数
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表格中 的值；
（2）该校有 名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于 分的人数是多少？
（3）请从中位数和众数中选择一个量， 结合本题解释它的意义．
【答案】（1）5；91；100 （2）1040人 （3）中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的
平均数是91分；众数：在统计的问卷的成绩中，得 分的人数最多
【解析】
【分析】（1）用总人数减去已知人数即可得到a的值；将这20个数据按大小顺序排列，第10和11个数据的平均
数即为中位数，出现次数最多的数据即为人数；
（2）先求出样本中不低于90分的人数所占样本的百分比，再乘以1600即可得到结果；
（3）根据中位数和众数的意义进行回答即可．
【详解】（1）a=20-3-4-8=5；
将这组数据按大小顺序排列为：
81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，96，98，99，100，100，100，100，
其中第10个和第11个数据分别是90，92，
所以，这组数据的中位数b= ；
100出现了4次，出现的次数最多，所以，众数c是100；
（2） ，
(人)
（3）中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是91分；
众数：在统计的问卷的成绩中，得 分的人数最多.
【点睛】本题主要考查了平均数、众数、中位数在实际问题中的正确应用，熟练掌握定义和计算公式是解
题的关键．
23.如图，一艘渔船位于小岛 的北偏东 方向，距离小岛 的点 处，它沿着点 的南偏东
的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛 最近(结果保留根号)？
（2）渔船到达距离小岛 最近点后，按原航向继续航行 到点 处时突然发生事故，渔船马上向小岛 上的救援队求救，问救援队从 处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多
少(结果保留根号)？
【答案】（1） ；（2）南偏东 ；
【解析】
【分析】
（1）过 点作 的垂线 交 于点 ，则AD为所求，根据已知条件得到∠BAD=45°即可解答；
（2）根据特殊角的锐角三角函数值得到∠C=30°，∠DBC=60°，从而求出BC的长度，再求出∠DBE的度
数，即可得到∠EBC的度数．
【详解】解：（1）过 点作 的垂线 交 于点 ，
∵垂线段最短， 上的 点距离 点最近， 即为所求，
由题意可知：∠BAF=30°，∠CAF=15°，
∴ ，
∴渔船航行 时，距离小岛 最近．
（2）在 中， ，
∠DBC=60°，
∵∠ABD=45°，∠ABE=90°-30°=60°，∴ ，
.
答：从 处沿南偏东 出发，最短行程 .
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相
关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
24.倡导垃圾分类，共享绿色生活.为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出 型和 型
两款垃圾分拣机器人，已知 台 型机器人和 台 型机器人同时工作 共分拣垃圾 吨， 台 型机
器人和 台 型机器人同时工作 共分拣垃圾 吨．
（1）1台 型机器人和 台 型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？
（2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批 型和 型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分
拣垃圾 吨.设购买 型机器人 台 ， 型机器人 台，请用含 的代数式表示 ；
（3）机器人公司的报价如下表：
型号 原价 购买数量少于 台 购买数量不少于 台
型 万元/台 原价购买 打九折
型 万元/台 原价购买 打八折
在 的条件下，设购买总费用为 万元，问如何购买使得总费用 最少？请说明理由．
【答案】（1）0.4吨；0.2吨；（2） ；（3）购买A型35台，B型30台费用最少，理由见
解析
【解析】
【分析】
（1）设 台 每小时分拣 吨， 台 每小时分拣 吨，依题意得： ，解方程组可得；（2）根据“每小时一共能分拣垃圾 吨”可得 ，从而求解；
（3）根据题可得函数： ，根据函数性质求最小值.
【详解】解： 设 台 每小时分拣 吨， 台 每小时分拣 吨，依题意得：
解得
依题意得：
∴b=-2a+100
（3）结合（2），当10≤a<30时，b=100-2a
∴40＜b≤80,
此时，
当a≥30且100-2a≥30时，30≤a≤35
此时，
30≤a≤45,100-2a<30时，35
