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2024 学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测
数学试题答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1 2 3 4 5 6 7 8
B C C D A C B A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
9．ABC 10．BD 11．ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
15
12．y＝xln3＋1 13．2 14．
64
四、解答题：本大题共5小题，共77分。
15．（13分）
（1）x＝60，y＝75； ··········2分
（2）零假设为H ：选购新能源汽车的款式与性别无关联．
0
根据列联表中的数据，可得𝜒2＝
100(50×15−25×10)2
≈5.556>3.841，
75×25×60×40
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H 不成立，可以认为选购车的款
0
式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05； ··········5分
25 1
（3）随机抽取1人购买B款车的概率为：p＝ ＝ ，
100 4
1
X的可能取值有0，1，2，3，依题意X服从B(3， )，n＝3．
4
1 3
因此，E(X)＝np＝4⋅ ＝ ． ··········6分
4 4
16．（15分）
由题意知f ′(x)＝ex(x＋1)－ax－a（a∈R）．
（1）若a＝0，则f (x)＝xex，所以f ′(x)＝ex(x＋1)．
令f ′(x)＝0，得x＝－1．
所以f (x)在(－∞，－1)单调递减，在(－1，＋∞)单调递增，
1
所以f (x)的极小值等于f (－1)＝－ ． ··········4分
e
第1页（共6页）1
（2）因为a＞ ，所以lna＞－1，
e
由f ′(x)＞0，即(ex－a)(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞lna．
故f (x)的单调增区间为(－∞，－1)和(lna，＋∞)．··········5分
1 1 1 1 2
（3）当a＞ 时，f (x)的极大值等于f (－1)＝g(a)＝－ ＋ a＞− >− ；
e e 2 2e e2
1
当a＝ 时，f ′(x)≥0，f (x)无极大值；
e
1 1
当0＜a＜ 时，由题意得，f (x)的极大值等于f (lna)＝g(a)＝－ a(lna)2，
e 2
1 1
令g(x)＝－ x(lnx)2，所以g′(x)＝－lnx( lnx＋1)，
2 2
因为g(x)在
第2页（共6页）
0 ,
1
e 2
上单调递减，在
1
e 2
,
1
e
上单调递增，
所以故g(x)≥ g
1
e 2
2
＝－ ，
e2
2
综上所述，g(a)≥－ ． ··········6分
e2
17．（15分）
（1）（i）因为AP＝AD＝2√2，AB＝PB＝2，
所以AB2＋PB2＝AP2，
所以AB⊥BP．又因为AB⊥BD，
所以AB⊥平面BPD． ··········4分
（ii）V ＝V ＝ 1 ·S ·AB＝2√3． ··········4分
P—ABD A—PBD △PBD
3 3
（2）如图，建立以B为原点的空间直角坐标系，设二面角P—BD—A的平面角
为θ，则A(2，0，0)，B(0，0，0)，D(0，2，0)，P(√3cos𝜃，1，√3sin𝜃)．
所以𝐴⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ ＝(√3cos𝜃−2，1，√3sin𝜃)．平面ABD的法向量为n＝(0，0，1)．设直线AP与平面ABD所成角为θ，则
√3sin𝜃
sinα＝cos<𝐴⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ ，n>＝
√(√3cos𝜃−2) 2 +1+(√3sin𝜃) 2
√3sin𝜃
＝ ．
√8−4√3cos𝜃
2
设y＝( √3sin𝜃 ) ＝ 3(1−cos2𝜃)，
√8−4√3cos𝜃 8−4√3cos𝜃
设 8－4√3cosθ＝t（8－4√3≤t≤8＋4√3）， （第17题答案）
所以 y＝1－ 1 － 𝑡 ≤ 1 ，（当且仅当t＝4，即cosθ＝√3时取等号），即sinθ≤√2．
𝑡 16 2 3 2
直线AP与平面ABD所成角的正弦值的最大值为√2. ··········7分
2
18．（17分）
（1）由题意知p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x． ··········4分
（2）设直线AB的方程为x＝my＋1，A(x ，y )，B(x ，y )，则A (－1，y )，
1 1 2 2 1 1
B (－1，y )，D(2，0)．
1 2
𝑦2＝4𝑥，
所以 { ，得y2－4my－4＝0，
𝑥＝𝑚𝑦+1
所以 y ＋y ＝4m，y y ＝－4．
1 2 1 2
所以直线A D的方程为：y＝－
𝑦1(x－2)，与直线AB的方程x＝my＋1联立，
1
3
解得y ＝
𝑦1
，同理y ＝
𝑦2
．
M N
𝑚𝑦1+3 𝑚𝑦2+3
所以
1
+
1
＝
𝑚𝑦1+3
＋
𝑚𝑦2+3
＝2m＋
3(𝑦1+𝑦2)
＝－m＝1．
𝑦𝑀 𝑦𝑁 𝑦1 𝑦2 𝑦1𝑦1
所以m＝－1．
1
所以直线AB的斜率为 ＝－1． ··········6分
𝑚
（3）设E(t，0)，
因为 𝑘1＝ 𝑦𝑀 ⋅ 𝑥𝑁−2 ＝ 𝑚𝑦 𝑦 1 1 +3 ⋅ 𝑚 𝑚 𝑦 𝑦 2+ 2 3 +1−2 ＝ −3𝑦1 ．
𝑘2 𝑥𝑀−𝑡 𝑦𝑁
𝑚
𝑚
𝑦
𝑦
1+
1
3
+1−𝑡
𝑚𝑦
𝑦
1
2
+3
(2−𝑡)𝑚𝑦1𝑦2+(3−3𝑡)𝑦2
因为y ＋y ＝4m，y y ＝－4．
1 2 1 2
所以
𝑘1＝ −3𝑦1
=
−3𝑦1
，
𝑘2 (2−𝑡)𝑚⋅(−4)+(3−3𝑡)(4𝑚−𝑦1) (3𝑡−3)𝑦1−𝑚(8𝑡−4)
第3页（共6页）当t＝
1
时，
𝑘1＝2为定值．
2 𝑘2
1
所以E( ，0)． ··········7分
2
19．（17分）
（1）当n＝3时，1，2，3无论按何种顺序排列，中位数只能是2，故P ＝{2}．
3
当n＝4时，在1，2，3，4中任取3个数：1，2，3；1，2，4；1，3，4和
2，3，4，中位数只能为2或3，所以P ＝{2，3}． ··········4分
4
（2）显然，不存在i使得b＝1或b＝n，
i i
𝑛2−𝑛−2
故P 中所有元素的和≤2＋3＋…＋(n－1)＝ ，
n
2
2，𝑖 =1，
且当a
n
＝n时，有b
i
＝{𝑖，2≤𝑖 ≤𝑛−1，．
𝑛−1，𝑖 =𝑛
此时P ＝{2，3，4，…，n－1}成立． ··········6分
n
（3）注意到对于任意1≤i≤n，b ≠b，
i＋3 i
记P 中元素个数的最小值为f (n)，由（1）可知，f (3)＝1，f (4)＝2．
n
考虑n＝5的情形：
对于1，2，3，4，5的排列，1和5不可能作为中位数；不妨a ＝1，考虑三
1
元素组(a ，a ，1)，(a ，1，a )，(1，a ，a )，至少产生2个不同的中位数．
4 5 5 2 2 3
① 若此时中位数为a ，a ，不妨a ＞a ，则a ＞a ＞a ，a ＞a ．
5 2 5 2 4 5 3 3 2
所以三元组(a ，a ，a )将产生新的中位数，所以f (5)≥3；
2 3 4
② 若此时的中位数为a ，a ，则a ＞a ，a ＞a ，a ＞a ．若a ＜a ，则三元
4 2 5 4 5 2 3 2 3 4
组(a ，a ，a )产生新的中位数；若a ＞a ，则三元组(a ，a ，a )产生新的中位
2 3 4 3 4 3 4 5
数．所以f (5)≥3．
③ 同理可知，若此时中位数为a ，a ；a ，a 也有f (5)≥3；
3 5 3 4
所以f (3)＝1，f (4)＝2，f (5)≥3．
第4页（共6页）下面证明：f (n＋3)≥f (n)＋1．
比较下面两个数列：
（ⅰ）a ，a ，…，a ，a ，a ．
1 2 n 1 2
（ⅱ）c ，c ，…，c ，c ，c ，c ，c ，c ．
1 2 n n＋1 n＋2 n＋3 1 2
其中a ，a ，…，a 和c ，c ，…，c 具有相同的大小顺序．
1 2 n 1 2 n
因此，这两个数列的前n－2个三元数组所对应的中位数个数相同．
因此，只需要比较数列（ⅰ）中三元组(a ，a ，a )，(a ，a ，a )和数列
n－1 n 1 n 1 2
（ⅱ）中三元组(c ，c ，c )，(c ，c ，c )，(c ，c ，c )，
n－1 n n＋1 n n＋1 n＋2 n＋1 n＋2 n＋3
(c ，c ，c )，(c ，c ，c )．
n＋2 n＋3 1 n＋3 1 2
因为，数列（ⅱ）中至少增加1个新的中位数，故结论成立．
因为若(a ，a ，a )，(a ，a ，a )的中位数在前面未出现，
n－1 n 1 n 1 2
则(c ，c ，c )，(c ，c ，c )的中位数在前面也不会出现．
n－1 n n＋1 n＋3 1 2
对于新增(c ，c ，c )的中位数，若(a ，a ，a )，(a ，a ，a )的2
n＋1 n＋2 n＋3 n－1 n 1 n 1 2
个中位数在前面出现过，则(c ，c ，c )，(c ，c ，c )的中位数在前面
n－1 n n＋1 n＋3 1 2
也出现过，至少新增(c ，c ，c )的中位数．
n＋1 n＋2 n＋3
综上：Card(P )≥
n
第5页（共6页）
k
k
k
，
n
， 1
， 2
3
n
n
， k
3
3
k
k
1 ，
2 .
（n，k∈N*）．
下面给出一种构造：
① 当n＝3k时，构造{a }：{1，k＋1，2k＋1，2，k＋2，2k＋2，3，k＋3，
n
2k＋3，……，k，2k，3k}，
此时P ＝{ k＋1，k＋2，……，2k }，满足Card(P )＝k．
n n
② 当n＝3k＋1时，构造{a }：{1，k＋1，2k＋1，2，k＋2，2k＋2，3，k＋
n3，2k＋3，……，k，2k，3k，3k＋1}，
此时P ＝{ k＋1，k＋2，……，2k，3k}，满足Card(P )＝k＋1．
n n
③ 当n＝3k＋2时，构造{a }：{1，k＋1，2k＋1，2，k＋2，2k＋2，3，k＋
n
3，2k＋3，……，k－1，2k－1，3k，k，2k，3k＋1，2k＋1，3k＋2}，
此时P ＝{ k＋1，k＋2，……，2k，2k＋1，3k＋1}，满足Card(P )＝k＋2．
n n
…………………. . ..7分
第6页（共6页）
