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学年第二学期
高三年级20阶24段-20性25检测数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A B C B A C
题号 9 10 11
答案 AD BCD ACD
1132.. 23．
14. 5 ．
5−1
15.[解：2 ,1证)明：由正弦定理可知，
因为 (1) ，所以 sin = ，sin ...........................3分
又 sin ，=所 以 sin ， sin = sin
又因sin为 ≠ 0 ， 所 以=
所以 =是 等 腰三角形 = ...........................6分
△
设 ， ，则 ， ， ，
1 2
(2) = = =3 = 3 = =
所以在 中，由余弦定理得， ， ...........................9分
2 4 2 2
+ 9 − 1
△ cos =
2× ×
2
3
=3
在 中， ， ...........................10分
△ ∵ + + = +2 = ∴ = 2−2
...........................13分
1
1+cos 1+3 6
∴sin =sin 2−2 =cos2 = 2 = 2 = 3
16.证明： 连接 ，
因为在三棱(1柱) 1 中，所以四边形 为平行四边形，
因为 − 1， 所1 以1 四边形 为 菱1 形1 ，
所以 = 1，=2 3 1 1 ...........................1分
又平面 1 ⊥ 1 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平1 面1 ⊥ ， 1 1 ∩ = ⊥ ⊂
因为 ⊥ 平面 1 1 ，所以 ， ...........................4分
因为 1 ，⊂ 平 1面 1 ， ⊥ 1 ，所以 平面 ，
1 ⊂ 1 ⋂ 1 = 1 ⊥ 1
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1 5
{#{QQABKQm55ggQggSACQ5rAQVQCgoQkICiJUokhUCYuAwLgQFABAA=}#}因为 平面 ，所以 ； ...........................6分
如 图 1，⊂以 的 中 1点 为坐 标1 原⊥点 ， 1 ， 所在直线分别为 ， 轴，建立空间直角坐标系，
(2) 1
因为 ， ， ，
∘
则 =2，∠ 1 =120， = 1，=2 3 ，
1(0,0,3) (0,− 3,0，) (0, 3,0)， (2,− 3,0)
设 1 = 1 = 0,− 3,3 = 2,0,0 ，
则 = 1 =(0,− 3 ,3 )(0 ≤ ，≤1) ...........................8分
记平 面= −的 法 向=量(−2,− 3 ,3， ) ，
则 1 1 =( , , ) 1 = −2, 3,3
1 · =0
,
即 1 · 1 =0 ，
−2 − 3 +3 =0
得 ， ...........................10分
−2 + 3 +3 =0
易得 1 平=面(3 , 的3 法−向量3,1+ ) ， ...........................11分
2 =(0,0,1)
由题意： ， ， ...........................13分
1+ 21
解得： |cos 或 < ， 1 经 验 2 证 > ， |= 13 或 2 −4均 +符4 = 合题 7 意．
5 1 5 1
=16 2 =16 2
所以 或 ...........................15分
5 1
1= 16 2
17.解： 的定义域为 ，
(1) ( ) (0,+∞)
′ ， ...........................1分
2
1 − +1 +1 −1 −1
当( )= +时 ， −令( ′+1)= ，得 = ，令 ′ ，得 ，
所①以 ≤在0 上单 调(递 )增>，0在 0< 上<单1调递 减；( )<0 >1
( ) (0,1) (1,+∞)
当 时，令 ′ ，得 或 ，令 ′ ，得 ，
1 1
② 0< <1 ( )>0 0< <1 > ( )<0 1< <
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
1 1
当 ( ) ( 时 0,1 ， ) 则 ( ′ ,+∞) ，所以在 (1, 上 ) 单调递增；
③当 =1 时，令 ′( )≥ 0，得 (0,+∞或) ( ，)令 ′ ，得 ，
1 1
④ >1 ( )>0 0< < >1 ( )<0 < <1
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调选减； ...........................5分
1 1
( ) (0, ) (1,+∞) ( ,1)
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2 5
{#{QQABKQm55ggQggSACQ5rAQVQCgoQkICiJUokhUCYuAwLgQFABAA=}#}综上所述，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 ，
1
≤0 ( ) (0,1) (1,+∞) 0< <1 ( ) (0,1) ( ,+
上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 ，
1 1
∞) (1, ) =1 ( ) (0,+∞) >1 ( ) (0, )
上单调递增，在 上单调递减． ...........................6分
1
(1,+∞) ( ,1)
证明： ，则 的定义域为 ，
2
(2) ( )= ( )+ = ln +2 − ( ) (0,+∞)
′ ，若 有两个极值点 ， ，
2
1 − +1
则方(程 )= + − = 的判 别式 ( ) ， 1 2(0< 1 < 2)
2 2
− +1=0 = −4 >0
且 ， ，得 ， ...........................8分
1
1+ 2 =1 1 2 = >0 >4
所以
2 2
( 1)− ( 2)= 1+2 1− 1− 2−2 2+ 2
1 2 2 1 2 2 1 2 2
= 2+2( 1− 2)− ( 1− 2)= 2+2( 1− 2)− ( 1− 2)( 1+ 2)= 2−2( 1− 2)
因为 ，所以 ...........................11分
1 1 1 2
1 − 2 ≥m 1 2 ≤ 2−2( 2− 1)
令 ( ) 设 ...........................12分
1 1 1
= 2 0< <1 ℎ( ) = −2( − )
由 （ ） ，得 在（ ）上单调递减，
2 2
1 1 1 −t +2t−1 −(t−1)
2 2 2
所′以ℎ ( ) = −2 1+，t 所以= 2t ，即= 2t < 0 ℎ( .).....0..,1...................14分
m
所以ℎm(的 )最>大ℎ值(1为) =0．0 ≤0 m≤0 ...........................15分
18.解： 根据题意有 ， ，
4 2
且由椭圆(1的)几何性质可 知 2+ 2 =1 =2 ，
2 2 2 2
所以 ， ． = + = +4
2 2
=8 =4
所以 的方程为 ． ...........................4分
2 2
因为椭圆的8 +长轴4 =右1端点横坐标为 ，所以 的斜率一定存在 否则与椭圆没有交点
(设2)( 的) 方程为 ， =2 2<4 ( )
代入 的方程有 ：= ( −4) ，
2 2 2 2
其中 (2 +1) −16 +32 −8=0 ，故 ，
2 2 2 2 2
设 =(−，16 ) −，4(2 +1)(32 −8)= 32−16 >0 − 2< < 2
( 1, 1) ( 2, 2)
则 ， ， ...........................6分
2 2
16 32 −8
1+ 2 =2 2 +1 1 2 = 2 2 +1
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{#{QQABKQm55ggQggSACQ5rAQVQCgoQkICiJUokhUCYuAwLgQFABAA=}#}若直线 平分 ，且易知 轴，故只需满足直线 与 的斜率之和为 ．
设 ， 的斜∠率 分 别为 ， ，⊥则 ： 0
1 2
1 2 ( 1−4) ( 2−4)
1+ 2 = + = +
1−2 2−2 1−2 2−2
， ...........................8分
2 ( 1+ 2−4)
=2 − 1 2−2( 1+ 2)+4
代入 ， ，
2 2
16 32 −8
有 1+ 2 =，2 故 2 +命1题 得1 证2．= 2 2 +1 ...........................10分
由1+ 知2 =直0线 平分 ，即 ．
(因 为) ( ) 的面 积 等于∠ 的面∠积 ， =∠
故 △ △ ，即 ，故 ． ...........................13分
故 △ + △ = △ +， △ △， = △ //
在∠ 线 段 =∠的 垂 直=平∠分 线 上．| |=| | ...........................15分
易知线段 的垂直平分线为 ，与 的方程联立有 ，
2 2
= 2 =7
故 的坐标为 或 ...........................17分
2 2
19. 解： ( 7,是2等)差(数−列，7,设2其).公差为 ，
设 (1)∵ ， ........................1分
∴令 = 1+ −1 = 1−1，+ −1 +1
则 =是 等1−差1数+列 ，−1 是, 等 比=数1 列，所以数列 是“优分解”的． ........................3分
因 为数列 是“ 优 分解”的，设 ，
∗
(其2)中 = + ， ∈
−1
则 = 1+ −1 , = 1 1 ≠0, ≠0 ........................5分
−1
= +1− = + 1 −1．, ........................7分
2 −1 2
当 = 时 ，+1− = 1 ( ；−1)
2 ∗
当 =1 时， =是0首 项∈为 ，公比为 的等比数列． ........................9分
2 2
一≠方1面， 数 列 是“优 分1(解 −”1的)，设 ，
∗
(其3)中 ∵ = +， ∈
−1
由 知 = 1+ −1 , = 1 1 ≠0, ≠0
2 −1 2
因为(2) = 1 ( −1) ，所以 ．
2
1 = 2− 1 = 2 =4, 2 = 3− 2 = 3 =6 1 = 2− 1 =2
2
∴ 1( −1) =2, ∴ ≠1,
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{#{QQABKQm55ggQggSACQ5rAQVQCgoQkICiJUokhUCYuAwLgQFABAA=}#}是首项为 ，公比为 的等比数列． ........................12分
2
∴另一 方 面，因为 2 是“优分 解 ”≠的1，设 ，
∗
其中 = +， ∈
−1
= 1+ −1 , = 1 1 ≠0, ≠0
2
= 是+1首−项 为= ， +公1,比 为 = +1的−等 比 =数 列 +，2− +1 = + 1 −1
2
∵ ，且2 ≠1 ，
2 2 2 2
∴ ≠0, ≠1 2 = 1 ⋅ 3 ........................14分
2 2 3
∴化简 得+ 1 −1 = + 1 −1 ⋅ + 1 −1 ，
3 −1
即数列 1 (是 −首1项) =0, ∵ 1 ≠0, ≠，0,公 比≠为1, ∴的 等=比0,数∴列 ． = .+.1.−.. . ..=.. .1. .... ..−..1....15分
1 = 2−， 1 =1
2
∵ 2 = 3− 2解=得2, ∴ =2 ∵ 1 =2, ∴ + 1 ( −，1)= 2,
∵综 上=所0述, ，=2, ∴ 1 =1, ∴ 1 = 1− 1 =3−1．=2 ........................17分
−1 −1
= 1+ −1 + 1 =2+2
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5 5
{#{QQABKQm55ggQggSACQ5rAQVQCgoQkICiJUokhUCYuAwLgQFABAA=}#}
