云南省曲靖市2024-2025学年高三年级第二次教学质量监测数学答案_2025年4月_250427云南省曲靖市2024-2025学年高三年级第二次教学质量监测（全科）

曲靖市 2024-2025 学年高三年级第二次教学质量监测
数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A C B D B A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 AC ABD BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
题号 12 13 14
1
答案 ln2 1,2,4（答案不唯一，只要公比为2或 都符合要求） 34
2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算
步骤．
15. 解：(1) f  x 所满足的条件是①②④. ……………………………………3分
 f  x 的最大值为2，且A0， A2. …………………………………4分
又 f  x 的最小正周期为，且0，2. …………………………………5分
 f  x 2sin  2x .
  
 f  0 1，即2sin1，又  ， . ………………………7分
2 2 6
 
 f  x 2sin2x  . …………………………………8分
 6 
(2)令 2x

k，则 x


k
 kZ  .
6 12 2
第 1 页 共 6 页  k 
 y f  x 的图象的对称中心为  ,0  kZ  . …………………………10分
 12 2 
 y f  x 的图象只有一个对称中心落在区间 0,a 内，
  7
实数a的取值范围是 , . …………………………………13分

12 12
12345
16. 解：(1)由所给数据得x  3，
5
y 
2637506493
54. 
5
 x x 2 411410，
i
5
i1
5 5
 x x  y  y  x y 5x y 26741502564655354161.
i i i i
i1 i1
161
b ˆ 16.1，aˆ5416.135.7.
10
 y关于x的经验回归方程为yˆ 16.1x5.7. ……………………………7分
(2)这5对数据的残差的绝对值分别为4.2，0.9，4，6.1，6.8，故5对数据中有2对
“次数据”，所以X 的所有可能取值为0，1，2. ……………………………9分
且P  X 0  C 3 3  1 ，P  X 1  C 2 1C 3 2  3 ，P  X 2  C 2 2C 3 1  3 ，
C3 10 C3 5 C3 10
5 5 5
 X 的分布列为
X 0 1 2
  1 3 3
P X
10 5 10 ……………………13分
X 的数学期望为E  X 1 3 2 3  6 . ………………………15分
5 10 5
17. 解：(1)当b3时， f  x  1x 33x1，
 f x 3  1x 233x  x2 3 x2  . ………………………1分
令 f x 0，得3 x2或0 x2；令 f x 0，得2 x0，
 f  x 在  3,2 ， 0,2  上单调递增，在2,0 上单调递减， …………3分
又 f 3 0， f  0 0， f  x  0，
min
f 2 4， f  2 20， f  x  20.
max
第 2 页 共 6 页当b3时，函数 f  x  在 3,2 上的值域 0,20  . ……………………6分
 
(2) f x b  1x b1bb  1x b11 . ……………………7分
令g  x  1x b11 ，则g x  b1  1x b2，
x1，1x0，故 1x b20， ……………………9分
①当b1时， f  x 1xx10，满足 f  x 0恒成立； ………………10分
②当b1时，g
x
0，故g 
x
在1，上单调递增，又g 
0
0，
 x1，0 时，g  x 0，进而 f x 0，故 f  x 在1，0 上单调递减；
x 0，时，g 
x
0，进而 f
x
0，故
f

x
在 0，上单调递增，
 f  x   f  0 110，满足 f  x 0恒成立； ……………………12分
min
③当0b1时，g
x
0，故g 
x
在1，上单调递减，又g 
0
0，
 x1，0 时，g  x 0，进而 f x 0，故 f  x 在1，0 上单调递增；
x 0，时，g 
x
0，进而 f
x
0，故
f

x
在 0，上单调递减，
 f  x   f  0 0，不满足 f  x 0恒成立. .……………………14分
max
综上所述，实数b的取值范围是 1， . .……………………15分
18. 解：(1)点Q在线段AP的垂直平分线上， QA  QP .
由题意知，点Q在线段O P的延长线或反向延长线上，
1
 QP  QO  QA  QO  O P 2 O A 4，
1 1 1 1
动点Q在以O ，A为焦点的双曲线上，且a1，c2，进而b2 3，
1
y2
动点Q的轨迹方程，即曲线C的方程为x2  1. .……………………4分
3
(2)①设B  x 1 , y 1 ，D  x 2 , y 2 ，N  n, y 0 ，则   3x 1 2 y 1 2 3 ，
3x
2
2 y
2
2 3
3  x x  x x  y  y  y y ，
1 2 1 2 1 2 1 2
y y y  y
 1 2  1 2 3 ，即k k 3.
BD ON
x x x x
1 2 1 2
第 3 页 共 6 页y 3y
 B，D关于直线l对称，k k 1，k 3k ，即 0  0 .
BD l ON l
n nm
1 3 m
 y 0，  ， 4. .……………………8分
0
n nm n
②由题意可知直线BD的斜率存在，设其方程为ykxt，
由

3x2 y2 3，得 
3k2

x2 2ktxt2 30，
ykxt
     2kt t2 3
4k2t2 4 3k2 t2 3 12 t2 k2 3 ，x x  ，x x  ，
1 2 3k2 1 2 3k2
y  y k  x x 2t  6t . .……………………9分
1 2 1 2 3k2
3t
4
 N
 kt
,
3t


，k 
3k2

3t124k2
，
 3k2 3k2  EN kt kt
3k2
3t124k2
 BDEN ，k 1，解得t 3k2. .……………………11分
kt
2 2
 kt   3t 
 EN     4  k2 1，
 3k2   3k2 
    
12 t2 k2 3 3 k2 4 k2 3
BD  1k2  x x  1k2  2 1k2 
1 2 3k2 3k2
 
3 k2 4 3
2 1k2  2 1k2  3 .
k2 3 3k2
1
BD
在RtBNE中，tanBEN  2  3 3 . ……………………14分
EN 3k2
3k2 0

t2 k2 30

 B,D均在y轴右侧， 2kt ，解得k2 4. ……………………15分
 0
3k2

t2 3
 0
 3k2
3
0 3  3，即0tanBEN  3，
3k2
  2
0BEN  ，BED2BEN0, ，
3  3 
第 4 页 共 6 页 2
BED的取值范围是0, . .……………………17分
 3 
19.(1)证明：如图，连接BD交AC于点M .
在正方体ABCDABC D 中，BB 平面ABCD，
1 1 1 1 1
BB AC，又ACBD，BDBB B，
1 1
 AC平面BBDD， ACBD.
1 1 1
同理AD BD，又AD AC  A，
1 1 1
BD平面ACD . .……………………4分
1 1
解：(2)在平面BDDB 中，连接DM 交BD于点N.由（1）知DN平面ACD .
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
V   DA  DC  DD   111 ，
DACD 1
1 3 2 3 2 6
1 1  1 1 3
V   AC  AD sin  DN    2 2  DN
DACD 1
1 3 2 3 3 2 2
3
V V ， DN  .
DACD DACD
1 1 3

又DP与DB 所成角为 ，
1
6
 1 1
 PN  DN tan  ，点P的轨迹是以N 为圆心， 为半径的圆.
6 3 3
DP所形成的曲面就是圆锥DN的侧面，
1   3 2 1 2 2
S  DP        . .……………………9分
 
3 3  3  3 9
(3)如图所示，建立空间直角坐标系. z
设E  a,0,0  ,F  0,b,0  ,G  0,0,c  .
则EF -a,b,0  ,EG-a,0,c ，
y
设平面EFG的一个法向量为m
x, y,z
，
x
axby0 yac
则 ，令xbc，解得 ，故m bc,ac,ab  .
axcz0 zab
又平面DFG的一个法向量为n
1,0,0
，
第 5 页 共 6 页bc
∴coscos<m，n> . .……………………11分
a2b2 b2c2 c2a2
ac ab
同理得cos ，cos .
a2b2 b2c2 c2a2 a2b2 b2c2 c2a2
b2c2 a2c2 a2b2
故有cos2cos2cos2 1， .……………………13分
a2b2 b2c2 c2a2
2cos22cos22cos2
coscoscoscoscoscos 1，
2
(coscoscos)2
cos2cos2cos22coscos2coscos2coscos
12  coscoscoscoscoscos3
coscoscos 3，当且仅当 DE  DF  DG 时等号成立……………15分
abbcca
a 0,1 ，当a0时， 1，
a2b2 b2c2 c2a2
又 abbcca 2 a2b2 b2c2 c2a2，
abbcca
coscoscos 1.
a2b2 b2c2 c2a2
 
综上所述，coscoscos的取值范围是 1, 3 . .……………………17分
第 6 页 共 6 页