南宁2026届高三10月摸底考数学答案_2025年10月_12026年试卷教辅资源等多个文件_251026广西省南宁市2026届高中毕业班10月摸底测试（全科）

南宁市 2026 届普通高中毕业班摸底测试参考答案(数学) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D C C B A A 8.【解析】若 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试 参考答案(数学)第1页共15页 f ( x ) 有两个零点，则 f ( x ) = m e m x − l n x = 0 有两个解. 等价于mxemx −xlnx=0(x0)有两个解.因为 m  0 , x  0 ,所以lnx0. 令 g ( t ) = t e t ，原式等价于 g ( m x ) = g ( l n x ) 有两个解. 因为 g  ( t ) = ( t + 1 ) e t , 则当t0时 g  ( t )  0 ，所以 g ( t ) 在  0 , +  ) 上单调递增. 所以 m x = l n x ( x  0 ) 有两个大于零的解. 由 m x = ln x lnx 可得m= ，令 x h ( x ) = l n x x ( x  0 ) ，则 h  ( x ) = 1 − x l n 2 x . 因为当 0  x  e 时h(x)0；当 x  e 时,h(x)0 . 所以 h ( x ) 在 ( 0 , e ) 上单调递增，在(e,+)上单调递减，且 h ( e ) = 1 e , h ( x ) 的图象如上图, 所以当 0  m  1 e 时直线 y = m 与函数 y = ln x x 图像有两个交点，即 f ( x ) 有两个零点. 故选A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。有两个正确选项的仅选其中一个给3分；有三 个正确选项的仅选其中一个给2分，仅选其中两个给4分。 题号 9 10 11 答案 AC ABD ABD 11. 【解析】求导得 f ( x ) = x + 4 − 4 x x + 1 − 4 l n x = x − 1 x − 4 l n x ， f ( x ) = 1 + 1 x 2 − 4 x = x 2 − 4 x 2 x + 1 .令 f ( x ) = 0 ,解得 x 1 = 2 − 3 , x 2 = 2 + 3 . 所以 f ( x ) 在区间 ( 0 , x 1 ) 递增,在 ( x 1 , x 2 ) 递减,在 ( x 2 , +  ) 递增,且 f (1 ) = 0 . 则a(0,x ),c(x ,+)使 1 2 f ( a ) = f ( c ) = 0 .所以 f ( x ) 在区间 ( 0 , a ) 递减,在 ( a , 1 ) 递增, 在(1,c)递减,在 ( c , +  ) 递增.故 f (x)有四个单调区间且存在最小值. 1 故函数 f(x)= x− −4lnx存在三个零点 x a , 1 , c 1 1 .可知 f( )= −x+4lnx=−f(x). x x 由 f ( a ) = f ( c ) = 0 1 ,可得a = ,故ac=12,即a,1,c成等比数列.故选ABD. c 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 2 ; 13.10 【备注】若出现写出“m=0或10”，不给分. 14.72 【解析】设四种花卉分别为 A,B,C,D.对于第一个 2×2 的方格,共有 A4＝24 种 4 不同的种法.假设第一个2×2的方格,种如图所示A,B,C,D四种花卉. {#{QQABCQCEggCgQoAAAQgCEQUQCgAYkACACIgGxAAUIAABwBNABAA=}#}①若第三列的第一个方格种A,第三列的第二个方格种C,则第三列的第三个方格种A或B;当第三 列的第三个方格种A时,则第三行的第一、二个方格,分别种A,B;当第三列的第三个方格种B时,则第 三行的第一、二个方格,分别种B,A； ②若第三列的第一个方格种C,第三列的第二个方格种A,则第三列的第三个方格种C或B; 当第三列的第三个方格种C时,则第三行的第一、二个方格,分别种A,B；当第三列的第三个方格种B 时,则第三行的第二个方格种C,此时不符合题目要求,舍去． 所以共有3类种法,则共有24×3＝72种不同的种植方法． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本题满分 13 分)已知函数 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试 参考答案(数学)第2页共15页 f ( x ) c o s ( x )   = + π ,(0, )的最小正周期是,且满足 2 f ( 6 ) 2 3  = .(1)求函数 f (x)的解析式；(2)设函数 g ( x ) f ( x 1 2 ) 3 f ( x 6 )   = + + − ,求g(x)在区间  − π 4 , π 4  上的最大值和最小值. 解：(1)由题意知 T = π 所以 2    = 得 2  = 即 f ( x ) c o s ( 2 x )  = + .…………….2分 【备注】见“ 2  = ”给2分.  3 因为 f( )= ，所以 6 2 c o s ( π 3 ) 2 3  + = π  ,从而 += +2kπ,kZ. 3 6 因为 π 2   π ，所以=− .…………………………………………………….……….2分 6 【备注】见“ π 6  = − ”给2分. 因此 f ( x ) = c o s ( 2 x − π 6 ) .………………………………………………………………..2(6分) 【备注】见“ f ( x ) = c o s ( 2 x − π 6 ) ”给2分. (2) g ( x ) f ( x 1 2 ) 3 f ( x 6 ) c o s [ 2 ( x 1 2 ) 6 ] 3 c o s [ 2 ( x 6 ) 6 ]       = + + − = + − + − − ….1分 = c o s 2 x + 3 s i n 2 x ……………………………………………….1分     【备注】见“cos[2(x+ )− ]+ 3cos[2(x− )− ]”、“ 12 6 6 6 c o s 2 x + 3 s i n 2 x ”之一，给1分.  =2sin(2x+ )………………………………………….………….2(9分) 6 【备注】见“ 2 s i n ( 2 x 6 )  + ”给2分. π  π π  π 2π 令t =2x+ ，由x − , ，得t − , .     6  4 4  3 3  {#{QQABCQCEggCgQoAAAQgCEQUQCgAYkACACIgGxAAUIAABwBNABAA=}#}因为函数 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试 参考答案(数学)第3页共15页 y = 2 s i n t 在  − π 3 , π 2  上单调递增,在  π 2 , 2 π 3  上单调递减，……………….1(10分)  π π 【备注】1.至少见“在 − , 上单调递增”、“在    3 2  π 2 , 2 π 3  上单调递减”之一，给1分. 2. 至少见“g(x)在  − π 4 , π 6  π π 上单调递增”、“在 , 上单调递减”之一，给1分.   6 4 又 2 s i n  − π 3  = − 3 , 2 s i n π 2 = 2 2π ,2sin = 3，……………………………….…….1(11分) 3  π 【备注】1.至少见“2sin  −  =− 3”、“  3 2 s i n π 2 = 2 ”、“ 2 s i n 2 π 3 = 3 ”之一，给1分. 2. 至少见“ 2 s i n 2 4 6 3    −  +  = − ”、“ 2 s i n （ 2  π 6 + π 6 ） = 2 ”、 “ 2 s i n （ 2  π 4 + π 6 ） = 3 ”之一，给1分. 故 g ( x ) 在  − π 4 , π 4  上的最大值为 2 ，最小值为 − 3 …………………………………….2(13分) 【备注】正确写出“最大值为 2 ”、“最小值为 − 3 ”各给1分. 解法二：(1)评分细则同解法一. (2) g ( x ) f ( x 1 2 ) 3 f ( x 6 ) c o s [ 2 ( x 1 2 ) 6 ] 3 c o s [ 2 ( x 6 ) 6 ]       = + + − = + − + − − = c o s 2 x + 3 s i n 2 x …………….………………………………….1分 【备注】见“ c o s [ 2 ( x 1 2 ) 6 ] 3 c o s [ 2 ( x 6 ) 6 ]     + − + − − ”、“ = c o s 2 x + 3 s i n 2 x ”之一给1分。  =2cos(2x− )………………………………………….………….2(9分) 3  【备注】见“2cos(2x− )”给2分. 3 π 令t =2x− ，由 3 x   − π 4 , π 4   5π π ，得t − , .    6 6  5π  因为函数y =2cost在  − ,0  上单调递增,在  6   0 , π 6  上单调递减，……………….1(10分) {#{QQABCQCEggCgQoAAAQgCEQUQCgAYkACACIgGxAAUIAABwBNABAA=}#}【备注】1.至少见“在 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试 参考答案(数学)第4页共15页  − 5 π 6 , 0   π 上单调递增”、“在 0, 上单调递减”之一，给1分;    6 2. 至少见“在  − π 4 , π 6  上单调递增”、“在  π 6 ， π 4  上单调递减”之一，给1分 又 2 c o s  − 5 π 6  = − 3 ,2cos0=2, 2 c o s π 6 = 3 ，……………………………….…….1(11分) 【备注】1.至少见“ 2 c o s  − 5 π 6  = − 3 ”、“2cos0=2”、“ 2 c o s π 6 = 3 ”之一，给1分;  π π 2. 至少见“2cos  − 2−  =− 3”、“  4 3 2 c o s ( 2 6 3 ) 2    − = ”、“ 2 c o s ( 2  π 4 − π 3 ) = 3 ” 之一，给1分. 故 g ( x ) 在  − π 4 , π 4  上的最大值为 2 ，最小值为 − 3 …………………………………….2(13分) 【备注】正确写出“最大值为 2 ”、“最小值为 − 3 ”各给1分. 16.(本题满分15分)已知椭圆 C : x a 2 2 + y b 2 2 = 1 ( a  b  0 ) 的左,右焦点分别为 F 1 , F 2 ，离心率为 2 3 ， 且过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知过点 F 2 的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点.当  F 1 A B 的面积最大时，求此时直线 l 的方程． c 3 解: (1)因为椭圆C的离心率为 = .…………………………………………..…...….1分 a 2 b2 将x=c代入椭圆方程得y= .依题意可得 a 2 b a 2 = 1 .………………………….…...….2分(3分) 2b2 【备注】见“ =1”给2分. a 因为a2 =b2 +c2,解得a=2, b = 1 ．…………………….……………..……………...….2分 【备注】写出“a=2”、“b=1”各给1分; 或写出“a2 =4”、“b2 =1”各给1分; x2 所以椭圆C的方程为 + y2 =1．……………………………………………………….1分(6分) 4 (2)由(1)得F ( 3,0), 可设直线l的方程为x=my+ 3，…………..….…...2分 2 {#{QQABCQCEggCgQoAAAQgCEQUQCgAYkACACIgGxAAUIAABwBNABAA=}#}【备注】见“直线 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试 参考答案(数学)第5页共15页 l 方程为 x = m y + 3 ”给2分； 若不出现“ x = m y + 3 ”但写出 F 2 ( 3 , 0 ) 可给1分. 联立  x 4 x 2 = + m y y 2 + = 1 , 3 得(m2 +4)y2 +2 3my−1=0.……………………………….1分 【备注】能写出体现联立解方程思想过程即可给1分. 设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 y 1 + y 2 = − m 2 2 3 + m 4 , y 1 y 2 = − m 2 1 + 4 .………….…...1分(10分) 【备注】至少能正确写出运用韦达定理的一个式子可给1分. S △ F 1 A B = 1 2 F 1 F 2  y 1 − y 2 = 3 ( y 1 + y 2 ) 2 − 4 y 1 y 2 = 4 3  m m 2 2 + + 4 1 …….1分 【备注】见正确写出关于面积的函数解析式“ 4 3  m m 2 2 + + 4 1 ”、写出面积公式 “ S △ F 1 A B = 1 2 F 1 F 2  y 1 − y 2 ”之一，可给1分. 令 t = m 2 + 1 ，则 S △ F 1 A B = 4 t + 3 3 t  4 2 3 3 = 2 .……………………………….....1分(12分) 【备注】有一定的过程且见“ S △ F 1 A B  2 ”给1分. 3 当且仅当t = 即 t m =  2 时取等号．…………………………….…..............….1分 【备注】正确写出“m= 2 ”其中一个即可给1分. 所求直线l的方程为x+ 2y− 3 =0或 x − 2 y − 3 = 0 ．………………….2分(15分) 【备注】正确写出其中一个方程各给1分. (2)（解法二，评分细则同解法一） 由(1)得F ( 3,0), 当直线斜率存在时可设直线 2 l 的方程为y =k(x− 3)，………..2分 【备注】1.见“直线l方程为y =k(x− 3)”给2分； 2.若不出现“y =k(x− 3)”但写出 F 2 ( 3 , 0 ) 可给1分. {#{QQABCQCEggCgQoAAAQgCEQUQCgAYkACACIgGxAAUIAABwBNABAA=}#}联立 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试 参考答案(数学)第6页共15页  x 4 y 2 = + k y ( 2 x = − 1 , 3 ) 得 (1 + 4 k 2 ) x 2 − 8 3 k 2 x + 1 2 k 2 − 4 = 0 .………………….1分 【备注】能写出体现联立解方程思想过程即可给1分. 设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 8 3k2 ,则x +x = , 1 2 1+4k2 x 1 x 2 = 1 2 1 k + 2 4 − k 4 2 .……..…….….1分(10分) 【备注】至少能正确写出运用韦达定理的一个式子可给1分. A B = 1 + k 2 ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 x 2 = 1 + k 2 ( 8 1 + 3 4 k k 2 2 ) 2 − 4 8 1 k + 2 4 − k 1 2 6 = 4 1 + + 4 4 k k 2 2 点 F 1 ( − 3 , 0 ) 到直线 l Ax +By +C 2 3 k 的距离为d = 0 0 = A2 +B2 1+k2 = 1 2  4 1 (1 + + 4 k k 2 2 )  2 1 3 + k k 2 = 4 3  k ( 1 2 ( + k 4 2 k + 2 1 ) ) 2 ………….1分 【备注】见正确写出关于面积的函数解析式“ 4 3  k ( 1 2 ( + k 4 2 k + 2 1 ) ) 2 ”、写出面积公式 “ S △ F 1 A B = 1 2 A B  d ”之一，可给1分. 令 t = 1 + 4 k 2 ，则 S △ F 1 A B = 3 1 + 2 t − 3 2 t  2 .……..……..………………….…...1分(12分) 因为直线斜率不存在时可得 S △ F 1 A B = 1 2  1  2 3 = 3  2 故当且仅当t =3即 k =  2 2 时面积取最大值………….......................................….1分 【备注】正确写出“ k =  2 2 ”其中一个即可给1分. 所求直线 l 的方程为x+ 2y− 3 =0或x− 2y− 3 =0．…………………...….2分(15分) 【备注】见“ x + 2 y − 3 = 0 ”、“ y = 2 2 ( x − 3 ) ”之一,给1分； 见“ x − 2 y − 3 = 0 2 ”、“y =− (x− 3)”之一给1分； 2 {#{QQABCQCEggCgQoAAAQgCEQUQCgAYkACACIgGxAAUIAABwBNABAA=}#}17.(本题满分 15 分)如图,在斜三棱柱 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试 参考答案(数学)第7页共15页 A B C − A 1 B 1 C 1 中, A B ⊥ A C , A B = A C ,侧面 B B 1 C 1 C 为菱形, 且  B 1 B C = 6 0  ,点D为棱 A 1 A 的中点,平面 A B C ⊥ 平面 B B 1 C 1 C .设平面 A B C 与平面 B 1 D C 的交 线为 l . (1)求证: l ⊥ 平面 B B 1 C 1 C ；(2)若 B C = 2 ,求二面角 C − B 1 D − B 的正弦值. 解法一： (1) 延长 B A ,BD交于 1 E ,连接 C E ,则 C E 为面 B 1 D C 和面 A B C 交线 l ...........1分 因为 D 是 A A 1 的中点, A A 1 // B B 1 ,则A是 B E 中点. ............................................1分(2分) 【备注】见写出“A是 B E 中点”或“AB=AE”给1分. 因为△ABC中AB= AC, A B ⊥ A C ,所以BE=2AC,从而EC⊥BC..................2分(4分) 【备注】见写出“EC⊥BC”给2分. 因为平面 A B C ⊥平面 B B 1 C 1 C 且交线为 B C ,.......................................................1分 所以 E C ⊥ 平面 B B 1 C 1 C ,即 l ⊥ 平面BBCC......................................................1分(6分) 1 1 (2)取 B 1 C 1 中点G,因为侧面BBCC为菱形且 1 1  B 1 B C = 6 0  ,则 G C ⊥ B C ......1分 【备注】见写出“GC⊥BC”给1分. 由(1)知 E C ⊥ 平 面 B B 1 C C ,所以 G C ⊥ E C ...........................................................1分 【备注】见写出“ G C ⊥ E C ”给1分 分别以 C B , C E , C G 所在直线为 x , y , z 轴,建立如图空间直角坐标系C-BEG....................1分(9分) 因为 B C = 2 ,侧面 B B 1 C 1 C 为菱形且  B 1 B C = 6 0  ,则 B （ 1 1 ， 0 ， 3 ） , （E 0 ， 2 ， 0 ） , （B 2 ， 0 ， 0 ） . 则 C B  1 = (1 , 0 , 3 ) , C E  = ( 0 , 2 , 0 ) , B E  = ( − 2 , 2 , 0 ) , B B  1 = ( − 1 , 0 , 3 ) ...............................1分(10分) 【备注】见至少正确写出一个非原点坐标或见至少正确写出一个向量坐标，均可给1分. 设平面BDC 的法向量为 1 m  = ( x 1 , y 1 , z 1 ) ,   CBm=0， x + 3z =0, 由 1  所以 1 1 可取 CEm=0  2y =0. 1 m  = ( 3 , 0 , − 1 ) 设平面BDB的法向量为 1 n = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,   BEn =0， 则 所以  BB n =0 1  − − x x 2 2 + + y 2 3 = z 2 0 , = 0 .  可取n =( 3, 3,1). .....................................3分(13分) 【备注】 1.见恰好正确写出一个法向量坐标,本3分段共给2分； 2.见正确写出两个法向量坐标,本3分段共给3分； {#{QQABCQCEggCgQoAAAQgCEQUQCgAYkACACIgGxAAUIAABwBNABAA=}#}3.若不能正确写出两个法向量坐标，但见“ 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试 参考答案(数学)第8页共15页  C C     B m  1     E m  == 0 0 ， ”或“  BB EB    n   n  1 = = ， 0 0 ”之一,可给方法分1分 因为 c o s  m , n  = | m m  |  n | n | = 3  2 3 7 − 1 = 7 7 所以二面角 C − B 1 D − B 的正弦值为 4 7 2 ........................................................2分(15分) 【备注】1.见写出“正弦值为 4 7 2 ”给2分; 2.若不能正确写出“正弦值为 4 7 2 ”,但正确写出原始夹角公式“ c o s  m , n  = | m m  |  n | n | ”给1分； 3.若结果不正确，而只写出形如“ c o s  m , n  = 3  2 3 7 − 1 ”情况不给分. 解法二： (1)延长 B A , B 1 D 交于点 E ,连接CE,则 C E 为面 B 1 D C 和面 A B C 交线 l .........1分 因为 D 是 A A 1 中点, A A 1 // B B 1 ,则A是 B E 中点. .....................................................1分(2分) 【备注】见写出“A是 B E 中点”或“AB=AE”给1分. 取 B C 中点 F ,连接 A F ,可得AF∥l............................................................................1分 因为 A B = A C ,所以AF ⊥BC..................................................................................1分 因为平面 A B C ⊥平面 B B 1 C 1 C 且交线为 B C ,所以 A F ⊥ 平面 B B 1 C 1 C .................1分(5分) 【备注】见写出“ A F ⊥ 平面BBCC”给1分. 1 1 所以 l ⊥ 平面 B B 1 C 1 C . ................................................................................................1分(6分) (2)连结B F,由侧面BBCC为菱形,BBC =60,则B F⊥BC. 1 1 1 1 1 由面ABC ⊥ 面BBCC,所以B F⊥面ABC，可得B F⊥AF 1 1 1 1 又因为AB= AC,所以AF⊥BC.............................................................................................2分 【备注】1.见写出“AF⊥BC”、“B F⊥AF”、“B F⊥BC”之一并有必要的过程，给2分； 1 1 2. 见写出“AF⊥BC”、“B F⊥AF”、“B F⊥BC”之一无过程，给1分 1 1 分别以FA,FC,FB ,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系F-xyz,如图...........................1分 1 因为BC =2,侧面BBCC为菱形且BBC =60, 1 1 1 {#{QQABCQCEggCgQoAAAQgCEQUQCgAYkACACIgGxAAUIAABwBNABAA=}#}则 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试 参考答案(数学)第9页共15页 （A 1 ， 0 ， 0 ） , C ( 0 , 1 , 0 ) , B ( 0 , − 1 , 0 ) , （B 1 0 ， 0 ， 3 ） , （A 1 1 ，1 ， 3 ） 1 3 ,D(1, , ) 2 2 C B  1 = ( 0 , − 1 , 3 ) , C D  = ( 1 , − 1 2 , 2 3 ) , B A  = (1 , 1 , 0 ) , B B  1 = ( 0 , 1 , 3 ) .........1分(10分) 【备注】见至少正确写出一个非原点坐标或见至少正确写出一个向量坐标，可给1分.  设平面BDC 的法向量为m=(x ,y ,z ), 1 1 1 1 由  CC   B 1   D  m   m  == 0 0 ， ,所以  − x 1 y 1 − + 1 2 y 3 1 z + 1 = 2 3 0 , z 1 = 0 .  可取m=(0, 3,1) 设平面 B 1 D B 的法向量为 n = ( x 2 , y 2 , z 2 ) , 由  BB AB  1 n = n = 0 ， 0 所以  x y 2 2 + + y 2 3 = z 2 0 , = 0 . 可取 n = ( 3 , − 3 , 1 ) . .........................................3分(13分) 【备注】 1.见恰好正确写出一个法向量坐标,本3分段共给2分； 2.见正确写出两个法向量坐标,本3分段共给3分； 3.若不能正确写出两个法向量坐标,但见“  CC   B 1   D  m   m  == 0 0 ， ”或“  BB AB  1 n = n = 0 ， 0 ”之一,可给方法分1分. 因为 c o s  m , n  = | m m  |  n | n | = − 3 2  7 3 + 1 = − 7 7 42 所以二面角C−BD−B的正弦值为 ...............................................................................2分(15分) 1 7 【备注】1.见写出“正弦值为 4 7 2 ”给2分; 42 2.若不能正确写出“正弦值为 ”,但正确写出原始夹角公式“ 7 c o s  m , n  = | m m  |  n | n | ” 或“ |c o s  m , n  |= | |m m  |  n | | n | ”给1分；  − 3 3+1 3.若结果不正确，而只写出形如“cosm,n= ”情况不给分. 2 7 解法三：(1)同解法二的第1小题; (2)连结B F,由侧面BBCC为菱形,BBC =60,则B F⊥BC...................1分 1 1 1 1 1 B F A z D x E C y {#{QQABCQCEggCgQoAAAQgCEQUQCgAYkACACIgGxAAUIAABwBNABAA=}#}【备注】见写出“B F⊥BC”给1分. 1 由面ABC 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试 参考答案(数学)第10页共15页 ⊥ 面 B B 1 C 1 C ,所以B F⊥面ABC,可得B F⊥AF. 1 1 又因为 A B = A C ,所以AF⊥BC...............................1分 【备注】见至少写出“AF⊥BC”、“B F⊥AF”、“AF⊥BF”之一，给1分. 1 分别以FA,FC,FB ,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系F-xyz,如图...........................1分 1 因为 B C = 2 ,侧面 B B 1 C 1 C 为菱形且  B 1 B C = 6 0  , 则A(0,1,0), C(-1,0,0), B(1,0,0), （B 1 0 ， 0 ， 3 ） ,A（-1，1，3）, 1 D ( − 1 2 , 1 , 2 3 ) 则 C B  1 = (1 , 0 , 3 ) , C D  = ( 1 2 , 1 , 2 3 ) , B A  = ( − 1 , 1 , 0 )  ,BB =(−1,0, 3)............................1分(10分) 1 【备注】见至少正确写出一个非原点坐标或见至少正确写出一个向量坐标，可给1分. 设平面 B 1 D C 的法向量为 m  = ( x 1 , y 1 , z 1 ) , 由  CC   B 1   D  m   m  == 0 0 ， ,所以  x 1 2 1 + x 1 + 3 y z 1 1 + = 0 2 , 3 z 1 = 0 . 可取 m  = ( 1 , 0 , − 3 3 ) 设平面 B 1 D B 的法向量为 n = ( x 2 , y 2 , z 2 ) , 则  BB AB  1 n = n = 0 ， 0 所以  − − x x 2 2 + + y 2 3 = z 2 0 , = 0 . 可取 n = ( 1 , − 1 , 3 3 ) . ..................................3分(13分) 【备注】 1.见恰好正确写出一个法向量坐标,本3分段共给2分； 2.见正确写出两个法向量坐标,本3分段共给3分； 3.若不能正确写出两个法向量坐标,但见“  CC   B 1   D  m   m  == 0 0 ， ”或“  BB AB  1 n = n = 0 ， 0 ”之一,可给方法分1分. 因为 c o s  m , n  = | m m  |  n | n | = 7 7 所以二面角 C − B 1 D − B 的正弦值为 4 7 2 ................2分(15分) 4.若考生出现其他建系方法，可结合这三种解法对应给分即可。 18.(本题满分 17 分)流行病学调查表明某种疾病 S 是由致病菌和致病菌共同引起的,且至少杀灭 其中一种致病菌即可痊愈. (1)若有某种治疗方案 M,有 2 3 的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌,则它有 3 1 的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌,则它有 的概率能杀灭致病菌. 4 4 求使用治疗方案M痊愈的条件下,能杀灭致病菌的概率； x B F A z D y E C {#{QQABCQCEggCgQoAAAQgCEQUQCgAYkACACIgGxAAUIAABwBNABAA=}#}(2)若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病S有疗效,且这两种药物的疗程各均为3天(假定药 物使用时,均按疗程服用3天),超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效,依靠自身 的免疫能力再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试 参考答案(数学)第11页共15页 4 5 、 1 7 0 .药物B 杀灭致病菌和致病菌的概率均为 1 9 0 .请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ (3)已知某种药物C 能治愈疾病S 的概率为 P 0 .设针对药物C 的n ( n  3 ) 次临床实验中有连续3 次或连续3次以上治愈疾病S的概率为 P n ,且每次治疗结果相互独立. 求证: P n + 1  P n  1 − (1 − P 0 3 ) [1 − P 0 3 (1 − P 0 ) ] n − 3 . 解：(1)设使用治疗方案M治愈疾病S为事件D,使用治疗方案M能杀灭致病菌为事件E. 则有 P ( D ) = 2 3 + 1 3  1 4 = 1 9 2 = 3 4 2 P(ED) 3 8 , P(E D)= = = .............3分 P(D) 3 9 4 P(ED) 【备注】见“P(E D)= ”、“ P(D) 3 4 ”之一可给1分；见正确结果 “ 8 9 ”给2分. (2)解法1：设 P ( A ) 表示药物A能治愈疾病S的概率, P ( B ) 表示药物B能治愈疾病S的概率. 则有 P ( A ) = 1 − (1 − 4 5 ) (1 − 1 7 0 ) = 4 5 7 0 , P ( B ) = 1 − (1 − 1 9 0 ) 2 = 1 9 0 9 0 ..................................2分(5分) 【备注】见正确写出结果“ 4 5 7 0 ”、“ 1 9 0 9 0 ”各给1分. 设先用药物A再用药物B来治愈疾病S所需的天数为X ; 1 先用药物B再用药物A来治愈疾病S所需的天数为 X 2 . 则 P ( X 1 = 3 ) = P ( A ) , P ( X 1 = 6 ) = (1 − P ( A ) )  P ( B ) , P ( X 1 = 9 ) = (1 − P ( A ) )  (1 − P ( B ) ) 有 E ( X 1 ) = 3 P ( A ) + 6 ( 1 − P ( A ) )  P ( B ) + 9 ( 1 − P ( A ) )  ( 1 − P ( B ) ) =3.1818≈3.18.............1分 【备注】见写出“ E(X )=3.1818”、“ E(X )3.18”、“ 2 2 E ( X 2 )  3 . 2 ”、“ E(X )3.18”、 2 “E(X )=3P(A)+6(1−P(A))P(B) +9(1−P(A))(1−P(B))”之一，可给1分。 1 同理得 P ( X 2 = 3 ) = P ( B ) , P ( X 2 = 6 ) = (1 − P ( B ) )  P ( A ) , P ( X 2 = 9 ) = (1 − P ( A ) )  (1 − P ( B ) ) . 有E(X )=3P(B)+6(1−P(B))P(A)+9(1−P(A))(1−P(B))=3.0318≈3.03.............1分 2 【备注】见写出“E(X )=3.0318”、“E(X )3.03”、“E(X )3”、 2 2 2 {#{QQABCQCEggCgQoAAAQgCEQUQCgAYkACACIgGxAAUIAABwBNABAA=}#}“ 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试 参考答案(数学)第12页共15页 E ( X 2 ) = 3 P ( B ) + 6 (1 − P ( B ) )  P ( A ) + 9 (1 − P ( A ) )  (1 − P ( B ) ) ”之一，可给1分 从而有 E ( X 1 ) − E ( X 2 )  0 .即 E ( X 1 )  E ( X 2 ) . 因此需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短. ..................................................................2分(9分) 【备注】写出结果“需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短”或“使用药物B”给2分； 第2小题中，没写任何过程，但只写猜想的结果正确，第2小题统一只给1分。 解法2：设 P ( A ) 表示药物A能治愈疾病S的概率, P ( B ) 表示药物B能治愈疾病S的概率. 则有 P ( A ) = 1 − (1 − 4 5 ) (1 − 1 7 0 ) = 4 5 7 0 , P ( B ) = 1 − (1 − 1 9 0 ) 2 = 1 9 0 9 0 ..................................2分(5分) 【备注】见正确写出结果“ 4 5 7 0 ”、“ 1 9 0 9 0 ”各给1分. 设先用药物A再用药物B来治愈疾病S所需的天数为 X 1 ; 先用药物B再用药物A来治愈疾病S所需的天数为X . 2 则E(X )−E(X )=3P(A)+6(1−P(A))P(B)−3P(B)−6(1−P(B))P(A) 1 2 = 3 [ P ( B ) − P ( A ) ] .....................................................................................................................2分 【备注】见“3[P(B)−P(A)]”或“3[P(A)−P(B)]”给2分 = 3  ( 1 9 0 9 0 − 4 5 7 0 ) = 1 1 0 5 0 = 3 2 0  0 .从而有 E ( X 1 ) − E ( X 2 )  0 .即 E ( X 1 )  E ( X 2 ) . 因此需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短. ..................................................................2分(9分) 【备注】写出结果“需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短”或“使用药物B”给2分； 第2小题中，没写任何过程，但只写猜想的结果正确，第2小题统一只给1分。 (3)设针对药物C的n次临床实验中未出现连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为 Q n . 因此有 Q n + 1 = (1 − P 0 ) Q n + P 0 [ Q n − P 0 2 (1 − P 0 ) Q n − 3 ] ..............................................................2分(11分) 从而 Q n + 1 − Q n = − P 0 3 (1 − P 0 ) Q n − 3 ……………………………………………………….... 1分 由 Q n = 1 − P n 可得P −P =−P3(1−P)Q 0，所以有 n n+1 0 0 n−3 P n  P n + 1 ..............................1分(13分) 【备注】见写出“ P n − P n + 1 = − P 0 3 (1 − P 0 ) Q n − 3  0 ”才给1分 这表明 P n 随n增大而增大,Q 随n增大而减小，所以有 n Q n  Q n − 3 ..................................1分 另一方面，由Q −Q =−P3(1−P)Q −P3(1−P)Q . n+1 n 0 0 n−3 0 0 n Q 可得Q [1−P3(1−P)]Q ,即 n+1 1−P3(1−P)......................................................1分 n+1 0 0 n Q 0 0 n {#{QQABCQCEggCgQoAAAQgCEQUQCgAYkACACIgGxAAUIAABwBNABAA=}#}注意到 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试 参考答案(数学)第13页共15页 Q 3 = 1 − P 0 3 Q Q Q Q ,所以有 n = n  n−1   4 [1−P3(1−P)]n−3 Q Q Q Q 0 0 3 n−1 n−2 3 即Q (1−P3)[1−P3(1−P)]n−3..........................................................................................1分(16分) n 0 0 0 【备注】见写出“Q (1−P3)[1−P3(1−P)]n−3”给1分 n 0 0 0 因为 Q n = 1 − P n ,所以有 P n  1 − (1 − P 0 3 ) [1 − P 0 3 (1 − P 0 ) ] n − 3 综上所述 P n + 1  P n  1 − (1 − P 0 3 ) [1 − P 0 3 (1 − P 0 ) ] n − 3 .证毕. ...................................................1分(17分) 19.(本题满分17分)已知数列 { a n } f(a )− f(b) 满足 n = f '(a )(b为常数), a −b n+1 n f ( x ) 为可导函数. (1)若 f ( x ) = x 2 且 a 1 = 1 ,求数列 { a n } 的通项公式(结果用b表示); (2)若 f ( x ) = e x − 1 2 x 2 − m x ( x  0 ) .(i)证明:当 m  1 时 f ( x ) 为单调函数；(ii)若数列 { a n } 为 正项数列且 a n  b  0 1 ,证明:a a  (a +b). n n+1 2 n 解：(1)由于 f '(x)=2x, .........................................................................................1分 a 2 −b2 依题意得 n =2a 即a +b=2a ...........................................................1分 a −b n+1 n n+1 n a 2 −b2 【备注】见写出“ n =2a ”、“ a −b n+1 n a n + b = 2 a n + 1 ”之一，给1分 即 a n + 1 − b = 1 2 ( a n − b ) ............................................................................................................1分(3分) 【备注】若见“ 2 ( a n + 1 − b ) = a n − b ”也给1分； 1 1 则a −b= (a −b)= =（ ）n−1(a −b)..................................................................1分 n 2 n−1 2 1 a −b 1 【备注】若没有b1与b=1的分类，直接写出“ n+1 = ”或“数列{a −b}是以 a −b 2 n n 1 2 为公 比的等比数列”，不给这1分. 1 1 所以a −b=(1−b)( )n−1,即a =(1−b)( )n−1+b..................................1分(5分) n 2 n 2 1 【备注】写出正确结果“a =(1−b)( )n−1+b”给1分. n 2 (2)(i) 证法一：因为 f '(x)=ex −x−m....................................................................1分 {#{QQABCQCEggCgQoAAAQgCEQUQCgAYkACACIgGxAAUIAABwBNABAA=}#}易知 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试 参考答案(数学)第14页共15页 y = e x − x 在 ( −  , 0 ) 上单调递减,在 ( 0 , +  ) 上单调递增则 e x − x  1 ....1分(7分) 【备注】写出有一定的过程并见“ e x − x  1 ”才给这1分。 由于 x  0 , m  1 ,所以 f '( x ) = e x − x − m  0 ..................................................1分 【备注】见“ f '( x ) = e x − x − m  0 ”给1分。 所以 f (x)在 ( 0 , +  ) 上为单调函数；.................................................................1分(9分) (i) 证法二： f '(x)=ex −x−m, f ''( x ) = e x − 1 .................................................1分 【备注】见至少写出“ f '( x ) = e x − x − m ”、“ f ''( x ) = e x − 1 ”之一，给1分 由于 x  0 ,则 f ''(x)=ex −10. 可得 f '( x ) = e x − x − m 在 ( 0 , +  ) 上单调递增. ................................................1分(7分) 【备注】见写出“ f '( x ) = e x − x − m 在 ( 0 , +  ) 上单调递增”给1分 当m1时 f '( 0 ) = 1 − m  0 ,则有 f '( x )  f '( 0 )  0 ......................................1分 【备注】见写出“ f '(0)0”给1分 所以 f ( x ) 在 ( 0 , +  ) 上为单调函数；.................................................................1分(9分) (ii)由(i)知, f '( x ) = e x − x − m 在 ( 0 , +  ) 上单调递增. 一方面，要证a a 只需证 n n+1 f '( a n )  f '( a n + 1 ) = f ( a na ) n − − f b ( b ) .................1分 【备注】见写出“要证 a n  a n + 1 只需证 f '( a n )  f '( a n + 1 ) ”，体现分析法，给2分 即证 e a n − a n − m  e a n − 1 2 a n 2 − m a a n n − − ( b e b − 1 2 b 2 − m b ) . 即证 e a n ( a n − b − 1 ) − ( a n − 2 b ) 2 + e b  0 ................................................................1分(11分) (t−b)2 令t =a b，则有h(t)=et(t−b−1)− +eb........................................1分 n 2 则有h'(t)=(et −1)(t−b)0,所以h(t)在(b,+)上单调递增. {#{QQABCQCEggCgQoAAAQgCEQUQCgAYkACACIgGxAAUIAABwBNABAA=}#}因此有 南宁市2026届普通高中毕业班摸底测试 参考答案(数学)第15页共15页 h ( t )  h ( b ) = e b ( b − b − 1 ) − ( b − 2 b ) 2 + e b = 0 . 即证得 e a n ( a n − b − 1 ) − ( a n − 2 b ) 2 + e b  0 ；..........................................................1分(13分) 另一方面，要证 a n + 1  1 2 ( a n + b ) 只需证 f '( a n + 1 ) = f ( a na ) n − − f b ( b )  f '[ 1 2 ( a n + b ) ] ....1分 只需证 e a n − 1 2 a n 2 − m a a n n − − ( b e b − 1 2 b 2 − m b )  e 12 (a n + b ) − 1 2 ( a n + b ) − m . 只需证 e a a n n − − e b b  e 12 (a n + b ) ,只需证 e 12 (a n − b ) a − n − e − b 12 (a n − b )  1 ...........................................1分 令 u = 1 2 ( a n − b )  0 ，只需证 e u − 2 u e − u  1 .................................................................1分(16分) ea n −eb 1 (a +b) 【备注】见至少“ e2 n ”、“ a −b n e 12 (a n − b ) a − n − e − b 12 (a n − b )  1 eu −e−u ”、“ 1”之一，给1分 2u 令 I ( u ) = e u − e − u − 2 u ，则有 I '( u ) = e u + e − u − 2  2 e u  e − u − 2 = 0 . 则有 I ( u ) 在 ( 0 , +  ) 上单调递增，因此有 I ( u )  I ( 0 ) = 0 ，即证得 e u − 2 u e − u  1 1 综上有a a  (a +b).证毕. ..............................................................................1分(17分) n n+1 2 n 【备注】见写出证明“ e u − 2 u e − u  1 ”的必要过程,才给结论1分. {#{QQABCQCEggCgQoAAAQgCEQUQCgAYkACACIgGxAAUIAABwBNABAA=}#}