2011年高考数学试卷（理）（江西）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（江西）数学高考真题

2011 年江西高考理科数学真题及答案
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3
至4页，满分150分，考试时间120分钟.
考试结束后，
考试注意：
1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考试要认真核对
答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人的准考证号、
姓名是否一致.
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，.第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题
卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并交回。
参考公式：
样本数据（x ,y ），（x ,y ），...，（x ,y ）的线性相关系数
1 1 2 2 n n
n
(x x)(y  y)
i i
r  i1 其中
n n
(x x)2 (y  y)2
i i
i1 i1
x x ...x
x 1 2 n
n
y  y ... y
y  1 2 n
n
锥体的体积公式
1
V  Sh
3
其中S 为底面积，h为高
第1页 | 共21页第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
12i 
（1） 若z  ,则复数z= ( )
i
A.2i B. 2i C. 2i D.2i
x2
（2） 若集合A{x|12x13},B{x| 0},则AB= ( )
x
A.{x|1 x0} B.{x|0 x1} C.{x|0 x2} D.{x|0 x1}
1
（3） 若 f(x) ,则 f(x)的定义域为 ( )
log(2x1)
1
2
1 1 1
A. ( ,0) B. ( ,0] C. ( ,) D. (0,)
2 2 2
（4） 若 f(x) x2 2x4lnx,则 f'(x)0的解集为 ( )
A. (0,) B. (-1,0)(2,)
C. (2,) D. (-1,0)
（5） 已知数列{a }的前n项和S 满足:S S S ,且a 1,那么a  ( )
n n n m nm 1 10
A. 1 B. 9 C. 10 D. 55
（6） 变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变
量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1).r 表示变量
1
Y与X之间的线性相关系数,r 表示变量V与U之间的线性相关系数,则 ( )
2
A.r r 0 B. 0r r C.r 0r D. r r
2 1 2 1 2 1 2 1
（7） 观察下列各式:55 3125,56 15625,57 78125,...,则 52011的末四位数字为
( )
A.3125 B. 5625 C.0625 D.8125
第2页 | 共21页（8） 已知,,是三个相互平行的平面,平面, 之间的距离为d ,平面, 之
1 2 3 1 2 1 2 3
间的距离为d .直线l与,,分别交于P,P,P .那么“PP  P P”是“d  d ”的
2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 2
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
（9） 若曲线C：x2  y2 2x0与曲线C：y(ymxm)0有四个不同的交点,则
1 2
实数m的取值范围是 ( )
3 3 3 3
A. ( , ) B. ( ,0)(0, )
3 3 3 3
3 3 3 3
C. [ , ] D. (, )( ,)
3 3 3 3
10.如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方
向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这
样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( )
第3页 | 共21页第II卷
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
   
11. 已知 a  b 2， a2b  ab 2，则a与b的夹角为 .
12. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若
1 1
此点到圆心的距离大于 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则去打篮球；
2 4
否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 .
13.下图是某算法程序框图，则程序运行后输出的结果是__________.
x2 y2 1
14.若椭圆  1的焦点在x轴上，过点(1, )作圆x2  y2 1的切线，切点分别为
a2 b2 2
A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .
三.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按做的第一题评阅计分.本
题共5分.
15（1）.（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为2sin4cos，以极
点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则改曲线的直角坐标方程为 .
(2).(不等式选择题）对于实数x，y，若 x1 1， y2 1，则 x2y1的最大值
为 .
四.本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同
的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此
第4页 | 共21页员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；
若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮
料的杯数.假设次人对A和B两种饮料没有鉴别能力.
（1）求X的分布列；
（2）求此员工月工资的期望.
17.（本小题满分12分）
C
在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知sinCcosC 1sin .
2
（1）求sinC的值；
（2）若a2 b2 4(ab)8，求边c的值.
18.（本小题满分12分）
   
已知两个等比数列 a ， b ，满足a a(a0),b a 1,b a 2,b a 3.
n n 1 1 1 2 2 3 3
 
（1）若a=1，求数列 a 的通项公式；
n
 
（2）若数列 a 唯一，求a的值.
n
第5页 | 共21页19.（本小题满分12分）
1 1
设 f(x) x3  x2 2ax.
3 2
2
（1）若 f(x)在( ,)上存在单调递增区间，求a的取值范围；
3
16
 
（2）当0a2时， f(x)在 1,4 上的最小值为 ，求 f(x)在该区间上的最大值.
3
20.（本小题满分13分）
x2 y2
P(x ,y )(x a)是双曲线E：  1(a0,b0)上一点，M,N 分别是双曲线E
0 0 0 a2 b2
1
的左、右定点，直线PM,PN 的斜率之积为 .
5
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点，O为坐标原点，C为
双曲线上的一点，满足OC OAOB，求的值.
第6页 | 共21页21.（本小题满分14分）
（1）如图，对于任一给定的四面体 AA A A ，找出依次排列的四个相互平行的平面
1 2 3 4
,,, ，使得A （i=1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
1 2 3 4 i i
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面,,, ，其中每相邻两个平面间的距离
1 2 3 4
为1，若一个正四面体AA A A 的四个顶点满足：A （i=1,2,3,4），求该正
1 2 3 4 i i
四面体AA A A 的体积.
1 2 3 4
第7页 | 共21页2011 年江西高考理科数学真题及答案
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3
至4页，满分150分，考试时间120分钟.
考试结束后，
考试注意：
2．答题前，考生在答题卡上务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考试要认真核对
答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人的准考证号、
姓名是否一致.
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，.第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题
卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.
3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并交回。
参考公式：
样本数据（x ,y ），（x ,y ），...，（x ,y ）的线性相关系数
1 1 2 2 n n
n
(x x)(y  y)
i i
r  i1 其中
n n
(x x)2 (y  y)2
i i
i1 i1
x x ...x
x 1 2 n
n
y  y ... y
y  1 2 n
n
锥体的体积公式
1
V  Sh
3
其中S 为底面积，h为高
第8页 | 共21页第Ⅰ卷
二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
12i 
（10） 若z  ,则复数z= ( )
i
A.2i B. 2i C. 2i D.2i
答案：D 解析：
x2
（11） 若集合A{x|12x13},B{x| 0},则AB= ( )
x
A.{x|1 x0} B.{x|0 x1} C.{x|0 x2} D.{x|0 x1}
     
答案：B 解析：A x/1 x1,B x/0 x2 ,AB x/0 x1
1
（12） 若 f(x) ,则 f(x)的定义域为 ( )
log(2x1)
1
2
1 1 1
A. ( ,0) B. ( ,0] C. ( ,) D. (0,)
2 2 2
 
log 2x1 0,02x11
1
2
答案： A 解析：
 1 
x ,0
 2 
（13） 若 f(x) x2 2x4lnx,则 f'(x)0的解集为 ( )
A. (0,) B. (-1,0)(2,)
C. (2,) D. (-1,0)
4 x2 x2
 
f' x 2x2 0, 0,
答案：C 解析： x x
  
x0, x2 x1 0,x2

（14） 已知数列{a }的前n项和S 满足:S S S ,且a 1,那么a  ( )
n n n m nm 1 10
A. 1 B. 9 C. 10 D. 55
第9页 | 共21页S a a 2S ,a 1
 2 1 2 1 2
S S S 3,a 1
答案：A 解析：  3 1 2 3
S S S 4,a 1
 4 1 3 4
a 1
 10
（15） 变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变
量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1).r 表示变量
1
Y与X之间的线性相关系数,r 表示变量V与U之间的线性相关系数,则 ( )
2
A.r r 0 B. 0r r C.r 0r D. r r
2 1 2 1 2 1 2 1
n   
 x x y  y
i i
答案：C 解析： r  i1 第一组变量正相关，第二组变量负相

n 
x x
2

n 
y  y
2
i i
i1 i1
关。
（16） 观察下列各式:55 3125,56 15625,57 78125,...,则 52011的末四位数字为
( )
A.3125 B. 5625 C.0625 D.8125
答案：D 解析：
f  x  5x, f  4  625, f  5  3125, f  6  15625, f  7  78125, f  8  390625

 
2011420081, f 2011 ***8125
（17） 已知,,是三个相互平行的平面,平面, 之间的距离为d ,平面, 之
1 2 3 1 2 1 2 3
间的距离为d .直线l与,,分别交于P,P,P .那么“PP  P P”是“d  d ”的
2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 2
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
第10页 | 共21页答案：C
解析：平面,, 平行，由图可以得知：
1 2 3
如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知PP  PP
1 2 2 3
如果PP  PP ，同样是根据两个三角形全等可知d d
1 2 2 3 1 2
（18） 若曲线C：x2  y2 2x0与曲线C：y(ymxm)0有四个不同的交点,则
1 2
实数m的取值范围是 ( )
3 3 3 3
A. ( , ) B. ( ,0)(0, )
3 3 3 3
3 3 3 3
C. [ , ] D. (, )( ,)
3 3 3 3
答案：B 曲线x2  y2 2x0表示以  1,0  为圆心，以1为半径的圆，曲线
y  ymxm  0表示y 0,或ymxm0过定点  1,0  ，y 0与圆有两个交点，故
ymxm0也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经
3 3
计算可得，两种相切分别对应m 和m ，由图可知，m的取值范围应是
3 3
第11页 | 共21页 3   3
 ,00, 
   
3 3
   
11.如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方
向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这
样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( )
第12页 | 共21页答案：A 解析：根据小圆 与大圆半径1：2的关系，找上下左右四个
点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，因此M点的轨迹是个大圆，
而N点的轨迹是四条线，刚好是M产生的大圆的半径。
第II卷
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
   
13. 已知 a  b 2， a2b  ab 2，则a与b的夹角为 .
    
答案： 60。（ ） 解析：根据已知条件 (a2b)(ab)2，去括号得：
3
 2    2 1
a ab2b 422cos242， cos ,60。
2
（PS：这道题其实2010年湖南文科卷的第6题翻版过来的，在我们寒假班的时候也讲过一
道类似的，在文科讲义72页的第2题。 此题纯属送分题！）
14. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若
1 1
此点到圆心的距离大于 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则去打篮球；
2 4
否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 .
13
答案： 解析：方法一：不在家看书的概率=
16
2 2
1 1
π  π-  π
看电影打篮球 4 2 13
 
所有情况 π 16
2 2
1 1
π  -π 
2 4 13
方法二：不在家看书的概率=1—在家看书的概率=1— 
π 16
第13页 | 共21页（PS: 通过生活实例与数学联系起来，是高考青睐的方向，但在我们春季班讲义二第一页的第五
题已经做过类似题型，那么作为理科生，并且是上过新东方春季班课程的理科生，是不是应该
作对，不解释。）
13.下图是某算法程序框图，则程序运行后输出的结果是__________.
10. 解析：s=0,n=1;带入到解析式当中，s=0+(-1)+1=0，n=2;
s=0+1+2=3, n=3;
S=3+(-1)+3=5, n=4;
S=5+1+4=10,此时s>9,输出。
（PS:此题实质是2010江苏理科卷第7题得翻版，同时在我们寒假题海班，理科讲义的第
200页的第6题也讲过相似的。所以童鞋们再次遇到，应该也是灰常熟悉的。并且框图本来
就是你们的拿手菜，所以最对也不觉奇怪。）
x2 y2 1
15.若椭圆  1的焦点在x轴上，过点(1, )作圆x2  y2 1的切线，切点分别为
a2 b2 2
A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .
x2 y2 1
答案：  1 解析：设过点（1， ）的直线方程为：当斜率存在时，
5 4 2
1
y k(x1) ，
2
3
根据直线与圆相切，圆心（0,0）到直线的距离等于半径1可以得到k= ,直线与圆方程
4
3 4
的联立可以得到切点的坐标（ , ），当斜率不存在时，直线方程为：x=1，根据两点A：
5 5
第14页 | 共21页3 4
（1,0），B：（ , ）可以得到直线：2x+y-2=0,则与y轴的交点即为上顶点坐标（2,0）
5 5
b2，与x轴的交点即为焦点c1，根据公式a2 b2 c2 5,a  5，即椭圆
x2 y2
方程为：  1
5 4
（PS:此题可能算是填空题，比较纠结的一道，因为要理清思路，计算有些繁琐。但是，是
不是就做不出来呢，不是的，在我们寒假题海班的时候讲过一道与此相似的题型，也就在理
科教材第147页第23题。所以最纠结的一道高考题也不过如此，你们还怕什么？）
三.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按做的第一题评阅计分.本
题共5分.
15（1）.（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为2sin4cos，以极
点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则改曲线的直角坐标方程为 .
答案：x2  y2 4x2y 0。解析：做坐标系与参数方程的题，大家只需记住两点：1、
xcos,y sin，2、2  x2  y2即可。根据已知2sin4cos=
y x
2 4 ,化简可得：2 2y4x x2  y2,
 
所以解析式为： x2  y2 4x2y 0
15 (2).(不等式选择题）对于实数x，y，若 x1 1， y2 1，则 x2y1的最大值
为 .
（2）此题，看似很难，但其实不难，首先解出x的范围，0 x2，再解出y的范围，
 
1 y3，最后综合解出x-2y+1的范围 5,1 ，那么绝对值最大，就去5
（PS: 此题作为最后一题，有失最后一题的分量，大家从解题步骤就可看出。所以高考注重
第15页 | 共21页的还是基础+基础！）
五.本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
20.（本小题满分12分）
某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同
的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此
员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；
若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮
料的杯数.假设次人对A和B两种饮料没有鉴别能力.
（3）求X的分布列；
（4）求此员工月工资的期望.
解答：（1）选对A饮料的杯数分别为  0， 1， 2， 3， 4，
C0C4 1 C1C3 16 C2C2 36
其概率分布分别为： P0 4 4  ，P1 4 4  ，P2 4 4  ，
C4 70 C4 70 C4 70
8 8 8
C3C1 16 C0C4 1
P3 4 4  ，P4 4 4  。
C4 70 C4 70
8 8
1 16 36 16 1 
（2） 3500 2800   2100 2280。
70 70 70 70 70
21.（本小题满分12分）
C
在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知sinCcosC 1sin .
2
（3）求sinC的值；
（4）若a2 b2 4(ab)8，求边c的值.
第16页 | 共21页C
解：（1）已知sinC cosC 1sin
2
C C C C C C C
2sin cos cos2 sin2 cos2 sin2 sin
2 2 2 2 2 2 2
C C C C C  C C 
整理即有：2sin cos 2sin2 sin 0sin 2cos 2sin 1 0
2 2 2 2 2  2 2 
C
又C为ABC 中的角，sin 0
2
2
C C 1  C C 1 C C C C 1
sin cos  sin cos    2sin cos cos2 sin2 
2 2 2  2 2  4 2 2 2 2 4
C C 3 3
2sin cos  sinC 
2 2 4 4
（2） a2 b2  4ab8

a2 b2 4a4b44  0a22 b22  0 a  2,b  2
7
又 cosC  1sin2C  ，c  a2 b2 2abcosC  7 1

4
22.（本小题满分12分）
   
已知两个等比数列 a ， b ，满足a a(a0),b a 1,b a 2,b a 3.
n n 1 1 1 2 2 3 3
 
（3）若a=1，求数列 a 的通项公式；
n
 
（4）若数列 a 唯一，求a的值.
n
.解：（1）当a=1时，b 1a 2,b 2a ,b 3a ，又 a ,b  为等比数列，
1 2 2 3 3  n n
不妨设 a  公比为q ，由等比数列性质知： b 2  bb (2a )2  23a  ，同时又
n 1 2 1 3 2 3
有
   
a  a q ,a  a q 2 2a q 2  23a q 2 2q 2  23q 2  q  2 2
2 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 n1
所以：a  2 2 ,n 1
n
（2） a  要唯一，当公比 q 0时，由 b 1a 2,b 2a ,b 3a 且
n 1 1 2 2 3 3
 
b 2  bb  2aq 2  1a3aq 2 aq 2 4aq 3a10，
2 1 3 1 1 1 1
第17页 | 共21页a  0，aq 2 4aq 3a10最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）
 1 1
4a2 4a3a1 0 4aa1 0，此时满足条件的a有无数多个，不符合。
当公比 q  0时，等比数列 a  首项为 a，其余各项均为常数 0，唯一，此时由
1 n
  1
2aq 2  1a3aq 2 aq 2 4aq 3a10，可推得3a1 0,a  符合
1 1 1 1 3
1
综上：a  。
3
23.（本小题满分12分）
1 1
设 f(x) x3  x2 2ax.
3 2
2
（3）若 f(x)在( ,)上存在单调递增区间，求a的取值范围；
3
16
 
（4）当0a2时， f(x)在 1,4 上的最小值为 ，求 f(x)在该区间上的最大值.
3
1 1 2 
解：（1）已知 fx  x3  x2 2ax， f 'x x2  x2a，函数 fx 在 ,
3 2 3 
2 
上存在单调递增区间，即导函数在  ,上存在函数值大于零的部分，
3 
2
2 2 2 1
 f '      2a 0a  
3 3 3 9
16
（2）已知0<a<2, fx 在  1,4  上取到最小值 ，而 f 'x x2  x2a的图像开口
3
1
向下，且对轴x  ， f '1 112a 2a 0, f '4 1642a 2a120,
2
则必有一点x   1,4  ,使得 f 'x 0,此时函数 fx 在  1,x  上单调递增，在  x ,4  单调递
0 0 0 0
1 1 1
减 ， f1   2a  2a  0，
3 2 6
1 1 40
 f4  64 168a   8a  0
3 2 3
40 16
 f4  8a    a 1
3 3
此 时 ， 由 f 'x  x 2  x 20 x 2或-1  舍去  ， 所 以 函 数
0 0 0 0
第18页 | 共21页10
fx  f2
max 3
21.（本小题满分13分）
x2 y2
P(x ,y )(x a)是双曲线E：  1(a0,b0)上一点，M,N 分别是双曲线E
0 0 0 a2 b2
1
的左、右定点，直线PM,PN 的斜率之积为 .
5
（3）求双曲线的离心率；
（4）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点，O为坐标原点，C为
双曲线上的一点，满足OC OAOB，求的值.
x2 y2
解：（1）已知双曲线E：  1a 0,b0 ，Px ,y  在双曲线上，M，N分别为双
a2 b2 0 0
曲 线 E 的 左 右 顶 点 ， 所 以
Ma,0
，
Na,0
， 直 线 PM ， PN 斜 率 之 积 为
y y y 2 1 x 2 5y 2
K K  0  0  0   0  0 1
PM PN x a x a x 2 a2 5 a2 a2
0 0 0
x 2 y 2 1 6 c 30
而 0  0 1，比较得b2  a2 c2  a2 b2  a2 e  
a2 b2 5 5 a 5
（2）设过右焦点且斜率为 1 的直线 L： y  xc，交双曲线 E 于 A，B 两点，则不妨设
Ax ,y ,Bx ,y  ，又OC OAOB  x  x ,y  y  ，点C在双曲线E上：
1 1 2 2 1 2 1 2
   
x  x 2 5y  y 2 a2 2 x 2 5y 2 2x x 10y y  x 2 5y 2 a2
1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2
*（1）
又 联立直线L和双曲线E方程消去y得：4x2 10cx5c2 a2  0
5c2 a2 5c2 a2 5c2
由韦达定理得：x x  ， y y  x x cx  x c2   c2
1 2 4 1 2 1 2 1 2 4 2
7 71
代入（1）式得：2a2  a2  a2 a2 a2 0，或-4
2 2
第19页 | 共21页22.（本小题满分14分）
（1）如图，对于任一给定的四面体AA A A ，找出依
1 2 3 4
次排列的四个相互平行的平面 ,,, ，使
1 2 3 4
得A （i=1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间
i i
的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面,,, ，其中每相邻两个平面间的距离
1 2 3 4
为1，若一个正四面体AA A A 的四个顶点满足：A （i=1,2,3,4），求该正
1 2 3 4 i i
四面体AA A A 的体积.
1 2 3 4
解：
（1）将直线 A A 三等分，其中另两个分点依次为 A,A,连接 A A,A A,作平行于
1 4 2 3 2 2 3 3
A A,A A的平面，分别过A A,A A，即为, 。同理，过点A,A 作平面, 即
2 2 3 3 2 2 3 3 2 3 1 4 1 4
可的出结论。
a
（2）现设正方体的棱长为a,若AM MN 1,则有，AM  ，
1 1 1 2
5
DE  AD2  AE2  a，由于AD AE  AM DE , 得，a 5 ，
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1
1 5 5
那么，正四面体的棱长为d  2a 10 ，其体积为V  a3  （即一个棱长为a的
3 3
正方体割去四个直角三棱锥后的体积）
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