文档内容
四川省部分高中2026届第一次联合质检考试
数 学 试 题
考生注意：
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目
的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，
超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
◈预祝你们考试成功◈
一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
1．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则
所得新数据的平均数和方差分别是
A．57.2，3.6 B．57.2，56.4
C．62.8，63.6 D．62.8，3.6
2．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则A＝（ ）
A． B． C． D． 或6．抛物线 的焦点到准线的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．
7．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．1 B． C．2025 D．4050
8．若 ， 为锐角， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，
全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取
一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下 尺，第二天截取剩下的一半后剩下 尺，…，
第五天截取剩下的一半后剩下 尺，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知 定义域为 ， ，且 ，当 时， .
则下列说法正确的有（ ）
A．直线 是 的对称轴
B． 在 上单调递减C．
D．设 与 图象的第i个交点为 （ ），若 与
的图象有 个交点，则
11．“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向量线性运算和数量积外常
见的还有向量的外积．定义如下，空间向量 与 的外积 是一个向量，其长度等于
，其方向满足 ， ， ， ， 且三个向量构成右手
系（如图）．在棱长为2的正四面体 中， 为 的中心，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知 ， ，若 ，则 .
13．若函数 在 上可导， ，则 ．
14．如图，在直三棱柱 中，点 为棱 上的点.且 平面 ，则.已知 ， ，以 为球心，以 为半径的球面与侧面 的交线长
度为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．其中 15 题 13 分，16—17 题各 15 分，18—19 题各 17 分．
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知 .
(1)求 的单调递减区间；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，求 在 上的值域.
16．已知椭圆 ： （ ）的离心率 ，且椭圆过点 .
(1)求 的方程：
(2)过点 直线 与椭圆有两个交点 ， ，已知 轴上点 ，求证： .17．已知点 是边长为 的菱形 所在平面外一点，且点 在底面 上的射影是 与
的交点 ，已知 ， 是等边三角形.
(1)求证： ；
(2)求二面角 的平面角的正切值；
(3)若点 是线段 上的动点，问：点 在何处时，直线 与平面 所成的角最大?求出最大角
的正弦值，并说明点 此时所在的位置.
18．设函数 ，且 .
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，且 ，求证： .19．设 是项数为 且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列 称为
的“ 等比关联数列”：①数列 的项数为 ；② 中任意两
项乘积都是 中的项；③ 是公比大于1的等比数列．
(1)已知数列 是 的“ 等比关联数列”，且 ， ， ，求数列 的通项公
式；
(2)已知数列 是 的“ 等比关联数列”，且 的前3项成等比数列的概率为 ，求 的值；
(3)证明： 不存在“ 等比关联数列” ．秘密※启用前
四川省部分高中 2026 届第一次联合质检考试
数 学 试 题 参 考 答 案
1．D
【详解】平均数是2.8+60=62.8,根据方差公式可知方差不变．
2．B
【详解】由题设 ，所以 .
故选：B
3．A
【详解】因为 ， ，
由交集定义可得， .
故选：A.
4．D
【详解】由 得 ，则 ，解得 ，
所以 ，则 ，
所以 .
故选：D
5．B
【详解】因为 ，由正弦定理得 ，整理得 ，
由余弦定理得 ，又因为 ，所以 ．
故选：B．
6．B
【详解】由题意知该抛物线的焦点为 ，准线方程为 ，
故焦点到准线的距离为2，
故选：B.
7．C
【详解】因为等差数列 的前 项和为 ，且 ，
则 ，所以 .
故选：C.
8．D
【详解】因为 ，则 ，且 ，
可得 ，且 ；
又因为 ，则 ，
且 ，可得 ；
所以
．故选：D.
9．BCD
【详解】根据题意可得 是首项为 ，公比为 的等差数列，则 ，
，故A错误； ，故B正确；
， ，则 ，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD．
10．ACD
【详解】由题可知： ，可知函数关于 对称，又 ，可知函数为
奇函数，
所以 ，则 ，
即 ，所以4为函数 的一个周期.
对A，由函数关于 对称，且4为函数 的一个周期，故 是 的对称轴，正确；
对B， ，所以函数在 的单调性与函数在
单调性相同，
由 ， ，且函数为 上的奇函数，所以函数 在 单调递增，错误；
对C, ，则又 ，所以
，
正确；
对D，函数 为 上的奇函数，函数 也为 上的奇函数，所以可知两函数图象在 轴
的左右两边交点个数相同，
且对应交点的横坐标互为相反数，且都过原点，所以 ，正确.
故选：ACD
11．ABD
【详解】对于A，根据外积定义可得 ，
又 ，A正确；
对于B， ， ，B
正确；
对于C，根据定义可得 ， 长度相等，方向相反，
即 ，C错误；
对于D， ，根据定义得 与 反向， ，
所以 ，D正确．
故选：ABD.12．
【详解】向量 ， ，且 ，则 ，
所以 .
故答案为：
13．
【详解】因为 ，所以 ，
把 代入得 ，解得 ．
故答案为： ．
14． 1
【详解】取 的中点为E，分别连接 和 ，
细查题意知，只有当 是 的中点时，才满足题意，原因如下：
当 是 的中点时， ， ， ，
平面 ， 平面 ，
∵ ，
∴平面 平面 ，
∵ 平面 ，平面 ，
平面 平面 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
，又 ，
四边形 为平行四边形，
，即 为 的中点，
所以 ；
球面与侧面 的交线长，即截面圆的弧长，
， ，
，即 ，易得 ，
取 的中点为 ，故可得 ，
平面 平面 ， 平面 ，
平面平面 ，
圆心距 ，设交线的轨迹为PQ， ，
截面圆半径 ，
又因为 ，所以 为等边三角形，.
故答案为：1， .
15．(1) （ ）；
(2)
【详解】（1）解： ，
由 （ ）得 ，
∴ 的单调减区间为 （ ）；
（2）由题意得 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ 在 上的值域为 .
16．(1) ；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由椭圆 ： 的离心率 ，得 ，则 ，
由椭圆 过点 ，得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）依题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程 ： ，
由 消去 ，得 ，
设 ，显然 ，
则 ， ，
所以
.17．(1)证明见解析
(2)
(3)当点 在线段 上靠近 点的 处时，直线 与平面 所成的角最大，最大角的正弦值为
【详解】（1）因为点 在底面 上的射影是 与 的交点 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为四边形 为菱形，所以 ，
因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ．
（2）
如图，过 在平面 内作 于 ，连接 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故 为二面角 的平面角，
因菱形 中， ，则 ， ，
又 是等边三角形，故 ，
由 ，知 ，
在 中， ，故二面角 的正切值为 .
（3）因为 ，且 平面 平面 ，所以 平面 ，
所以 到平面 的距离即为 到平面 的距离 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ， ，
因正弦函数在第一象限单调递增，故要使 最大，即使 最大，则需使 最小，此时 ，由对称性知， ，
所以 ，此时 ，
故当点 在线段 上靠近 点的 处时，直线 与平面 所成的角最大，且最大角的正弦值为
.
18．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
因为 ，
故 在 内单调递增，
由 ，可知 .
（2）因为 ，所以 ，
即 ，
即 ，
由（1）可知对任意 ，有 ，即 ，因为 ，所以 ，
令 ，则有 ，
即 ，
则 ，
即 ，
即
故 .
19．(1)
(2)
(3)证明见详解
【详解】（1）因为 ， ， ，
由定义可知， ，
故数列 的通项公式为 ；
（2）因为 中4项均不相同，所以 有 种， 有 项，
假设 ，则 ， ， ， ．设 的公比为 ，则 ，
又数列 的第三项 ，第四项 ，
或第三项 ，第四项 ，
所以 ，
且 ，得 ，且 ，
或 ，
且 ，得 ，且 ，
这两种情况，不能同时成立，使得 的前3项为等比数列有4种情况，
故 ．
（3）当 时，假设 的各项从小到大排列，此时数列 有 项，
则 ， ， ， ，
因为 是等比数列，所以 ，即 ，所以 ．
设 的公比为 ，则 ，所以 ，
所以 ， ，
剩余四项为 ， ， ， ，又公比 ，所以 ， ， 是连续三项，因此 是第4项或第7项，
当 时， ，所以 ，即 ，不符合题意；
当 时， ，所以 ，即 ，不符合题意；
因此当 时， 不存在“ 等比关联数列” ．
