文档内容
九五高中协作体·山东
2025 高三年级质量检测（九五联考）
数 学
命题及审核：北京时代凤凰教育研究院
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知
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z + z = 4 ， z − z = 2 i ，则复数z在复平面内所对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合A= x∣x−x2 0 ，集合B ={x∣x 0}，则
A． A ∩ B = A B． A ∪ B = A C．
R
A B D．A∩B =
3．已知实数 x，y满足log (log x) =log (log y) =1，则
2 3 3 2
x + y =
A．11 B．12 C．16 D．17
4．将函数 f (x) =sin(2x+)的图象向左平移 个单位长度得到g(x)的图象．若g(x)的图
3
象关于 y轴对称，则的最小值为
A． B．
12
6
C． D．
3 2
5．已知a 为正项等差数列，若4a -a =8，则 a a 的最大值为
3 7 1 3
n
A．4 B．6 C．8 D．10 2 1 1
6．已知连续型随机变量~ N 0， ，为使随机变量 ξ 在 − ， 的概率不小于 0.9545
a 2 2
（若
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X ~ N ( 2 ) ， ，则P ( X − 2 ) =0.9545），则实数a的最小值为
A．8 B．16 C．32 D．64
7．已知 s i n 2 c o s s i n 3 c o s = ， = ，若向量 m ( t a n t a n t a n ( ) ) = + ， + 与向量
n ( 1 ) = ， 互相垂直，则λ=
A． −
3
9
2
B．
3
9
2
C．5 D．
3
3
8．已知 F ,F 分别为双曲线
1 2
x
a
2
2
−
y
b
2
2
= 1 ( a 0 ， b 0 ) 的左、右焦点，P 为双曲线左支上一
点，满足 F
1
P F
2 3
P F
2
= ， 与双曲线右支交于点 Q，若 F
1
Q F
2
2
3
= ，则双曲线的离心率为
A． 3 B． 5 C． 6 D． 7
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．给定一组不全相同的样本数据 x ，x ，…，x ，关于样本数据 2x -1，2x -1，…，2x -1
1 2 n 1 2 n
的说法正确的是
A．与原数据相比，极差一定变大
B．与原数据相比，众数一定变大
C．与原数据相比，平均数一定变大
D．与原数据相比，方差一定变大
10．已知函数 f ( x ) = x 3 − 3 x − 2 ，则
A． f ( x ) 有3个零点
B．过原点作曲线 y = f ( x ) 的切线，有且仅有一条
C．y = f (x)与 y = a x − 2 交点的横坐标之和为 0
D． f ( x ) 在区间 (-2，2) 上的值域为 (-4，0)
11．三棱锥A−BCD中，AD = 2 3， A B = B C = C D = 2 ， A B ⊥ B C ， B C ⊥ C D ，则
A．三棱锥 A − B C D 的体积为
4
3
B．三棱锥 A − B C D 外接球的表面积为 3π
C．过BC中点E的平面截三棱锥A−BCD外接球所得最小截面的半径为 1
2 3
D．PAC，QBD，则PQ的最小值为
3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知不等式
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3 x 2 + ( a − 2 ) x + 4 0 对任意的 x ( 0 ， + ) 恒成立，则实数 a 的最小值为
__________．
13．已知 F ，1 F
2
分别为椭圆 C ：
x
a
2
2
+
y
b
2
2
= 1 ( a b 0 )
3
的左、右焦点，椭圆 C 的离心率 ，
3
过 F 与椭圆长轴垂直的直线与椭圆交于 P，Q 两点，PF 与 y 轴交于 M 点，
2 1
Q M = 2 3 ，
则△PQF 的周长为__________．
1
14．已知正整数 n，欧拉函数 φ(n)表示 1，2，…，n 中与 n 互素的整数的个数．例如，
φ(4)=2，φ(10)=4．若从 1，2，…，30 中随机取一个数 m，则满足 φ(2m)=φ(3m)的概率为
__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，AD=1，AB=2，△PAD 为等边三角
形，PA⊥CD．
（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求平面PAD与平面 PBC夹角的余弦值．
16．（本小题满分15分）
已知函数 f ( x ) =
x
e
+
x
1
+
1
2
a x 2 + a ．
（1）讨论 f ( x )
P
D C
A B
的单调性；
（2）若 f (x)有两个零点，求a的取值范围．
17．（本小题满分15分）
甲乙二人进行比赛，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为 p，乙获胜的概率为1-p，
各局比赛的结果相互独立．为决出最终获胜的一方，有以下两种方案可供选择：
方案一：规定每局比赛的胜方得 1 分，败方得 0 分，则首次比对手高两分的一方获胜．
方案二：首次连胜两局比赛的一方获胜．
（1）若p = 0.75，且采用方案一，求第四场比赛结束时恰好分出胜负的概率．
（2）若0 < p < 0.5，为使甲获胜的概率更大，则应该选择哪种比赛方案？请说明理由．
1
附：当0 < q < 1时，1+q+q2 + = ．
1−q18．（本小题满分17分）
已知抛物线
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E ： x 2 = 2 p y ( p 0 ) 的焦点为𝐹，𝑃为圆 Q ： x 2 + ( y + 2 ) 2 = 3 上的动点，且
P F 的最大值为 3 +
5
2
．
（1）求抛物线𝐸的方程；
（2）过点 P的两条直线分别交 E于 A，B两点和 C，D两点，且 AC分别是线段 PB，
PD的中点，设线段BD的中点为 M．
（i）证明：直线 P M ⊥ x 轴：
（ii）求△PBD面积的最大值．
19．（本小题满分17分）
对集合 A，B，定义集合 A △ B = { ∣x x A ， x B 或 x B ， x A } ，记 X 为有限集合 X
的元素个数．
以下给定正整数 n 4 ，并记集合S ={1，2，…，n}
n
（1）设A，B，C为有限集合，证明： A △ C A △ B + B △ C ；
（2）给定自然数l和S 的子集𝑀，求集合
n
X X S
n
， X △ M ∣ = l 的元素个数；
（3）设 k（其中 k
n
2
）为正整数，S 的子集
n
X ，1 X
2
， … ， X
m
满足 X
i
X
j
2 k + 1 均
有 X
i
△ X
j
2 k + 1 ．证明： m C kn
+ 1
2 n ．
