广西壮族自治区2025年3月高三毕业班第二次高考适应性测试数学答案_2025年3月_250308广西壮族自治区2025年3月高三毕业班第二次高考适应性测试（全科）

高三数学 参 考 答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B B C D C B C ACD ACD ABD
8
12．5 13. x12  y2 1（答案不唯一，满足xa2  y2 a2(a0)即可） 14.
63
15．【详解】（1）由余弦定理有a2b2c2 2abcosC，对比已知a2b2c2  3ab，………1分
a2b2c2 3ab 3
可得cosC   ， ……………………………………………………2分
2ab 2ab 2
π
因为C0,π，所以C  ，……………………………………………………………………3分
6
1
从而sinC  ，……………………………………………………… 4分
2
2 2
又因为sinC cosB，即cosB ，…………………………………………………………5分
2 2
π
注意到B0,π，所以B . ……………………………………………………………………6分
4
π π π π 7π
（2）由（1）可得B ，C  ，从而Aπ   ，………7分
4 6 6 4 12
7π π π 2 1 2 3 2 6
而sinAsin sin       ， ……………………………… 8分
12 4 3 2 2 2 2 4
a b c 2 2
   4 2
7π π π 1
由正弦定理有sin sin sin ， …………………………………………10分
12 4 6 2
从而a22 3,b4， ……………………………………………………………………………11分
由三角形面积公式可知，
1 1 1
S  absinC (22 3)4 22 3
ABC 2 2 2 . ……………………………………………13分
16．【详解】（1）取PD中点N ，连接MN,AN，又M 为棱PC的中点，AB//DC，
所以MN//CD//AB， ……………………………………………………………………………1分
1
且MN  CD AB，即ABMN是平行四边形，………………………………………………2分
2
所以AN//BM，AN 平面PAD，BM 面PAD，则BM //面PAD.……………………4分
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{#{QQABbQys4ggwgkTACY5KEQHkCwuQsJEiLUoEgRCdqAwKAJFABKA=}#}（2）由PC 5，PD1，CD2，得：PC2  PD2 CD2，进而PDCD， …………5分
又由AD平面PCD，得：ADCD，ADPD， …………………………………………6分
以D为原点建立空间直角坐标系如图，
1
B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1),M(0,1, )
则 ， ……………………………………………………………8分
2
显然面PDM 的一个法向量为m(1,0,0)， ……………………………… …………………………9分
1
所以DB(1,1,0),DM (0,1, )，设面BDM 的一个法向量为n(x,y,z)，
2
nDBxy0

 1
则 nDM  y z0，令z2，得n(1,1,2)， …………………………… …………12分
 2
nm 1 6
所求二面角的余弦值为
cosm,n  
， …………………………14分
|n||m| 1 6 6
30
进而平面PDM 和平面BDM 所成的角的正弦值为 . ……………………………………15分
6
y kxm

17. 【详解】联立直线与椭圆的方程：x2 ，
 y2 1

 4
得(14k2)x2 8kmx  4m2 4  0. …………………………………………………… 2分
所以16(4k2 m2 1), ……………………………………………………………………3分
8km 4m2 4
设A(x,y )，B(x ,y )，根据韦达定理得：x x  ，x x  .…………5分
1 1 2 2 1 2 14k2 1 2 14k2
因为y kx m，y kx m，
1 1 2 2
第2页，共6页
{#{QQABbQys4ggwgkTACY5KEQHkCwuQsJEiLUoEgRCdqAwKAJFABKA=}#}1
所以y y (kx m)(kx m)k2xx km(x x )m2. ………………… ……………………7分 gx0 gx 0, gxg00 a
1 2 1 2 1 2 1 2 2
进而OAOB x x  y y =  1k2 x x km(x x )m2， …………………………………8分 a  1 hx0 xln2a0 hx00 xln2a
1 2 1 2 1 2 1 2 2
4m2 4 8km 5m2 4k2 4 hx 0,ln2a hxh00
所以OAOB   1k2  km m2  …………………… 9分
14k2 14k2 14k2
gx 0,ln2a gln2a g00 x0, g(x)0
（1）16(4k2 m21)04k21m2. ………………………………………………… 10分
1
a 
2
5m2 4k2 4
（2）OAOB  0 5m2 4k24. …………………………………………12分
14k2  1
a  , 
 2
16
进而16(4k2 m2 1) (16k2 1)0 …………………………………………………… 13分
5 1
x0, f x x2 1
2
m m2 2 5
d    1 1 1
且点O到直线l的距离 1k2 5
m2
5 ,为定值.……………………………………15分 x
2
,
3
, ,
n1
,
4
2 2 2
1 11 1 11  1  1 1 
f  1 f  1 f  1
18．【详解】（1）x0时， f 01；………………………………………………………………1分   2  2  2    3  2  3    n1  2  n1 
又 fxex 1，则k  f00，………………………………………………………………2分
n1 1 1 n11 2 1  1 1 1 
所求切线方程为：y 1.………………………………………………………………………………3分  f    n     n     
k2
k  2
k2
 k  2 23 34 n1n2 
（2）当x0, ，b，1 时， f xax2 b恒成立，
n1 1 11 1 1 1  1 1 
 f        n
       
即：当x0, 时， f xax2 1恒成立.……………………………………………………4分 k2 k  22 3 3 4 n1 n2
n1 1 11 1  1 1
即：当x0, 时，ex ax2 x10恒成立，  f       nn 
k  22 n2 2n4 4
k2
令gxex ax2 x1则gxex 2ax1，
1
(1)
4
又令hxex 2ax1,hxex 2a，x0,
.………………………………………5分
X
5
1
① 当a ，x0, hx0恒成立，∴hx在区间0,上单调递增， 1 1 1  1 1 3  1 2 1 9
2 P(X 5 1)(1 4 )0 4  4 P(X 5 2)  1 4  4  16 P(X 5 3)  1 4   4  64
∴hxh00，.………………………………………………………………………………………6分
1 1 27 3 81
P(X 4)(1 )3  P(X 5)( )4 
5 4 4 256 5 4 256
第3页，共6页
{#{QQABbQys4ggwgkTACY5KEQHkCwuQsJEiLUoEgRCdqAwKAJFABKA=}#}1
y y (kx m)(kx m)k2xx km(x x )m2 ∴gx0，∴gx在区间0,上单调递增， gxg00，所以a 符合题意；……7分
1 2 1 2 1 2 1 2 2
OAOB x x  y y  1k2 x x km(x x )m2 ② 当a  1 时，hx0 xln2a0，hx00 xln2a，
1 2 1 2 1 2 1 2 2
4m2 4 8km 5m2 4k2 4 ∴hx 在 0,ln2a 上单调递减，此时hxh00，…………………………………………8分
OAOB   1k2  km m2 
14k2 14k2 14k2
进而gx 在 0,ln2a 上单调递减， ∴gln2a g00，与当x0, 时，g(x)0矛盾；
16(4k2 m21)04k21m2
1
所以a  不符合题意.
2
5m2 4k2 4
OAOB  0 5m2 4k24
14k2  1
综上所述，a的取值范围是 ,

…………………………………………………………………10分
 2
16
16(4k2 m2 1) (16k2 1)0
5 1
（3）由（2）可知：当x0, 时， f x x2 1；………………………………………11分
2
m m2 2 5
d    1 1 1
O l 1k2 5
m2
5 分别令x
2
,
3
, ,
n1
,得：
4
2 2 2
1 11 1 11  1  1 1 
f  1， f  1， ， f  1，………………12分
x0 f 01  2   2  2    3   2  3    n1   2  n1  
fxex 1 k  f00 将以上不等式左右两边分别相加，得：
n1 1 1 n11 2 1  1 1 1 
y 1  f    n     n      ，…………14分
k2
k  2
k2
 k  2 23 34 n1n2 
x0, b，1 f xax2 b
n1 1 11 1 1 1  1 1 
所以：  f                n，…………………………16分
x0, f xax2 1 k2 k  22 3 3 4 n1 n2
n1 1 11 1  1 1
x0, ex ax2 x10 进而：  f       nn  . ……………………………………………17分
k  22 n2 2n4 4
k2
gxex ax2 x1 gxex 2ax1
1
19．【详解】(1)由题意可得，每名同学两题均完成挑战的概率为 ，
4
hxex 2ax1,hxex 2a x0,
X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，则……………………………………………………………1分
5
1
a x0, hx0 hx 0, 1 1 1  1 1 3  1 2 1 9
2 P(X 5 1)(1 4 )0 4  4 ， P(X 5 2)  1 4    4  16 ， P(X 5 3)  1 4    4  64 ，
hxh00
1 1 27 3 81
P(X 4)(1 )3  ，P(X 5)( )4  ………………………………………………5分
5 4 4 256 5 4 256
第4页，共6页
{#{QQABbQys4ggwgkTACY5KEQHkCwuQsJEiLUoEgRCdqAwKAJFABKA=}#}7 1 1 1 1
因此X 5 的分布列为 E(Y ) 4( )3 5( )4  n( )n1(n1)( )n
n 4 2 2 2 2
X 5 1 2 3 4 5 1 E(Y ) 7 4( 1 )4 5( 1 )5  n( 1 )n1n( 1 )n (n1)( 1 )n1
2 n 8 2 2 2 2 2
1 3 9 27 81
P
1 11 1 1 1 1 3 n3 1 3
4 16 64 256 256 E(Y )  ( )4 ( )5  ( )n (n1)( )n1   ( )n 
2 n 8 2 2 2 2 2 2 2 2
………………………………………………………………………………………………………………6分
E(Y ) 3
n
(2)(ⅰ)Y k(1 k n1,kN*)时，第k人必完成运算求解题，
n
1
若前面k1人都没有一人完成逻辑推理题，其概率为 p ( )k1，……………………………… 7分
k
2
1 1
若前面k1人有一人完成逻辑推理题，其概率为 p C1 ( )k1 (k1)( )k1，
k k1 2 2
1
故P(Y k) p p k( )k1.…………………………………………………………………………8分
n k k 2
当Y n时，
n
1
若前面n1人都没有一人完成逻辑推理题，其概率为 p ( )n1，…………………………………9分
n
2
1
若前面n1人有一人完成逻辑推理题，其概率为 p (n1)( )n，
n
2
1
故P(Y n) p p (n1)( )n.……………………………………………………………………10分
n n n 2
Y 的分布列为：
n
Y 1 2 3 n1 n
n
1 1 1 1 1
P ( )2 2( )3 3( )4 (n1)( )n (n1)( )n
2 2 2 2 2
……………………………………………………………………………………………………………11分
n1 1 1
(ⅱ） E(Y )k2( )k1n(n1)( )n(nN*,n 2).…………………………………………………12分
n 2 2
k1
1 1 1 1
又因为E(Y )E(Y )n2( )n1 (n1)(n2)( )n1 n(n1)( )n (n2)( )n1 0……13分
n1 n 2 2 2 2
7
E(Y ) ，…………………………………………………………………………………………… 14分
2 4
故E(Y ) E(Y )[E(Y)E(Y )][E(Y )E(Y)] [E(Y )E(Y )]，……………………… 15分
n 2 3 2 4 3 n n1
第5页，共6页
{#{QQABbQys4ggwgkTACY5KEQHkCwuQsJEiLUoEgRCdqAwKAJFABKA=}#}7 1 1 1 1
X 5 E(Y ) 4( )3 5( )4  n( )n1(n1)( )n，①
n 4 2 2 2 2
X
5 1 E(Y ) 7 4( 1 )4 5( 1 )5  n( 1 )n1n( 1 )n (n1)( 1 )n1，②…………………………… 16 分
2 n 8 2 2 2 2 2
1 3 9 27 81
1 11 1 1 1 1 3 n3 1 3
4 16 64 256 256 ①-②得 E(Y )  ( )4 ( )5  ( )n (n1)( )n1   ( )n 
2 n 8 2 2 2 2 2 2 2 2
则E(Y ) 3， ………………………………………………………………………………………… 17分
n
(2)( )Y k(1 k n1,kN*)
n
1
k1 p ( )k1
2
1 1
k1 p C1 ( )k1 (k1)( )k1
k1 2 2
1
P(Y k) p p k( )k1.
n 2
Y n
n
1
n1 p ( )n1
2
1
n1 p (n1)( )n
2
1
P(Y n) p p (n1)( )n.
n 2
Y
n
Y n1
n
1 1 1 1 1
( )2 2( )3 3( )4 (n1)( )n (n1)( )n
2 2 2 2 2
n1 1 1
( E(Y )k2( )k1n(n1)( )n(nN*,n 2).
n 2 2
k1
1 1 1 1
E(Y )E(Y )n2( )n1 (n1)(n2)( )n1 n(n1)( )n (n2)( )n1 0
n1 n 2 2 2 2
7
E(Y )
2 4
E(Y ) E(Y )[E(Y)E(Y )][E(Y )E(Y)] [E(Y )E(Y )]
n 2 3 2 4 3 n n1
第6页，共6页
{#{QQABbQys4ggwgkTACY5KEQHkCwuQsJEiLUoEgRCdqAwKAJFABKA=}#}