广西壮族自治区2025年3月高三毕业班第二次高考适应性测试数学答案_2025年3月_250308广西壮族自治区2025年3月高三毕业班第二次高考适应性测试（全科）

高三数学 参 考 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B B C D C B C ACD ACD ABD 8 12．5 13. x12  y2 1（答案不唯一，满足xa2  y2 a2(a0)即可） 14. 63 15．【详解】（1）由余弦定理有a2b2c2 2abcosC，对比已知a2b2c2  3ab，………1分 a2b2c2 3ab 3 可得cosC   ， ……………………………………………………2分 2ab 2ab 2 π 因为C0,π，所以C  ，……………………………………………………………………3分 6 1 从而sinC  ，……………………………………………………… 4分 2 2 2 又因为sinC cosB，即cosB ，…………………………………………………………5分 2 2 π 注意到B0,π，所以B . ……………………………………………………………………6分 4 π π π π 7π （2）由（1）可得B ，C  ，从而Aπ   ，………7分 4 6 6 4 12 7π π π 2 1 2 3 2 6 而sinAsin sin       ， ……………………………… 8分 12 4 3 2 2 2 2 4 a b c 2 2    4 2 7π π π 1 由正弦定理有sin sin sin ， …………………………………………10分 12 4 6 2 从而a22 3,b4， ……………………………………………………………………………11分 由三角形面积公式可知， 1 1 1 S  absinC (22 3)4 22 3 ABC 2 2 2 . ……………………………………………13分 16．【详解】（1）取PD中点N ，连接MN,AN，又M 为棱PC的中点，AB//DC， 所以MN//CD//AB， ……………………………………………………………………………1分 1 且MN  CD AB，即ABMN是平行四边形，………………………………………………2分 2 所以AN//BM，AN 平面PAD，BM 面PAD，则BM //面PAD.……………………4分 第1页，共6页 {#{QQABbQys4ggwgkTACY5KEQHkCwuQsJEiLUoEgRCdqAwKAJFABKA=}#}（2）由PC 5，PD1，CD2，得：PC2  PD2 CD2，进而PDCD， …………5分 又由AD平面PCD，得：ADCD，ADPD， …………………………………………6分 以D为原点建立空间直角坐标系如图， 1 B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1),M(0,1, ) 则 ， ……………………………………………………………8分 2 显然面PDM 的一个法向量为m(1,0,0)， ……………………………… …………………………9分 1 所以DB(1,1,0),DM (0,1, )，设面BDM 的一个法向量为n(x,y,z)， 2 nDBxy0   1 则 nDM  y z0，令z2，得n(1,1,2)， …………………………… …………12分  2 nm 1 6 所求二面角的余弦值为 cosm,n   ， …………………………14分 |n||m| 1 6 6 30 进而平面PDM 和平面BDM 所成的角的正弦值为 . ……………………………………15分 6 y kxm  17. 【详解】联立直线与椭圆的方程：x2 ，  y2 1   4 得(14k2)x2 8kmx  4m2 4  0. …………………………………………………… 2分 所以16(4k2 m2 1), ……………………………………………………………………3分 8km 4m2 4 设A(x,y )，B(x ,y )，根据韦达定理得：x x  ，x x  .…………5分 1 1 2 2 1 2 14k2 1 2 14k2 因为y kx m，y kx m， 1 1 2 2 第2页，共6页 {#{QQABbQys4ggwgkTACY5KEQHkCwuQsJEiLUoEgRCdqAwKAJFABKA=}#}1 所以y y (kx m)(kx m)k2xx km(x x )m2. ………………… ……………………7分 gx0 gx 0, gxg00 a 1 2 1 2 1 2 1 2 2 进而OAOB x x  y y =  1k2 x x km(x x )m2， …………………………………8分 a  1 hx0 xln2a0 hx00 xln2a 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4m2 4 8km 5m2 4k2 4 hx 0,ln2a hxh00 所以OAOB   1k2  km m2  …………………… 9分 14k2 14k2 14k2 gx 0,ln2a gln2a g00 x0, g(x)0 （1）16(4k2 m21)04k21m2. ………………………………………………… 10分 1 a  2 5m2 4k2 4 （2）OAOB  0 5m2 4k24. …………………………………………12分 14k2  1 a  ,   2 16 进而16(4k2 m2 1) (16k2 1)0 …………………………………………………… 13分 5 1 x0, f x x2 1 2 m m2 2 5 d    1 1 1 且点O到直线l的距离 1k2 5 m2 5 ,为定值.……………………………………15分 x 2 , 3 , , n1 , 4 2 2 2 1 11 1 11  1  1 1  f  1 f  1 f  1 18．【详解】（1）x0时， f 01；………………………………………………………………1分   2  2  2    3  2  3    n1  2  n1  又 fxex 1，则k  f00，………………………………………………………………2分 n1 1 1 n11 2 1  1 1 1  所求切线方程为：y 1.………………………………………………………………………………3分  f    n     n      k2 k  2 k2  k  2 23 34 n1n2  （2）当x0, ，b，1 时， f xax2 b恒成立， n1 1 11 1 1 1  1 1   f        n         即：当x0, 时， f xax2 1恒成立.……………………………………………………4分 k2 k  22 3 3 4 n1 n2 n1 1 11 1  1 1 即：当x0, 时，ex ax2 x10恒成立，  f       nn  k  22 n2 2n4 4 k2 令gxex ax2 x1则gxex 2ax1， 1 (1) 4 又令hxex 2ax1,hxex 2a，x0, .………………………………………5分 X 5 1 ① 当a ，x0, hx0恒成立，∴hx在区间0,上单调递增， 1 1 1  1 1 3  1 2 1 9 2 P(X 5 1)(1 4 )0 4  4 P(X 5 2)  1 4  4  16 P(X 5 3)  1 4   4  64 ∴hxh00，.………………………………………………………………………………………6分 1 1 27 3 81 P(X 4)(1 )3  P(X 5)( )4  5 4 4 256 5 4 256 第3页，共6页 {#{QQABbQys4ggwgkTACY5KEQHkCwuQsJEiLUoEgRCdqAwKAJFABKA=}#}1 y y (kx m)(kx m)k2xx km(x x )m2 ∴gx0，∴gx在区间0,上单调递增， gxg00，所以a 符合题意；……7分 1 2 1 2 1 2 1 2 2 OAOB x x  y y  1k2 x x km(x x )m2 ② 当a  1 时，hx0 xln2a0，hx00 xln2a， 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4m2 4 8km 5m2 4k2 4 ∴hx 在 0,ln2a 上单调递减，此时hxh00，…………………………………………8分 OAOB   1k2  km m2  14k2 14k2 14k2 进而gx 在 0,ln2a 上单调递减， ∴gln2a g00，与当x0, 时，g(x)0矛盾； 16(4k2 m21)04k21m2 1 所以a  不符合题意. 2 5m2 4k2 4 OAOB  0 5m2 4k24 14k2  1 综上所述，a的取值范围是 ,  …………………………………………………………………10分  2 16 16(4k2 m2 1) (16k2 1)0 5 1 （3）由（2）可知：当x0, 时， f x x2 1；………………………………………11分 2 m m2 2 5 d    1 1 1 O l 1k2 5 m2 5 分别令x 2 , 3 , , n1 ,得： 4 2 2 2 1 11 1 11  1  1 1  f  1， f  1， ， f  1，………………12分 x0 f 01  2   2  2    3   2  3    n1   2  n1   fxex 1 k  f00 将以上不等式左右两边分别相加，得： n1 1 1 n11 2 1  1 1 1  y 1  f    n     n      ，…………14分 k2 k  2 k2  k  2 23 34 n1n2  x0, b，1 f xax2 b n1 1 11 1 1 1  1 1  所以：  f                n，…………………………16分 x0, f xax2 1 k2 k  22 3 3 4 n1 n2 n1 1 11 1  1 1 x0, ex ax2 x10 进而：  f       nn  . ……………………………………………17分 k  22 n2 2n4 4 k2 gxex ax2 x1 gxex 2ax1 1 19．【详解】(1)由题意可得，每名同学两题均完成挑战的概率为 ， 4 hxex 2ax1,hxex 2a x0, X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，则……………………………………………………………1分 5 1 a x0, hx0 hx 0, 1 1 1  1 1 3  1 2 1 9 2 P(X 5 1)(1 4 )0 4  4 ， P(X 5 2)  1 4    4  16 ， P(X 5 3)  1 4    4  64 ， hxh00 1 1 27 3 81 P(X 4)(1 )3  ，P(X 5)( )4  ………………………………………………5分 5 4 4 256 5 4 256 第4页，共6页 {#{QQABbQys4ggwgkTACY5KEQHkCwuQsJEiLUoEgRCdqAwKAJFABKA=}#}7 1 1 1 1 因此X 5 的分布列为 E(Y ) 4( )3 5( )4  n( )n1(n1)( )n n 4 2 2 2 2 X 5 1 2 3 4 5 1 E(Y ) 7 4( 1 )4 5( 1 )5  n( 1 )n1n( 1 )n (n1)( 1 )n1 2 n 8 2 2 2 2 2 1 3 9 27 81 P 1 11 1 1 1 1 3 n3 1 3 4 16 64 256 256 E(Y )  ( )4 ( )5  ( )n (n1)( )n1   ( )n  2 n 8 2 2 2 2 2 2 2 2 ………………………………………………………………………………………………………………6分 E(Y ) 3 n (2)(ⅰ)Y k(1 k n1,kN*)时，第k人必完成运算求解题， n 1 若前面k1人都没有一人完成逻辑推理题，其概率为 p ( )k1，……………………………… 7分 k 2 1 1 若前面k1人有一人完成逻辑推理题，其概率为 p C1 ( )k1 (k1)( )k1， k k1 2 2 1 故P(Y k) p p k( )k1.…………………………………………………………………………8分 n k k 2 当Y n时， n 1 若前面n1人都没有一人完成逻辑推理题，其概率为 p ( )n1，…………………………………9分 n 2 1 若前面n1人有一人完成逻辑推理题，其概率为 p (n1)( )n， n 2 1 故P(Y n) p p (n1)( )n.……………………………………………………………………10分 n n n 2 Y 的分布列为： n Y 1 2 3 n1 n n 1 1 1 1 1 P ( )2 2( )3 3( )4 (n1)( )n (n1)( )n 2 2 2 2 2 ……………………………………………………………………………………………………………11分 n1 1 1 (ⅱ） E(Y )k2( )k1n(n1)( )n(nN*,n 2).…………………………………………………12分 n 2 2 k1 1 1 1 1 又因为E(Y )E(Y )n2( )n1 (n1)(n2)( )n1 n(n1)( )n (n2)( )n1 0……13分 n1 n 2 2 2 2 7 E(Y ) ，…………………………………………………………………………………………… 14分 2 4 故E(Y ) E(Y )[E(Y)E(Y )][E(Y )E(Y)] [E(Y )E(Y )]，……………………… 15分 n 2 3 2 4 3 n n1 第5页，共6页 {#{QQABbQys4ggwgkTACY5KEQHkCwuQsJEiLUoEgRCdqAwKAJFABKA=}#}7 1 1 1 1 X 5 E(Y ) 4( )3 5( )4  n( )n1(n1)( )n，① n 4 2 2 2 2 X 5 1 E(Y ) 7 4( 1 )4 5( 1 )5  n( 1 )n1n( 1 )n (n1)( 1 )n1，②…………………………… 16 分 2 n 8 2 2 2 2 2 1 3 9 27 81 1 11 1 1 1 1 3 n3 1 3 4 16 64 256 256 ①-②得 E(Y )  ( )4 ( )5  ( )n (n1)( )n1   ( )n  2 n 8 2 2 2 2 2 2 2 2 则E(Y ) 3， ………………………………………………………………………………………… 17分 n (2)( )Y k(1 k n1,kN*) n 1 k1 p ( )k1 2 1 1 k1 p C1 ( )k1 (k1)( )k1 k1 2 2 1 P(Y k) p p k( )k1. n 2 Y n n 1 n1 p ( )n1 2 1 n1 p (n1)( )n 2 1 P(Y n) p p (n1)( )n. n 2 Y n Y n1 n 1 1 1 1 1 ( )2 2( )3 3( )4 (n1)( )n (n1)( )n 2 2 2 2 2 n1 1 1 ( E(Y )k2( )k1n(n1)( )n(nN*,n 2). n 2 2 k1 1 1 1 1 E(Y )E(Y )n2( )n1 (n1)(n2)( )n1 n(n1)( )n (n2)( )n1 0 n1 n 2 2 2 2 7 E(Y ) 2 4 E(Y ) E(Y )[E(Y)E(Y )][E(Y )E(Y)] [E(Y )E(Y )] n 2 3 2 4 3 n n1 第6页，共6页 {#{QQABbQys4ggwgkTACY5KEQHkCwuQsJEiLUoEgRCdqAwKAJFABKA=}#}