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参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B B B C C A D BC AB ABD
二、填空题：12、 13、2 14、
15．【详解】（1）函数 的定义域为 ，不等式
，
令 ，依题意， 恒成立， ，
当 时， ；当 时， ，
函数 在 上递增，在 上递减， ，则 ，
所以实数a的取值范围是 .
（2）由函数 ，求导得 ，由 ，得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
，解得 ，无解；
当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
，解得 ，符合题意，
所以存在实数a，当 时，函数 的最小值是2， .
16【详解】（1）当 时，联立 ，得 ．
1因为 与 有且仅有一个交点，所以 ，解得 ．
所以 的方程为 ．
（2）联立 ，得 ．
因为 与 交于不同的两点，所以 ，即 ．
设 ， ，
因为 ，所以 ．
．
，所以 ．
17．【详解】（1）在 中，因为 ，满 ，
所以 ；
因为平面 平面 ，平面 平面 平 ，故
平面 ；
又因为 平面 ，所以 .
因为 是等腰直角三角形， ，所以 .
又 平面 平面 ，所以 平面 .
（2）如图，以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴， 轴，以垂直平面 的
直线为 轴建立空间直角坐标系，取 的中点 ，则 ，且 ，
则点 的坐标为 .又 ，
则 ， ，
2， ，
，
故异面直线 与 的夹角的余弦值为 .
（3）设三棱锥 外接球的球心 的坐标为 ，
则由 ，可得 ，解得 ，
即 .球 的半径 ，
由（1）知， 平面 ，则平面 的一个法向量为 ，
又因为 ，则球心 到平面 的距离为
.
故点 到平面 距离的最大值为 .
18．【详解】（1）（ⅰ）设第 次抽到优级品为事件 ，第 次抽到一级品为事件 ，
则 ．
（ii）根据题意可知 的取值可能为 、 、 、 ．
则 ， ，
， ．
3则 的分布列为：
所以 ．
（2）设在 次抽检中至少有 次抽到优级品的概率为 ，
则
，其中 ，
因为 ，所以 在 单调递增．
注意到 ，所以 ，故 的最小值为 ．
19．【详解】（1）（Ⅰ）由题意知： ， ，
又 ， ，即 ，
所以 是数列 的生成函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： ，又 ，
数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
， ，
所以
两式相减得：
4所以 .
（2）由题意知： ， ，
，
，
，又 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
，又 ，
，（ ， ），
则当 时， ，
即 ，
（ ， ）.
5
