数学答案安徽省淮北市和淮南市2025届高三第二次质量检测（南北二模）_2025年4月_250424安徽省淮北市和淮南市2025届高三第二次质量检测（全科）

淮北市2025届高三第二次质量检测 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题 目要求的. 1.C 2.A 3.D 4.C 5.B 6.B 7.A 8.D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每题选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对 得6分，有选错的得0分. 9.ABD 10.ABD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 17-3 256π 7 12. 2 13. 14.第一空为 （2分），第二空为 （3分） 2 3 4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. π 15.(Ⅰ)由b= 2a C+ 4  π sin 得sinB= 2sinA C+ 4  sin 因为sinB= A+C  π sin =sinAcosC +cosAsinC， 2 C+ 4  sin =sinC +cosC 所以sinAcosC +cosAsinC =sinAsinC+cosC  即cosAsinC =sinAsinC 所以tanA=1 π 所以A= ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 4 1 (Ⅱ)由三角形的面积为 2知 bcsinA= 2,所以bc=4 2 由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA，即b2+c2=1+4 2 所以b+c  2=b2+c2+2bc=9+4 2=1+2 2  2 故b+c=1+2 2 所以三角形的周长为a+b+c=2+2 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分 16.(Ⅰ)分别在△ABD和△CBD中使用余弦定理得 BD2=AD2+AB2-2AD⋅AB⋅cosθ=CD2+CB2-2CD⋅CB⋅cosθ 即1+4-4cosθ=3+3-6cosθ 1 得cosθ= 2 π 所以θ= ; ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 3 π π (Ⅱ)因为AB=2,AD=1,∠BAD= ,所以BD= 3,从而∠ADB= ,所以BD⏊AD. 3 2 又SD⊥平面ABCD，所以SD⊥AD, 又AD⋂BD=D，所以AD⊥平面SBD，所以AD⊥SB. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分 Ⅲ  方法一：设三棱锥S-ABC的体积为V，△ABC和△SBC的面积分别为S ,S ，点A到平面 1 2 39 1 3 1 1 39 SBC的距离为h，则S = 3,S = ，V= S ⋅SD= ,且V= S ⋅h= ⋅ h, 1 2 4 3 1 3 3 2 3 4 1 39 3 4 13 由 ⋅ h= 得h= 3 4 3 13 h 2 26 所以SA与平面SBC所成角的正弦值为 = . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分 SA 13 方法二：以D为坐标原点，分别以DA，DB，DS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则 ·1·S0,0,1  ,A1,0,0  ,B0, 3,0  3 3 ,C- , ,0 2 2  ,  SA=1,0,-1   ,SB=0, 3,-1   3 3 ,BC=- ,- ,0 2 2  设平面SBC的法向量为n=x,y,z  ,则 3y-z=0   3 3 - x- y=0 2 2 所以可取n=-1, 3,3  ,  SA⋅n 所以SA与平面SBC所成角的正弦值为   SA  ⋅n  4 2 26 = = . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分 26 13 17. (Ⅰ)若a=1，则fx  x2 = -2x+lnx，fx 2  1 =x-2+ x 所以f1  =0,f1  3 =- ，函数fx 2  3 在x=1处的切线方程为y=- ； ⋯⋯⋯⋯5分 2 (Ⅱ) fx  的定义域为0,+∞  ，fx  a x2-2x+a =x-2+ = x x 当a=0时fx  x2 = -2x，fx 2  有且仅有一个零点4； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 当a≥1时，fx  ≥0，函数fx  递增，由f1  <0,f4  =aln4>0，知fx  存在唯一零点x ∈ 0 (1,4)； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分 当00，函数fx  递增；当x∈x 1 ,x 2  时fx  <0，函数fx  递减； 当x∈x 2 ,+∞  时fx  >0，函数fx  递增； x2 当x∈(0,1]时， -2x<0,alnx≤0，所以fx 2  <0，函数fx  无零点； 因为当x∈1,x 2  时fx  递减，当x∈x 2 ,+∞  时fx  递增， 且fx 2  0，所以fx  存在唯一零点x ∈(1,4). 0 综上所述,当a≥0时，fx  有且仅有一个零点. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分 1 3 3 3 1 18.(Ⅰ)由k ⋅k = 得 ⋅ = = ， PA PB 4 -4+a -4-a 16-a2 4 解得a2=4， 16 3 x2 又 - =1，解得b2=1，于是E的方程为： -y2=1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 a2 b2 4 (Ⅱ)(方法1)设Q(x ,y )，M(m,0)，显然-2