数学答案安徽省淮北市和淮南市2025届高三第二次质量检测（南北二模）_2025年4月_250424安徽省淮北市和淮南市2025届高三第二次质量检测（全科）

淮北市2025届高三第二次质量检测 数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题
目要求的.
1.C 2.A 3.D 4.C 5.B 6.B 7.A 8.D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每题选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对
得6分，有选错的得0分.
9.ABD 10.ABD 11.BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
17-3 256π 7
12. 2 13. 14.第一空为 （2分），第二空为 （3分）
2 3 4
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
π
15.(Ⅰ)由b= 2a C+
4

π
sin 得sinB= 2sinA C+
4
 sin
因为sinB= A+C 
π
sin =sinAcosC +cosAsinC， 2 C+
4
 sin =sinC +cosC
所以sinAcosC +cosAsinC =sinAsinC+cosC 
即cosAsinC =sinAsinC
所以tanA=1
π
所以A= ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
4
1
(Ⅱ)由三角形的面积为 2知 bcsinA= 2,所以bc=4
2
由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA，即b2+c2=1+4 2
所以b+c  2=b2+c2+2bc=9+4 2=1+2 2  2
故b+c=1+2 2
所以三角形的周长为a+b+c=2+2 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
16.(Ⅰ)分别在△ABD和△CBD中使用余弦定理得
BD2=AD2+AB2-2AD⋅AB⋅cosθ=CD2+CB2-2CD⋅CB⋅cosθ
即1+4-4cosθ=3+3-6cosθ
1
得cosθ=
2
π
所以θ= ; ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
3
π π
(Ⅱ)因为AB=2,AD=1,∠BAD= ,所以BD= 3,从而∠ADB= ,所以BD⏊AD.
3 2
又SD⊥平面ABCD，所以SD⊥AD,
又AD⋂BD=D，所以AD⊥平面SBD，所以AD⊥SB. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
Ⅲ  方法一：设三棱锥S-ABC的体积为V，△ABC和△SBC的面积分别为S ,S ，点A到平面 1 2
39 1 3 1 1 39
SBC的距离为h，则S = 3,S = ，V= S ⋅SD= ,且V= S ⋅h= ⋅ h,
1 2 4 3 1 3 3 2 3 4
1 39 3 4 13
由 ⋅ h= 得h=
3 4 3 13
h 2 26
所以SA与平面SBC所成角的正弦值为 = . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分
SA 13
方法二：以D为坐标原点，分别以DA，DB，DS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则
·1·S0,0,1  ,A1,0,0  ,B0, 3,0 
3 3
,C- , ,0
2 2
 ,

SA=1,0,-1 

,SB=0, 3,-1 

3 3
,BC=- ,- ,0
2 2

设平面SBC的法向量为n=x,y,z  ,则
3y-z=0

 3 3
- x- y=0
2 2
所以可取n=-1, 3,3  ,

SA⋅n
所以SA与平面SBC所成角的正弦值为


SA  ⋅n 
4 2 26
= = . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分
26 13
17. (Ⅰ)若a=1，则fx 
x2
= -2x+lnx，fx
2

1
=x-2+
x
所以f1  =0,f1 
3
=- ，函数fx
2

3
在x=1处的切线方程为y=- ； ⋯⋯⋯⋯5分
2
(Ⅱ) fx  的定义域为0,+∞  ，fx 
a x2-2x+a
=x-2+ =
x x
当a=0时fx 
x2
= -2x，fx
2
 有且仅有一个零点4； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
当a≥1时，fx  ≥0，函数fx  递增，由f1  <0,f4  =aln4>0，知fx  存在唯一零点x ∈ 0
(1,4)； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
当0<a<1时，令fx  =0得x =1- 1-a,x =1+ 1-a，0<x <1<x 1 2 1 2
当x∈0,x 1  时fx  >0，函数fx  递增；当x∈x 1 ,x 2  时fx  <0，函数fx  递减；
当x∈x 2 ,+∞  时fx  >0，函数fx  递增；
x2
当x∈(0,1]时， -2x<0,alnx≤0，所以fx
2
 <0，函数fx  无零点；
因为当x∈1,x 2  时fx  递减，当x∈x 2 ,+∞  时fx  递增，
且fx 2  <f1  <0，f4  =aln4>0，所以fx  存在唯一零点x ∈(1,4). 0
综上所述,当a≥0时，fx  有且仅有一个零点. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分
1 3 3 3 1
18.(Ⅰ)由k ⋅k = 得 ⋅ = = ，
PA PB 4 -4+a -4-a 16-a2 4
解得a2=4，
16 3 x2
又 - =1，解得b2=1，于是E的方程为： -y2=1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
a2 b2 4
(Ⅱ)(方法1)设Q(x ,y )，M(m,0)，显然-2<m<2，设直线PM：x=ty+m，与x2-4y2-4=
0 0
0联立，消去x得(t2-4)y2+2tmy+m2-4=0，则
m2-4
3y =
0 t2-4
又P(-4, 3)在直线PM：x=ty+m上，得 3t=-4-m，代入上式得
3(m2-4)
y =
0 m2+8m+4
1 1
于是s 1 -s 2 = 2 ⋅ 3⋅(m+2)- 2 ⋅y 0  (2-m)= 3
(m2-4)(2-m)
即m+2+ =2
m2-2m+4
整理得5m2+4m-4=0
·2·2 6-2 2
解得m= ，进而y =- ，x = 6
5 0 2 0
2
即所求Q点坐标为 6,-
2
 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分
(方法2)设Q(x ,y )M(m,0)，显然直线PQ的斜率存在，其方程为：
0 0
y - 3 3x +4y
y- 3= 0 (x+4)，令y=0，解得m=- 0 0 (1)
x +4 y - 3
0 0
1 1
依题意s 1 -s 2 = 2 ⋅ 3⋅(m+2)- 2 ⋅y 0  (2-m)= 3
将(1)代入上式，消去m得
3 3x +4y
- 0 0 +2
2 y - 3
0

1 3x +4y
+ y 2+ 0 0
2 0 y - 3
0
 = 3
整理得- 3x -6y +2 3y2+x y =0
0 0 0 0 0
即(y - 3)(2 3y +x )=0
0 0 0
由y <0知x =-2 3y 联立x2-4y2-4=0
0 0 0 0 0
2
解得x = 6,y =- .
0 0 2
2
即所求Q点坐标为 6,-
2
 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分
19.(Ⅰ)由题意知3  =1+2+22=7， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
2
n  =1+2+21+⋯+2n-1=2n-1
2
6
3
 6 =
2
 ! 2
3  ! 2 ⋅3 
21-1 =
! 2
 22-1  23-1  24-1  25-1  26-1 
21-1  22-1  23-1  ⋅21-1  22-1  23-1 
24-1
=
 25-1  26-1 
21-1  22-1  23-1 
=1395． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
(Ⅱ)因为
n
k
 -n-1
q k
 n =
q
 ! q
k  ! q ⋅n-k 
n-1 -
! q
 ! q
k  ! q ⋅n-k-1  ! q
n-1 =  ! q ⋅n  q
k-1  ! q ⋅k  ⋅n-k q 
n-1 -
! q
 ! q ⋅n-k  q
k-1  ! q ⋅k  ⋅n-k q  ! q
n-1 =  ! q
k-1  ! q ⋅n-k 
n
! q
 q
k 
n-k -
q
 q
k 

q

=n-1
k-1

n
⋅
q
 -n-k
q

q
k 
=n-1
k-1
q

qn-k+qn-k+1+⋯+qn-k
⋅ =n-1
q 1+q+⋯+qk-1 k-1
 ⋅qn-k
q
所以n
k
 -n-1
q k
 =n-1
q k-1
 ⋅qn-k,即n
q k
 =n-1
q k
 +qn-kn-1
q k-1
 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
q
Ⅲ  由(Ⅱ)知n
k
 -n-1
q k
 =qn-kn-1
q k-1
 ，所以
q
n+1
k+1
 -n
q k+1
 =qn-kn
q k

q
n+2
k+1
 -n+1
q k+1
 =qn-k+1n+1
q k

q
n+3
k+1
 -n+2
q k+1
 =qn-k+2n+2
q k

q
⋯
n+m+1
k+1
 -n+m
q k+1
 =qn-k+mn+m
q k

q
将上述m+1个等式左右两边分别相加得
n+m+1
k+1
 -n
q k+1

m
= qn-k+in+i
q k
i=0
  ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分
q
·3·