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绝密★考试结束前
2025 学年第一学期浙南名校联盟十月联考
高三年级数学学科 试题
命题：永嘉中学 徐益洁 审题：永康一中 卢萍 苍南中学 林光传
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目的要求．
1．设m∈R，若 1+mi 1−i =2，则m=（ ）
A．−2 B．−1 C．1 D．2
2．已知双曲线C:4x2−y2=16，则双曲线的实轴长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．已知集合A= 1,3,a2 ,B={1,a+2}，若A∩B=B，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或−1 D．1或−1
4．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中
冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为
胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力F= sinα,cosα ,α∈R，作用于冰球，使冰
球从点A 1,2 移动到点B 4,6 ，则力F对冰 球所做的功的最大值为（ ）（动力
做的功W=F⋅ AB）
A． 5 B．3 C．4 D．5
5．函数y=1−sin x− π ,x∈ π ,2π 的图像与直线y=a（a为常数）的交点个数不可能为（ ）个
3 6
A．3 B．2 C．1 D．0
6．已知函数f x 的定义域为R,f x +f 2−x =0,f x+2 为偶函数，且f 2 =1，则f 2025 +f 2026 =（ ）
A．47 B．−1 C．1 D．2
7．在平面直角坐标系xoy中，圆C的标准方程为 x−4 2+y2=1，若直线l:y= 3 x+t,t∈R上至少存在一点，
4
使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则t的最大值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．− 2 B．− 1 C．− 1 D．−1
3 2 3
8．已知实数a,b,c满足1.5a+a=log b+b=sinc+c，则下列关系不可能成立的是（ ）
1.2
A．a0 的焦点F的直线l交C于A,B两点，其中M是AB的中点，点M到y轴
的最短距离为1 ,O为坐标原点，则下列命题正确的是（ ）
2
A．若直线l的方程为2x−2y−1=0，则M 3 ,1
2
B． AF + BF = AF ⋅ BF
C．点M的轨迹方程是y2=x− 1
2
D． AB 2=4 OM 2+3
11．已知三棱锥A−BCD,BC=2,AB⊥AC,DB⊥DC,∠ACB= π ,∠BCD= π，三棱锥A−BCD的外接球为球O，
3 4
则下列选项中正确的是（ ）
A．AB与CD可能垂直
B．AC与BD可能垂直
C．过棱AD作球O的截面，截面面积可能为π
8
D．二面角D−AC−B的余弦值可能为 3
3
三、填空题：本题共 3个小题，每小题 5分，共15分．
5
12．在二项式 1 −x 的展开式中，含x3项的系数为_____．
x
13．已知数列 a 满足a =1,a +a =2n，则a +a +a +⋯ +a =_____．
n 1 n n+1 1 2 3 2n−1
14．设a,b,c,d,e,f为数字1，2，3，4，5，6的一个排列，记三位数m=abc,n=def，其中
学科网（北京）股份有限公司abc=100a+10b+c，例321=100×3+10×2+1，则 m−n 的值大于400的概率为_____．
四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤．
15．（13分）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c+b
=
3sinC−sinA．
a sinC−sinB
（1）求角B的大小；
（2）若点D是BC的中点，且AD=2,AB=2 3，求△ABC的周长．
16．（15分）已知正项数列 a 满足a =99,a =a2+2a ．
n 1 n+1 n n
（1）求证： lg a +1 是等比数列
n
（2）设b = 1 ，记数列 b 的前n项和为S ，求证：S <2．
n n n n
lg an+1 −1
17．（15分）如图，四棱台ABCD−A B C D 的底面为菱形，AB=2,A B =1,BC的中点为E．
1 1 1 1 1 1
（1）证明：D E//平面ABB A ；
1 1 1
（2）若∠DAB= π，D D= 3，点D 在底面 ABCD 上的射影恰是 DE 的中点，求平面 BED 与平面
1 1 1
3
ABB A 所成角的余弦值．
1 1
学科网（北京）股份有限公司18．（17分）已知椭圆C: x2 + y2 =1 a>b>0 的离心率为 2，焦距为2 2．
a2 b2 2
（1）求椭圆C的方程；
（2）过圆O:x2+y2=6上一动点P x ,y 作椭圆的两条切线，切点分别为A,B．
0 0
（I）证明：PA⊥PB；
（II）求四边形PAOB面积的取值范围．
19．（17分）已知指数函数f x =ax a>0,且a≠1 ，原函数y=f x 的反函数可记作y=f−1 x ．
（1）当a=e时，证明：当x∈[1,+∞),f−1 x ≤ x − 1
2 2x
（2）当a>1时，求函数g x = x−1 f x 的极值点；
（3）当0
