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第十二讲 立体几何与特殊几何问题
✎立体几何之表面积：
相关公式在第11讲
例题1（2022国考）
一个圆柱体零件的高为1，其圆形底面上的内接正方形边长正好也为1。现将圆柱体零件切割4次，得
到棱长为1的正方体，则切去部分的总表面积为多少？
A．√2(π+2) B．2√2(π−2)
C．(√2+1)π+2 D．2√2π−2
【参考答案】C
【实战解析】
π
总表面积=2个圆形-2 个正方形+圆柱侧面+4个正方形，其中圆形的直径=√2，面积= ，周长=√2π，则圆柱
2
侧面积=√2π；正方形边长为1，面积=1；所以总面积=π-2+√2π+4=(√2+1)π+2， 答案为C选项。
例题2（2024福建）
一个白色圆柱体零件的底面半径是高的 1.5 倍，现将其表面涂上黑漆之后，沿下图所示虚线方向
切割为 4 个完全相同的部分。问单个部分的黑色面积是白色面积的多少倍？(π≈3.14)A．不到1.1倍 B．1.1～1.2倍之间
C．1.2～1.3倍之间 D．1.3倍以上
【参考答案】B
【实战解析】
将零件的半径设为3，则圆柱体的高为2.
黑色面积：白色面积=（半圆+半个侧面）：（半圆+矩形），注：此处不能直接约去半圆。
9π 9π
（ +3π）：（ +6）=7.5π：（4.5π+6）=15.7：13.4>1.1
2 2
答案为B选项。
✎立体几何之体积：
相关公式在第11讲
例题3（2021辽宁）
如下图 1 所示，在一个金字塔造型（底面为正方形，侧面为四个全等的等腰三角形）的铸造件内部挖
空一个圆柱。现沿铸造件顶点A且垂直底面的方向切开，切开后的截面如下图2所示，已知DE、GF为圆柱
的高，BC＝4√2分米，DE＝2分米，AO＝4分米，那么挖后铸造件的体积是多少？128
A．128−4π立方分米 B． −4π立方分米
3
64
C． −4π立方分米 D．64−4π立方分米
3
【参考答案】B
【实战解析】
根据侧视图可知切割是沿着平行于底边的方向，而不是沿着对角线切割。
铸造件体积=椎体体积-圆柱体积
底面积×高 32×4 128
椎体体积= = = ，圆柱体积=底面积×高=2π×2=4π
3 3 3
128
铸造件体积= - 4π 答案为B选项
3
例题4（2023湖北）
下图所示是一种帐篷屋顶的示意图，底面是一个长4米宽3米的
长方形，屋顶高1米，上棱长2米且平行于底面，那么该帐篷屋顶的
体积是多少？
A．5立方米 B．11立方米
C．12立方米 D．24立方米
【参考答案】A
【实战解析】
3×1
解法一：将屋顶补全后，完整的三棱柱体积=底面积×高= ×4=6，现在题干挖去一块，则体积<6,只有A
2
选项满足。3×1 2×3×1
解法二：屋顶体积=小三棱柱体积+四棱锥体积= ×2+ =3+2=5，答案为A选项。
2 3
✎等比放缩：
长度比=1：n
面积比=1：n2
体积比=1：n3
例题5（2020新疆）
某演播大厅的地面形状是边长为100米的正三角形，现要用边长为2米的正三角形砖铺满（如图所示）。
问，需要用多少块砖？A．2763 B．2500
C．2340 D．2300
【参考答案】B
【实战解析】
长度比=1：50，面积比=1：2500，故需要2500块砖,答案为B选项。
例题6（2023安徽）
某餐馆承诺 25 分钟内上齐一桌菜，若超时则未上的菜品免单。每张餐桌上都有
一个装满后正好25分钟漏完的圆锥形沙漏（如下图所示）。某位顾客在等待的过程中
发现沙漏内上方沙子的高度为原先的一半，此时还差一道菜未上，则再过多久还未上
菜，这位顾客将享受免单服务？
A．不到3分钟 B．3～4分钟之间
C．4～5分钟之间 D．超过6分钟
【参考答案】B
【实战解析】
沙漏上方沙子高度与整个沙漏高比为1：2，则剩余圆锥体积：整个圆锥体积=1：23 =1：8，整个沙漏需要
1 25
25分钟漏完，现在还剩下 ，所以还需要 =3.125分钟，答案为B选项。
8 8
例题7（2022安徽）
商家门口摆放了一把正四棱锥形（底面为正方形，侧面为四个全等的等腰三角形）的遮阳伞，第一次
伞撑开到图1所示的位置，伞柄与伞骨成角∠CPQ为30°，继续撑开到如图2所示的位置，伞柄与伞骨成角
∠C′PQ′变为60°，那么第二次伞撑开后形成的正方形A′B′C′D′是第一次撑开后正方形ABCD面积的多少倍？A．3√2倍 B．√3倍
C．2倍 D．3倍
【参考答案】D
【实战解析】
设PC=2，当∠CPQ=30°时，根据三角形勾股定理，CQ=1，当∠CPQ=60°时，CQ=√3，所以前后边长之比为
1：√3，则面积之比为1：3，答案为D选项。
例题8（2021国考）
一个人工湖的湖面上有一个露出水面 3 米的圆锥体人工景观（底面朝下）。如人工湖水深减少 20%，则
该景观露出水面部分的体积将增加61/64。问原来的人工湖水深为多少米？
A．3.5 B．3.75
C．4.25 D．4.5
【参考答案】B
【实战解析】
61 125 5
增加 ，则前后圆锥体积之比为1： ，所以前后圆锥高之比为1： ，之前圆锥高为3m，则现在圆锥高增
64 64 4
1 3 3
加了3× = 𝑚，所以人工湖原先深度= ÷20%=0.75×5=3.75m，答案为B选项。
4 4 4✎几何最值：
矩形的周长一定，正方形面积最大
矩形的面积一定，正方形的周长最短
面积一定，越接近球，体积越大
体积一定，越接近球，面积越小
例题9（2024联考）
某公园绿化管理部门采购 100 片围栏，每片长 1 米且不可弯折。现拆分拟围成 5 块周长相等且互不相
邻的矩形花卉区域。若不考虑拼接间隙，那么这5块区域的最大与最小面积最多可相差多少平方米？
A．10 B．12
C．16 D．25
【参考答案】C
【实战解析】
100片围栏分成平均五块，则每块20片围栏，周长相同，越接近正方形，面积越大，否则面积越小。
则最大面积对应边长为5的正方形，面积=25
最小面积对应边长为1和9的矩形，面积=9，所以面积差=25-9=16，答案为C选项。
例题10（2023安徽）
某村拟建造一个容积为 144 立方米，深度为 4 米的长方体无盖蓄水池。为节约成本，侧面积最小为多
少平方米？
A．24 B．36
C．96 D．132
【参考答案】C
【实战解析】
144
体积=144，深度为4，则底面积= =36平方米，侧面积最小，则对应底面周长最短，根据面积相同时，越
4
接近正方形周长越短推知，底面应为正方形，且边长为6m，则侧面积=6×4×4=96平方米，答案为C选项。
例题11（2018四川）在美化城市活动中，某街道工作人员想借助如图所示的直角墙角，用28米长的篱笆围成一个矩形花园
ABCD，篱笆只围AB、BC两边。图中的P为一棵直径为1米的树，其与墙CD、AD的最短距离分别是14米和
5米，若要将这棵树围在花园内，则花园的最大面积为多少平方米？
A．187 B．192
C．195 D．196
【参考答案】C
【实战解析】
题干中说要将树围在花园中，所以需要考虑树的直径为 1m，则围栏 CB 最短=14+1=15m，AB 最短=5+1=6m，
篱笆共有 28m 长，要使花园面积最大，则需要接近正方形，但又因为 CB≥15m，则 CB=15m，AB=13m，则面
积=15×13=195平方米，答案为C选项。
✎最短路径：例题12（2023北京）
一个半径为120米的圆形人工湖正中有一个半径为60 米的圆形人工岛。甲从岛的正北岸边出发，以1
米/秒的速度匀速划船前往湖的正南岸边，则最少需要多长时间？
A．不到3分45秒 B．3分45秒～4分之间
C．4分～4分15秒之间 D．超过4分15秒
【参考答案】B
【实战解析】
过乙作圆的切线可得图中所示直角三角形，且知斜边=120m，一直角边=60m，可推知直角三角形为30°，60°
1
直角三角形，则甲沿圆形人工岛走过了120°，对应长度=120π× =40πm，接着走了一个切线长度=60√3m，
3
时间=
40π+60√3
>40×3.1+60×1.7=124+102=226=180+46=3分钟+46秒，答案为B选项
1
例题13（2023湖北）
A、B两村在一条笔直公路的同侧，到公路的垂直距离分别是3公里和7公里，两村相距8.5公里，现需在公路边建一个物资集散中心，为节约物资配送成本，集散中心到两个村的直线路程之和应尽可能小，
若货车的速度约为 60 公里/小时，那么货车从集散中心出发，到两村送货后返回中心，路途所花费的最少
时间为多少？
A．18分钟 B．21分钟
C．24分钟 D．27分钟
【参考答案】B
【实战解析】
AB=8.5KM,BM’=4KM,根据勾股数8 15 17可求得AM’=7.5KM,，BM=7+3=10KM,A’M=AM’=7.5KM,所以根据勾
12.5+8.5
股数3 4 5，A’B=12.5km，则时间= ×60=21分钟，答案为B选项。
60
例题14（2022安徽）
A、B两个乡镇分布于山谷两侧，山谷间有一条宽为2km的河道（如下图所示）。当地政府决定在两个乡
镇间修建一条跨河公路促进旅游发展。由于架桥费用高昂，所以要求跨河公路中的桥梁路段长度最短。那
么根据图中数据，从A镇前往B镇的最短距离为多少？A．17km B．15km
C．19km D．20km
【参考答案】B
【实战解析】
先将河道抽掉，将B上移，再把河道放回来，将B下移
将河道抽离后，根据勾股数5 12 13可求得AB=13KM,再将河道（2km）放回来，则总长度=13+2=15km，答案
为B选项。
