文档内容
河南省三⻔峡市 学年⾼三上学期第⼀次⼤练习数学试题
2024-2025
2025年1⽉14⽇
注意事项：
1.答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、考⽣号填写在试卷和答题卡上，并将考⽣号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置．
2.选择题答案使⽤2B铅笔填涂，如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号；⾮选择
题答案使⽤0.5毫⽶的⿊⾊墨⽔签字笔书写，字体⼯整、笔迹清楚．
3.请按照题号在各题的答题区域（⿊⾊线框）内作答，超出答题区域书写的答案⽆效．
4.考试结束后，将答题卡交回．
第I卷（选择题 共58分）
⼀、单选题：本题共8⼩题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有⼀项是符合
题⽬要求的.
1.已知集合 ，则
A. B. C. D.
2.在复平⾯内，复数 满⾜ ，则复数 对应的点的坐标是
A. B. C. D.
3.对两组数据x，y和v，u分别进⾏回归分析，得到散点图如图，并求得线性回归⽅程分别是 和
，并对变量x，y进⾏线性相关检验，得到相关系数 ，对变量v，u进⾏线性相关检验，得到
相关系数 ，则下列判断正确的是
A. B. C. D.
4.⾃“ChatGPT”横空出世，全球科技企业报起⼀场研发AI⼤模型的热潮，随着AI算⼒等硬件底座逐步搭建
完善，AI⼤规模应⽤成为可能，尤其在图⽂创意，虚拟数字⼈以及⼯业软件领域已出现较为成熟的落地应
⽤.Sigmoid函数和Tanh函数是研究⼈⼯智能被⼴泛使⽤的2种⽤作神经⽹络的激活函数，Tanh函数的解析
式为 ，经过某次测试得知 ，则当把变量减半时，
学科⽹（北京）股份有限公司A. B. C. D.
5.若向量 ，则“ ”是“ ”的
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知点P、Q在直线 上，且P、Q到坐标原点的距离均不⼤于1，则 的最⼤值为
A. B. C. D.
7.已知数列 的前 项和 ，⾸项 ，且满⾜ ，则 的值为
A.4093 B.4094 C.4095 D.4096
8.在棱⻓为1的正⽅体 中，E，F，G分别为棱 的中点，动点 在平⾯EFG
内，且 .则下列说法正确的是
A.存在点 ，使得直线DH与直线FG相交 B.存在点 ，使得直线 平⾯EFG
C.直线 与平⾯EFG所成⻆的⼤⼩为 D.平⾯EFG被正⽅体所截得的截⾯⾯积为
⼆、多选题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的四个选项中，有多项符合
题⽬要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.下列命题中，真命题的是
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
10.已知 的部分图象如图所示，则
学科⽹（北京）股份有限公司A. 的最⼩正周期为 B. 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到
C. 在 内有3个极值点 D. 在区间 上的最⼤值为
11.如图所示的钟表中，时针初始指向“12”，每次掷⼀枚均匀的硬币，若出现正⾯则时针按顺时针⽅向旋转
，若出现反⾯则时针按逆时针⽅向旋转 ，⽤ 表示 次后时针指向的数字，则
A. B. C. D.
第II卷（⾮选择题 共92分）
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12.若直线 与双曲线 只有⼀个公共点，则 的⼀个取值为______.
13.寒假期间，⼩明和爷爷、奶奶、爸爸、妈妈五⼈⾃驾⼀辆七座（含司机座位）商务⻋出去游玩，其中爸
爸、妈妈会开⻋，⼩明不能坐副驾，则不同的坐法种数为______（⽤数字作答）
14.已知函数 的极⼩值点为 ，若点 在直线 的上⽅，则实
数 的取值范围是______.
四、解答题：本题共5⼩题，共77分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本⼩题满分13分）已知 的内⻆A，B，C的对边分别为 ，且
，
（1）求 的⼤⼩；
学科⽹（北京）股份有限公司（2）若 ，求 的⾯积.
16.（本⼩题满分15分）如图，在直三棱柱 中， 为 的中
点.
（1）证明： 平⾯ ；
（2）若⼆⾯⻆ 的余弦值为 ，求点 到平⾯BCD的距离.
17.（本⼩题满分15分）已知函数 .
（I）求曲线 在点 处的切线⽅程；
（II）求函数 在区间 上的最⼤值和最⼩值.
18.（本⼩题满分17分）已知A，B是椭圆 的左，右顶点，点 与椭圆上的点
的距离的最⼩值为1.
（1）求点 的坐标.
（2）过点 作直线 交椭圆 于C，D两点（与A，B不重合），连接AC，BD交于点 .
（i）证明：点 在定直线上；
（ii）是否存在点 使得 ，若存在，求出直线 的斜率；若不存在，请说明理由.
19.（本⼩题满分17分） 表示正整数a，b的最⼤公约数，若
，且 ，则将 的最⼤值记为 ，例如： ，
（1）求 ；
（2）已知 时， .
（i）求 ；
学科⽹（北京）股份有限公司（ii）设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
学科⽹（北京）股份有限公司学年度⾼三第⼀次⼤练习数学 参考答案
2024—2025 —
⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D B C D A C
⼆、多选题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，
有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 BC ABD AC
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. （或 ，答案不唯⼀） 13.600 14.
四、解答题：本题共5⼩题，共77分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本⼩题满分13分）【解析】（1） ，可得
⼜
（2）由正弦定理得， ，
由余弦定理， ，可得， ，
联⽴⽅程组整理得， ，所以 或 （舍）.
16.（本⼩题满分15分）【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质可知 ，四边形
为平⾏四边形，
⼜因为 ，所以四边形 为正⽅形，所以 ，
因为 ，
所以 平⾯ ，
所以 ，
学科⽹（北京）股份有限公司因为 ，
所以 ，
⼜因为 平⾯
所以 平⾯ .
（2）以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，
设 ，则 ，
所以 ，
所以平⾯ABC的⼀个法向量为 ，
设平⾯BCD的⼀个法向量为 ，
则 ，所以 ，
取 ，则 ，
所以 ，
设⼆⾯⻆ 的⼤⼩为 ，
则 ，解得 ，
学科⽹（北京）股份有限公司所以 ，平⾯BCD的⼀个法向量 ，
设点 到平⾯BCD的距离为 ，
则 ，
所以点 到平⾯BCD的距离为 .
17.（本⼩题满分15分）【解析】（I）因为 ，所以
.
⼜因为 ，所以曲线在点 处的切线⽅程为 .
（II）设 ，则 .
当 时， ，
所以 在区间 上单调递减.
所以对任意 有 ，即 .
所以函数 在区间 上单调递减.
因此 在区间 上的最⼤值为 ，最⼩值为 .
18.（本⼩题满分17分）【解析】（1）设是椭圆上⼀点，则 ，
因为 ，
①若 ，解得 （舍去），
②若 ，解得 （舍去）或 ，
学科⽹（北京）股份有限公司所以 点的坐标位 .
（2）（i）设直线 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，①
由 ，得 或 ，
易知直线AC的⽅程为，②
直线BD的⽅程为 ，③
联⽴②③，消去 ，得 ，④
联⽴①④，消去 ，则 ，
解得 ，即点 在直线 上；
（ii）由图可知， ，即 ，所以点 在以AB为直径的圆上，
设 ，则 ，所以 ，即 .
故直线AC的⽅程为 ，
直线AC的⽅程与椭圆⽅程联⽴，得 ，因为 ，
所以 ，所以 ，故 .
学科⽹（北京）股份有限公司19.（本⼩题满分13分）【解析】（1）依题可得 表示所有不超过正整数m，且与m互质的正整数的个
数，
因为与2互质的数为1，所以 ；
因为与3互质的数为1，2，所以 ；
因为与6互质的数为1，5，所以 ．
（2）（i）因为 中与 互质的正整数只有奇数，
所以 中与 互质的正整数个数为 ，所以 ，
⼜因为 中与 互质的正整数只有 与 两个，
所以 中与 互质的正整数个数为 ，
所以 ，所以 ，
（ii）解法⼀：因为 ，
所以 ，所以 ，
令 ，因为 ，
所以数列 是以 为⾸项， 为公⽐的等⽐数列，
所以数列 的前n项和 ，
所以 ，
⼜因为 ，所以 ，
解法⼆：因为 ，所以 ，
学科⽹（北京）股份有限公司⼜因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以
因为 ，所以 ，
学科⽹（北京）股份有限公司
