浙江省北斗星盟 2025 届高三下学期模拟考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|0<√x<2}，B={x∈Z||x|≤2}，则A∩B=( )
A. {1,2} B. {0,1,2} C. {−1,0,1,2} D. {−2,−1,0,1,2}
2
2.若复数z满足2z+z= ，则z=( )
1+i
1 1 1 1
A. −1+ i B. −i C. 1− i D. − +i
3 3 3 3
3.已知单位向量 ， 满足 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ，则向量 在向量 上的投影向量为( )
⃗a ⃗b
|a+b|=2|a−b|
⃗a ⃗b
1⃗ 2⃗ 1⃗ 3⃗
A. b B. b C. b D. b
3 5 2 5
4.“ ”是“函数 的值域为 ”的( )
a=2 f(x)=ln(x2−ax+1) R
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若坐标原点O关于动直线l:mx−y−m+1=0(m∈R)的对称点为A，则点A的轨迹为( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
π
6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )和函数g(x)=2cos(ωx+φ)的图象上相邻的四个交点构
2
√2
成的四边形的面积为 ，且f(1)=g(1)，则( )
2
π π
A. ω=4π，φ= B. ω=4π，φ=
4 3
π π
C. ω=8π，φ= D. ω=8π，φ=
4 3
7.已知函数 满足 ，且对 ， 1 ，则满足 n 的正整数 的
f(x) f(1)=2 ∀x∈R f(x+1)=1− ∑f(i)≤1015 n
f(x)
i=1
最大值为( )
A. 2026 B. 2027 C. 2028 D. 2029
8.在平面直角坐标系 中，已知曲线 ，若点 为曲线 上的动点，则 的
xOy C:(x2+ y2 ) 2=2x2−2y2 P C |OP|
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1 1最大值为( )
√2
A. B. √2 C. 2 D. 2√2
2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在足球训练课上，A，B两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮比赛中，两人各
罚点球一次，射中得1分，射不中得0分.已知A，B每次点球命中的概率分别为P ，P ，
A B
(P ,P ∈(0,1))，
A B
若5轮比赛后A，B的总得分分别为X ，X ，则下列结论正确的是( )
A B
A. 若E(X )<E(X )，则P <P
A B A B
B. P(X =X =3)≠P(X :X =2:3)
A B A B
1
C. 若0<P <P < ，则D(X )<D(X )
A B 2 A B
1 1
D. 若当且仅当k=2时，P(X =k)(k=0,1,2,⋯5)取得最大值，则 <P <
A 3 A 2
10.已知椭圆 x2 y2 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，且 ，
C: + =1(a>b>0) F F A |AF |=|F F |=2
a2 b2 1 2 1 1 2
18
P为C上位于第一象限内的点，且|PF |⋅|PF |= ，∠F PF 的内角平分线交x轴于点M，则下列
1 2 5 1 2
结论正确的是( )
1 3
A. 椭圆C的离心率e= B. cos∠F PF =
2 1 2 5
C. 的内切圆半径为√5 D. |F M| 2
△PF F 1 =
1 2 5 |PF | 3
1
11.如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等腰直角三角形，底面ABCD为矩形，AB⊥PD，
PA=PD=√2，若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为O ，其外接球球心为O ，则下列结论正确的
1 2
是( )
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2 1A. 平面PAD⊥平面ABCD
B. 四棱锥P−ABCD的内切球半径为√2−1
2√2
C. 四棱锥P−ABCD的体积为
3
D.
O O2=4−2√2
1 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数 { ex−a,x>0, 为奇函数，则 ．
f(x)= a+b=
be−x−2,x<0
π α 1
13.已知α，β∈(0, )，且满足sinαtanβ=2cos2 ，则tan(α+β)=− ，则sin2β= ．
2 2 2
14.人工智能(Artificial Intelligence)，英文缩写为AI.是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是
研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学.某商场在有奖
销售的抽奖环节时，采用AI技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成
数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖;如果
奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率
为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=2，PD=AB=4，M，N
为别为棱PB，CD的中点．
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3 1(1)证明：MN//平面PAD;
(2)求平面PMN与平面AMN的夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知函数 ．
f(x)=a(x−1)ex−2x
(1)若曲线y=f(x)在x=−1处的切线过点(0,−3)，求实数a的值;
1 2
(2)当 <a< 时，证明：f(x)>−3．
e2 e
17.(本小题15分)
3π
如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=2，BD=2√2，∠AOB= ，且△AOD和
4
△BOC的外接圆半径相等．
(1)若AB=2，求OA的长;
(2)若sin2∠DAO+sin∠OBC=1，求∠BCO．
18.(本小题17分)
x2 y2
已知双曲线E: − =1(a>0,b>0)，且四点A(√3,2)，B(2,√6)，C(2,−√6)，D(3,2)中恰有三点
a2 b2
在E上．
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4 1(1)求双曲线E的标准方程;
(2)如图，P，Q，R分别为双曲线E上位于第一、二、四象限的点，过坐标原点O分别作直线PQ，PR的
垂线，垂足分别为M，N，且|OM|=|ON|=√2．
(ⅰ)证明：Q，O，R三点共线;
(ⅱ)求△PQR面积的最小值．
19.(本小题17分)
已知数列{b }的前n项和为S ，且b =1，2S =nb ，当数列{b }的项数大于2时，将数列{b }中各项的
n n 1 n n+1 n n
所有不同排列填入一个n!行n列的表格中(每个格中一个数字)，使每一行均为这n个数的一个排列.将第
i(1≤i≤n!,i∈N)行的数字构成的数列记作{a }，将数列{a }中的第j(1≤ j≤n, j∈N)项记作a .若对
in in ij
∀i，j，均有a ≠b ，则称数列{a }为数列{b }的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为M．
ij j in n
(1)求数列{b }的通项公式b ;
n n
(2)当数列{b }的项数为4时，求M的值;
n
n
若数列 为数列 的“异位数列”，试讨论 的最小值．
(3) {a } {b } ∑|a −b |
in n ij j
j=1
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5 1参考答案
1.A
2.B
3.D
4.A
5.A
6.C
7.C
8.B
9.ACD
10.AC
11.ABD
12.−3
4
13.
5
80
14.
243
15.(1)证明：取AB中点E，连接ME，NE，
因为底面ABCD为矩形，N为CD的中点，所以EN//AD，
因为M为PB中点，所以ME//PA，
因为EN∩ME=E，EN、ME⊂平面MEN，
所以平面MEN//平面PAD，
因为MN⊂平面MEN，
所以MN//平面PAD．
(2)解：由题，直线DA，DC，DP两两垂直，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，
z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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6 1则D(0,0,0)，A(2,0,0)，P(0,0,4)，M(1,2,2)，N(0,2,0)，
⃗
设平面PMN的一个法向量为m=(x,y,z) ，
{⃗ ⃗
m⋅PM=0 {x+2y−2z=0
则 ，即 ，令y=2，得x=−2，z=1，
⃗ ⃗ 2y−4z=0
m⋅PN=0
⃗
所以m=(−2,2,1) ．
⃗
同理可得平面AMN的一个法向量为n=(2,2,−1) ，
⃗ ⃗
⃗ |m⋅n| |−4+4−1| 1
|cos<⃗m，n>|= = = ，
⃗ ⃗ 3×3 9
|m|⋅|n|
1
所以平面PMN与平面DMN的夹角的余弦值为 .
9
a 2a
16.解：(1)函数f(x)的定义域为R，f ′(x)=axex−2，所以f ′(−1)=− −2，又f(−1)=−( −2)，
e e
2a a
所以线f(x)在x=−1处的切线方程为y+ −2=(−2− )(x+1)，
e e
3a
将点(0,−3)代入得 =3，解得a=e．
e
证明： ，设 ，则 ，
(2) f ′(x)=axex−2 g(x)=axex−2 g′(x)=a(1+x)ex
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7 11 2
因为 <a< ，所以当x∈(−∞,−1)时，g′(x)<0，g(x)即f ′(x)单调递减;
e2 e
当x∈(−1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)即f ′(x)单调递增：
2
当x<0时，f ′(x)<0，f ′(0)=−2<0，f ′(1)=ae−2< ×e−2=0，
e
1
f ′(2)=2ae2−2>2× ×e2−2=0，
e2
2
所以存在唯一的x ∈(1,2)，使得f ′(x )=0，即ex 0= ，
0 0 ax
0
且当x∈(−∞,x )时，f ′(x )<0，f(x)单调递减;当x∈(x +∞)时，f ′(x )>0，f(x)单调递增;
0 0 0 0
1 2
所以当 <a< 时，函数f(x)在x=x 处取得极小值，即为最小值，所以
e2 e 0
1
f(x)≥f(x )=a(x −1)ex 0−2x =2−2(x + )，
0 0 0 0 x
0
1 5 1
因为x ∈(1,2)，所以x + ∈(2, )，所以−3<2−2(x + )<−2，所以f(x)>−3，得证．
0 0 x 2 0 x
0 0
π
17.解：(1)由题，∠BOC=∠AOD= ，
4
因为△AOD和△BOC的外接圆半径相等，
BC AD
由正弦定理得 = ，所以BC=AD，
sin∠BOC sin∠AOD
设OC=x(0<x<2)，OD= y(0<y<2√2)，则AO=2−x，OB=2√2−y，
在△AOD中，由余弦定理得：AD2=AO2+OD2−2AO⋅ODcos∠AOD，
√2
即AD2=(2−x) 2+ y2−2(2−x)y× ，
2
在△BOC中，由余弦定理得：BC2=OC2+OB2−2OC⋅OBcos∠BOC，
√2
即BC2=x2+(2√2−y) 2−2x(2√2−y)× ，
2
√2 √2
所以(2−x) 2+ y2−2(2−x)y× =x2+(2√2−y) 2−2x(2√2−y)× ，
2 2
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8 1解得y=√2，即OB=OD=√2，
在△AOB中，由余弦定理得：AB2=OA2+OB2−2OA⋅OBcos∠AOB，
√2
即4=OA2+2+2×√2×OA× ，解得OA=√3−1或OA=−√3−1<0(舍)，
2
所以OA=√3−1．
BC √2
BC BO =
(2)在△BOC中，由正弦定理得： = ，即√2 sin∠BCO，
sin∠BOC sin∠BCO
2
AD √2
AD OD =
在△AOD中，由正弦定理得： = ，即 √2 sin∠DAO，
sin∠AOD sin∠DAO
2
因为AD=BC，所以sin∠BCO=sin∠DAO，所以∠BCO=∠DAO，或∠BCO+∠DAO=π，
若∠BCO=∠DAO，则△COB≌△AOD，此时|OA|=|OC|=1，
√2
BC2=OC2+OB2−2OC⋅OBcos∠BOC=1+2−2×1×√2× =1，
2
π π
易得∠OBC= ，∠BCO=∠DAO= ，sin2∠DAO+sin∠OBC=1不成立，
4 2
π
所以∠BCO+∠DAO=π，故∠DAO=∠OBC+ ，
4
π
sin2∠DAO+sin∠OBC=sin2(∠OBC+ )+sin∠OBC=cos2∠OBC+sin∠OBC=1−2sin2∠OBC+sin∠OBC=1
4
1 3π π
解得sin∠OBC=0(舍)或sin∠OBC= ，因为0<∠OBC< ，所以∠OBC= ，
2 4 6
π π 7π
故∠BCO=π−∠BOC−∠OBC=π− − = ．
4 6 12
18.解：(1)由题，点A(√3,2)，B(2,√6)，C(2,−√6)，D(3,2)中恰有三点在E上，
根据双曲线的对称性，点B(2,√6)，C(2,−√6)都在双曲线上，
又在第一象限内，双曲线的图象是“上升的”，所以点D(3,2)不在双曲线E上，
所以点A(√3,2)，B(2,√6)，C(2,−√6)为双曲线上的点，
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9 13 4
{ − =1,
代入
x2
−
y2
=1 得
a2 b2
，解得 a2=1 ， b2=2 ，
a2 b2 4 6
− =1
a2 b2
y2
所以E的标准方程为E:x2− =1．
2
(2)(i)证明：由题可知直线PQ的斜率存在，设PQ:y=kx+m，
则 |m| ，故 ，
|OM|= =√2 m2=2+2k2
√1+k2
y2
把y=kx+m代入E:x2− =1得：(k2−2)x2+2kmx+m2+2=0，
2
由题知Δ>0，设P(x ,y )，Q(x ,y )，
1 1 2 2
则 −2km， m2+2，
x +x = x x =
1 2 k2−2 1 2 k2−2
则
y y =(kx +m)(kx +m)=k2x x +km(x +x )+m2
1 2 1 2 1 2 1 2
k2m2+2k2 2k2m2 2k2−2m2，
= − +m2=
k2−2 k2−2 k2−2
所以 ⃗ ⃗ 2k2−m2+2 ，所以 ，
OP⋅OQ=x x + y y = =0 OQ⊥OP
1 2 1 2 k2−2
同理可得OP⊥∨¿，所以Q，O，R三点共线．
(ii)因为OP⊥∨¿，OM⊥PQ，所以△OMQ∽△PMO，
|PM| |OM|
所以 = ，所以|PM|·|QM|=|OM|2=2，
|OM| |QM|
由 知， ，
(i) S =2S =|PQ|⋅|OM|=√2|PQ|
△PQR △PQO
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10 1又|PQ|=|PM|+|QM|≥2√|PM|⋅|QM|=2√2，当且仅当|PM|=|QM|=√2时等号成立，
所以， ，
S =√2|PQ|⩾√2×2√2=4
△PQR
所以△PQR面积的最小值为4．
19.解：(1)由题b =1，2b =b ，解得b =2，
1 1 2 2
由2S =nb 得2S =(n+1)b ，
n n+1 n+1 n+2
两式作差得 ，即b n+2，
2b =(n+1)b −nb n+2=
n+1 n+2 n+1 b n+1
n+1
所以b 3，b 4，b 5， ， b n ，
3= 4= 5= ⋯⋯ n = (n≥3)
b 2 b 3 b 4 b n−1
2 3 4 n−1
累乘得：b n，即 ，
n= b =n(n≥3)
b 2 n
2
因为b =1，b =2符合上式，
1 2
所以b =n．
n
(2)由(1)知，b =n，所以b = j(1⩽j⩽n, j∈N)，
n j
当数列{b }的项数为4时，可知b =1，b =2，b =3，b =4，
n 1 2 3 4
若数列{a }为数列{b }的“异位数列”，则：
in n
当a =2时，a =1，a =4，a =3;或a =3，a =4，a =1;或a =4，a =1，a =2共3种情况．
i1 i2 i3 i4 i2 i3 i4 i2 i3 i4
同理当a =3或a =4时，对应的排列各有3种情况，
i1 i1
所以M=9．
(3)因为数列{a }为数列{b }的“异位数列”，所以a ≠b (1≤i≤n!,1≤ j≤n,i, j∈N)，
in n ij j
n
即 ，所以 ，所以 ，
a ≠ j |a −b |=|a − j|≥1 ∑|a −b |≥n
ij ij j ij ij j
j=1
n
当 ， 时，若对任意的 ，都有 ， 取等号，
n=2k k∈N∗ j |a − j|=1 ∑|a −b |≥n
ij ij j
j=1
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11 1此时 ， ， ， ， ，
a =2 a =1 ⋯ a =n a =n−1
i1 i2 i(n−1) in
n
所以当 ， 时， 的最小值为 ，
n=2k k∈N∗ ∑|a −b | n
ij j
j=1
n
当 ， 时， 的不可能取到等号，
n=2k+1 k∈N∗ ∑|a −b |≥n
ij j
j=1
因为存在j，使得|a − j|≥2，
ij
将1，2，3，⋯⋯，n分为k组，不妨为{1,2}，{3,4}，⋯⋯，{2k−3,2k−2}，{2k−1,2k,2k+1}时，
n 可以取到等号，
∑|a −b |≥n+1
ij j
j=1
此时 ， ， ， ， ， ， ，
a =2 a =1 ⋯ a =2k−2 a =2k−1 a =2k a =2k+1
i1 i2 i(2k−3) i(2k−2) i(2k−1) i(2k)
，
a =2k−1
i(2k+1)
n
此时 ，
∑|a −b |=2(k−1)+1+1+2=2k+2=n+1
ij j
j=1
n
所以当 ， 时， 的最小值为 ，
n=2k+1 k∈N∗ ∑|a −b | n+1
ij j
j=1
n n
综上，当 为偶数时， 的最小值为 当 为奇数时， 的最小值为 ．
n ∑|a −b | n; n ∑|a −b | n+1
ij j ij j
j=1 j=1
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12 1
