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2024—2025 学年度第二学期高三第五次月考答案
数 学
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C A C C B
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 ABD ACD BC
【选择题解析】
1． ，故选B.
2． ，故选A.
3．因为 的通项公式为 ，
所以 的展开式中 的项为
，故所求系数为432，故选D.
4． . 故选C.
5．由题意函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称知，
函数 是函数 的反函数，所以 ，即 ，
故选A.
6．由题意，方斗的示意图如下：设棱台上底面中心为 ，下底面中心为 ，
由棱台的性质可知，外接球的球心 落在线段 上，
由题意该四棱台上下底面边长分别为4√2和2√2，
侧棱长为 ，则 4， 2， ，
高三数学第五次月考题参考答案 第1页 （共9页）
学科网（北京）股份有限公司所以 4，
设外接球的半径为R， ，则 4−h，
因为 垂直于上下底面，所以 ，即 22
7 49 65
又 ，即 (4−h) 2 +42 =R2，联立解得h= 2 ，R2 = 4 +4= 4 ，
所以该米斗的外接球的表面积为 65π. 故选C.
7，将5名同学按 和 分组分别有 种和 种分法，
再将含有同学甲的一组安排到B、C服务点，最后安排另两组，安排方法有 种，
所以不同的安排方法共有 （种）. 故选C.
8．∵定义在 上的奇函数 满足 ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
即 ，记 ， 在 上单调递增．
∵ ，
∴ 是偶函数．
∴ 在 上单调递减，
且 ．
如图所示，画出 ， 大致图象．
由图可得， 有3个零点．故选B.
9．对于A： 在 上是增函数，故A正确；
对于B：若 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，故B正确；
对于C：由于不确定 的符号，故无法判断，故C错误；
对于D：若 ，则 ，所以 ，故D正确. 故选ABD.
10．对于 ，由 ，得 ，
由于 ，所以 ，故 为锐角，所以只有一组解， 正确；
对于 ，同理，由 ，可得 ，
由于 ，所以 ， 有两个解，则相应的 有两个解， 错误；
对于 ，由 ，
得 ．
高三数学第五次月考题参考答案 第2页 （共9页）
学科网（北京）股份有限公司故 ，当且仅当 时取等号，此时三角形周长最大，最大值为 ，
此时三角形为等边三角形，故 正确；
对于 ，由 推导过程知得 ，
即 ，当且仅当 时取等号，此时三角形 面积最大，最大值为
，故 正确，故选：ACD．
11．如图，令 中点为 中点为 ，连接MN，
又正方体 中， 为棱 的中点，
可得 ，
平面 平面 ，
又 ，且 平面
∴平面 平面 ，
又 平面 ，且 平面 平面 ，
又 为正方形 内一个动点（包括边界）， 平面 平面 ，
而 平面 平面 ， 的轨迹为线段 ，
对A，F的轨迹长度MN= ，所以选项A错误的。
对B，将平面 和平面 展开到一个平面内，
的最小值即 点和 点连线的距离，
由题意易得 ，所以 与 全等，
从而 取最短距离时， 是 的中点，且 ，
又 ，所以 ，所以 ，故选项B正确；
对C，由正方体侧棱 底面 ，
所以三棱锥 的体积
即三棱锥 的体积，
所以 的面积最小时，体积 最小，如图，
，易得 在 处时 面积最小，
此时 ， ，
所以体积 的最小值为 ，故选项C正确；
对D，直线 与平面ABCD所成的角为 ，故选项D错误；故选BC.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
高三数学第五次月考题参考答案 第3页 （共9页）
学科网（北京）股份有限公司12． 13． 14．9
【解析】
12．根据导数的几何意义， ，当 时， ，所以切线的斜率是
2，切线与直线垂直，所以直线的斜率， 解得：
13．由题设及图知 ，且 ， ，
所以 ，
则 ，
所以 ，即 ，
可得 （负值舍）. 故答案为：
14．因为 ，所以 ，又 三点共
线，
所以 ，所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立. 故答案为：9.
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．解：
（1）令 ，则 ， … … … … （ 1
分）
因为数列 为等比数列，所以公比 , … … … … （ 2
分）
所以 ，即 … … … … （ 4
分）
… … … … （ 6
分）
（2）由（1）可知 … … … … （ 7
分）
高三数学第五次月考题参考答案 第4页 （共9页）
学科网（北京）股份有限公司所以 … … … … （ 9
分）
所以 … … … … （ 11
分）
… … … … （ 12
分）
因为 ，所以 的取值集合为 … … … … （ 13
分）
16．解：
（1）依题意， ，
…………（3分）
所以 ，
故 …………（4
分）
． …………（6
分）
（2）参与活动的每位居民得分低于80分的概率为0.7，
得分不低于80分的概率为0.3． …………（7
分）
Y的所有可能取值分别为10，20，30，40． …………（8
分）
，
，
…………（12分）每个1分
所以Y的概率分布为
Y 10 20 30 40
7 11 2 1
P
15 30 15 30
所以 …………（13
高三数学第五次月考题参考答案 第5页 （共9页）
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52
所以本次活动需要准备的话费充值卡的总金额为
240× =4160
……（15
3
分）
17．解：
（1）由椭圆的定义，结合 知：
椭圆C与抛物线 ： 的共同焦点F的坐标为（1, 0）…（1
分）
则 ，抛物线 的方程为 …………（3
分）
由 ，不妨设点P在第一象限，则点P的坐标为 ……（4分）
记椭圆的左焦点 ，所以 ，则
所以 ，即 ， ，
故椭圆C的标准方程为 …………（6
分）
（2）由题可知，直线l的斜率不为0，故设直线l的方程为 ，
， ， ，
由 ，
得 ，
即 …………（9
分）
联立 得 ，△>0恒成立，所以
联立 得 ，△>0恒成立，
所以 …………（13
分）
由 ，得 ，解得
所以直线l的方程为 或 …………（15
高三数学第五次月考题参考答案 第6页 （共9页）
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18．解：
（1）由已知： ， ，则若 .
而 ，则 ， … … … … （ 1
分）
在△OCD中，OC=2，
由正弦定理 ，得到 … … … … （ 4
分）
（2）因为 ， ，所以 ，
设 ，则 ……（5分）
在△OCD中，由正弦定理，得 ，
即 ，所以 . …………（6
分）
所以S ，（7
△OCD
分）
因为 ，所以 ，所以当 ，
即 时，S 取得最大值， …………（9
△OCD
分）
以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 …………（10分）
设平面OPE的法向量 ,
2x=0
3 √3
x+ y+z=0
2 2
⇒
得到 … … … … （ 11
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所以直线CD与平面OPE所成角的正弦值 ……（12分）
（3）由（2）知 ， ，
， ，
所以S ， ，
△OPE
S ，
△PCE
所以四面体 的表面积为 …………（14
分）
设四面体 内切球的半径为 ，
则四面体 的体积
S ×1， …………（15分）
△OCP
解得 ，因为 ，所以 ……（16
分）
所以在线段 上不存在点 ，使得四面体 内切球的半径为 …（17
分）
19．解：
（1）设 ，则 …………（1
分）
依题意可得 恒成立， …………（2
分）
所以 ，即
所以 ，即 . …………（4
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（2）解法1：依题意可知 单调递增，因为 ，则 ，
所以 …………（5分）
即 ，故
所以 ……（7分）
设 ，
所以 在 上单调递减，所以当 时， ，
即 …………（9
分）
所以 ，
即 …………（10
分）
解法2：依题意可知 单调递增，因为 ，则 ，
所以 …………（5分）
又 ，则有 ，所以 …………（7
分）
，设 ，
则 ，
高三数学第五次月考题参考答案 第9页 （共9页）
学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递减，所以当 时， ，…（9分）
所以 ，即 …………（10
分）
（3）设 ，
则
… … … … （ 11
分）
令 ，
则 … … … … （ 12
分）
设 ，则
当 时， ，当 时，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，则 … … … … （ 13
分）
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增. … … … … （ 14
分）
令 ， ，
则 ，又 单调递增，
所以 ，则 在 上单调递增.
又 时， ，所以 时， ， ，
所以 ，即 ，
所以 ， … … … … （ 16
分）
高三数学第五次月考题参考答案 第10页 （共9页）
学科网（北京）股份有限公司所以 . … … … … （ 17
分）
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