文档内容
福州三中 2024-2025 学年第二学期高三第十四次质量检测
数 学 试 卷
命题人：高三数学集备组
审卷人：高三数学集备组
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上.
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选
涂其他答案标号．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
第Ⅰ卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知
试卷第1页 ，共4页
A =
− 1 ,
1
2
， B = { ∣x a x + 1 = 0 } ，若 A B = B ，则实数 a 的取值构成的集合是( )
A． { − 1 , 2 } B． { − 2 ,1 } C． { − 2 , 0 ,1 } D． { − 1 , 0 , 2 }
2．设，是两个平面，m， n 是两条直线，若 m ， n ，则“ ∥ ”是“ m / / ， n // ”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知向量 a , b 的夹角为
π
3
，且 a = 1 ， b = 3 ，若与向量 b 垂直的非零向量 c 满足 c a b = + （其中
, ) R
，则
= ( )
A． −
1
3
B．1 C．6 D． −
1
6
4．已知数列 b
n
满足 b
1
= 2 ，b −b =2n(n2) ，设数列
n n−1
1
b
n
的前 n 项和为T ，则T = ( )
n 10
A．
1
9
0
B．
1
1
0
1
C．
1
1
1
2
D．
1
1
2
3
5．已知 (1 + x ) 2 + (1 + x ) 3 + + (1 + x ) 9 = a
0
+ a
1
x + a
2
x 2 + + a
9
x 9 ，则a 的值为( )
2
A． 6 0 B． 8 0 C．84 D． 1 2 0
6．已知 s i n ( 2 )
2
3
+ = ， c o s c o s ( )
1
2
+ = ，则tan+tan(+)= ( )
3 2 3 4
A． B． C． D．
2 3 4 3
7．如图，正方形 A
1
B C1
1
D
1
的边长为1，取正方形各边的四等分点A ,B ,C ,D ，得到
2 2 2 2
第2个正方形A BC D ，再取正方形A BC D 各边的四等分点A,B ,C ,D ，得到
2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3
第3个正方形 A
3
B
3
C
3
D
3
，依此方法一直进行下去，若从第 k 个正方形开始它的面
1
积小于第1个正方形面积的 ，则
50
k = ( )（参考数据：lg20.3）
A．8 B．9 C．10 D．11
{#{QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=}#}8．若函数
试卷第2页 ，共4页
f ( x ) 满足对任意 n N * ，恒有 f ( n ) 2 n ，且 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 4 x y ，则
8
i=
1
f ( i ) 的最小值是 ( )
A．408 B．400 C．204 D．200
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对
得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9．已知 a ， b R ，关于 x 的方程 x 2 + a x + b = 0 的一个根是 z
1
= 1 − 2 i ，另一个根是 z
2
，其中 i 是虚数单位，则下
面四个选项正确的有 ( )
A．复数 z
1
对应的点在第四象限 B．ab=−10
C． z
1
= z
2
D． z
1
z
2
10．已知函数 f ( x ) ta n ( x ) = + 在某段区间内的大致图像如图，则下列说法正确的是( )
A． =
6
，
2
3
k ( k Z )
= +
B． f ( x ) 的单调区间为： ( 6 k − 5 , 6 k + 1 ) , k Z
C． g ( x ) = f ( x ) − 2 在区间 − 4 , 4 上有且仅有2个零点
D． f ( x ) 先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移1个单位后是奇函数
11．我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”
的顶点. 对于“优美曲线”C：x2+25x2y2+y2−9=0，则 ( )
A．曲线 C 关于直线 y = x 对称 B．曲线 C 有4个顶点
C．曲线 C 与直线 y = − x + 3 有4个交点 D．曲线 C 上动点 P 到原点距离的最小值为
2
5
7
第Ⅱ卷
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上．
12．一先一后抛掷两枚质地均匀的骰子，设得到的点数分别为 a ， b ，在已知 a + b 8 的条件下， a b 的概
率为___________．
13．已知 f (x)=−5x+sinx，则满足 f ( a2) + f (−4)0的实数 a 的取值范围是 ．
14．双曲线C的两个焦点为 F
1
，F ，以C的实轴为直径的圆记为
2
D ，过 F
1
作 D 的切线与C的左右两支分别交
于 M , N 两点，且 c o s F
1
N F
2
=
3
5
，则C的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数 f(x)= x3−ax2−a2x+1.
（1）当 a = 2 时，求曲线 y = f ( x ) 在点 (1 , f (1 ) ) 处的切线方程；
（2）讨论 f(x)的单调性．
{#{QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=}#}16．（本小题满分15分）
已知单调递增的等比数列
试卷第3页 ，共4页
a
n
满足 a
2
+ a
3
+ a
4
= 2 8 ，且 a
3
+ 2 是 a
2
, a
4
的等差中项．
（1）求数列 a
n
的通项公式；
（2）设b =a log a ，其前
n n 2 n
n 项和为 S
n
，若对于 n 2 ,且 n N * ， ( n − 1 ) 2 m ( S
n
− n − 1 ) 恒成立，求实数 m 的
取值范围．
17．（本小题满分15分）
如图①，在等腰梯形 A B C D 中， B C ∥ A D ， A D = 2 B C = 4 ，AC =2 3， E 为AD边的中点．将 CDE沿
C E 翻折，使点 D 到达点S的位置，得到四棱锥 S − A B C E ，如图②．
（1）证明：在翻折过程中，始终满足 S B ⊥ C E ；
（2）当SE⊥BC时，求平面 S A B 与平面 S B C 夹角的正弦值．
18．（本小题满分17分）
在直角坐标平面内，设 P 是圆x2+y2 =4上的动点， P Q ⊥ x 轴，垂足为点 Q ，点 M 在 Q P 的延长线上，且
Q
Q
P
M
=
2
3
，点 M 的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设 l 是过点N(4,0)的动直线．
①当直线l的斜率为−2时，曲线C上是否存在一点D，使得点D到直线l的距离最小？若存在，求出点D的坐
标；若不存在，请说明理由；
②若直线l与曲线 C 相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为 E ，直线 A E 与x轴的交点为 F ，求 △ A B F 面
积的最大值．
{#{QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=}#}19．（本小题满分17分）
泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事
件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候
客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布
数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量
试卷第4页 ，共4页
X 服从参数为
( 0 ) 的泊松分布（记作 X π ( ) ），则其概率分布为 P ( X k )
k
k
!
e
= = − , k N ，其中 e 为自然对数的底数．
（1）当≥20时，泊松分布可以用正态分布来近似；当 5 0 时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可
认为 X N ( , ) ．若 X π ( 1 0 0 ) ，求 P ( 1 1 0 X 1 2 0 ) 的值（保留三位小数）；
（2）某公司制造微型芯片，次品率为 0 .1 % ，各芯片是否为次品相互独立，以X 记产品中的次品数．
①若 X B ( n , p ) ，求在 1 0 0 0 个产品中至少有 2 个次品的概率；
②若 X ~ π ( ) , n p = ，求在 1 0 0 0 个产品中至少有 2 个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律?
（3）若 X ~ π ( ) ，且 P ( X 1 ) 0 .0 1 ，求的最大值（保留一位小数）．
参考数据：若 X ~ N ( , 2 ) ，则一有 P ( X ) 0 .6 8 2 7 − + ，P(−2 X +2)0.9545，
P ( 3 X 3 ) 0 .9 9 7 3 − + ； 0 .9 9 9 1 0 0 0 0 .3 6 7 6 ， 0 .9 9 9 9 9 9 0 .3 6 8 0 ，
1
e
0 .3 6 7 8 ．
{#{QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=}#}
