福州三中2024-2025学年第二学期高三第十四次质量检测数学答案_2025年4月_250404福建省福州第三中学2024-2025学年高三下学期第十四次质量检测

福州三中 2024-2025 学年第二学期高三第十四次质量检测 数 学 试 卷 第Ⅰ卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知 试卷第1页 ，共11页 A =  − 1 , 1 2  ， B = { ∣x a x + 1 = 0 } ，若 A B = B ，则实数 a 的取值构成的集合是( ) A． { − 1 , 2 } B． { − 2 ,1 } C． { − 2 , 0 ,1 } D． { − 1 , 0 , 2 } 【解析】由A B=B得B A．当 a = 0 时， B =  ，满足B A；当 a  0 时 B =  − 1 a  ，因为B A， 所以 − 1 a = − 1 或 − 1 a = 1 2 ，解得 a = 1 或 a = − 2 ．故选：C． 2．设，是两个平面，m， n 是两条直线，若 m   ， n   ，则“∥”是“m//， n // ”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】若 m / / ， n // ，则,可能平行，也可能相交，故  ∥ 不一定成立， 若  ∥ ，则 m / / ，n//，故  ∥ 是 m / / ， n // 的充分不必要条件．故选：A． 3．已知向量 a , b 的夹角为 π 3 ，且 a = 1 ， b = 3 ，若与向量 b 垂直的非零向量 c 满足 c a b   = + （其中 , )   R  ，则  = ( ) A． − 1 3 B．1 C．6 D． − 1 6 【解析】由 c a b   = + ， b c ⊥ ，得 b c b ( a b ) a b b 2 0      =  + =  + = ． 又 a  b = a  b c o s π 3 = 3 2 ， b 2 = 9 ，所以 3 2 9 0   + = ，整理，得 1 6   = − ．故选：D． 4．已知数列  b n  满足 b 1 = 2 ，b −b =2n(n2) ，设数列 n n−1  1 b n  的前 n 项和为T ，则T = n 10 ( ) A． 1 9 0 B． 1 1 0 1 C． 1 1 1 2 D． 1 1 2 3 【解析】因为 b n − b n − 1 = 2 n ( n  2 ) ，且b =2， 1 所以当 n  2 时， b n = b 1 + ( b 2 − b 1 ) + ( b 3 − b 2 ) + + ( b n − b n − 1 ) = 2 + 4 + 6 + + 2 n = ( 2 n + 2 2 ) n = n 2 + n ． 因为 b 1 = 2 也满足b =n2+n，所以b =n2+n． n n 因为 1 b n = n ( 1 n + 1 ) = 1 n − n 1 + 1 ，所以 T n =  1 − 1 2  +  1 2 − 1 3  + +  1 n − n 1 + 1  = 1 − n 1 + 1 1 10 ．所以T =1− = ． 10 11 11 故选：B． 5．已知(1+x)2+(1+x)3+ +(1+x)9 =a +a x+a x2+ +a x9，则a 的值为 0 1 2 9 2 ( ) A．60 B． 8 0 C．84 D． 1 2 0 【解析】由题知a =C2+C2+C2+ +C2 =1+3+6+10+15+21+28+36=120．故选：D． 2 2 3 4 9 {#{QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=}#}6．已知 试卷第2页 ，共11页 s i n ( 2 ) 2 3   + = ， c o s c o s ( ) 1 2    + = ，则 ta n ta n ( )    + + = ( ) A． 3 2 B． 2 3 C． 3 4 D． 4 3 【解析】因为 s in ( 2 + ) = 2 3 ,c o s c o s ( + ) = 1 2      ， 所以 ta n + ta n ( + ) = s c in o s + s c in o s (( + + )) = s in  c o s ( c o s +  ) + c o s c ( o s +  s in ) ( + )                   = s c in o s   + c o ( s ( + + ) ) = c o s s in ( 2  c o s + ( + ) ) = 2 31 2 = 4 3      ．故选：D．       7．如图，正方形ABCD 的边长为1，取正方形各边的四等分点 1 1 1 1 A 2 , B 2 , C 2 , D 2 ，得到 第2个正方形 A 2 B 2 C 2 D 2 ，再取正方形A BC D 各边的四等分点 2 2 2 2 A 3 , B 3 , C 3 , D 3 ，得到 第3个正方形 A 3 B 3 C 3 D 3 ，依此方法一直进行下去，若从第k个正方形开始它的面积 小于第1个正方形面积的 1 5 0 ，则k= ( ) （参考数据： lg 2  0 .3 ） A．8 B．9 C．10 D．11 【解析】由已知得正方形的边长成等比数列，第二个正方形的边长为  3 4  2 +  1 4  2 = 1 4 0 ， 所以其公比为 1 4 0 ．设第 n 个正方形的面积为 a n ，则 a n a n − 1 =  1 4 0  2 = 5 8 ( n  2 ) ， 当 n = 1 时，a =1，所以 1 a n =  5 8  n − 1 ，由 a n  1 5 0 a 1 ，得  5 8  n − 1  1 5 0 ，所以 ( n − 1 ) lg 5 8  lg 1 5 0 ， 即 n − 1  − lg 5 lg − 5 0 lg 8 = − lg lg 5 − 5 3 − 1 lg 2 = − 1 ( − 1 − lg lg 2 − 2 3 ) − lg 1 2 = lg 1 − 2 4 − lg 2 2  1 0 − .3 4 −  2 0 .3 = 8 .5 ， 所以 n  9 .5 ，所以k =10．故选：C． 8．若函数 f ( x ) 满足对任意 n  N * ，恒有 f ( n )  2 n ，且 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 4 x y ，则 8 i= 1 f ( i ) 的最小值是 ( ) A．408 B．400 C．204 D．200 【解析】因为 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 4 x y ，所以 f ( x + y ) − 2 ( x + y ) 2 = f ( x ) − 2 x 2 + f ( y ) − 2 y 2 . 设 g ( x ) = f ( x ) − 2 x 2 ，那么g(x+y)=g(x)+g(y)， 因此 g ( n ) = g ( n − 1 ) + g ( 1 ) = g ( n − 2 ) + g ( 1 ) + g ( 1 ) = g ( n − 2 ) + 2 g ( 1 ) = = g ( 2 ) + ( n − 2 ) g ( 1 ) = n g ( 1 ) = n  f ( 1 ) − 2  ， 因此 f (n)=2n2+f (1)−2n2n，取   n = 1 ，得到 f ( 1 )  2 8 8 8 8 ，所以 f(i)=2i2+[f(1)−2]i2i2 =408， i=1 i=1 i=1 i=1 8 所以 f(i)的最小值是408．故选：A． i=1 {#{QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=}#}二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对 得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．已知 试卷第3页 ，共11页 a ， b  R ，关于 x 的方程 x 2 + a x + b = 0 的一个根是 z 1 = 1 − 2 i ，另一个根是 z 2 ，其中 i 是虚数单位，则下 面四个选项正确的有 ( ) A．复数 z 1 对应的点在第四象限 B．ab=−10 C． z 1 = z 2 D． z 1  z 2 【解析】复数 z 1 = 1 − 2 i ，复数 z 1 对应的点为 ( 1 , − 2 ) ，所以，复数 z 1 对应的点在第四象限，故A正确； 已知 a ， b  R ，关于x的方程 x 2 + a x + b = 0 的一个根是z =1−2i，则 1 ( 1 − 2 i ) 2 + a ( 1 − 2 i ) + b = 0 ， 整理得 ( a + b − 3 ) − ( 2 a + 4 ) i = 0 ，所以  a 2 + a b + − 4 3 = = 0 0 ；解得：  a b = = − 5 2 ，所以，ab=−10，故B正确； 由 a = − 2 ， b = 5 得方程x2−2x+5=0，又知道一个根是z =1−2i， 1 所以，结合韦达定理，可得另一个根是 z 2 = 1 + 2 i ，所以， z 1 = z 2 ，故C正确； 两个虚数不能比较大小，故D错误．故选：ABC． 10．已知函数 f ( x ) ta n ( x )   = + 在某段区间内的大致图像如图，则下列说法正确的是 A． =  6  ， 2 3 k ( k Z )    = +  B． f ( x ) 的单调区间为： ( 6 k − 5 , 6 k + 1 ) , k  Z C．g(x)= f (x) −2在区间  − 4 , 4  上有且仅有2个零点 D． f ( x ) 先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移1个单位后是奇函数 【解析】对于A， f ( 0 ) = 3 ，故 tan= 3=  +k,k Z， f (x)上两点 ( 0, 3 ) 、 ( 2,− 3 ) 有对称中心 3 1 1 ( 1 , 0 ) ，故 f (x)有渐近线 x = 1 k k  ，所以+= 2 = 2 − −k，由于 2 2 3 1 k 1 不影响 f (x)的取值，不妨令其为 0，而 T 3 0 3    =     ，所以k =1， 2 =  6  ，A错误； 对于 B，不妨设 f ( x ) ta n 6 x 3   =  +  ， 2 k 6 x 3 2 k x ( 6 k 5 , 6 k 1 ) , k Z       − +  +  +   − +  ，B正确； 对于C，x轴以下的图象翻折上去，作出 f ( x ) 的图像，与直线y=2有2个交点，C正确； 对于D，变换后： h ( x ) ta n 1 2 x 5 1 2   =  +  不是奇函数，D错误．故选：BC． 11．我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线” 的顶点. 对于“优美曲线” C ： x 2 + 2 5 x 2 y 2 + y 2 − 9 = 0 ，则( ) A．曲线 C 关于直线 y = x 对称 B．曲线 C 有4个顶点 C．曲线 C 与直线 y = − x + 3 有4个交点 D．曲线 C 2 7 上动点P到原点距离的最小值为 5 【解析】对于A，将x,y交换方程依然成立，所以曲线关于y= x对称，A正确； 对于B，易得曲线有四条对称轴x轴，y轴，直线y= x，直线y=−x，共有8个顶点，B错误； {#{QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=}#}对于C，由 试卷第4页 ，共11页  x y 2 = + 2 − 5 x x + 2 y 3 2 + y 2 − 9 = 0 得 x 2 + 2 5 x 2 ( − x + 3 ) 2 + ( − x + 3 ) 2 − 9 = 0 ， 即 2 5 x 2 ( − x + 3 ) 2 + 2 x ( x − 3 ) = 0 ，可得 x ( x − 3 ) ( 2 5 x 2 − 7 5 x + 2 ) = 0 ， 对于方程 2 5 x 2 − 7 5 x + 2 = 0 ，  = ( − 7 5 ) 2 − 4  2 5  2  0 ， 则方程 2 5 x 2 − 7 5 x + 2 = 0 有两不等实根，且方程的根不为0和3， 所以方程 x ( x − 3 ) ( 2 5 x 2 − 7 5 x + 2 ) = 0 有4个不等实根，从而曲线C与直线 y = − x + 3 有4个交点，C正确； 对于D，由 x 2 + 2 5 x 2 y 2 + y 2 − 9 = 0 9−x2 得y2 = ， 25x2+1 9−x2 25x2+1 226 2 x2+y2 =x2+ = + − 25x2+1 25 25 ( 25x2+1 ) 25  2 2 5 x 2 2 5 + 1  2 5 ( 2 2 6 2 2 5 x + 1 ) − 2 2 5 = 2 2 2 5 2 6 − 2 2 5 ， 25x2+1 226 当且仅当 = ，即 25 25 ( 25x2+1 ) x 2 = 2 2 2 6 5 − 1 2 226 2 时取等号，则x2+y2的最小值为 − ， 25 25 曲线C上动点P到原点距离的最小值 2 2 2 5 2 6 − 2 2 5 ，D错误．故选：AC． 第Ⅱ卷 三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上． 12．一先一后抛掷两枚质地均匀的骰子，设得到的点数分别为 a ， b ，在已知 a + b  8 的条件下， a  b 的概 率为___________． 【解析】设先后抛掷的两枚质地均匀的骰子的点数分别为 a ， b ，则样本空间  = { ( a , b ∣) a , b  { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } } ，其包含的样本点有36个.记事件 A = “ a + b  8 ”，则事件A包含的样本点 为 ( 3 , 6 ) ， ( 4 , 5 ) ， ( 4 , 6 ) ， ( 5 , 4 ) ， ( 5 , 5 ) ， ( 5 , 6 ) ， ( 6 , 3 ) ，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共10个.记事件 B = “ab”，则事件 A B = “a+b8且ab”，其包含的样本点有4个，为 ( 3 , 6 ) ，(4,5)， ( 4 , 6 ) ， ( 5 , 6 ) .所以 由条件概率公式知 P ( ∣B A ) = P P ( A ( A B ) ) = 1 4 0 = 2 5 .故答案为： 2 5 ． 13．已知 f (x)=−5x+sinx，则满足 f ( a2) + f (−4)0的实数 a 的取值范围是 ． 【解析】因为 f (x)=−5x+sinx，该函数的定义域为R， f ( − x ) = 5 x + s in ( − x ) = 5 x − s in x = − f ( x ) ，故函数 f ( x ) 为奇函数， 因为 f  ( x ) = c o s x − 5  0 对任意的 x  R 恒成立，所以函数 f ( x ) 在 R 上为减函数， 由 f ( a 2 ) + f ( − 4 )  0 可得 f ( a2) −f (−4)= f (4)，所以a2 4，解得−2a2， 即实数 a 的取值范围是 ( − 2 , 2 ) ．故答案为： ( − 2 , 2 ) ． 14．双曲线C的两个焦点为 F 1 ，F ，以C的实轴为直径的圆记为D，过 2 F 1 作D的切线与C的左右两支分别交 于M ,N 两点，且 c o s  F 1 N F 2 = 3 5 ，则C的离心率为 ． 【解析】不妨设双曲线 C x2 y2 的标准方程为 − =1(a0,b0)，则 a2 b2 F 1 ( − c , 0 ) ，F (c,0)， FF =2c， 2 1 2 PD a 设过F 的直线与圆D相切于点P，则在Rt FPD中， PD =a， FD =c，sinPFD= = ， 1 1 1 1 FD c 1 {#{QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=}#}试卷第5页 ，共11页 c o s  F 1 N F 2 = 3 5 ，  s in  F 1 N F 2 = 4 5 且点 N 位于双曲线的右支，如图所示， 在 △ F 1 N F 2 中，由正弦定理得 s in N  F N 2 F 1 F 2 = s in F  F 1 F 2 N 1 F 2 ，  N F 2 = F 1 F  2 s in s  in F  1 N N F F 2 1 F 2 = 2 c  4 5 a c = 5 2 a ， N F 1 − N F 2 = 2 a ，  N F 1 = 9 2 a ， 在 △ F 1 N F 2 中， F 1 F 2 2 = N F 1 2 + N F 2 2 − 2 N F 1  N F 2  c o s  F 1 N F 2 ， 即 4 c 2 =  9 2 a  2 +  5 2 a  2 − 2  9 2 a    5 2 a   3 5 ，化简得4c2 =13a2，即 e = c a = 1 2 3 ．故答案为： 1 2 3 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数 f(x)= x3−ax2−a2x+1. （1）当 a = 2 时，求曲线 y = f ( x ) 在点 (1 , f (1 ) ) 处的切线方程； （2）讨论 f(x)的单调性． 解：（1）当 a = 2 时， f(x)=x3−2x2−4x+1，则 f  ( x ) = 3 x 2 − 4 x − 4 ， ······································· 1分 从而 f (1 ) = − 4 ， f(1)=−5， ·························································································· 3分 故所求切线方程为 y + 4 = − 5 ( x − 1 ) ，即 y = − 5 x + 1 （或 5 x + y − 1 = 0 ）； ······································ 5分 （2）由题意可得 f ( x ) 的定义域为R， f ( x ) = 3 x 2 − 2 a x − a 2 = ( 3 x + a ) ( x − a ) ， ·············································································· 7分 当 − a 3  a ，即a0时，由 f  ( x )  0 ，得 x  a 或 x  − a 3 ，由 f  ( x )  0 ，得 a  x  − a 3 ， 则 f ( x ) 在 ( −  , a ) 和  − a 3 , +   上单调递增，在  a , − a 3  上单调递减；········································· 9分 当 − a 3 = a ，即a=0时， f  ( x )  0 恒成立，则 f ( x ) 在 R 上单调递增； ······································· 10分 a 当− a，即a0时，由 3 f  ( x )  0 ，得 x  − a 3 或 x  a ，由 f  ( x )  0 ，得 − a 3  x  a ， 则 f ( x )  a 在−,− 和  3 ( a , +  )  a  上单调递增，在− ,a上单调递减． ········································· 12分  3  综上，当a0时， f ( x ) 在 ( −  , a ) 和  − a 3 , +   上单调递增，在  a , − a 3  上单调递减； 当a=0时， f(x)在 R 上单调递增； 当 a  0  a 时， f(x)在−,− 和(a,+)上单调递增，在  3  − a 3 , a  上单调递减． ····························· 13分 {#{QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=}#}16．（本小题满分15分） 已知单调递增的等比数列 试卷第6页 ，共11页  a n  满足 a 2 + a 3 + a 4 = 2 8 ，且 a 3 + 2 是 a 2 , a 4 的等差中项． （1）求数列  a n  的通项公式； （2）设b =a log a ，其前 n n 2 n n 项和为 S n ，若对于 n  2 ,且 n  N * ， ( n − 1 ) 2  m ( S n − n − 1 ) 恒成立，求实数 m 的 取值范围． 解：（1）设等比数列的首项为 a 1 ，公比为q， 由题意可知：2(a +2)=a +a ， ······················································································ 1分 3 2 4 又因为 a 2 + a 3 + a 4 = 2 8 ，所以 a 3 = 8 , a 2 + a 4 = 2 0 ． ································································ 2分   a 1 q + a 1 a q q 12 3 = = 8 2 0 ，解得  a q 1 = = 2 2 或  a 1 q = = 3 1 2 2 （舍）， ································································ 4分 ∴ a n = 2 n ； ················································································································· 5分 （2）由（1）知， b n = n  2 n ， ························································································ 6分  S n = 1  2 + 2  2 2 + 3  2 3 + ... + n  2 n ，① 2 S n = 1  2 2 + 2  2 3 + 3  2 4 + ... + n  2 n + 1 ，② ············································································· 7分 ①-②得 − S n = 2 + 2 2 + 2 3 +  + 2 n − n  2 n + 1 ， ········································································ 8分  S n = − ( 2 − 1 − 2 n 2 + 1 − n  2 n + 1 ) = ( n − 1 ) 2 n + 1 + 2 ， ·········································································· 10分 若 ( n − 1 ) 2  m ( S n − n − 1 ) 对于n2恒成立，则 ( n − 1 ) 2  m  ( n − 1 ) 2 n + 1 + 2 − n − 1  ， ( n − 1 ) 2  m ( n − 1 ) ( 2 n + 1 − 1 ) ，  m  2 n n + − 1 1 − 1 ， ··································································· 11分 令 f ( n ) = 2 n n + − 1 1 − 1 ，则 m  f ( n ) m a x ， ················································································· 12分 因为 f ( n + 1 ) − f ( n ) = 2 n + n 2 − 1 − 2 n n + − 1 1 − 1 = ( 2 ( n 2 + − 2 − n 1 ) 2 ) ( n 2 + 1 n + + 1 1 − 1 ) ， 当 n  2 时， f ( n + 1 ) − f ( n )  0 ，即 f ( n + 1 )  f ( n ) ， 所以当 n  2 时， f(n)单调递减，则 f(n)的最大值为 1 7 ， ···················································· 14分 故实数 m 的取值范围为 1 7 ,   +  ． ··················································································· 15分 {#{QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=}#}17．（本小题满分15分） 如图①，在等腰梯形 试卷第7页 ，共11页 A B C D 中， B C ∥ A D ， A D = 2 B C = 4 ， A C = 2 3 ， E 为AD边的中点．将 CDE沿 C E 翻折，使点 D 到达点S的位置，得到四棱锥 S − A B C E ，如图②． （1）证明：在翻折过程中，始终满足 S B ⊥ C E ； （2）当SE⊥BC时，求平面SAB与平面 S B C 夹角的正弦值． 解：（1）证明：因为 E 为 A D 的中点，且 A D = 2 B C ，所以AE//BC,AE=BC， 所以四边形 A B C E 为平行四边形，所以 A B = C E ，所以 C E = C D ． ·········································· 1分 取 D E 的中点 P ，连接 C P ，如图①，则 C P ⊥ D E ． 在 R t A C P 中， A C = 2 3 , A P = 3 ，所以CP= AC2−AP2 = 3． 在Rt CPD中，PD=1，所以CD= CP2+PD2 =2，所以 C D = B C = 2 ． 连接 B E ，则四边形 B E D C 为菱形． ················································································· 3分 连接 B D ，交CE于点 F ，则 C E ⊥ B D ． 在四棱锥S−ABCE中，设 C E 的中点为 F ，连接 B F ， S F ，如图②， 则 B F ⊥ C E , S F ⊥ C E ． 因为 B F S F = F , B F , S F  平面 S B F ，所以 C E ⊥ 平面SBF． ················································· 5分 又SB平面SBF，因此在翻折过程中，始终满足 S B ⊥ C E ． ················································· 6分 （2）设 B C 的中点为 G ，连接 E G , S G ，则 E G ⊥ B C ． 因为 S E ⊥ B C , S E E G = E , S E , E G  平面SEG，所以BC⊥平面SEG． 又 S G  平面 S E G ，所以 B C ⊥ S G ，因此SB=SC， 所以四面体 S − B C E 是棱长为2的正四面体． 设BF,EG交于点 I ，连接 I S ，则 I S ⊥ 平面 A B C E ，且得 I S = 2 3 6 ． ······································· 8分 设 A C 与BE交于点O，由（1）知四边形 A B C E 是菱形， 故 A C ⊥ B E ，且OA=OC = 3,OB=1． 以 O 为坐标原点， O A , O E 分别为 x 轴，y轴的正方向， 过点O与 I S 同向为 z 轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则A ( 3,0,0 ) ,B(0,−1,0),C ( − 3,0,0 ) ,S  − 3 ,0, 2 6 ， ························································· 9分 3 3   ( )  4 3 2 6 ( )  3 2 6 所以AB= − 3,−1,0 ,AS =− ,0, ,BC = − 3,1,0 ,BS =− ,1, ． 3 3 3 3      3x +y =0,  mAB=0,  1 1 设平面SAB的法向量为m=(x 1 ,y 1 ,z 1 )，则 即 4 3 2 6 mAS =0, − x + z =0.  3 1 3 1 ( ) 令x =1，得y =− 3,z = 2，所以平面SAB的一个法向量为m= 1,− 3, 2 ． ························· 11分 1 1 1 {#{QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=}#}设平面 试卷第8页 ，共11页 S B C 的法向量为 n = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，则  n n   B B C S = = 0 0 , , 即  − − 3 3 3 x 2 x + 2 + y 2 y = 2 + 0 , 2 3 6 z 2 = 0 . 令 z 2 = 1 ，得 x 2 = − 2 , y 2 = − 6 ，所以平面 S B C ( ) 的一个法向量为n= − 2,− 6,1 ． ····················· 12分 设平面 S A B 与平面SBC的夹角为， 则 c o s c o s m , n m m n n 2 3 6 2 3 2 3 3  =   =  = − +  + = ， ···························································· 14分 所以平面SAB与平面 S B C 夹角的正弦值为 3 6 ． ································································· 15分 18．（本小题满分17分） 在直角坐标平面内，设 P 是圆x2+y2 =4上的动点， P Q ⊥ x 轴，垂足为点Q，点 M 在 Q P 的延长线上，且 Q Q P M = 2 3 ，点 M 的轨迹为曲线C． （1）求曲线 C 的方程； （2）设 l 是过点 N ( 4 , 0 ) 的动直线． ①当直线l的斜率为 − 2 时，曲线C上是否存在一点 D ，使得点D到直线 l 的距离最小？若存在，求出点 D 的坐 标；若不存在，请说明理由； ②若直线l与曲线 C 相交于 A ， B 两点，点 B 关于x轴的对称点为 E ，直线 A E 与 x 轴的交点为 F ，求 △ A B F 面 积的最大值． 解：（1）设 M ( x , y ) ， P ( x 0 , y 0 ) ，则 x 20 + y 20 = 1 ， 因为 Q Q P M = 2 3 ，所以  y 0y x = = x 2 3 0 ，整理得  y x 0 0 = = 2 3x y ， ······························································ 2分 代入 x 20 + y 20 = 1 中，得 x 2 + 4 y 9 2 = 4 ，整理得 x 4 2 + y 9 2 = 1 ， 所以曲线 C x2 y2 的方程为 + =1； ··················································································· 4分 4 9 （2）① l 的直线方程为 y = − 2 ( x − 4 ) ，整理得2x+y−8=0， 如图，l ∥l， 1 l1 与椭圆相切于点D，当D在如图所示的位置时，点D到直线 l 的距离最小， ········· 5分 设l ： 1 y = − 2 x + b ， y=−2x+b  联立x2 y2 得25x2−16bx+4b2−36=0， ····································································· 6分  + =1  4 9 Δ = ( 1 6 b ) 2 − 4  2 5 ( 4 b 2 − 3 6 ) = 0 ，解得b=5或-5（舍去）， 则 2 5 x 2 − 8 0 x + 6 4 = 0 8 8 9 ，解得x= ，则y=−2 +5= ， 5 5 5 所以存在点D到直线 l 8 9 的距离最小，坐标为 ， ；···························································· 8分 5 5 ②设l的方程为x=my+4，A(x,y )，B(x ,y )，则E(x ,−y )， 1 1 2 2 2 2 {#{QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=}#}联立 试卷第9页 ，共11页  x 4x 2 = + m y 9y 2 + = 4 1 得 ( 9 m 2 + 4 ) y 2 + 7 2 m y + 1 0 8 = 0 ， ································································· 9分 Δ=(72m)2−4 ( 9m2+4 ) 1080，解得 m  2 3 3 或 m  − 2 3 3 ， 则 y 1 + y 2 = 9 − m 7 2 2 m + 4 ， y 1 y 2 = 9 1 m 0 2 8 + 4 ， ··············································································· 10分 A B = 1 + m 2  ( y 1 + y 2 ) 2 − 4 y 1 y 2 = 1 + m 2   9 − m 7 2 2 m + 4  2 − 4  9 1 m 0 2 8 + 4 = 1 + m 2  1 2 9 9 m m 2 2 + − 4 1 2 ， ··········· 12分 直线 A E 的方程为 y − y 1 = y x 1 1 + − y x 2 2 ( x − x 1 ) ，令 y = 0 得 x = x 2 y y 1 1 + + x y 1 2 y 2 = 2 m y 1 y 2 y + 1 4 + ( y y 2 1 + y 2 ) = 2 m  9 1 m 02 8 +− 9 m 47 + 2 m 2 + 4 4  9 − m 7 22 m + 4 = − − 7 7 2 2 m m = 1 ， ·································· 13分 所以 F ( 1 , 0 ) ，则点F 到直线AB的距离 d = 1 1 − + 4 m 2 = 1 3 + m 2 ， ··············································· 14分 S A B F = 1 2  A B d = 1 2 1 + m 2  1 2 9 9 m m 2 2 + − 4 1 2  1 3 + m 2 = 1 8 9 9 m m 2 2 + − 4 1 2 ， ············································ 15分 令 9 m 2 − 1 2 = t  0 ，则 S A B F = t 1 2 8 + t 1 6 = t 1 + 81 6 6  2 1 8 1 6 = 9 4 ， 16 当且仅当t = ，即 t t = 4 2 7 ，m= 时等号成立， 3 所以△ABF面积的最大值为 9 4 ． ····················································································· 17分 {#{QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=}#}19．（本小题满分17分） 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事 件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候 客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布 数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量 试卷第10页 ，共11页 X 服从参数为 ( 0 )   的泊松分布（记作 X π ( )   ），则其概率分布为 P ( X k ) k k ! e   = = − , k  N ，其中 e 为自然对数的底数． （1）当≥20时，泊松分布可以用正态分布来近似；当 5 0   时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可 认为 X N ( , )   ．若 X  π ( 1 0 0 ) ，求 P ( 1 1 0  X  1 2 0 ) 的值（保留三位小数）； （2）某公司制造微型芯片，次品率为 0 .1 % ，各芯片是否为次品相互独立，以X 记产品中的次品数． ①若 X  B ( n , p ) ，求在 1 0 0 0 个产品中至少有 2 个次品的概率； ②若 X ~ π ( ) , n p   = ，求在 1 0 0 0 个产品中至少有 2 个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律? （3）若X ~π()，且P(X 1)0.01，求的最大值（保留一位小数）． 参考数据：若 X ~ N ( , 2 )  ，则一有 P ( X ) 0 .6 8 2 7     −   +  ， P ( 2 X 2 ) 0 .9 5 4 5     −   +  ， P ( 3 X 3 ) 0 .9 9 7 3     −   +  ； 0 .9 9 9 1 0 0 0  0 .3 6 7 6 ， 0 .9 9 9 9 9 9  0 .3 6 8 0 ， 1 e  0 .3 6 7 8 ． 解：（1）因为当X ~()，且 1 0 0  = 时，可近似地认为 X ~ N ( , )  ，即 X ~ N ( 1 0 0 ,1 0 0 ) ， ·········· 1分 这里 1 0 0  = ，= 100 =10， ························································································ 2分 所以 P ( 1 1 0 X 1 2 0 ) P ( 1 0 0 1 0 X 1 0 0 2 0 ) P ( X 2 )       = +   + = +   + 1 2 P ( 2 X 2 ) P ( X ) 0 .9 5 4 5 2 0 .6 8 2 7 0 .1 3 5 9 0 .1 3 6         =  −   + − −   +  = − =  ； ·················· 4分 （2）①若 X ~ B ( 1 0 0 0 , 0 .0 0 1 ) ， ······················································································ 5分 P ( X =0 ) =(1−0.001) 1000 0.3676； P ( X = 1 ) = C 11 0 0 0 0 .9 9 9 9 9 9  0 .0 0 1  0 .3 6 8 0 ， ······················· 7分 则 P ( X  2 ) = 1 − P ( X = 0 ) − P ( X = 1 ) = 1 − 0 .9 9 9 1 0 0 0 − C 11 0 0 0  0 .9 9 9 9 9 9  0 .0 0 1  0 .2 6 4 4 ； ························· 8分 ②若 X ~ π ( )  ，其中 n p 1  = = ， ··················································································· 9分 则 P ( X  2 ) = 1 − P ( X = 0 ) − P ( X = 1 ) = 1 − 1 e − 1 e  0 .2 6 4 4 . ························································· 11分 比较计算结果，可以发现利用二项分布计算的结果与利用泊松分布计算的结果是相等的， 说明某些特定情形下，可以用泊松分布来计算二项分布. ······················································ 12分 （3）由于X ~π()，所以 P ( X  1 ) = 1 − P ( X = 0 ) − P ( X = 1 ) ， 由泊松分布的概率公式可得 P ( X 0 ) e  = = − ，P(X =1)=e−， 所以P(X 1)=1−e−−e−=1−(1+)e−， ······································································ 13分 因为 P ( X  1 )  0 .0 1 ，即 ( 1 ) e 0 .9 9   + −  ， ········································································ 14分 x+1 x 构造函数g(x)= (x0)，则g(x)=− 0，所以函数g(x)在 ex ex ( 0 , )  + 上单调递减， 由于 g ( 1 ) = 2 e  2 2 .5 = 0 .8  0 .9 9 ，g(0)=1，所以， 0  x  1 ， 1+0.1 1+0.1 又因为g(0.1)= ，需要比较 与0.99的大小， e0.1 e0.1 而0.99=1−0.12，所以，相当于比较e−0.1与1−0.1的大小， ····················································· 15分 {#{QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=}#}构造函数 试卷第11页 ，共11页 h ( x ) = e x − x − 1 ( − 0 .2  x  0 ) ，所以 h  ( x ) = e x − 1  0 对任意的 x  ( − 0 .2 , 0 ) 恒成立， 所以函数h(x)在 ( − 0 .2 , 0 ) 上单调递减，且 h ( 0 ) = 0 ， 所以 h ( − 0 .1 ) = e − 0 ,1 + 0 .1 − 1  h ( 0 ) = 0 ，所以 e − 0 .1  1 − 0 .1 ，即 1 + e 0 .1 0 .1  1 .1  0 .9 = 0 .9 9 ， 且 g ( 0 .2 ) = 1 + e 0 .2 0 .2 ，需要比较 1 + e 0 .2 0 .2 与 0 .9 9 的大小关系，而0.99=1−0.12， 所以相当于比较1−(−0.2)e−0.2与   1 −  − 0 .2 2  2 的大小， 构造函数 m ( x ) = ( 1 − x ) e x −  1 − 1 4 x 2  ，其中 − 0 .5  x  0 ，且 m ( 0 ) = 0 ， m  ( x ) = − x e x + 1 2 x = x  1 2 − e x  ， 当x(−0.5,0)时，m(x)0，所以，函数m(x)在(−0.5,0)上单调递增， 即 m ( − 0 .2 )  m ( 0 ) = 0 ，即  1 − ( − 0 .2 )  e − 0 .2  1 −  − 0 .2 2  2 1+0.2 ，即 0.99， e0.2 因此，的最大值为 0 .1 ． ···························································································· 17分 {#{QQABRYiQogggAAJAAQgCQwEiCkGQkBACCQoGxBAQoAAAwRFABAA=}#}