文档内容
福州三中 2024-2025 学年第一学期高三第七次质量检测
数 学 试 卷
命题人：高三数学集备组
审卷人：高三数学集备组
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上.
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选
涂其他答案标号．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
第Ⅰ卷
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知
试卷第1页 ，共4页
i 5 = a + b i （ a , b R ），则a+b的值为( )
A． − 1 B．0 C． 1 D．2
2．设集合 A = ∣x x 2 − x 0 , B = ∣x ln ( x + 1 ) 0 .则A B= ( )
A． ( − ,1 ) B． ( − 1 ,1 ) C． ( 1 , + ) D． 1 , + )
3．已知点Q在圆C： x 2 − 4 x + y 2 + 3 = 0 上，点P在直线 y = x 上，则PQ的最小值为( )
A． 2 − 1 B． 1 C． 2 D． 2
4．已知 a , b 为单位向量，且 3 a − 5 b = 7 ，则 a 与 a − b 的夹角为 ( )
A．
π
3
B．
2 π
3
π
C． D．
6
5 π
6
5．已知事件 A , B , C 的概率均不为0，则 P ( A ) = P ( B ) 的充要条件是( )
A．P(A B)=P(A)+P(B) B．P(A C)=P(B C)
C．P(AB)= P(AB) D．P(AC)=P(BC)
6．将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等
边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作
过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面
积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是( )
16 20
A． B．
81 81
8 10
C． D．
27 27
7．已知球 O 的直径SC=2，A,B是球 O
π
的球面上两点，ASC =BSC =ASB= ，则三棱锥
3
S − A B C
的体积为( )
2 2 2
A． B． C． D． 2
6 3 2
{#{QQABLYiAogAoAAAAARgCAw1QCEMQkhGAAQgGQFAEsAIACBFABCA=}#}8．在
试卷第2页 ，共4页
A B C 中，已知 a , b , c 分别为角 A , B , C 的对边.若
a
b
+
b
a
= 3 c o s C ，且 c o s ( A − B ) = −
6
3
，则 c o s C = ( )
4 3 4 3 3
A．− B． C． D．
9 9 2 2
3
或 −
4
9
3
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得
6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9．已知函数 f ( x ) 的图象是由函数 y = 2 s in x c o s x 的图象向右平移
π
6
个单位得到，则 ( )
A． f ( x ) 的最小正周期为π B． f ( x ) 在区间
−
π
6
,
π
3
上单调递增
C． f ( x )
π
的图象关于直线x= 对称 D．
3
f ( x ) 的图象关于点
π
6
, 0
对称
5−1 5−1
10．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把 0.618称为黄金数．离心率等于黄金数的倒数
2 2
的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线 E :
x
a
2
2
− y 2 = 1 ( a 0 ) 的左､右顶点分别为A,A ，虚轴的上端点为
1 2
B，左焦点为F，离心率为e，则 ( )
A． a 2 e = 1 B． A
2
B F B = 0
C．顶点到渐近线的距离为e D． △ A
2
F B
2+ 5
的外接圆的面积为
4
11．设函数 f ( x ) 的定义域为R， f ( 2 x + 1 ) 为奇函数， f ( x + 2 ) 为偶函数，当 x [ 0 , 1 ] 时， f ( x ) = a x + b ，其
中 a 0 且 a 1 .若 f ( 0 ) + f ( 3 ) = − 1 ，则( )
A．b＝－2 B． f ( 2 0 2 3 ) = − 1
C． f ( x ) 为偶函数 D． f ( x )
1
的图象关于 ,0对称
2
第Ⅱ卷
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上．
12．若(1−2x)5(x+2)=a +a x+ +a x6，则
0 1 6
a
3
= ．
13．某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”．测试后统计分析如下：学生的平均成绩为 x = 8 0 ，方差为
s 2 = 2 5 ．学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰．假设学生的测试成绩X近似服从正态分布 N ( , 2 )
（其中μ近似为平均数x ， 2 近似为方差s2），则估计获表彰的学生人数为 ．（四舍五入，保
留整数）
参考数据：随机变量X服从正态分布N ( ,2) ，则 P ( X ) 0 .6 8 2 7 − + = ，
P ( 2 X 2 ) 0 .9 5 4 5 − + = ， P ( 3 X 3 ) 0 .9 9 7 3 − + = ．
14．已知函数 f(x)=ex −e2−x，所有满足 f ( a ) + f ( b ) = 0 的点(a,b)中，有且只有一个在圆C上，则圆C的
标准方程可以是 ．（写出一个即可）
{#{QQABLYiAogAoAAAAARgCAw1QCEMQkhGAAQgGQFAEsAIACBFABCA=}#}四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
记
试卷第3页 ，共4页
S
n
为数列 a
n
的前n项和，已知 S
n
=
a
2
n + n 2 + 1 ， n N * ．
（1）求 a
1
+ a
2
，并证明 a
n
+ a
n + 1
是等差数列；
（2）求 S
2 0
．
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥ AB， P D = P B ，底面ABCD是边长为2的菱形， B A D
3
= ．
（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若 P A ⊥ P C ，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
有研究显示，人体内某部位的直径约 1 0 m m 的结节约有0.2%的可能性会在1年内发展为恶性肿瘤．某医院
引进一台检测设备，可以通过无创的血液检测，估计患者体内直径约 1 0 m m 的结节是否会在1年内发展为恶
性肿瘤，若检测结果为阳性，则提示该结节会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阴性，则提示该结节
不会在1年内发展为恶性肿瘤．这种检测的准确率为85%，即一个会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%
的可能性被检出阳性，一个不会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阴性．患者甲被检查
出体内长了一个直径约 1 0 m m 的结节，他做了该项无创血液检测．
（1）求患者甲检查结果为阴性的概率；
（2）若患者甲的检查结果为阴性，求他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率（结果保留5位小数）；
（3）医院为每位参加该项检查的患者缴纳200元保险费，对于检测结果为阴性，但在1年内发展为恶性肿瘤
的患者，保险公司赔付该患者20万元，若每年参加该项检查的患者有1000人，请估计保险公司每年在这个
项目上的收益．
{#{QQABLYiAogAoAAAAARgCAw1QCEMQkhGAAQgGQFAEsAIACBFABCA=}#}18．（本小题满分17分）
已知在平面直角坐标系
试卷第4页 ，共4页
x O y 中,动点 M 到点 A ( 2 , 0 ) 的距离与它到直线 l : x =
1
2
的距离之比为2．记M 的轨迹
为曲线 E ．
（1）求E的方程；
（2）若P是曲线 E 上一点，且点 P 不在 x 轴上．作 P Q ⊥ l 于点 Q ，证明：曲线 E 在点 P 处的切线经过△PQA
的外心．
19．（本小题满分17分）
已知函数 f (x)=exsinx+ax， x 0 , π
2
.
（1）若 a = − 1 ，求 f ( x ) 的最小值；
（2）若 f(x)有且只有两个零点，求实数 a 的取值范围．
{#{QQABLYiAogAoAAAAARgCAw1QCEMQkhGAAQgGQFAEsAIACBFABCA=}#}
