第4讲基本不等式---2026年高考数学一轮复习基础梳理（跟踪训练）_2025年8月_2508062026年高考数学一轮复习基础梳理：课件+学案（原卷版+解析版）

第 4 讲 基本不等式 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•福贡县期末）已知函数 ， ，则函数 的最小值 为 A． B．2 C． D． 2．（2025•南岗区三模）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为 A．8 B．7 C．6 D．5 3．（2025春•宁波期中）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为 A．9 B．6 C．4 D．3 4．（2025春•浙江期中）已知 ， ，且满足 ，则 的最小 值为 A．4 B．6 C．8 D．10 5．（2025春•广东期中）若 ，则 的最小值是 A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2025•凉州区模拟）若正数 ， 满足 ，则 的最小值为 A．2 B． C．3 D．7．（2025春•静宁县月考）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值 为 A． B． C． D． 8．（2025春•南安市月考）若 ， ，且 ，则 的最小 值为 A．2 B．3 C．4 D．8 9．（2025•淄博模拟）利民工厂的某产品，年产量在 至 之间，年生产 的总成本 （万元）与年产量 之间的关系近似地表示为 ， 则每吨的成本最低时的年产量为 A．160 B．180 C．200 D．240 10．（2025•中山市一模）若 ，则 的最小值是 A．4 B．8 C． D． 二．多选题（共4小题） （多选）11．（2025•张家口三模）已知 ， ，且 ，若 ， ，则 A． B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 的取值范围为 ， （多选）12．（2025•湖南模拟）已知 ， ，且 ，则A． B． C． D． （多选）13．（2025•浙江模拟）已知正数 ， 满足 ，则 A． B． C． D． （多选）14．（2025•河北模拟）已知 ， ， ，则下列说法正 确的是 A． 的最大值为 B． 的最小值为4 C． 的最大值为2 D． 的最小值为 三．填空题（共4小题） 15．（2025•安徽模拟）若 ， ， ，则 的最小值是 ． 16．（2025•浦东新区模拟）若正数 、 满足 ，则 的最大值为 ． 17．（2025•四川模拟）若 ，则实数 的取值范围为 ． 18．（2025•重庆模拟）若 ，且 ，则 的最小值为 ． 四．解答题（共6小题） 19．（2024秋•安宁区期末）（Ⅰ）若 ， ，且 ，求 的最小 值； （Ⅱ）若 ， ，且 ，求 的最小值．20．（2024秋•米东区期末）不等式若两个正实数 ， ，满足 ． （1）求 的最小值，并说明此时 ， 的值； （2）若不等式 恒成立，则实数 的取值范围． 21．（2024秋•田家庵区期末）已知 ， ，且 ． （1）求 的最小值； （2）求 的最小值； （3）求 的最小值． 22．（2024秋•镇江期末）（1）已知 ， ，且 ，求 的最小 值； （2）已知 ， ，证明： ． 23．（2024秋•吐鲁番市期末）（1）已知 ，求 的最小值． （2）求 的最大值． （3）已知正数 ， 满足 ，求 的最小值． 24．（2024秋•湛江期末）（1）已知 ，求 的最大值； （2）若正数 ， 满足 ，求 的最小值．一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C B B B B C B 二．多选题（共4小题） 题号 11 12 13 14 答案 BCD BCD BCD AD 一．选择题（共10小题） 1．【答案】 【分析】根据基本不等式即可得到最值． 【解答】解：因为 ，则 ， 当且仅当 ，即 时等号成立． 所以函数 的最小值为2． 故选： ． 2．【答案】 【分析】由已知结合基本不等式即可求解． 【解答】解：因为正数 ， 满足 ， 则 ， 当且仅当 时取等号． 故选： ．3．【答案】 【分析】根据给定条件结合“1”的妙用即可求出 的最小值． 【解答】解：正数 ， 满足 ， 则 ， 当且仅当 且 ，即 ， ， 故 取得最小值9． 故选： ． 4．【答案】 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：因为 ， ，且满足 ， 所以 ， 则 ， 当且仅当 且 ，即 ， 时取等号， 取最小值8． 故选： ． 5．【答案】 【分析】由已知结合基本不等式即可求解． 【解答】解： ，则 ， 当且仅当 ，即 时取等号． 故选： ． 6．【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得． 【解答】解：由正数 ， 满足 ，得 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号， 所以 的最小值为 ． 故选： ． 7．【答案】 【分析】由题设可得 ，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可． 【解答】解：因为正数 ， 满足 ，所以 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时取等号． 故选： ． 8．【答案】 【分析】由已知结合基本不等式即可求解． 【解答】解： ， ，且 ， ， 当且仅 时，即 时，得 ， 时，等号成立， 所以 的最小值是3．故选： ． 9．【答案】 【分析】利用总成本除以年产量表示出平均成本，利用基本不等式求出平均成 本的最小值． 【解答】解：（1）依题意，每吨平均成本为 （万元）， 则 当且仅当 ，即 时取等号，又 ， 所以年产量为200吨时，每吨平均成本最低． 故选： ． 10．【分析】由基本不等式可得 ，注意等号 成立的条件即可． 【解答】解： ， 当且仅当 即 且 时取等号， 的最小值是8 故选： ． 二．多选题（共4小题） 11．【答案】 【分析】利用基本不等式判断 ，根据 ，转化为函数关系，转化为根据 定义域问题求值域，判断 ． 【解答】解： ．因为 ， ， ，则 ，故 错误； ．由题意可知， ， ，则 ，当 时等号成立，则 的最小值为 ，故 正确； ． ，当 ，即 时等号成立，故 正确； ， 当 ， ， 在区间 ， 上单调递增， 当 时取得最大值5，且 时， ， 所以 的取值范围为 ， ，故 正确． 故选： ． 12．【答案】 【分析】利用基本不等式，结合对数的运算性质和对数函数的单调性逐一判断 即可． 【解答】解：因为 ， ，且 ， ：若 ，选项 显然不成立； ， 即 ，当且仅当 时取等号，即 时取等号，因此本选项正确； ：因为 ，即 ， 当且仅当 时取等号，显然 成立，故本选项正确； ：因为 ，当且仅当 时取等号，因此本选项正 确， 故选： ． 13．【答案】 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验选项 ，结合二次函数性质检验选项 即可求解． 【解答】解：因为正数 ， 满足 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号， 所以 ， 错误； ， 当 且 仅 当 ， 即 ， 时取等号， 正确； ，当且仅当 ，即 ， 时取等号， 正确； ， ， 结合二次函数性质可知，当 时，上式取得最小值 ， 正确． 故选： ． 14．【答案】 【分析】利用基本不等式计算并判断 ，结合常数代换可计算并判断 ， ， 利用两点间距离公式和点到直线的距离公式可计算并判断 ． 【解答】解：因为 ， ， ， ，所以 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，故 正确； 因为 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，故 错误；因为 ，当且仅当 ， 时等号成 立，故 错误； 可以看作直线 落在第一象限内的点到原点距离的平方， 易知最短距离为 ， 所以 的最小值为 ，故 正确． 故选： ． 三．填空题（共4小题） 15．【答案】9． 【分析】由已知结合基本不等式即可求解． 【解答】解：若 ， ， ， 则 ， 当且仅当 时取等号． 故答案为：9． 16．【答案】 ． 【分析】令 ，再结合二次函数的性质求解即可； 【解答】解：因为正数 、 满足 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 根据二次函数的性质可知，当 时， 取得最大值为 ．故答案为： ． 17．【答案】 ， ． 【分析】根据题意，转化为 ，令 ，结合基本不等式， 求得函数 的最小值，即可求解． 【解答】解：因为 ，故只需 ， 令 ，则 ， 当且仅当 ，即 时取等号，此时 取得最小值3， 所以 ． 故答案为： ， ． 18．【答案】25． 【分析】利用已知条件构造 ，利用乘“1”法及基本不等式计 算可得； 【解答】解：因为 ， ， 所以 当且仅当 时，等号成立， 所以 的最小值为25． 故答案为：25．四．解答题（共6小题） 19．【答案】 ， ． 【分析】 由已知结合基本不等式 ，可求 的范围，进而可求 的最小值， 由已知得， ，然后利用 ，展开后利用基本不等 式可求． 【解答】解： ， ， ， 当且仅当 时取等号， 解得， ， 所以 ，即 的最小值9， ， ，且 ， ， ， 当且仅当 且 ，即 ， 时取等号，此时 取得最小值 9． 20．【答案】（1）最小值为2，此时 ， ； （2） ， ． 【分析】（1）由已知直接利用基本不等式即可求解； （2）结合乘1法，利用基本不等式先求出 的最小值，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解． 【解答】解：两个正实数 ， ，满足 ． （1）由题意可得 ，当且仅当 时取等号， 所以 ，即 的最小值为2，此时 ， ； （2）因为 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号， 若不等式 恒成立，则 ， 解得 故实数 的取值范围为 ， ． 21．【答案】（1）16； （2）16； （3）9． 【分析】（1）（2）利用基本不等式求出最小值． （3）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值． 【解答】解： ， ，且 ． （1） ，解得 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号， 所以 取得最小值16． （2） ，解得 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号， 取得最小值16．（3）由 ，得 ， 则 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号， 取得最小值9． 22．【答案】（1）4； （2）证明过程见详解． 【分析】（1）由题意及基本不等式可得 的最小值； （2）作差整理可得结论． 【解答】（1）解： ， ，且 ，解得 ， 可得 的最小值为4； （ 2 ） 证 明 ： ， 因为 ， ，可得 ， ， ， 所以 ， 所以： ． 即证得结论． 23．【答案】（1）3；（2）5；（3） ． 【分析】（1）配凑后根据基本不等式求最值； （2）由基本不等式求积的最大值；（3）利用“1”的变形及基本不等式求最值． 【解答】解：（1）因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 的最小值3． （2）由 可得 ， 当 或 时， ， 当 时，由基本不等式可得， ，当且仅当 ， 即 时等号成立， 综上 的最大值为5． （3）因为正数 ， 满足 ， 由基本不等式可得， ， 当且仅当 且 ，即 ， 时等号成立． 即 的最小值为 ． 24．【答案】（1）1；（2）4． 【分析】（1）利用基本不等式求得正确答案． （2）先化简已知条件，然后利用基本不等式求得正确答案． 【解答】解：（1）由于 ， 所 以， 当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 的最大值为1． （2）依题意， ， ， ， 所以 ， 所以 ， 当且仅当 时等号成立， 所以 的最小值为4．