2009 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
理科数学
第Ⅰ卷
本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式 S =4πR2
P(A+B)= P(A)+P(B) 其中R表示球的半径
4
如果事件A，B相互独立，那么 球的体积公式 V = πR3
3
P(A B)= P(A) P(B) 其中R表示球的半径
g g
一、选择题：
1. 设集合S = x| x <5 ,T = x|x2 +4x-21<0 ,则S T =
I
Ａ. x|-7< x<-5 Ｂ. x|3< x<5 Ｃ. x|-5< x<3 Ｄ. x|-7< x<5
ìa+log x(当x³2时)
ï 2
２.已知函数 f(x)=íx2 -4 在点x=2处连续，则常数a的值是
ï
(当x<2时）
î x-2
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５
(1+2i)2
３.复数 的值是
3-4i
Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－i Ｄ.i
p
4.已知函数 f(x)=sin(x- )(xÎR)，下面结论错误的是
2
é pù
A.函数 f(x)的最小正周期为2p B.函数 f(x)在区间 0, 上是增函数
ê ú
ë 2û
C.函数 f(x)的图像关于直线x=0对称 D.函数 f(x)是奇函数
第1页 | 共18页5.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA^平面ABC,PA=2AB，则下
列结论正确的是
Ａ.PB^ AD Ｂ.平面PAB^平面PBC
P
C. 直线BC∥平面PAE Ｄ.直线PD与平面ABC所成的角为45°
E
D
6.已知a,b,c,d 为实数，且c>d。则“a>b”是“a-c>b-d ”的 F C
A B
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
x2 y2
7.已知双曲线 - =1(b>0)的左右焦点分别为F,F ，其一条渐近线方程为y = x，点
2 b2 1 2
uuur uuuur
P( 3,y )在该双曲线上，则PF ·PF =
0 1 2
-12 -2
A. B. C .0 D. 4
8.如图，在半径为3的球面上有A,B,C三点，ÐABC =90°,BA= BC ，球心O到平面ABC
3 2
的距离是 ，则B、C两点的球面距离是
2
p 4p
O
A. B.p C. D.2p
3 3 A
9.已知直线l :4x-3y+6=0和直线l :x=-1，抛物线y2 =4x上一动点P B C
1 2
到直线l 和直线l 的距离之和的最小值是
1 2
11 37
A.2 B.3 C. D.
5 16
10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产
每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产
品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18
吨，那么该企业可获得最大利润是
A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元
11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位
女生相邻，则不同排法的种数是
A. 360 B. 228 C. 216 D. 96
第2页 | 共18页12.已知函数 f(x)是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有
5
xf(x+1)=(1+x)f(x)，则 f(f( ))的值是
2
1 5
A.0 B. C.1 D.
2 2
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
1
13.(2x- )6的展开式的常数项是 （用数字作答）
2x
14.若⊙O :x2 + y2 =5与⊙O :(x-m)2 + y2 =20(mÎR)相交于A、B两点，且两圆在
1 2
点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是
A1
15.如图，已知正三棱柱ABC-ABC 的各条棱长都相等，M 是侧 棱CC
1 1 1 1
B1 C1
的中点，则异面直线AB和BM 所成的角的大小是 。
1
M
A
16．设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射 f :V ®V,aÎV ，记
B C
a的象为 f(a)。若映射 f :V ®V 满足：对所有 a,bÎV 及任意实数 l,m都有
f(la+mb)=lf(a)+mf(b)，则 f 称为平面M 上的线性变换。现有下列命题：
①设 f 是平面M 上的线性变换，则 f(0)=0
②对aÎV,设f(a)=2a，则 f 是平面M 上的线性变换；
③若e是平面M 上的单位向量，对aÎV,设f(a)=a-e，则 f 是平面M 上的线性变换；
④设 f 是平面M 上的线性变换，a,bÎV ，若a,b共线，则 f(a), f(b)也共线。
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
第3页 | 共18页三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分12分）
在 ABC中 ， A,B为 锐 角 ， 角 A,B,C所 对 应 的 边 分 别 为 a,b,c， 且
V
3 10
cos2A= ,sinB=
5 10
（I）求A+B的值；
（II）若a+b= 2-1，求a,b,c的值。
18. （本小题满分12分）
为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发
行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织
3
了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客。在省
4
1 2
外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡。
3 3
（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量x，求x的分
布列及数学期望Ex。
第4页 | 共18页19（本小题满分12分）
如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直
角三角形，AB= AE,FA= FE,ÐAEF =45°
E
（I）求证：EF ^平面BCE；
（II）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点
F
M ，使得PM 平面BCE？若存在，请指出点M 的位置，
P
A B
并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
D
P C
（III）求二面角F -BD-A的大小。
20（本小题满分12分）
x2 y2 2
已知椭圆 + =1(a>b>0)的左右焦点分别为F,F ，离心率e= ，右准线方程为
a2 b 1 2 2
x=2。
（I）求椭圆的标准方程；
uuuur uuuur 2 26
（II）过点F 的直线l与该椭圆交于M,N 两点，且 F M +F N = ，求直线l的方程。
1 2 2 3
第5页 | 共18页21. （本小题满分12分）
已知a>0,且a¹1函数 f(x)=log (1-ax)。
a
（I）求函数 f(x)的定义域，并判断 f(x)的单调性；
af(n)
（II）若nÎN*,求 lim ;
n®+¥an +a
（III）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h(x)=(1-ef(x))(x2 -m+1)，若函数h(x)
的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h(x)的极值。
22. （本小题满分14分）
设数列 a 的前 n项和为 S ，对任意的正整数 n，都有 a =5S +1成立，记
n n n n
4+a
b = n (nÎN*)。
n 1-a
n
（I）求数列b 的通项公式；
n
（II）记c =b -b (nÎN*)，设数列c 的前n项和为T ，求证：对任意正整数n都
n 2n 2n-1 n n
3
有T < ；
n 2
（III）设数列b 的前n项和为R 。已知正实数l满足：对任意正整数n,R £ln恒成立，
n n n
求l的最小值。
第6页 | 共18页2009 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
理科数学参考答案
（1） C （2） B (3) A (4) D (5) D (6) B
(7) C (8) B (9) A （10）D (11) B (12) A
（13） -20 （14）4 （15）90o （16）①②③
1.设集合S = x| x <5 ,T = x|x2 +4x-21<0 ,则S T =
I
Ａ. x|-7< x<-5 Ｂ. x|3< x<5 Ｃ. x|-5< x<3 Ｄ. x|-7< x<5
【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础
题。
解析：由题S = (-5,5),T = (-7,3)，故选择C。
ìa+log x(当x³2时)
ï 2
２.已知函数 f(x)=íx2 -4 在点x=2处连续，则常数a的值是
ï
(当x<2时）
î x-2
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５
【考点定位】本小题考查函数的连续性，考查分段函数，基础题。
解析：由题得a+log2 2= 2+2 a = 3，故选择B。
(1+2i)2
３.复数 的值是
3-4i
Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－i Ｄ.i
【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。
(1+2i)2 (4i -3)(3+4i) -16-9
解析： = = = -1，故选择A。
3-4i 25 25
p
4.已知函数 f(x)=sin(x- )(xÎR)，下面结论错误的是
2
é pù
A.函数 f(x)的最小正周期为2p B.函数 f(x)在区间 0, 上是增函数
ê ú
ë 2û
C.函数 f(x)的图像关于直线x=0对称 D.函数 f(x)是奇函数
【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等，基础题。（同文
4）
解： f(x)= -cosx，其中A、C显然正确，故选择D。
5. 如 图 ，已 知 六 棱 锥 P-ABCDEF的 底 面 是 正 六 边 形 ，
P
PA^平面ABC,PA=2AB，则下列结论正确的是
Ａ.PB^ AD Ｂ.平面PAB^平面PBC
、C. 直线BC∥平面PAE E
D
Ｄ.直线PD与平面ABC所成的角为45° F C
A B
【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系，基础题。（同文6）
解：由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，排除A；作AG ^ PB于G ，
因面PAB ^面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂
直，故排除B；由BC//EF ，而EF是平面PAE的斜线，故排除C，故选择D。
第7页 | 共18页6.已知a,b,c,d 为实数，且c>d。则“a>b”是“a-c>b-d ”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑，基础题。（同文7）
解析：a > b推不出a-c>b-d ；但a-c > b-d a > b+c-d > b，故选择B。
x2 y2
7.已知双曲线 - =1(b>0)的左右焦点分别为F,F ，其一条渐近线方程为y = x，点
2 b2 1 2
uuur uuuur
P( 3,y )在该双曲线上，则PF ·PF =
0 1 2
-12 -2
A. B. C .0 D. 4
【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，基础题。（同文8）
解析：由题知b2 = 2，故 y = 3-2 = 1,F (-2,0),F (2,0)，
0 1 2
∴PF ·PF = (-2- 3,1)·(2- 3,1)= 3-4+1= 0，故选择C。
1 2
8.如图，在半径为3的球面上有A,B,C三点，ÐABC =90°,BA= BC ，球心O到平面ABC
3 2
的距离是 ，则B、C两点的球面距离是
2
p 4p
A. B.p C. D.2p
3 3
O
【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距，基础题。（同文9）
A
解析：由知截面圆的半径
B C
18 3 2 2 p
r = 9- = BC = 3 2 = 3，故ÐBOC = ，所以B、C
4 2 2 3
p
两点的球面距离为3 =p，故选择B。
3
9.已知直线l :4x-3y+6=0和直线l :x=-1，抛物线 y2 =4x上一动点P到直线l 和直
1 2 1
线l 的距离之和的最小值是
2
11 37
A.2 B.3 C. D.
5 16
【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。
解析：直线l :x=-1为抛物线 y2 =4x的准线，由抛物线的定义知，P到l 的距离等于P
2 2
到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线 y2 =4x上找一个点P使得P到点
F(1,0)和直线l 的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l :4x-3y+6=0的距离，即
2 1
|4-0+6|
d = = 2，故选择A。
min 5
10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产
每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产
品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18
吨，那么该企业可获得最大利润是
A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元
【考点定位】本小题考查简单的线性规划，基础题。（同文10）
解析：设甲、乙种两种产品各需生产x、 y吨，可使利润z最大，故本题即
第8页 | 共18页ì3x+ y £13
ï
ï2x+3y £18
已知约束条件 í ，求目标函数 z = 5x+3y的最大值，可求出最优解为
x ³ 0
ï
ï îy ³ 0
ìx = 3
í ，故z =15+12= 27，故选择D。
îy = 4 max
11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位
女生相邻，则不同排法的种数是
A. 360 B. 228 C. 216 D. 96
【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。
解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有A3C2A2A2 = 332
3 3 4 2
种，其中男生甲站两端的有A1A2C2A2A2 =144，符合条件的排法故共有
2 2 3 3 2
12.已知函数 f(x)是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 x都有
5
xf(x+1)=(1+x)f(x)，则 f(f( ))的值是
2
1 5
A.0 B. C.1 D.
2 2
【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12）
1 1 1 1 1 1 1 1
解析：令 x = - ，则 - f( )= f(- )= f( ) f( )= 0；令 x = 0，则
2 2 2 2 2 2 2 2
f(0)= 0
x+1
由xf(x+1)=(1+x)f(x)得 f(x+1)= f(x)，所以
x
5 3
5 2 3 5 3 5 2 1 5
f( )= f( )= f( )= f( )= 0 f(f( ))= f(0)= 0，故选择A。
2 3 2 3 2 3 1 2 2
2 2
1
13.(2x- )6的展开式的常数项是 （用数字作答）
2x
【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项，基础题。（同文13）
1
解析：由题知(2x- )6的通项为T = (-1)rCr26-2r x6-2r，令6-2r = 0得r = 3，故
2x r+1 6
常数项为(-1)3C3 = -20。
6
14.若⊙O :x2 + y2 =5与⊙O :(x-m)2 + y2 =20(mÎR)相交于A、B两点，且两圆在
1 2
点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是
w
【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。
解 析 ： 由 题 知 O (0,0),O (m,0)， 且 5 <|m|< 3 5， 又 O A^ AO ， 所 以 有
1 2 1 2
5 20
m2 = ( 5)2 +(2 5)2 = 25 m = 5，∴AB = 2 = 4。
5
15.如图，已知正三棱柱 ABC-ABC 的各条棱长都相等，M 是侧 棱
1 1 1 A1
CC 的 中 点 ， 则 异 面 直 线 AB和BM 所 成 的 角 的 大 小
1 1
是 。
B1 C1
【考点定位】本小题考查异面直线的夹角，基础题。
M
A
第9页 | 共18页
B C解析：不妨设棱长为2，选择基向量{BA,BB ,BC}，则
1
1
AB = BB - BA,BM = BC - BB
1 1 2 1
1
(BB - BA)·(BC + BB )
1 2 1 0-2+2+0
cos< AB ,BM >= = = 0，故填写90o。
1
2 2 5 2 2 5
法2：取BC中点N，连结B N ，则AN ^面B C ，∴B N 是AB 在面B C 上的射影，
1 1 1 1 1
由几何知识知B N ^ BM ，由三垂线定理得AB ^ BM ，故填写90o。
1 1
16．设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射 f :V ®V,aÎV ，记a的象为
f(a)。 若 映 射 f :V ®V 满 足 ： 对 所 有 a,bÎV 及 任 意 实 数 l,m都 有
f(la+mb)=lf(a)+mf(b)，则 f 称为平面M 上的线性变换。现有下列命题：
①设 f 是平面M 上的线性变换，则 f(0)= 0
②对aÎV 设 f(a)= 2a，则 f 是平面M 上的线性变换；
③若e是平面M 上的单位向量，对aÎV 设 f(a)= a-e，则 f 是平面M 上的线性变换；
④设 f 是平面M 上的线性变换，a,bÎV ，若a,b共线，则 f(a), f(b)也共线。
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
【考点定位】本小题考查新定义，创新题。
解析：令a = b = 0,l=m=1，由题有 f(0)= 2f(0) f(0)= 0，故①正确；
由题 f(la+mb)= 2(la+mb)，lf(a)+mf(b)= 2la+2mb = 2(la+mb)，即
f(la+mb)=lf(a)+mf(b)，故②正确；
由题 f(la+mb)=la+mb-e，lf(a)+mf(b)=la-e+mb-e，即
f(la+mb)¹lf(a)+mf(b)，故③不正确；
由 题 b =la， f(0)= f(a-lb)= f(a)-lf(b)= 0 f(a)=lf(b)， 即
f(a), f(b)也共线，故④正确；
三、解答题
（17）本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦
定理等基础知识及基本运算能力。
10 3 10
解：（Ⅰ） A、B为锐角，sinB= ，\cosB= 1-sin2b =
Q
10 10
3
又cos2A=1-2sin2 A= ，
5
5 2 5
\sinA= ，cosA= 1-sin2 A = ，
5 5
2 5 3 10 5 10 2
\cos(A+B)=cosAcosB-sin AsinB= ´ - ´ =
5 10 5 10 2
第10页 | 共18页0< A+B<p
Q
p
\A+B= …………………………………………6分
4
3p 2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C = ,\sinC = .
4 2
a b c
由正弦定理 = = 得
sinA sinB sinC
5a= 10b= 2c，即a= 2b，c= 5b
Qa-b= 2-1，
\ 2b-b= 2-1，\b=1
\a= 2,c= 5 ……………………………………12分
（18）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，
考察运用概率只是解决实际问题的能力。
解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6
人持银卡。设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少
于2人”，
事件A为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，
1
事件A 为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。
2
P(B)= P(A)+P(A )
1 2
C1C2 C1C1C1
= 9 21 + 9 6 21
C3 C3
36 36
9 27
= +
34 170
36
=
85
36
所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是 。
85
…………………………………………………………6分
（Ⅱ）x的可能取值为0，1，2，3
C3 1 C1C2 3
P(x=0)= 3 = , P(x=1)= 6 3 =
C3 84 C3 14
9 9
C2C1 15 C3 15
P(x=2)= 6 3 = ，P(x=3)= 6 = ，
C3 28 C3 21
9 9
第11页 | 共18页所以x的分布列为
0 1 2 3
x
P 1 3 15 5
84 14 28 21
1 3 15 5
所以Ex=0´ +1´ +2´ +3´ =2， ……………………12分
84 14 28 21
（19）本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角
等基础知识，考察空间想象能力、逻辑推理能力和
数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的 E
能力。
解法一：
F
（Ⅰ）因为平面 ABEF⊥平面 ABCD,BC Ì平面
M
N
ABCD，
平面ABEF 平面ABCD = AB，
I
A
所以BC⊥平面ABEF G B
H
所以BC⊥EF . D
P C
因 为 DABE为 等 腰 直 角 三 角 形 ，
AB= AE，
所以ÐAEB=45o
又因为ÐAEF =45o，
所以ÐFEB=45o +45o =90o，
即EF ⊥BE = B,
所以EF ⊥平面BCE 。 ……………………………………4分
（Ⅱ）存在点M ,当M 为线段AE的中点时，PM∥平面BCE
1
取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝ AB∥＝PC
2
所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN
因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，
所以PM∥平面BCE ……………………………………8分
（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD
作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD
作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH
因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角
因为FA=FE, ∠AEF=45°,
所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.
2
设AB=1,则AE=1,AF= .
2
第12页 | 共18页1
FG=AF·sinFAG=
2
1 3
在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+ = ,
2 2
3 2 3 2
GH=BG·sinGBH= · =
2 2 4
FG 2
在Rt△FGH中，tanFHG= =
GH 3
2
故二面角F-BD-A的大小为arctan . ………………………………12分
3
解法二:
z
(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,
E
所以AE⊥AB.
又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AEÌ平面ABEF,
平面ABEF∩平面ABCD=AB, F M
所以AE⊥平面ABCD.
所以AE⊥AD. A B
y
因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所
D P C
x
示的直角坐标系A-xyz.
设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,
E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).
因为FA=FE, ∠AEF = 45°,
所以∠AFE= 90°.
1 1
从而，F(0,- , ).
2 2
uuur 1 1 uuur uuur
所以EF =(0,- , ),BE =(0,-1,1),BC =(1,0,0).
2 2
uuur uuur 1 1 uuur uuur
EF·BE =0+ - =0,EF·BC =0.
2 2
所以EF⊥BE, EF⊥BC.
因为BEÌ平面BCE,BC∩BE=B ,
所以EF⊥平面BCE.
(Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.
1 1
M ( 0,0, ), P ( 1, ,0 ).
2 2
uuuur 1 1
从而PM =(-1,- , ),
2 2
uuuur uuur 1 1 1 1
于是PM ·EF =(-1,- , )·(0,- ,- )=0
2 2 2 2
所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，
故PMM∥平面BCE. ………………………………8分
第13页 | 共18页ur ur
(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为n ，并设n =（x,y,z）.
1 1
uuuv uuuv 3 1
BD=（1，-1，0） ， BF =（0，- ，）
2 2
uv uuuv
ì ïn gBD = 0 ì
ï
x-y =0
1
íuv uuuv 即 í 3 1
ïî n gBF = 0 ï - y+ z =0
1 î 2 2
uuv
取y=1，则x=1，z=3。从而n =（1，1，3）。
1
uuv
取平面ABD的一个法向量为n =（0，0，1）。
2
uv uuv
uuv uuv n gn 3 3 11
cos(n ,n )= uv1 uuv2 = = 。
1 2 n n 11g1 11
1 2
3 11
故二面角F—BD—A的大小为arccos 。……………………………………12分
11
（20）本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题
及推理运算能力。
c 2
=
{ a 2
解：（Ⅰ）有条件有 a 2
= 2
，解得a = 2，c=1。
c
\b= a2 -c2 =1。
x2
所以，所求椭圆的方程为 +y2 =1。…………………………………4分
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F(-1,0)、F（1，0）。
1 2
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1.
2
将x=-1代入椭圆方程得y= 。
2
2 2
不妨设M(-1, )、N（-1，- ），
2 2
uuuuv uuuv 2 2
\F M +F N =(-2, )+(-2,- )=(-4,0).
2 2 2 2
uuuuv uuuv
\ F M +F N =4,与题设矛盾。
2 2
第14页 | 共18页\直线l的斜率存在。
设直线l的斜率为k，则直线的方程为y=k（x+1）。
设M(x，y )、N(x ,y )，
1 1 2 2
x2
+y2=1
{ 2
联立 y=k(x+1) ，消y得(1+2k2)x2 +4k2x+2k2 -2=0。
-4k2 2k
由根与系数的关系知x +x = ，从而y + y =k(x +x +2)= ，
1 2 1+2k2 1 2 1 2 1+2k2
uuuuv uuuuv
又 F M =(x -1,y )，F N =(x -1,y )，
Q 2 1 1 2 2 2
uuuuv uuuuv
\F M +F N =(x +x -2,y + y )。
2 2 1 2 1 2
uuuuv uuuuv2
\ F M +F N =(x +x -2)2 +(y + y )2
2 2 1 2 1 2
8k2 +2 2k
=( )2 +( )2
1+2k2 1+2k2
4(16k4 +9k2 +1)
=
4k4 +4k2 +1
4(16k4 +9k2 +1) 2 26
\ =( )2。
4k4 +4k2 +1 3
17
化简得40k4 -23k2 -17=0,解得k2 =1或者k2 =-
40
\k =1.
\所求直线l的方程为y = x+1或者y =-x-1
（21）本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理
和运算能力。
解：（Ⅰ）由题意知1-ax >0
当0<a<1时，f(x)的定义域是（0，+¥）；当a >1时，f(x)的定义域是（-¥，0）
-axlna ax
f¢(x)= glog e=
1-ax a ax -1
当0<a<1时，xÎ(0,+¥).因为ax -1<0,ax >0,故f¢(x)<0,所以f(x)是减函数
当a>1时，xÎ(-¥,0),因为ax -1<0,ax >0,故f¢(x)<0,所以f(x)是减函数….（4分）
第15页 | 共18页（Ⅱ）因为 f(n)=log (1-an),所以af(n) =1-an
a
由函数定义域知1-an>0,因为n是正整数，故0<a<1.
af(n) 1-an 1
所以lim =lim =
n®¥an +a n®¥an +a a
（Ⅲ）（h x)=ex(x2 -m+1)(x<0),所以h¢(x)=ex(x2 +2x-m+1)
令h¢(x)=0,即x2 +2x-m+1=0,由题意应有D³0，即m³0
① 当m=0时，h¢(x)=0有实根x=-1，在x=-1点左右两侧均有h¢(x)>0故无极值
② 当0<m<1时，h¢(x)=0有两个实根x =-1- m,x =-1+ m
1 2
当x变化时，h¢(x)、h(x)的变化情况如下表所示：
x (-¥,x ) x (x ,x ) x (x ,0)
1 1 1 2 2 2
h¢(x) + 0 - 0 +
h(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
\h(x)的极大值为2e-1- m(1+ m)，h(x)的极小值为2e-1+ m(1- m)
③ 当m³1时，h¢(x)=0在定义域内有一个实根，x=-1- m
同上可得h(x)的极大值为2e-1- m(1+ m)
综上所述，mÎ（0，+¥）时，函数h(x)有极值；
当0<m<1时h(x)的极大值为2e-1- m(1+ m)，h(x)的极小值为2e-1+ m(1- m)
当m³1时，h(x)的极大值为2e-1- m(1+ m)
（22）本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理
论证、分析与解决问题的能力。
1
解：（Ⅰ）当n=1时，a =5a +1,\a =-
1 1 1 4
又 Qa =5a +1,a =5a +1
n n n+1 n+1
1
\a -a =5a ,即a =- a
n+1 n n+1 n+1 4 n
第16页 | 共18页1 1
\数列a 成等比数列，其首项a =- ，公比是q=-
n 1 4 4
1
\a =(- )n
n 4
1
4+(- )n
4
\b = ……………………………………..3分
n 1
1-(- )n
4
5
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b =4+
n (-4)n -1
5 5 25´16n
\c =b -b = + =
n 2n 2n-1 42n -1 42n-1+1 (16n -1)(16n +4)
25´16n 25´16n 25
= < =
(16n)2 +3´16n -4) (16n)2 16n
13 4
又b =3,b = ,\c =
1 2 3 1 3
3
当n=1时，T <
1 2
4 1 1 1
当n³2时，T < +25´( + +K + )
n 3 162 163 16n
1 é æ 1 ö n-1ù
ê1- ç ÷ ú 1
4 162 êë è16ø úû 4 162 69 3
= +25´ < +25´ = < .
3 1 3 1 48 2
1- 1-
16 16
5
（Ⅲ）由（Ⅰ）知b =4+
n (-4)n -1
一方面，已知R £ln恒成立，取n为大于1的奇数时，设n=2k+1(kÎN*)
n
则R =b +b +K +b
n 1 2 2k+1
1 1 1 1
=4n+5´(- + - +K K - )
41+1 42 -1 43+1 42k+1+1
1 1 1 1 1
=4n+5´[- +( - )+K K +( - )]
41+1 42 -1 43 +1 42k -1 42k+1+1
>4n-1
\ln³ R >4n-1,即（l-4）n>-1对一切大于1的奇数n恒成立
n
1
\l³4,否则，（l-4）n>-1只对满足n< 的正奇数n成立，矛盾。
4-l
第17页 | 共18页另一方面，当l=4时，对一切的正整数n都有R £4n
n
事实上，对任意的正整数k，
5 5
b +b =8+ +
Q 2k-1 2k 1 (-4)2k -1
(- )2k-1-1
4
5 20
=8+ -
16k -1 16k +4
15´16k -40
=8- <8
(16k -1)(16k +4)
\当n为偶数时，设n=2m(mÎN*)
则R =(b +b )+(b +b )+K +(b +b )
n 1 2 3 4 2m-1 2m
<8m=4n
当n为奇数时，设n=2m-1(mÎN*)
则R =(b +b )+(b +b )+K +(b +b )+b
n 1 2 3 4 2m-3 2m-2 2m-1
<8(m-1)+4=8m-4=4n
\对一切的正整数n，都有R £4n
n
综上所述，正实数l的最小值为4………………………….14分
第18页 | 共18页
