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2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
理科数学
第Ⅰ卷
本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式 S =4πR2
P(A+B)= P(A)+P(B) 其中R表示球的半径
4
如果事件A，B相互独立，那么 球的体积公式 V = πR3
3
P(A B)= P(A) P(B) 其中R表示球的半径
g g
一、选择题：
1. 设集合S = x| x <5 ,T = x|x2 +4x-21<0 ,则S T =
I
Ａ. x|-7< x<-5 Ｂ. x|3< x<5 Ｃ. x|-5< x<3 Ｄ. x|-7< x<5
ìa+log x(当x³2时)
ï 2
２.已知函数 f(x)=íx2 -4 在点x=2处连续，则常数a的值是
ï
(当x<2时）
î x-2
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５
(1+2i)2
３.复数 的值是
3-4i
Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－i Ｄ.i
p
4.已知函数 f(x)=sin(x- )(xÎR)，下面结论错误的是
2
é pù
A.函数 f(x)的最小正周期为2p B.函数 f(x)在区间 0, 上是增函数
ê ú
ë 2û
C.函数 f(x)的图像关于直线x=0对称 D.函数 f(x)是奇函数
第1页 | 共7页5.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA^平面ABC,PA=2AB，则
下列结论正确的是
Ａ.PB^ AD Ｂ.平面PAB^平面PBC
P
C. 直线BC∥平面PAE Ｄ.直线PD与平面ABC所成的角为45°
E
D
6.已知a,b,c,d 为实数，且c>d。则“a>b”是“a-c>b-d ”的 F C
A B
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
x2 y2
7.已知双曲线 - =1(b>0)的左右焦点分别为F,F ，其一条渐近线方程为y = x，
2 b2 1 2
uuur uuuur
点P( 3,y )在该双曲线上，则PF ·PF =
0 1 2
-12 -2
A. B. C .0 D. 4
8.如图，在半径为3的球面上有A,B,C三点，ÐABC =90°,BA= BC ，球心O到平面
3 2
ABC的距离是 ，则B、C两点的球面距离是
2
p 4p
O
A. B.p C. D.2p
3 3 A
9.已知直线l :4x-3y+6=0和直线l :x=-1，抛物线y2 =4x上一动点 B C
1 2
P到直线l 和直线l 的距离之和的最小值是
1 2
11 37
A.2 B.3 C. D.
5 16
10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每
吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获
得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么
该企业可获得最大利润是
A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元
11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女
生相邻，则不同排法的种数是
A. 360 B. 228 C. 216 D. 96
第2页 | 共7页12.已知函数 f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有
5
xf(x+1)=(1+x)f(x)，则 f(f( ))的值是
2
1 5
A.0 B. C.1 D.
2 2
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
1
13.(2x- )6的展开式的常数项是 （用数字作答）
2x
14.若⊙O :x2 + y2 =5与⊙O :(x-m)2 + y2 =20(mÎR)相交于A、B两点，且两圆在
1 2
点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是
A1
15.如图，已知正三棱柱ABC-ABC 的各条棱长都相等，M 是侧
1 1 1
B1 C1
棱CC 的中点，则异面直线AB和BM 所成的角的大小是 。
1 1
M
A
16．设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射 f :V ®V,aÎV ，
B C
记a的象为 f(a)。若映射 f :V ®V 满足：对所有a,bÎV 及任意实数l,m都有
f(la+mb)=lf(a)+mf(b)，则 f 称为平面M 上的线性变换。现有下列命题：
①设 f 是平面M 上的线性变换，则 f(0)=0
②对aÎV,设f(a)=2a，则 f 是平面M 上的线性变换；
③若e是平面M 上的单位向量，对aÎV,设f(a)=a-e，则 f 是平面M 上的线性变换
；
④设 f 是平面M 上的线性变换，a,bÎV ，若a,b共线，则 f(a), f(b)也共线。
其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
第3页 | 共7页三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分12分）
在 ABC中，A,B为锐角，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，且
V
3 10
cos2A= ,sinB=
5 10
（I）求A+B的值；
（II）若a+b= 2-1，求a,b,c的值。
18. （本小题满分12分）
为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发
行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司
3
组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客。
4
1 2
在省外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡。
3 3
（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量x，求x的分
布列及数学期望Ex。
第4页 | 共7页19（本小题满分12分）
如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直
角三角形，AB= AE,FA= FE,ÐAEF =45°
E
（I）求证：EF ^平面BCE；
（II）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一
F
点M ，使得PM 平面BCE？若存在，请指出点M 的
P
A B
位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
D
P C
（III）求二面角F -BD-A的大小。
20（本小题满分12分）
x2 y2 2
已知椭圆 + =1(a>b>0)的左右焦点分别为F,F ，离心率e= ，右准线方程
a2 b 1 2 2
为x=2。
（I）求椭圆的标准方程；
uuuur uuuur 2 26
（II）过点F 的直线l与该椭圆交于M,N 两点，且 F M +F N = ，求直线l的方
1 2 2 3
程。
第5页 | 共7页21. （本小题满分12分）
已知a>0,且a¹1函数 f(x)=log (1-ax)。
a
（I）求函数 f(x)的定义域，并判断 f(x)的单调性；
af(n)
（II）若nÎN*,求 lim ;
n®+¥an +a
（III）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h(x)=(1-ef(x))(x2 -m+1)，若函数
h(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h(x)的极值。
22. （本小题满分14分）
设数列a 的前n项和为S ，对任意的正整数n，都有a =5S +1成立，记
n n n n
4+a
b = n (nÎN*)。
n 1-a
n
（I）求数列b 的通项公式；
n
（II）记c =b -b (nÎN*)，设数列c 的前n项和为T ，求证：对任意正整数n
n 2n 2n-1 n n
3
都有T < ；
n 2
（III）设数列b 的前n项和为R 。已知正实数l满足：对任意正整数n,R £ln恒成
n n n
立，求l的最小值。
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