辽宁七校协作体2025届高三下学期3月联考数学答案_2025年3月_250309辽宁省七校协作体2024-2025学年度（下）3月高三联考（全科）_辽宁省七校协作体2024-2025学年度（下）3月高三联考数学

2024-2025学年度(下)七校协作体3月高三联考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知集合A={x∣-1≤x≤2},B=x∣y= 1-x  ，则A∩B= ( ) A. (-1,2) B. [-1,1] C. (-1,1) D. [0,2] 【答案】B 【详解】B=x∣y= 1-x  =xx≤1  . 则A∩B=-1,1  故选：B 2i 2. 已知i为虚数单位，若z= ，则z2= ( ) 1+i A. 2i B. -2i C. 2 D. -2 【答案】A 2i 【详解】解：因为z= ， 1+i 2i 所以z2= 1+i  2 -4 2 = =- =2i. 1+2i-1 i 故选：A  3. 已知两个变量x和y之间具有较强的线性相关关系，且y关于x的经验回归方程为y=bx+0.16，由  它计算出成对样本数据(2,1.4)对应的残差为0.12(残差=观测值-预测值)，则b= ( ) A. 0.28 B. 0.56 C. 0.34 D. 0.48 【答案】B  【详解】因为y关于x的经验回归方程为y=bx+0.16，   所以预测值为y=b×2+0.16，又因为残差=观测值-预测值，  所以0.12=1.4-2b+0.16  ，  所以b=0.56. 故选：B. 4. 若直线l 1 ：x+2y-3=0与直线l 2 ：kx-2y+1=0k∈R  平行，则这两条直线间的距离为 ( ) 5 2 5 4 4 5 A. B. C. D. 5 5 5 5 【答案】B 【详解】因为直线l 1 ：x+2y-3=0与直线l 2 ：kx-2y+1=0k∈R  平行， k -2 1 所以 = ≠ ，所以k=-1， 1 2 -3 所以直线l ：-x-2y+1=0即x+2y-1=0， 2 -1--3 所以这两条直线间的距离为d=    2 5 = . 12+22 5 ·1·故选：B. 5. 已知等比数列a n  的公比为q，前nn∈N*  项和为S ，若S =9S ，则下列结论公比q= ( ) n 6 3 1 1 A. q=2 B. q= C. q=-2 D. q=- 2 2 【答案】A 【详解】由于S =9S ， 6 3 若q=1，则S =6a,S =3a,9S =27a ， 6 1 3 1 3 1 而a ≠0，则S ≠9S ，所以q=1不符合题意. 1 6 3 当q≠0且q≠1时， a 11-q6  = 9a 11-q3 1-q  ， 1-q 即1-q6=91-q3  ， 即1+q3  1-q3  =91-q3  ， 则1-q3=9,q3=8,q=2. 故选：A 6. 记a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边，则“△ABC为直角三角形”是“asinC-acosC=c-b”的 ( ) A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】在△ABC中，由asinC-acosC=c-b及正弦定理，得sinAsinC-sinAcosC=sinC-sinB =sinC-sin(A+C)=sinC-sinAcosC-cosAsinC，则sinAsinC=sinC-sinCcosA， 而sinC>0，则sinA+cosA=1，两边平方整理得2sinAcosA=0，而00,cosA=0，A= ，因此△ABC为直角三角形； 2 π π π 反之，△ABC为直角三角形，A= 或B= 或C= ， 2 2 2 所以“△ABC为直角三角形”是“asinC-acosC=c-b”的必要不充分条件，B正确. 故选：B 7. 2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一 块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以4:2的比分赢得胜 利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制(先胜4局者胜， 2 比赛结束)，已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为 ，则“莎头”组合以4:1获胜的概率为 ( ) 3 16 80 42 64 A. B. C. D. 243 243 243 243 【答案】D 【详解】由题意“莎头”组合以4:1获胜，即前四局胜三局，负一局，第五局获胜， 2 所以获胜概率为：C3 4 3  3 1  3  2 64 × = ， 3 243 故选：D 8. 已知过点P(-2,1)的直线l与抛物线x2=2y交于点A，B两点.若A，B的横坐标分别为x ,x .则 1 2 ·2·x 1 +2  x 2 +2  = ( ) A. -4 B. -3 C. 0 D. 2 【答案】D 【详解】由题意可知直线AB的斜率存在，设直线方程为y-1=kx+2  ， y-1=kx+2 联立可得    ，消去y可得x2-2kx-4k-2=0， x2=2y 由Δ=-2k  2-4×-4k-2  =4k2+16k+8>0， 则x +x =2k，xx =-4k-2， 1 2 1 2 所以x 1 +2  x 2 +2  =x 1 x 2 +2x 1 +x 2  +4=-4k-2+4k+4=2. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知α,β是两个不重合的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是 ( ) A. 若m⊥α,m⊥β，则α⎳β B. 若α⊥β,m⊥α,n⊥β，则m⊥n C. 若m⎳n,m⎳α，则n⎳α D. 若m⎳α,m⎳β,α∩β=n，则m⎳n 【答案】ABD 【详解】对于A，根据线面垂直的性质可得若m⊥α,m⊥β，则α⎳β，即A正确； 对于B，易知若α⊥β,m⊥α可得m⎳α或m⊂α，又n⊥β可知m⊥n，即B正确； 对于C，若m⎳n,m⎳α，则n⎳α或n⊂α，因此C错误； 对于D，如果直线m平行于平面α和β，且α和β的交线为n，那么直线m必须平行于n； 假设m不平行于n，它必将与其中一个平面相交，这与m平行于两个平面的条件相互矛盾， 所以若m⎳α,m⎳β,α∩β=n，则m⎳n，故D正确。 故选：ABD 10. 设正实数m，n满足m+n=2，则 ( ) 1 2 3 A. + 的最小值为 + 2 B. m+ n的最大值为2 m n 2 1 1 C. mn的最大值为 D. m2+n2的最小值为 4 2 【答案】AB 【详解】由m+n=2，m,n>0， 1 2 1 1 2 则 + =  + m n 2 m n  m+n  1 n 2m =  + +3 2 m n  1 n 2m ≥ 2 ⋅ +3 2 m n  3 = 2+ ， 2 n 2m 当且仅当 = ，即m=2 2-2,n=4-2 2时等号成立， m n 1 2 3 则 + 的最小值为 + 2，故A正确； m n 2 由 m+ n  m+n 2=m+n+2 mn=2+2 mn≤2+2⋅ =4， 2 当且仅当m=n=1时等号成立， 则 m+ n的最大值为2，故B正确； m+n 由mn≤ 2  2 =1，当且仅当m=n=1时等号成立， 则mn的最大值为1，故C错误； ·3·由m2+n2=m+n  2-2mn=4-2mn≥4-2×1=2， 当且仅当m=n=1时等号成立， 则m2+n2的最小值为2，故D错误. 故选：AB. 11. 已知函数f(x)=sinx+cosx+sin2x+cos2x，则 ( ) A. π是f(x)的一个周期 B. f(x)是非奇非偶函数 C. f(x)的最小值为-2 2 D. 关于x的方程f(x)=f(2x)有无数个实数解 【答案】BD 【详解】对于A，由fx+π  =sinx+π  +cosx+π  +sin2x+2π  +cos2x+2π  =-sinx-cosx+sin2x+cos2x≠fx  ，则π不是函数fx  的一个周期，故A错误； 对于B，由fx  =sinx+cosx+sin2x+cos2x，则其定义域为ℝ， 因为f-x  =sin-x  +cos-x  +sin2-x  +cos2-x  =-sinx+cosx-sin2x+cos2x， 所以函数fx  是非奇非偶函数，故B正确； π 对于C，sinx+cosx= 2sinx+ 4  3π ≥- 2，当且仅当x=- +2kπ，k ∈Z，等号成立； 4 1 1 π sin2x+cos2x= 2sin2x+ 4  3π ≥- 2，当且仅当x=- +k π，k ∈Z，等号成立， 8 2 2 3π 3π 由- 4 +2k 1 π≠- 8 +k 2 π，则fx  >-2 2，故C错误； min 对于D，由fx  =f2x  ， 则sinx+cosx+sin2x+cos2x=sin2x+cos2x+sin4x+cos4x， π 可得sinx+cosx=sin4x+cos4x，整理可得 2sinx+ 4  π = 2sin4x+ 4  ， π π π π 解得x+ =4x+ +2kπ或x+ =π-4x+ 4 4 4 4  +2kπ，k∈Z， 2kπ π 2 化简可得x=- 或 + kπ，k∈Z，故D正确. 3 10 5 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量ξ与服从正态分布N4,σ2  ,P(ξ<6)=2P(ξ<2)，则P(2<ξ<4)= . 1 【答案】 6 【详解】解：设P(2<ξ<4)=x， 则P(4<ξ<6)=x， 1 所以P(ξ<2)= -x， 2 又因为P(ξ<6)=2P(ξ<2)， 1 所以2 -x 2  1 1 = -x+x+x= +x， 2 2 1 解得x= . 6 1 故答案为： 6     13. 若非零向量a与单位向量e共线，且a+e   =e   ，则a  = . 【答案】2     【详解】因为非零向量a与单位向量e共线，则a=λeλ≠0   ，且e  =1， ·4·  因为a+e   =e    ，则a+e  2    =e2，即λe+e  2  =e2， 整理得λ2+2λ=0，解得λ=0(舍)或λ=-2，  所以a   =-2e   =2e  =2. 故答案为：2. 14. 如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱AC，AD于E，F两点，且四面 1 体ABEF的体积为四面体ABCD体积的 ，则S = ，EF的最小值为 . 3 △AEF 3 1 3 1 【答案】 ①. ## 3 ②. ## 3 12 12 3 3 1 1 1 1 3 3 【详解】因为V = V ，则S = S = × ×1×1× = ， B-AEF 3 B-ACD △AEF 3 △ACD 3 2 2 12 记EF=a,AE=b,AF=c， 1 3 1 因为 bcsin60°= ，即bc= 。 2 12 3 1 又因为a2=b2+c2-2bccos60°≥2bc-bc=bc= ， 3 b=c  3 当且仅当 bc=1 ，即b=c= 3 时，取等号. 3 3 所以a的最小值为 . 3 3 3 故答案为： ； . 12 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 3 15. 已知函数f(x)= x2-6ax+blnx+2a2 (a,b∈R) 2 (1)若f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为4x-2y-1=0，求a与b的值； 5 (2)若f(x)在x=1处有极值- ，求a与b的值. 2 【答案】(1)a=0，b=-1或a=3，b=17 (2)a=2,b=9 【解析】 【小问1详解】 3 b 因为f(x)= x2-6ax+blnx+2a2，所以f(x)=3x-6a+ ， 2 x 3 所以f(1)= -6a+2a2，f(1)=3-6a+b， 2 因为切线方程为4x-2y-1=0， 所以   f(1)=3 2 -6a+2a2=3 2 ，解得  a=0 或  a=3 ， f(1)=3-6a+b=2 b=-1 b=17 ·5·所以a=0，b=-1或a=3，b=17. 【小问2详解】 5 ∵函数f(x)在x=1处有极值- 2 3 5 ∴f(1)=3-6a+b=0且f(1)= -6a+2a2=- ，解得a=1，b=3或a=2,b=9 2 2 3 3(x-1)2 当a=1，b=3时，f(x)=3x-6+ = ≥0恒成立，此时函数无极值点， x x 9 3(x-1)(x-3) 当a=2,b=9时，f(x)=3x-12+ = ，此时1是极值点，满足题意， x x 所以a=2,b=9. 1 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB⎳DC，AB= CD= 2 AD=1，M为棱PC的中点. (1)证明：BM⎳平面PAD； (2)若PC= 5，PD=1，求二面角P-DM-B的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 30 (2) 6 【解析】 【小问1详解】 取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示： 1 ∵M为棱PC的中点，∴MN⎳CD，MN= CD， 2 1 ∵AB⎳CD，AB= CD，∴AB⎳MN，AB=MN， 2 四边形ABMN是平行四边形，∴BM⎳AN， 又BM⊄平面PAD，AN⊂平面PAD， ∴BM⎳平面PAD. 【小问2详解】 ∵PC= 5,PD=1,CD=2，∴PC2=PD2+CD2，∴PD⊥DC， 平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，PD⊂平面PDC， ∴PD⊥平面ABCD，又AD，CD⊂平面ABCD， ∴PD⊥AD，PD⊥CD，又AD⊥DC， 以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ·6·如图： 则P0,0,1  ,D0,0,0  ,A1,0,0  ,C0,2,0  ， 1 ∵M为棱PC的中点，∴M0,1, 2  ,B1,1,0   1 DM =0,1, 2   ，DB=1,1,0  ，  设平面BDM的一个法向量为n=x,y,z  ，  n  ⋅DM=y+1 z=0  则   2 ，令z=2，则y=-1,x=1，∴n=1,-1,2 n⋅DB=x+y=0  ,  平面PDM的一个法向量为DA=1,0,0  ，   ∴cosn，DA    n⋅DA =  n   DA  1 6 = = ， 1× 6 6 6 则二面角P-DM-B的正弦值为 1- 6  2 30 = . 6 17. 随着科技 飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大. 为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI 大模型的情况统计如下： 使用AI大模型的种 数 0 1 2 3 4 性别 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下： AI大模型种 A B C D 类 人次 32 30 30 28 用频率估计概率. (1)从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型(A、B、C、D中)的概率； (2)从该地区使用3种AI大模型(A、B、C、D中)的教师中，随机选出3人，记使用B的有X人，求 X的分布列及其数学期望EX  ； ·7·(3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型(A、B、C、D中)的种数分别为Y, Z，比较Y,Z的数学期望EY  ,EZ  的大小．(结论不要求证明) 23 【答案】(1) 40 9 (2)分布列见解析，数学期望为 4 (3)EY  >EZ  【解析】 【小问1详解】 记事件M为“从该地区教师中随机选取一人，至少使用两种AI大模型”， 则估计PM  50+40+25 23 = = . 200 40 【小问2详解】 记事件N为“从该地区使用3种AI大模型 40名教师中随机选1人，该人使用模型B”， 根据题中数据，PN  30 3 = = . 40 4 X的可能取值为0,1,2,3， PX=0  1 =C0 3 4  3 1 = ， 64 PX=1  3 =C1 3 4  1  4  2 9 = ， 64 PX=2  3 =C2 3 4  2 1  4  27 = ． 64 PX=3  3 =C3 3 4  3 27 = . 64 X的分布列为 X 0 1 2 3 1 9 27 27 P 64 64 64 64 EX  1 9 27 27 9 =0× +1× +2× +3× = . 64 64 64 64 4 【小问3详解】 由题意可得该地区男，女教师人数分别为：80和120， 则易求EY  4 27 23 16 10 161 =0× +1× +2× +3× +4× = ， 80 80 80 80 80 80 EZ  6 48 27 24 15 234 =0× +1× +2× +3× +4× = ，故EY 120 120 120 120 120 120  >EZ  . x2 y2 3 1 18. 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，且过点 3, a2 b2 2 2  . (1)求C的方程； 4 6 (2)若斜率为1的直线与C相交于E，F两点，且|EF|= ，求l的方程； 5 (3)椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线x=4交于M，N两 r 点，设△PMN与△PAB的外接圆的半径分别为r ，r ，求 1 的最小值. 1 2 r 2 x2 【答案】(1) +y2=1 4 ·8·(2)y=x± 2 3 (3) 2 【解析】 【小问1详解】 c 3 1 由题意得 = ，将 3, a 2 2  3 1 代入椭圆方程得 + =1， a2 4b2 又c2=a2-b2，解得a2=4,b2=1， x2 故椭圆C的方程为 +y2=1. 4 【小问2详解】 设l的方程为y=x+m,Ex 1 ,y 1  ,Fx 2 ,y 2  ，则m≠±2. y=x+m  联立方程组x2 +y2=1 ，整理得5x2+8mx+4m2-4=0， 4 则Δ=8m  2-204m2-4  =80-16m2>0，即m2<5， 8m 4m2-4 所以x +x =- ，xx = ， 1 2 5 1 2 5 则EF  = 2× x 1 +x 2  2× 80-16m2 4 6 2-4xx = = ， 1 2 5 5 解得m=± 2，满足题设， 所以l的方程为y=x± 2. 【小问3详解】 设直线PA的方程为y=kx+2  1 ，则直线PB的方程为y=- x-2 4k  . 令x=4，得M4,6k  1 ，同理得N4,- 2k  ，则MN  1 =6k+ 2k  =6k  1 + 2k  . MN 在△PMN中，由正弦定理知r = 1  ， 2sin∠MPN AB 同理可得r = 2  . 2sin∠APB 因为∠MPN+∠APB=π，所以sin∠MPN=sin∠APB， r MN 从而 1 = r 2  AB  6k =  + 1 2k  2 3 3 ≥ = ， 4 4 2 3 r 3 当且仅当k=± 时等号成立，故 1 的最小值为 . 6 r 2 2 19. 若数列 A n  满足A =A2，则称数列 A n+1 n n  为“平方递推数列”.已知数列 a n  中，a =9，点 1 a n ,a n+1  在函数f(x)=x2+2x 图象上，其中n为正整数. (1)证明数列a +1 n  是“平方递推数列”，且数列 lga n +1    为等比数列； ·9·(2)设(1)中“平方递推数列”的前n项积为T n ，即T n =a 1 +1  a 2 +1  ⋯a n +1  ，求lgT ； n lgT (3)在(2)的条件下，记b = n n lga n +1  ，求数列b n  的前n项和S ，并求使S >4048的n的最小值. n n 【答案】(1)证明见解析； (2)2n-1； 1 (3)S =2n-2+ ，n的最小值为2025. n 2n-1 【解析】 【小问1详解】 由题意得：a n+1 =a2 n +2a n ，即a n+1 +1=a n +1  2，则a +1 n  是“平方递推数列”. 对a n+1 +1=a n +1  2两边取对数得lga n+1 +1  =2lga n +1  ， 所以数列 lga n +1    是以 lga 1 +1    为首项，2为公比的等比数列. 【小问2详解】 由(1)知lga n +1  =lga 1 +1  ⋅2n-1=2n-1， lgT n =lga 1 +1  a 2 +1  ⋯a n +1  =lga 1 +1  +lga 2 +1  +⋯+lga n +1  1⋅(1-2n) = =2n-1. 1-2 【小问3详解】 lgT b = n n lga n +1  2n-1 1 = =2- 2n-1 2  n-1 ， 1- 1 S =2n- 2n =2n-2+ 1 ， n 1-1 2n-1 2 1 1 又S >4048，即2n-2+ >4048，n+ >2025， n 2n-1 2n 1 又0< <1，所以n =2025. 2n min ·10·