文档内容
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（文科）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格
内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知集合A=1,3,m，B=3,4，A B=1,2,3,4则m= 2 。
U
解析：考查并集的概念，显然m=2
2-x
2.不等式 >0的解集是 x|-4 x 2 。
x+4
2-x
解析：考查分式不等式的解法 >0等价于（x-2）(x+4)<0,所以-40知x 属于区间（1.75，2）
0
18.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC =5:11:13，则△ABC
（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
解析：由sinA:sinB:sinC =5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13
52 +112 -132
由余弦定理得cosc = 0，所以角C为钝角
2511
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的
规定区域内写出必要的步骤。
19.（本题满分12分）
p
已知0 x ，化简：
2
x p
lg(cosx×tanx+1-2sin2 )+lg[ 2cos(x- )]-lg(1+sin2x).
2 2
解析：原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=0．
20.（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形
骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧
面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径r取何值时，S 取得最大值？并求出该
最大值（结果精确到0.01平方米）;
(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作
出
用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.
解析：(1)
设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0S 成立的最小正整数n.
n n+1 n
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解析：(1) 当n=1时，a =-14；当n≥2时，a =S -S =-5a +5a +1，所以a -1= (a -1)，
1 n n n-1 n n-1 n 6 n-1
又a -1=-15≠0，所以数列{a -1}是等比数列；
1 n
(2)
æ5ö n-1 æ5ö n-1 æ5ö n-1
由(1)知：a -1=-15×ç ÷ ，得a =1-15×ç ÷ ，从而S =75×ç ÷ +n-90(nÎN*
n è6ø n è6ø n è6ø
)；
æ5ö n-1 2 2
由S n+1 >S n ，得 ç è6 ÷ ø 5 ，n>log 5 25 +1»14.9，最小正整数n=15．
6
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满
分8分。
若实数x、y、m满足 x-m y-m ，则称x比y接近m.
（1）若x2 -1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab ab ；
（3）已知函数 f(x)的定义域D x x¹kp,kÎZ,xÎR .任取xÎD， f(x)等于
1+sinx和1-sinx中接近0的那个值.写出函数 f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小
正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.
解析：(1) xÎ(-2,2)；
(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有a2b+ab2 >2ab ab，a3 +b3 >2ab ab，
因为|a2b+ab2 -2ab ab|-|a3 +b3 -2ab ab|=-(a+b)(a-b)2 0，
所以|a2b+ab2 -2ab ab||a3 +b3 -2ab ab|，即a2b+ab2比a3+b3接近2ab ab ；
ì1+sinx, xÎ(2kp-p,2kp)
(3) f(x)=í =1-|sinx|,x¹kp,kÎZ，
î1-sinx, xÎ(2kp,2kp+p)
f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0，
p p
函数f(x)在区间[kp- ,kp)单调递增，在区间(kp,kp+ ]单调递减，kÎZ．
2 2
23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分
8分.
x2 y2
已知椭圆G的方程为 + =1(a>b>0)，A(0,b)、B(0,-b)和Q(a,0)为G的三个顶
a2 b2
第5页 | 共7页点.
uuuur 1 uuur uuur
（1）若点M 满足AM = (AQ+ AB)，求点M 的坐标；
2
（2）设直线l : y =k x+ p交椭圆G于C、D两点，交直线l : y =k x于点E.若
1 1 2 2
b2
k ×k =- ，证明：E为CD的中点；
1 2 a2
（3）设点P在椭圆G内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F 的直线l，使得l与椭圆G
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
的两个交点P、P 满足PP +PP = PQ PP +PP = PQ？令a=10，b=5，点P的坐
1 2 1 2 1 2
uuur uuur uuur
标是（-8，-1），若椭圆G上的点P、P 满足PP +PP = PQ，求点P、P 的坐标.
1 2 1 2 1 2
a b
解析：(1) M( ,- )；
2 2
ìy=k x+ p
ï 1
(2) 由方程组íx2 y2 ，消y得方程(a2k2 +b2)x2 +2a2k px+a2(p2 -b2)=0，
ï + =1 1 1
îa2 b2
因为直线l : y =k x+ p交椭圆G于C、D两点，
1 1
所以>0，即a2k2 +b2 - p2 >0，
1
设C(x ,y )、D(x ,y )，CD中点坐标为(x ,y )，
1 1 2 2 0 0
ì x +x a2k p
ïx = 1 2 =- 1
ï 0 2 a2k2 +b2
则í 1 ，
ï
b2p
y =k x + p=
ï
î
0 1 0 a2k2 +b2
1
ìy=k x+ p
由方程组í 1 ，消y得方程(k
2
-k
1
)x=p，
îy=k x
2
ì p a2k p
ïx= =- 1 =x
b2 ï k -k a2k2 +b2 0
又因为k =- ，所以í 2 1 1 ，
2 a2k
1 ï y=k x=
b2p
= y
ï
î
2 a2k2 +b2 0
1
故E为CD的中点；
(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k ，由
2
uuur uuur uuur b2
PP +PP =PQ知F为P P 的中点，根据(2)可得直线l的斜率k =- ，从而得直线l的方
1 2 1 2 1 a2k
2
程．
第6页 | 共7页1 1 b2 1
F(1,- )，直线OF的斜率k =- ，直线l的斜率k =- = ，
2 2 2 1 a2k 2
2
ì 1
y= x-1
ï
ï 2
解方程组í
x2 y2
，消y：x2-2x-48=0，解得P
1
(-6,-4)、P
2
(8,3)．
ï
+ =1
ïî100 25
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