高三数学答案_2025年1月_250126湖南五市2025届高三1月期末质量检测_数学

年下学期高三期末质量检测􀅰数学 ２０２４ 参考答案、提示及评分细则 ．答案 １【 】B 解析 A B表示满足 x 的奇数x ． 【 】 ∩ －３≤ ≤２ ,{－３,－１,１} ．答案 ２【 】D 解析 z ４＋３i ４＋３i ５ ． 【 】||＝ ＝ ＝ ＝１ ３－４i ３－４i ５ ．答案 ３【 】B 解析 a b a b a２ a b b２ a ２ a b θ b ２ b ２ b ２ θ 【 】(－ )􀅰( －３ )＝ －４ 􀅰 ＋３ ＝ －４ cos ＋３ ＝９ －１２ cos ＋ b ２ θ 即两者共线． ３ ＝０,∴cos＝１, ．答案 ４【 】A ì ïa ï 【 解析 】 í ï ２ ≥０ ⇒ a ∈[０,４] ． ï îa２ a ≤４ ．答案 ５【 】C b２ 解析 AF AF AF a AF AF ． 【 】 ２ ＝a, １ ＋ ２ ＝２ , １ ＝２ ２ ì ïa２ t． ＝３ b２ a ïï ２ 即íb２ t P取上顶点时 FPF 最大． ∴a＝ , ï ＝２ , ∠ １ ２ ３ ï îc２ t ＝ a２ a２ c２ t t t FPF ＋ －(２ ) ３＋３－４ １ ． cos∠ １ ２＝ a a ＝ t ＝ ＞０ ２ 􀅰 ６ ３ FPF 不会为直角 只有当 PFF 或 PFF 是直角才符合题意． ∴∠ １ ２ ,∴ ∠ １ ２ ∠ ２ １ ．答案 ６【 】D 解析 如左图所示作截面 得到右图 由勾股定理可得高为 ． 【 】 , , ６ ．答案 ７【 】D 解析 错 首项不一定成立 【 】A , ; 高三数学试题参考答案 第 页 共 页 【 １ ( ８ )】a a 错a １ １ ３a ２ １ １７ 而a a B ,２＝ ＋a ＝ ,３＝ ＋a ＝ , ３＜ ２; ２ １ ２ ２ ２ １２ 错 还可以令a C , １＝－ ２; a 对a n a １ 因为a 所以a 是单调递增数列． D ,n ＋１＋ ＝ n ＋a n , １＝２, {n} ２ ．答案 ８【 】C 解析 如图所示 设 AOQ θ θ q θ p π θ q 【 】 , ∠ ＝ ,tan ＝ ,tan２ ＝－ , ＜２ ＜π,＞１, ２ θ q 所以由 θ ２tan 可得 p ２ tan２ ＝ ２θ ,－ ＝ q２ １－tan １－ q q q３ S △ OPQ ＝ １ ×２( p ＋ q )－ １p － １q ＝ １ ( p ＋ q )＝ １ (－ ２ q２＋ q )＝－ ＋ q２ , ２ ２ ２ ２ ２ １－ ２(１－ ) q q３ q４ q２ 记fq ＋ 则f′q －４ －１f′p 时 ()＝－ q２ , ()＝ q２ ２ , ()≥０ , ２(１－ ) ２(１－ ) q４ q２ 即q２ q２ 时可取最小值 －４ －１≥０, ≥２＋ ５, ＝２＋ ５ q p 而 p ２ ２ ２ ５－１． － ＝ q２⇒q＝q２ ＝ ＝ １－ －１ １＋ ５ ２ ．答案 ９【 】ABD 解析 ．PAB １ PAPB 正确 【 】A ( )＝ ＝ ( ) ( ),A ; ４ ．PAC １ PCA 正确 B (| )＝ ＝ (| ),B ; ２ ．PABC １ 而PAPBPC １ 错误 C ( )＝ , ( ) ( ) ( )＝ ,C ; ４ ８ ．PB － C － １ PB － PC － 正确． D ( )＝ ＝ ( ) ( ),D ４ ．答案 １０【 】ABD x２ y２ (x y)(x y) x y x y 解析 ． 或 这恰为双曲线两条渐近线 正确 【 】Aa２－b２＝ a－b a＋b ＝０,∴a－b＝０ a＋b＝０, ,A ; ì ïx２ y２ ì ïx２ y２ ．分别联立í ï a２－b２＝１与í ï a２－b２＝０ 得 ( １ ４ ) x２ ４ m x m２ 和 ( １ ４ ) x２ ４ m x m２ B ï ï , a２－b２ －b２ －b２－１＝０ a２－b２ －b２ －b２＝０ ï ï îy x m îy x m ＝２ ＋ ＝２ ＋ m ４ b２ 这两式的两根之和都是 所以ABCD共用同一个中点 正确 ( ), , ,B ; １ ４ a２－b２ b２ ．点差法可得直线OP的斜率是 错误 C a２ ,C ; ２ b２ ．由 选项可知 １ 即a b 正确． D C a２＝ , ＝ ,D ２ ２ 高三数学试题参考答案 第 页 共 页 【 ２ ( ８ )】．答案 １１【 】AC 解析 选项 先证fx 是偶函数 【 】A : () , 令x y 有f f f 即f ＝ ＝１, (１×１)＝ (１)＋ (１), (１)＝０; 令x y 有f f f 即f ＝ ＝－１, (１)＝ (－１)＋ (－１), (－１)＝０; 令y 有f x fx f fx 即fx 是偶函数 ＝－１, (－ )＝ ()＋ (－１)＝ (), () ; 因为fx y fx y fx f y fx fy (－ )＝ (＋(－ ))≥min{(),(－ )}＝min{(),()} fx rfy r 所以fx y r 正确 ()＞ ,()＞ , (－ )＞ ,A ; 选项 假设选项正确 则对于任意除 和 以外的整数a 有fa 即f f 而f B : , １ －１ , ()≠０, (２)≠０,(３)≠０, (２)＝ f f f 且f 所以f (１＋１)≥min{(１),(１)}≥０, (２)≠０, (２)＞０, f f f f 矛盾 故 错误． (３)＝ (１＋２)＝min{(１),(２)}＝０, , B 选项x y z x y z fx y f z fz C :＋ ＋ ＝０⇒ ＋ ＝－ ⇒ (＋ )＝ (－ )＝ (), 所以fz fx fy 若fx fy 结论显然成立 ()≥min{(),()}, ()＝ (), ; 若fx fy 则fz fx fy 即fz fx 或fz fy 结论依然成立 正确 ()≠ (), ()＝min{(),()}, ()＝ () ()＝ (), ,C ; 选项f f f f f D :(３)＝ (２＋１)＝min{(２),(１)}＝ (１)＝０, f f f f f (５)＝ (３＋２)＝min{(３),(２)}＝ (３)＝０, f f ４ f ４ f f f 错误． (２４０)＝ (２×３×５)＝ (２)＋ (３)＋ (５)＝４ (２)＝４,D ．答案 ３－１ １２【 】 ２ ２α ２α α α 解析 α α α α α ２α ２α α α cos －sin ＋２sincos 【 】－sin ＝－ ３cos ⇒tan ＝ ３,cos２ ＋sin２ ＝cos －sin ＋２sincos ＝ ２α ２α cos ＋sin ２α α １－tan ＋２tan ３－１． ＝ ２α ＝ １＋tan ２ ．答案 １３【 】２ 解析 假设一个正四面体四个顶点为ABCD 则A作底面顶点时 通过旋转 除底面外三个面的朝向有 【 】 , , , , , , 三种 如图所示 , : 同理BCD作底面顶点时也分别有 种 一共有 种 即一个正四面体可以通过旋转得到 种朝向．因为 , , ３ , １２ , １２ 四种颜色的排列数有 ４ 种 所以一共有２４ 种不同的上色模式． A４＝２４ , ＝２ １２ 高三数学试题参考答案 第 页 共 页 【 ３ ( ８ )】( ) ( ) ．答案 １５ ６ ２ １４【 】－ ,－ ∪ ,＋∞ ８ １２ ４ 解析 将半圆依次沿着y xx y x对称 如图所示 【 】 ＝ ,＝０,＝－ , : 光线在镜面发生反射可以等效处理为 光线进入了镜子后的空间 因此问题就转化为光线如何与镜子内外的 : , 圆没有交点 光线变化的范围如图所示． , 只需考虑光线与x ２ y２ y x ２ y２ y x２ y ２ 相切时的斜率 按上图 (－４)＋ ＝１(≥０),(＋４)＋ ＝１( ≥０), ＋(－４)＝１ , 写出范围即可． a A C ．解析 sin －sin B １５【 】(１) a b ＝sin , － 根据正弦定理 可把原式化简为a２ c ab b２ 即a２ b２ ab c , － ＝ － , ＋ ＝ ＋ , a２ b２ c２ ab c c２ 再由余弦定理得 C ＋ － ＋ － １ cos ＝ ab ＝ ab ＝ ２ ２ ２ 由于C 所以C π 分 ∈(０,π), ＝ ,􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ２ ３ c C ３ 根据 R 解得R ３ sin ＝ , ２ ＝ C ＝ , ２ sin ３ 所以 ABC的外接圆半径为 ３． 分 △ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ５ ３ 由 知 C π B A ２πB π (２) (１) , ＝ , ＋ ＝ , ≠ , ３ ３ ３ c a b 由正弦定理有 １ ２３ C＝ A＝ B＝ ＝ , sin sin sin ３ ３ ２ ( ) 所以b a ２３ B ２３ A ２３ B ２３ π B ＋ ＝ sin ＋ sin ＝ sin ＋ sin ＋ ３ ３ ３ ３ ３ ( ) ２３ B ２３ ３ B １ B ＝ sin ＋ cos ＋ sin ３ ３ ２ ２ ( ) B B B π 分 ＝ ３sin ＋cos ＝２sin ＋ ,􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ８ ６ ì ï B π ï０＜ ＜ ï ２ ï ( ) ( ) 因为 ABC为锐角三角形 所以í ２π B π 解得B π π π π 分 △ , ï０＜ － ＜ , ∈ , ∪ , ,􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １０ ３ ２ ６ ３ ３ ２ ï ï ïB π î ≠ ３ 高三数学试题参考答案 第 页 共 页 【 ４ ( ８ )】( ) ( ) ( ) ( ) 所以B π π π π ２π 则 B π ＋ ∈ , ∪ , , ２sin ＋ ∈ ３,２ , ６ ３ ２ ２ ３ ６ 所以 b a 则 a b c ． ３＜ ＋ ＜２, １＋ ３＜ ＋ ＋ ＜３ 所以 ABC周长的取值范围为 ． 分 △ (１＋ ３,３) 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １３ ．解析 连接BCAC 则N是BC的中点 所以MN AC １６【 】(１) １ , , １ , ∥ , 因为AC 面ABCDDD 面ABCD 所以DD AC ⊂ , １ ⊥ , １ ⊥ , 所以DD MN． 分 １ ⊥ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ４ 以D 点为原点 DA→ DC→ DD→方向为xyz轴正方向建立空间直角坐标系 则 (２) , , , １ , , , A B C B D (１,０,０),１(１,１,１),１(０,１,１), (１,１,０), １(０,０,１), AB→ CB→ 所以AM→ λλ CN→ μ μ 所以 １＝(０,１,１),１ ＝(１,０,－１), ＝(０,, ),１ ＝( ,０,－ ), M λλ Nμ μ 所以MN→ μ λ μ λ 分 (１,,), (,１,１－ ), ＝(－１,１－ ,１－ － ), 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ６ 又DD→ 设直线PQ的方向向量为n 则由 １＝(０,０,１), , { n DD→ 􀅰 １＝０得n λ μ 又DM→ λλ 分 ＝(１－ ,１－ ,０), ＝(１,,),􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ８ n MN→ 􀅰 ＝０ １ DM→ n λ λ λμ 所以 PQ 􀅰 １－ ＋ － ２ | |＝ n ＝ λ２ μ２ λ μ ＝ λ μ２ λ μ ＋ －２(＋ )＋２ (＋ )－２(＋ )＋１ １ １ ２ ２ ． 分 ＝λ μ ＝ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １０ | ＋ －１| λ １ | ＋λ－１| ２ ì ï λ ï０≤ ≤１ 由í 得１ λ 分 ï ≤ ≤１,􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １１ î ï ０≤ １ λ≤１ ２ ２ é ù é ù 易知y λ １ 在ê ê１ ２ ú ú 单调递减 ê ê ２ ú ú 单调递增 ＝ ＋λ－１ ë , û ,ë ,１û ２ ２ ２ ２ é ù é ù 所以y ê ê １ ú ú 所以 PQ ê ê ２＋１ ú ú． 分 ∈ë ２－１, û, | |∈ë１, û 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １５ ２ ２ ．解析 种 ． 分 １７【 】(１)１５ :１１１１,２１１１,３１１１,２２１１,３２１１,３３１１,２２２１,３２２１,３３２１,３３３１,２２２２,３２２２,３３２２,３３３２,３３３３ 􀆺 ４ 设操作在第n次结束的概率为P 操作在第n次未结束的概率为Q ． (２) n, n 当n 时 P Q Q 分 ≥２ ,n ＝ n －１－ n 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ６ 当n 时 P １． ＝１ ,１＝ ４ 接下来我们讨论操作进行了n次 但是并没有结束的情形 抽取的数字结构如下所示 , , : ３,􀆺,３,２,􀆺,２,１,􀆺,１ 􀮩􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁􀮪n􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁􀮫 分别设序列中的 的个数为xyz 可知x y z nx y z ． ３,２,１ ,,, ＋ ＋ ＝ (≥０,≥０,≥０) 利用隔板法 可以知道对应情形的数量 操作如下 , , : 高三数学试题参考答案 第 页 共 页 【 ５ ( ８ )】令X x Y y Z z 即X Y Z n X Y Z ＝ ＋１,＝ ＋１, ＝ ＋１, ＋ ＋ ＝ ＋３( ≥１,≥１, ≥１), n n 一共有 C n２ ＋２＝ (＋１)(＋２)种情形 ,􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １０ 分 ２ ( )n n n ( )n 各情形概率均为 １ 所以有Q (＋１)(＋２)１ ． , n ＝ ４ ２ ４ nn ( )n －１ n n ( )n n n ( )n 当n 时 P Q Q (＋１)１ (＋１)(＋２)１ (＋１)(３ －２)１ ． 分 ≥２ ,n ＝ n －１－ n ＝ － ＝ 􀆺􀆺 １３ ２ ４ ２ ４ ２ ４ n n ( )n 经检验 其对n 依然成立 即P (＋１)(３ －２)１ ． 分 , ＝１ , n ＝ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １５ ２ ４ ．解析 x 时fx a － a １ a － a ５ a － a． １８【 】(１)＝４ ,()＝２e＋４e ＋ e－e ＝ e＋３e ２ ２ ６ ln 令ha ５ a － a ５ a － a 当且仅当５ a － a ２ a ６ a ５时等号成立 所以 ()＝ e＋３e ≥２ e􀅰３e ＝ ３０, e＝３e ⇒e ＝ ⇒ ＝ , ２ ２ ２ ５ ２ P点纵坐标的最小值为 ． 分 ３０ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ４ ( ) ( ) fx x １ a x １ － a (２)()＝ ＋ x e＋２ － x e , ( ) ( ) 令ha x １ a x １ － a ()＝ ＋ x e＋２ － x e , ( ) ( ) x x x ( x ) 则h′a x １ a x １ － a ＋１a －１ － a ＋１ － a ２ a －１ ()＝ ＋ x e－２ － x e ＝ xe－２ xe ＝ xe e －２x ＋１ x 当 －１ 即 x 时h′a ha 在 上单调递增 ① ２x ≤１, ０＜ ≤３ , ()≥０,() (０,＋∞) , ＋１ ha h x １ 分 ()＞ (０)＝３ － x ;􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ７ x －１ x x ln(２x ) 当 －１ 即x 时 由 ２ a －１ a ＋１ ② ２x ＞１, ＞３ , e ＝２x ⇒ ＝ , ＋１ ＋１ ２ x x －１ －１ ln(２x ) ln(２x ) ha 在 ＋１ 上单调递减 在 ＋１ 上单调递增 () (０, ) , ( ,＋∞) , ２ ２ x －１ ln(２x ) ha h ＋１ x １． ()≥ ( )＝２２ －x ２ ì ï x １ x ï ï ３ － x ,０＜ ≤３ 综上所述gx í ． 分 ,()＝ï 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １０ ï ï x １ x î２２ －x,≥３ 由第 问可知fx gx 恒成立 所以只需证明gx x 即可． (３) (２) ()≥ () , ()≥２ln ＋２ 若x 构造hx x １ x ① ∈[１,３], ()＝３ － x－２ln －２ 高三数学试题参考答案 第 页 共 页 【 ６ ( ８ )】则h′x ３ １ ２ １ x x １ x x ()＝ x＋ xx－x＝ xx (３ －４ ＋１)＝ xx (３ －１)( －１) ２ ２ ２ ２ 因为x 所以h′x 在 上恒成立hx 在 上单调递增 所以hx h ≥１, ()≥０ [１,３] ,() [１,３] , ()≥ (１)＝０, 即 x １ x 在 上恒成立 分 ３ － x≥２ln ＋２ [１,３] ;􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １３ 若x gx x １ ② ∈[３,＋∞),()＝２２ －x, 因为x 所以 x １ x １ ≥３, ２２ －x≥２２ － ３ x x １ ２ －２ － 构造hx x １ x 则h′x ２ ２ ３． ()＝２２ － －２ln －２, ()＝ －x＝ ３ x １ x x １ － － ３ ３ 令 φx x x １ 则 φ′x １ 所以 φx 在 单调递增 ()＝ ２ －２ － , ()＝ ２－ ＞０, () [３,＋∞) , ３ x １ － ３ 而 φ ４ 所以 φx h′x 恒成立 (３)＝３２－ ６＞０, ()＞０⇒ ()＞０ , ３ hx 在 单调递增hx h ８ ． () [３,＋∞) ,()≥ (３)＝ ３－２ln３－２ ３ 因为 ５ 即hx h ８ ８ ５ ３＜e４, ()＞ (３)＝ ３－２ln３－２＞ ３－２lne４－２＞０, ３ ３ gx x １ x １ x 所以gx x ()＝２２ －x≥２２ － ＞２ln ＋２, ()≥２ln ＋２, ３ 而fx gx 即证fx x 在x 上恒成立 分 ()≥ (), ()≥２ln ＋２ ∈[１,＋∞) 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １７ ì ï ï(－２３) ２ １ ２ { a ．解析 由已知得í a２ ＋b２＝１ ＝ １５ １９【 】(１) ï ⇒ ï b îb ＝ ５ ＝ ５ x２ y２ C的标准方程为 ． 分 ∴ ＋ ＝１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ４ １５ ５ 将椭圆向右平移 个单位 再向下平移 个单位得 (２) ２３ , １ x２ y２ x ２ y ２ C C′ (－２３) (＋１) 即x２ y２ y x : ＋ ＝１⇒ : ＋ ＝１, ＋３ ＋６ －４３ ＝０, １５ ５ １５ ５ 运用齐次化的方法 , 构造AB 平移后的直线A′B′ , 设l A′B′: mx ＋ ny ＝１, 则l A′B′ 过点 (２３,４), 则 m n ２３ ＋４ ＝１, x２ y２ y x mx ny ＋３ ＋(６ －４３ )( ＋ )＝０, n y２ m nxy mx２ (６ ＋３) ＋(６ －４３ ) ＋(１－４３ ) ＝０, n k２ m nk m (６ ＋３) ＋(６ －４３ )＋(１－４３ )＝０, 高三数学试题参考答案 第 页 共 页 【 ７ ( ８ )】m n m k k ６ －４３ kk １－４３ 分 ∴ １＋ ２＝－ n ,１ ２＝ n , 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 ７ ６ ＋３ ６ ＋３ k k m n m m １ １ １＋ ２ ６ －４３ ６ － ３(１－２３ ) ． 分 ∴k ＋k ＝kk ＝－ m ＝－ m ＝ ３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １０ １ ２ １ ２ １－４３ １－４３ QM RM 根据角平分线性质 可得| | | | 设Qxy 分 (３) , QN ＝ RN , (,), 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １２ | | | | 直线PA方程y k x 令x 得M k :＝ １(＋２３)＋１, ＝０ (０,２３ １＋１), QM RM 同理N k 代入| | | | (０,２３ ２＋１), QN ＝ RN | | | | x２ y k ２ k ＋[－(２３ １＋１)] １ 两边平方化简得 ＝ k , x２ y k ２ ２ ＋[－(２３ ２＋１)] x２ y２ k y k ２ k２ ＋ －(４３ １＋２)＋(２３ １＋１) １ x２ ＋ y２ －(４３ k ２＋２) y ＋(２３ k ２＋１) ２＝k２ ２ , 即k２ k２x２ k２ k２y２ kk k k k２ k２ y kk k k k２ k２ (１－ ２) ＋(１－ ２) －[４３ １ ２(１－ ２)＋２(１－ ２)]＋４３ １ ２(１－ ２)＋(１－ ２)＝０, 即x２ y２ é ê ê４３ k １ k ２ ù ú úy ４３ k １ k ２ ＋ －ëk k ＋２û ＋k k ＋１＝０, １＋ ２ １＋ ２ 得x２ y２ y 分 ＋ －６ ＋５＝０,􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １４ 发现满足条件的轨迹是一个定圆 联立其和椭圆 得y２ y 解得y 或 舍 , , ＋３ －１０＝０, ＝２ －５( ), 综上所述 椭圆C上存在点Q 或Q 使得 MQR NQR恒成立． 分 , (－３,２) (３,２) ∠ ＝∠ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 １７ 高三数学试题参考答案 第 页 共 页 【 ８ ( ８ )】