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普通高中教学检测
数 学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上.
写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1−i
1. =
i
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A . 1+i B . 1−i C . − 1 + i D . − 1 − i
2
x+2，x≤0 ，
. 已知函数 f(x)= 则
2x ，x＞0 ，
f ( f ( − 1 ) ) =
A . 0 B . 1 C . 2 D . 3
3 . 已知a是正项等比数列 8 ， b ， 2 ，…的第 5 项，则 l o g
a
b =
A . − 4 B . −3 C. −2 D . − 1
4. 若命题 p ： k 2 ，命题q：直线 y = k x − 1 与抛物线y=x2无公共点，则 p 是q的
A . 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5 . 如图，体积为 2 π 的圆柱的轴截面ABCD为正方形，点E在底面
圆周上，则三棱锥C−ABE体积的最大值为
A
1 2
. B.
3 3
4
C. 1 D.
3
A B
E
C D6. 函数 f(x)=ex −e−x，若对于xR，
数学试卷 第 2 页 （共 6 页）
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f ( s i n x + m ) + f ( 3 c o s x ) ≤ 0 恒成立，则m的
取值范围是
A. (−,−2] B. (−,2] C . [−2,+) D. [2,+)
7 . 省会贵阳已开通的地铁线路如图所示. 某人乘坐地铁
从贵阳北站（ A 点）前往贵州大学（B点），若同一
站点最多经过一次，则不同的乘坐线路共有
A . 6 条
B . 7 条
C . 8 条
D . 9条
8 . 已知双曲线 C :
x
a
2
2
−
y
b
2
2
= 1 ( a 0 , b 0 ) 右焦点为 F ，过点 F 作互相垂直的直线 l1 ，l .
2
l1 与 C 的右支交于M ， N 两点， N F = 3 F M ，若l 与
2
C 的左支交于 P 点，且 P ，
O ， M 三点共线（ O 是坐标原点），则 C 的离心率为
A . 5 B ．
2
4
6
C ．
1
3
7
D
10
．
2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9 . 已知四边形 A B C D 是平行四边形，且 A B （= 2 ， m + 1 ） ， A D （= − 4 ， m − 1 ） . 下列结论
正确的是
A . BD =（6，2）
B. AC =（−2，2m）
C. 若 B D 与 A B 垂直，则 m = − 7
白云北路
窦官 贵阳北站
洛湾
林城西路 A
北京路
贵钢
延安西路 喷水池
1号线
2号线 望城坡
图
3号线 中兴路
例 S1号线
中曹司
小孟工业园
B 贵州大学
皂角坝
桐木岭
D. 若AC 在AD上的投影向量为AD，则m=3数学试卷 第 3 页 （共 6 页）
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1 0 . 已知函数 f ( x ) 满足对任意的 x , y R，都有 f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2 f ( x ) f ( y ) ，且
f ( 0 ) 0 . 下列结论正确的是
A . f ( 0 ) = 1
B. f(x)是偶函数
C . 若 f ( 2 ) = 3 ，则 f (4) =6
D . 若 f (1 ) = 0 ，则4是 f ( x ) 的一个周期
1 1 . 在平面直角坐标系 x O y 中，动点 M 与两定点T（−1,0），
1
T （2 1 , 0 ） 连线的斜率之和为 2 ，
其轨迹是曲线 C . 下列结论正确的是
A . M
1
( x
1
, y
1
) ，M (x ,y )是
2 2 2
C 上两点， x
2
x
1
0 ，则 y
2
y
1
B . 曲线 C 关于直线y = x对称
C. 线段OM 的长度 OM 0.9
D . 点M 到直线x− y =0和 x = 0 的距离之积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
1 2
1
. 甲、乙两人参加学校红色文化宣讲比赛，甲进入决赛的概率是 ，甲、乙同时进入决
20
赛的概率是
1
6 0
. 已知甲进入决赛，则乙也进入决赛的概率是 .
1 3 . △ABC的内角A，B， C 所对边分别为a， b ， c
. 若B = ，
6
B C 边上的高为
6
3
a ，
则A= .
14. 集合 A = { a
1
, a
2
, . . . , a
n
} （ n N*）的元素个数为 C a r d ( A ) ，子集个数为 A(n)，称
Card(A)
= 为集合
n A(n)
A 的子集调谐系数. 当
n
= 1
1
时，n= ；当
n 4
时，n的最小值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分,解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.
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1 5 .（本题满分13分）
已知函数 f ( x ) = s i n 2 x + a x 2 − x + 1 ， a R.
（ 1 ） 求 f ( x ) 在 x = 0 处的切线方程；
（ 2 ） 若 f ( x ) 是 f(x)的导函数，且 f ( x ) 在 [
6
,
3
]
− 上具有单调性，求 a 的取值范围.
1 6 .（本题满分15分）
为普及健康生活方式， 2 0 2 5 年国家开始实施“体重管理年” 3 年行动. 某单位对 4 0 0 名
员工户外运动进行统计，得到如下列联表：
（ 1 ） 根据小概率值 0 .0 5 = 的 2 独立性检验，能否认为喜欢户外运动与性别有关？
（ 2 ） 采用分层抽样的方法，从不喜欢户外运动的员工中抽取9人. 现在从这9名员工中
抽取 3 名进行座谈.记这 3 人中女员工人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
参考公式： 2
( a b ) (
n
c
( a d
d ) (
b
a
c 2 )
c ) ( b d )
=
+ +
−
+ +
喜欢户外运动 不喜欢户外运动 合计
男
，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
1 0 0 1 0 0 2 0 0
女 1 2 0 8 0 200
合计 2 2 0 1 8 0 4 0 0
0 .1 0 0 .0 5 0 .0 1 0 0.001
2 2.706 3.841 6.635 10.828数学试卷 第 5 页 （共 6 页）
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1 7 .（本题满分15分）
x2 y2
已知椭圆E: + =1(ab0)两个焦点坐标分别为
a2 b2
F
1
( − 2 , 0 ) ，F (2,0). 斜率存
2
在且不为 0 的直线 l 经过点 F
2
，且与 E 交于 P ， Q 两点，△ F
1
P Q 周长为 8 2 .
（ 1 ） 求 E 的方程；
（2）已知 P ， Q 在直线 x = t 上的射影分别为 M ， N . 若直线PN 与 Q M 的交点 T 在x
轴上，求 t 的值.
1 8 .（本题满分17分）
三棱锥 A − B C D 中，△ABC是正三角形， B C ⊥ A D .
（ 1 ） 证明： B D = C D ；
（2）已知 A B = 2 ， E 为线段BC中点.
（ⅰ）若 P 是平面ADE 内一点， A P =
2
3
，求线段 C P 长的最小值；
（ⅱ）若AD = 3，BD =2，l是平面 A D E 内一条直线，求 l 与平面 A C D 所成角
的正弦值的取值范围.数学试卷 第 6 页 （共 6 页）
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1 9 .（本题满分17分）
在数列 a
n
中， a
1
= π
4
，a (0, )，且
n 2
t a n a
n + 1
=
c o
1
s a
n
.
（ 1 ） 证明：数列
c o
1
2 s a
n
是等差数列；
（2）记b =log sina ,数列
n 2 n
{ b
n
}
1 n 1
的前n项和为S ，证明： ≤4S i +S i+1＜ ；
n 6 2
i=1
（ 3 ） 证明： c o s a
1
+ c o s a
1
c o s a
2
+ + c o s a
n − 1
c o s a ＞n l n ( n + 1 ) .
