文档内容
2011年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
（湖南卷）
参考公式（1）柱体体积公式V =Sh，其中S为底面面积，h为高．
4
（2）球的体积公式V = pR3，其中R为球的半径．
3
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．设全集U=M∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩C N=﹛2,4﹜,则N=
u
A．{1,2,3} B． {1,3,5} C． {1,4,5} D． {2,3,4}
2．若a,bÎR，i为虚数单位，且(a+i)i =b+i则
3
A．a=1，b=1 B．a=-1,b=1
C．a=1,b=-1 D．a=-1,b=-1
2
3．“x>1”是“ x >1” 的 3
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 正视图 侧视图
C． 充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A．9p+42 B．36p+18
9 9
C． p+12 D． p+18
2 2
俯视图
5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下图的
1
列联表：
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
n(ad -bc)2 110´(40´30-20´20)2
由K2 = 算得，K2 = »7.8
(a+d)(c+d)(a+c)(b+d) 60´50´60´50
附表：
p(K2 ³ k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关”
第1页 | 共21页x2 y2
6．设双曲线 - =1(a>0)的渐近线方程为3x±2y =0，则a的值为
a2 9
A．4 B．3 C．2 D．1
sinx 1 p
7．曲线y = - 在点M（ ，0）处的切线的斜路为
sinx+cosx 2 4
1 1 2 2
A． - B． C． - D．
2 2 2 2
8．已知函数 f(x) =ex -1,g(x) = -x2 +4x-3，若有 f(a)= g(b)，则b的取值范围为
A． é2- 2,2+ 2ù B． é2- 2,2+ 2ù C． 1,3 D． 1,3
ë û ë û
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中
对应题号后的横线上.
（一）选做题（请考生在9、10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）
ìï x=2cosa,
9．在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为í （a为参数）.在极坐标系（
1
ïîy = 3sina
与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，
曲线C 的方程为rcosq-sinq+1=0，则C 与C 的交点个数为
2 1 2
10．已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是
（二）必做题（11～16题）
11．若执行如图2所示的框图，输入x =1，x = 2,x = 4,x =8则输出的数等于
1 2 3 4
12．已知f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（-2）=3，则f（2）=_________．
13．设向量a，b满足|a|=2 5，b=（2，1），且a与b的方向相反，则a的坐标为________．
ì y³ x
ï
14．设m>1,在约束条件í y£mx 下，目标函数z = x+5y的最大值为4，则m的值为
ï
x+ y£1
î
．
15．已知圆C:x2 + y2 =12,直线l:4x+3y =25.
（1）圆C的圆心到直线l的距离为 ．
（2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为 ．
16．给定kÎN*，设函数 f :N* ® N*满足：对于任意大于k的正整数n， f(n)=n-k
（1）设k =1，则其中一个函数 f 在n=1处的函数值为 ；
（2）设k =4，且当n£4时，2£ f(n)£3，则不同的函数 f 的个数为 .
第2页 | 共21页三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且满足c sinA=acosC．
（I）求角C的大小；
p
（II）求 3sinA-cos（B+ ）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小.
4
18．（本小题满分12分）
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河
上游在六月份是我降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增
加10，Y增加5．已知近20年X的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200,
110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160.
（Ⅰ）完成如下的频率分布表
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率 1 4 2
20 20 20
（Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频
率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过53
0（万千瓦时）的概率．
19．（本小题满分12分）
如图3，在圆锥PO中，已知PO= 2, O的直径
e
AB=2,点C在AB上,且ÐCAB=30o,D为AC
的中点．
（Ⅰ）证明：AC ^平面POD;
（Ⅱ）求直线 OC和平面PAC 所成角的正弦值.
第3页 | 共21页20．（本小题满分13分）
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐
年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每
年初M 的价值为上年初的75%．
（Ⅰ）求第n年初M 的价值a 的表达式；
n
a +a +...+a
（Ⅱ）设A = 1 2 n ，若A 大于80万元，则M 继续使用，否则须在
n n n
第n年初对M 更新，证明：须在第9年初对M 更新．
21．（本小题满分13分）
已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l ,l ，设l 与轨迹C相交于点
1 2 1
uuur uuur
A,B，l 与轨迹C相交于点D,E，求AD,EB的最小值.
2
22．（本小题满分13分）
1
设函数 f(x) = x- -alnx(aÎR).
x
（Ⅰ）讨论函数 f(x)的单调性.
（Ⅱ）若 f(x)有两个极值点x ,x ，记过点A(x , f(x )), B(x , f(x ))的直线斜
1 2 1 1 2 2
率为k.问：是否存在a，使得k =2-a？若存在，求出a的值；若不存在，请说
明理由.
第4页 | 共21页2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学试题卷（文史类）参考答案
一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分)
1、(2011•湖南)设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C N=﹛2，4﹜，则N=( )
u
A、{1，2，3} B、{1，3，5}
C、{1，4，5} D、{2，3，4}
考点：交、并、补集的混合运算。
分析：利用集合间的故选，画出两个集合的韦恩图，结合韦恩图求出集合N．
解答：解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C N=﹛2，4﹜，
u
∴集合M，N对应的韦恩图为
所以N={1，3，5}
故选B
点评：本题考查在研究集合间的关系时，韦恩图是常借用的工具．考查数形结合的数学思
想方法．
2、(2011•湖南)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a+i)i=b+i则( )
A、a=1，b=1 B、a=﹣1，b=1
C、a=1，b=﹣1 D、a=﹣1，b=﹣1
考点：复数相等的充要条件。
专题：计算题。
分析：根据所给的关于复数的等式，整理出等式左边的复数乘法运算，根据复数相等的充
要条件，即实部和虚部分别相等，得到a，b的值．
解答：解：∵(a+i)i=b+i，
第5页 | 共21页∴ai﹣1=b+i，
∴a=1，b=﹣1，
故选C．
点评：本题考查复数的乘法运算，考查复数相等的条件，是一个基础题，这种题目一般出
现在试卷的前几个题目中．
3、(2011•湖南)“x＞1”是“|x|＞1”的( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件
考点：充要条件。
分析：解绝对值不等式，进而判断“x＞1”⇒“|x|＞1”与“|x|＞1”⇒“x＞1”的真假，再
根据充要条件的定义即可得到答案．
解答：解：当“x＞1”时，“|x|＞1”成立
即“x＞1”⇒“|x|＞1”为真命题
而当“|x|＞1”时，x＜﹣1或x＞1，即“x＞1”不一定成立
即“|x|＞1”⇒“x＞1”为假命题
∴“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件
故选A
点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“x＞1”⇒“|x|＞1”
与“|x|＞1”⇒“x＞1”的真假，是解答本题的关键．
4、(2011•湖南)设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
9 9
A、9π+42 B、36π+18 C、 p+12 D、 p+18
2 2
考点：由三视图求面积、体积。
专题：计算题。
分析：由三视图可知，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一
个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，分别做出两个几何体的体积相加．
第6页 | 共21页解答：解：由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，下面是一个底面边长是3的正方形
且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，
四棱柱的体积3×3×2=18，
4 3 9
球的体积是 ´p( )3 = p，
3 2 2
9
∴几何体的体积是18+ p，
2
故选D．
点评：本题考查由三视图求面积和体积，考查球体的体积公式，考查四棱柱的体积公式，
本题解题的关键是由三视图看出几何图形，是一个基础题．
5、(2011•湖南)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联
表：
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
n(ad﹣bc)2 110´(40´30﹣20´20)2
由k2 = 算得，k2 = »7.8
(a+d)(c+d)(a+c)(b+d) 60´50´60´50
附表：
p(k2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B、有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别五关”
考点：独立性检验的应用。
专题：计算题。
分析：根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的
结果，得到结论有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
第7页 | 共21页110´(40´30﹣20´20)2
解答：解：由题意知本题所给的观测值，k2 = »7.8
60´50´60´50
∵7.8＞6.635，
∴这个结论有0.01=1%的机会说错，
即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
故选A．
点评：本题考查独立性检验的应用，考查对于观测值表的认识，这种题目一般运算量比较
大，主要要考查运算能力，本题有所创新，只要我们看出观测值对应的意义就可以，是一
个基础题．
x2 y2
6、(2011•湖南)设双曲线 ﹣ =1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为( )
a2 9
A、4 B、3
C、2 D、1
考点：双曲线的简单性质。
专题：计算题。
x2 y2
分析：先求出双曲线 ﹣ =1(a＞0)的渐近线方程，再求a的值．
a2 9
x2 y2 3
解答：解： ﹣ =1(a＞0)的渐近线为y=± x，
a2 9 a
3
∵y=± x与3x±2y=0重合，
a
∴a=2．
故选C．
点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
sinx 1 p
7、(2011•湖南)曲线y = ﹣ 在点M( ，0)处的切线的斜率为( )
sinx+cosx 2 4
1 1
A、﹣ B、
2 2
2 2
C、﹣ D、
2 2
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程。
专题：计算题。
第8页 | 共21页p
分析：先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f(x)在x= 处的导数，从而求出
4
切线的斜率．
sinx 1
解答：解：∵y = ﹣
sinx+cosx 2
cosx(sinx+cosx)﹣(cosx﹣sinx)sinx
∴y'=
(sinx+cosx)2
1
=
(sinx+cosx)2
p 1 p 1
y'| = | =
x= 4 (sinx+cosx)2 x= 4 2
故选B．
点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及导数的计算，同时考查了计算能力，属于基
础题．
8、(2011•湖南)已知函数f(x)=ex﹣1，g(x)=﹣x2+4x﹣3，若有f(a)=g(b)，则b的取值范围为(
)
A、[2﹣ 2，2+ 2] B、(2﹣ 2，2+ 2]
C、[1，3] D、(1，3)
考点：函数的零点与方程根的关系。
专题：计算题。
分析：利用f(a)=g(b)，整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可．
解答：解：∵f(a)=g(b)，
∴ea﹣1=﹣b2+4b﹣3
∴﹣b2+4b﹣2=ea＞0
即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣ 2＜b＜2+ 2
故选B
点评：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系．
二、填空题(共8小题，每小题5分，满分35分)
ìï x=2cosa
9、(2011•湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为í (α为参数)在极坐
1
ïîy = 3sina
第9页 | 共21页标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲
线C 的方程为p(cosθ﹣sinθ)+1=0，则C 与C 的交点个数为 2 ．
2 1 2
考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程；椭圆的参数方程。
专题：计算题。
分析：先根据同角三角函数的关系消去参数α可求出曲线C 的普通方程，然后利用极坐标
1
公式ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ进行化简即可求出曲线C 普通方程，最后利用直角坐
2
标方程判断C 与C 的交点个数即可．
1 2
解答：解：由曲线C 的方程为p(cosθ﹣sinθ)+1=0，∴x﹣y+1=0．即y=x+1；
2
x2 y2
将曲线C 的参数方程化为普通方程为 + =1．
1
4 3
∴消去y整理得：7x2+8x﹣8=0．
△＞0，∴此方程有两个不同的实根，
故C 与C 的交点个数为2．
1 2
故答案为2．
点评：本题主要考查椭圆的参数方程、简单曲线的极坐标方程，求直线与椭圆的交点个数
，考查运算求解能力及转化的思想，属于基础题．
10、(2011•湖南)【选做】已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第
二次试点可以是 40或60(只写出其中一个也正确) ．
考点：分数法的最优性。
分析：由题知试验范围为[10，90]，区间长度为80，故可把该区间等分成8段，利用分数法
选取试点进行计算．
解答：解：由已知试验范围为[10，90]，可得区间长度为80，将其等分8段，
5
利用分数法选取试点：x =10+ ×(90﹣10)=60，x =10+90﹣60=40，
1 2
8
由对称性可知，第二次试点可以是40或60．
故答案为：40或60．
点评：本题考查的是分数法的简单应用．一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况
考虑：(1)可能的试点总数正好是某一个(F ﹣1)．(2)所有可能的试点总数大于某一(Fn﹣1)
n
，而小于(F ﹣1)．
n+1
15
11、(2011•湖南)若执行如图所示的框图，输入x =1，x =2，x =4，x =8则输出的数等于
1 2 3 4
4
第10页 | 共21页．
考点：循环结构。
专题：计算题；阅读型。
分析：先根据流程图分析出该算法的功能，然后求出所求即可．
解答：解：该算法的功能是求出四个数的平均数
1+2+4+8 15
故输出的数= =
4 4
15
故答案为：
4
点评：根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流
程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根
据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．
12、(2011•湖南)已知f(x)为奇函数，g(x)=f(x)+9，g(﹣2)=3，则f(2)= 6 ．
考点：函数奇偶性的性质。
专题：计算题。
分析：将等式中的x用2代替；利用奇函数的定义及g(﹣2)=3，求出f(2)的值．
解答：解：∵g(﹣2)=f(﹣2)+9
∵f(x)为奇函数
∴f(﹣2)=﹣f(2)
∴g(﹣2)=﹣f(2)+9
第11页 | 共21页∵g(﹣2)=3
所以f(2)=6
故答案为6
点评：本题考查奇函数的定义：对于定义域中的任意x都有f(﹣x)=﹣f(x)
r r r r r r r
13、(2011•湖南)设向量a，b 满足|a|=2 5，b =(2，1)，且a与b 的方向相反，则a的坐
标为 (﹣4，﹣2) ．
考点：平面向量共线(平行)的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
专题：计算题。
r r r r
分析：要求向量a的坐标，我们可以高设出向量a的坐标，然后根据a与b 的方向相反，
r r
及|a|=2 5，我们构造方程，解方程得到向量a的坐标．
r
解答：解：设a=(x，y)
r r
∵a与b 的方向相反，
r r
故a=λb =(2λ，λ)(λ＜0)
r
又∵|a|=2 5，
则x2+y2=20
∴5λ2=20
解得λ=﹣2
r
则设a=(﹣4，﹣2)
故答案为(﹣4，﹣2)
点评：本题考察的知识点是平面向量共线(平行)的坐标表示，平面向量模的计算，其中根
r r r
据a与b 的方向相反，给出向量a的横坐标与纵坐标之间的关系是解答本题的关键．
ì y³ x
ï
14、(2011•湖南)设m＞1，在约束条件í y£mx 下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的
ï
x+ y£1
î
值为 3 ．
考点：简单线性规划的应用。
专题：计算题；数形结合。
第12页 | 共21页p p
分析：根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间( ， )上，由此我们不难判
4 2
ì y³ x
ï
断出满足约束条件í y£mx 的平面区域的形状，再根据目标函数Z=X+5y在直线y=mx与直
ï
x+ y£1
î
线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的方程，解方程即可求出m 的取值范围．
ì y³ x
ï
解答：解：满足约束条件í y£mx 的平面区域如下图所示：
ï
x+ y£1
î
1 m
当x= ，y= 时，
m+1 m+1
1+5m
目标函数z=x+5y取最大值为4，即 =4；
m+1
解得m=3
故答案为3
点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中判断出目标函数Z=X+my在
1 m
( ， )点取得最大值，并由此构造出关于m的方程是解答本题的关键．
m+1 m+1
15、(2011•湖南)已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25．
(1)圆C的圆心到直线l的距离为 5 ；
1
(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为 ．
6
考点：点到直线的距离公式；几何概型；直线与圆的位置关系。
专题：计算题。
分析：(1)根据所给的圆的标准方程，看出圆心，根据点到直线的距离公式，代入有关数据
做出点到直线的距离．
第13页 | 共21页(2)本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上
整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°，根据几何概型概率
公式得到结果．
解答：解：(1)由题意知圆x2+y2=12的圆心是(0，0)，
25
圆心到直线的距离是d= =5，
32 +42
(2)由题意知本题是一个几何概型，
试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，
满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，
根据上一问可知圆心到直线的距离是5，
在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，
根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°
60° 1
根据几何概型的概率公式得到P= =
360° 6
1
故答案为：5；
6
点评：本题考查点到直线的距离，考查直线与圆的位置关系，考查几何概型的概率公式，
本题是一个基础题，运算量不大．
16、(2011•湖南)给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n：f(n)=n﹣k
(1)设k=1，则其中一个函数f(x)在n=1处的函数值为 a(a为正整数) ；
(2)设k=4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为 16 ．
考点：函数的概念及其构成要素；分步乘法计数原理。
专题：计算题；探究型。
分析：题中隐含了对于小于或等于K的正整数n，其函数值也应该是一个正整数，但是对应
法则由题意而定
(1)n=k=1，题中给出的条件“大于k的正整数n”不适合，但函数值必须是一个正整数，故f(
1)的值是一个常数(正整数)；
(2)k=4，且n≤4，与条件“大于k的正整数n”不适合，故f(n)的值在2、3中任选其一，再由
乘法原理可得不同函数的个数．
解答：解：(1)∵n=1，k=1且f(1)为正整数
∴f(1)=a(a为正整数)
第14页 | 共21页即f(x)在n=1处的函数值为 a(a为正整数)
(2)∵n≤4，k=4f(n)为正整数且2≤f(n)≤3
∴f(1)=2或3 且 f(2)=2或3 且 f(3)=2或3 且f(4)=2或3
根据分步计数原理，可得共24=16个不同的函数
故答案为(1)a(a为正整数)
(2)16
点评：本题题意有点含蓄，发现题中的隐含条件，是解决本题的关键，掌握映射与函数的
概念是本题的难点．
三、解答题(共6小题，满分75分)
17、(2011•湖南)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC．
(1)求角C的大小；
p
(2)求 3sinA﹣cos (B+ )的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小．
4
考点：三角函数的恒等变换及化简求值。
专题：计算题。
p
分析：(1)利用正弦定理化简csinA=acosC．求出tanC=1，得到C= ．
4
3p p p 3p
(2)B= ﹣A，化简 3sinA﹣cos (B+ )=2sin(A+ )．因为0＜A＜ ，推出
4 4 6 4
p p 11p
＜A+ ＜
6 6 12
p p 5p
求出2sin(A+ )取得最大值2．得到A= ，B=
6 3 12
解答：解：(1)由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC，
因为0＜A＜π，所以sinA＞0．从而sinC=cosC，
p
又cosC≠0，所以tanC=1，C= ．
4
3p p
(2)有(1)知，B= ﹣A，于是 3sinA﹣cos(B+ )= 3sinA﹣cos(p﹣A)
4 4
= 3sinA+cosA
p
=2sin(A+ )．
6
3p p p 11p
因为0＜A＜ ，所以 ＜A+ ＜
4 6 6 12
p p p
从而当A+ = ，即A= 时
6 2 3
第15页 | 共21页p
2sin(A+ )取得最大值2．
6
p p 5p
综上所述， 3sinA﹣cos (B+ )的最大值为2，此时A= ，B=
4 3 12
点评：本题是中档题，考查三角形的有关知识，正弦定理的应用，三角函数的最值，常考
题型．
18、(2011•湖南)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该
河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y
增加5．已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110
，160，160，200，140，110，160，220，140，160．
(Ⅰ)完成如下的频率分布表
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量 70 110 140 160 200 220
1 4 2
频率
20 20 20
(Ⅱ)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率
，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
考点：频率分布表；互斥事件的概率加法公式。
专题：应用题；综合题。
分析：(I)从所给的数据中数出降雨量为各个值时对应的频数，求出频率，完成频率分布图
．
(II)将发电量转化为降雨量，利用频率分布表，求出发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万
千瓦时)的概率．
解答：解：(I)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的
有3个，
故近20年六月份降雨量频率分布表为
(II)P(“发电量低于490万千瓦时“)
=P(Y＜490或Y＞530)=P(X＜130或＞210)
第16页 | 共21页1 3 2 3
=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)= + + =
20 20 20 10
故今年六月份该水利发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为：
3
10
频数
点评：本题考查频率公式：频率= ；考查将问题等价转化的能力．
样本容量
19、(2011•湖南)如图，在圆锥PO中，已知PO= 2，⊙OD的直径AB=2，点C在AB上，且
∠CAB=30°，D为AC的中点．
(Ⅰ)证明：AC⊥平面POD；
(Ⅱ)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．
考点：直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法。
专题：计算题；证明题。
分析：(I)由已知易得AC⊥OD，AC⊥PO，根据直线与平面垂直的判定定理可证
(II)由(I)可证面POD⊥平面PAC，由平面垂直的性质考虑在平面POD中过O作OH⊥PD于H，
则OH⊥平面PAC，∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角，在Rt△OHC中，求解即可
解答：解(I)因为OA=OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD
又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O
所以AC⊥PO，而OD，PO是平面内的两条相交直线
所以AC⊥平面POD
(II)由(I)知，AC⊥平面POD，又AC⊂平面PAC
所以平面POD⊥平面PAC
在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC
连接CH，则CH是OC在平面上的射影，所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角
1
在Rt△ODA中，OD=OA．sin30°=
2
第17页 | 共21页1
2´
PO•OD 2
2
在Rt△POD中，OH= = =
PO2 +OD2 1 3
2+
4
OH 2
在Rt△OHC中，sinÐOCH = =
OC 3
2
故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为
3
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用，空间直线与平面所成角的求解
，考查了运算推理的能力及空间想象的能力
20、(2011•湖南)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程
中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年
初M的价值为上年初的75%．
(Ⅰ)求第n年初M的价值a 的表达式；
n
a1+a2+¼+an
(Ⅱ)设An= ，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更
n
新．证明：须在第9年初对M更新．
考点：分段函数的应用；数列与函数的综合。
专题：综合题。
分析：(I)通过对n的分段讨论，得到一个等差数列和一个等比数列，利用等差数列的通项公
式及等比数列的通项公式求出第n年初M的价值a 的表达式；
n
(II)利用等差数列、等比数列的前n项和公式求出A ，判断出其两段的单调性，求出两段的
n
最小值，与80比较，判断出须在第9年初对M更新．
解答：解：(I)当n＜6时，数列{a }是首项为120，公差为﹣10的等差数列
n
a =120﹣10(n﹣1)=130﹣10n
n
3
当n≥6时，数列{a }是以a 为首项，公比为 的等比数列，又a =70
n 6 6
4
3
所以a =70´( )n﹣6
n 4
ì 130﹣10n(n£6)
ï
因此，第n年初，M的价值a 的表达式为a =í 3
n n 70´( )n﹣6(n³7)
ï
î 4
(II)设S 表示数列{a }的前n项和，由等差、等比数列的求和公式得
n n
第18页 | 共21页当1≤n≤6时，S =120n﹣5n(n﹣1)，A =120﹣5(n﹣1)=125﹣5n
n n
当n≥7时，由于S =570故
6
3
780﹣210´( )n﹣6
S =S +(a +a +…+a )=570+70´4´[1﹣( 3 )n﹣6]=780﹣210´( 3 )n﹣6A = 4
n 6 7 8 n 4 4 n n
因为{a }是递减数列，
n
所以{A }是递减数列，
n
3
780﹣210´( )2
47
4
又A = =82 ＞80
8 64
3
780﹣210´( )3
79
4
A = =76 ＜80
9 9 96
所以须在第9年初对M更新．
点评：本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式、考查等比数列的通项公式及前n项和
公式、考查分段函数的问题要分到研究．
21、(2011•湖南)已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；
(Ⅱ)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l ，l ，设l 与轨迹C相交于点A，B，l 与轨迹C
1 2 1 2
uuuruuur
相交于点D，E，求AD，EB的最小值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；抛物线的定义。
专题：计算题；综合题；压轴题；分类讨论；函数思想；方程思想。
分析：(Ⅰ)设动点P的坐标为(x，y)，根据两点间距离公式和点到直线的距离公式，列方程
，并化解即可求得动点P的轨迹C的方程；
(Ⅱ)设出直线l 的方程，理想直线和抛物线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利
1
用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线l 的方程与抛物线的交点坐标，
2
uuur uuur
代入AD•EB利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值．
解答：解：(Ⅰ)设动点P的坐标为(x，y)，由题意得 (x﹣1)2 + y2﹣∣x∣=1，
化简得y2=2x+2|x|．
当x≥0时，y2=4x；当x＜0时，y=0，
所以动点P的轨迹C的方程为y2=4(x≥0)和y=0(x＜0)．
(Ⅱ)由题意知，直线l 的斜率存在且不为零，设为k，则l 的的方程为y=k(x﹣1)．
1 1
第19页 | 共21页ìy =k(x﹣1)
由í ，得k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0．
î y2 =4x
4
设A，B的坐标分别为(x ，y )，(x ，y )，则x +x =2+ ，x x =1．
1 1 2 2 1 2 k2 1 2
1
∵l ⊥l ，∴直线l 的斜率为﹣ ．
1 2 2
k
设D(x ，y )，E(x ，y )，则同理可得x +x =2+4k2，x x =1．
3 3 4 4 3 4 3 4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
故AD•EB=(AF +FD) (EF +FB)=AF•EF + AF•FB+FD•EF +FD•FB
g
uuur uuur uuur uuur
=∣AF∣∣•FB∣+∣FD∣∣•EF∣=(x +1)(x +1)+(x +1)(x +1)
1 2 3 4
=x x +(x +x )+1+x x +x +x +1
1 2 1 2 3 4 3 4
4 1
1+2+ +1+1+2+4k2+1=8+4(k2+ )≥8+4×2=16，
k2 k2
1 uuur uuur
当且仅当k2= ，即k=±1时，AD•EB的最小值为16．
k2
点评：此题是个难题．考查代入法求抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，同时
也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
1
22、(2011•湖南)设函数 f(x)= x﹣ ﹣aInx(aÎR)．
x
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性．
(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x ，x ，记过点A(x ，f(x ))，B(x ，f(x ))的直线斜率为k．问：是否
1 2 1 1 2 2
存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件。
专题：计算题；综合题；压轴题；分类讨论。
分析：(Ⅰ)求导，令导数等于零，解方程，跟据f′(x)f(x)随x的变化情况即可求出函数的单
调区间；
(Ⅱ)假设存在a，使得k=2﹣a，根据(I)利用韦达定理求出直线斜率为k，根据(I)函数的单调
性，推出矛盾，即可解决问题．
解答：解：(I)f(x)定义域为(0，+∞)，
1 a x2﹣ax+1
f′(x)=1+ ﹣ = ，
x2 x x2
令g(x)=x2﹣ax+1，△=a2﹣4，
第20页 | 共21页①当﹣2≤a≤2时，△≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，+∞)上单调递增，
②当a＜﹣2时，△＞0，g(x)=0的两根都小于零，在(0，+∞)上，f′(x)＞0，故f(x)在(0，+
∞)上单调递增，
a﹣ a2﹣4 a+ a2﹣4
③当a＞2时，△＞0，g(x)=0的两根为x = ，x = ，
1 2
2 2
当0＜x＜x 时，f′(x)＞0；当x ＜x＜x 时，f′(x)＜0；当x＞x 时，f′(x)＞0；
1 1 2 2
故f(x)分别在(0，x )，(x ，+∞)上单调递增，在(x ，x )上单调递减．
1 2 1 2
(Ⅱ)由(I)知，a＞2．
x﹣x
因为f(x )﹣f(x )=(x ﹣x )+ 1 2 ﹣a(lnx ﹣lnx )，
1 2 1 2 1 2
x x
1 2
f(x )﹣f(x ) 1 lnx﹣lnx
所以k= 1 2 =1+ ﹣a 1 2 ，
x x x x x﹣x
1 2 1 2 1 2
又由(I)知，x x =1．于是
1 2
lnx﹣lnx
k=2﹣a 1 2 ，
x﹣x
1 2
lnx﹣lnx
若存在a，使得k=2﹣a，则 1 2 =1，即lnx ﹣lnx =x ﹣x ，
1 2 1 2
x﹣x
1 2
1
亦即x﹣ ﹣2lnx =0(x＞1)(*)
2 x 2 2
2
1
再由(I)知，，函数h(t)=t﹣﹣2Int在(0，+∞)上单调递增，
t
而x ＞1，
2
1
所以x﹣ ﹣2Inx ＞1﹣1﹣2ln1=0，这与(*)式矛盾，
2 x 2
2
故不存在a，使得k=2﹣a．
点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程f'(x)=0有无实
根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，其中
问题(II)是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的
能力．
第21页 | 共21页
