文档内容
2011 年高考理科数学试题（天津卷）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120
分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条
形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷
和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分.
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 如果事件A，B相互独立，那么
P(A B)= P(A)+P(B) P(AB)= P(A)P(B).
U
1
棱柱的体积公式V =Sh. 圆锥的体积公式V = Sh.
3
其中S表示棱柱的底面面积 其中S表示圆锥的底面面积
h表示棱柱的高 h表示圆锥的高
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1-3i
1．i是虚数单位，复数 =
1-i
A．2+i B．2-i
C．-1+2i D．-1-2i
2．设x,yÎR,则“x³2且y³2”是“x2 + y2 ³4”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为
A．3 B．4
C．5 D．6
4．已知a 为等差数列，其公差为-2，且a 是a 与a 的等比中项，S 为
n 7 3 9 n
a 的前n项和，nÎN*，则S 的值为
n 10
A．-110 B．-90
C．90 D．110
6
æ x 2 ö
5．在ç - ÷ 的二项展开式中，x2的系数为
ç ÷
2 x
è ø
第1页 | 共6页15 15 3 3
A．- B． C．- D．
4 4 8 8
6．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=CD,2AB= 3BD,BC =2BD，则
sinC的值为
3 3
A． B．
3 6
6 6
C． D．
3 6
log 0.3
æ1ö 3
7．已知a=5log 2 3.4,b=5log 4 3.6,c= ç ÷ ,则
è5ø
A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b
ìa,a-b£1,
8 ． 对 实 数 a和 b， 定 义 运 算 “ Ä”： aÄb=í 设 函 数
îb,a-b>1.
f(x)= x2 -2 Ä x-x2 ,xÎR.若函数 y = f(x)-c的图像与x轴恰有两个公共点，
则实数c的取值范围是
æ 3ö æ 3ö
A．-¥,-2È
ç
-1,
÷
B．-¥,-2È
ç
-1,-
÷
è 2ø è 4ø
æ 1ö æ1 ö æ 3ö é1 ö
C．ç -1, ÷ È ç ,+¥ ÷ D．ç -1,- ÷ È ê ,+¥ ÷
è 4ø è4 ø è 4ø ë4 ø
第 II 卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法
从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人
第2页 | 共6页数为___________
10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m），则该几何体的体积
为__________m3
ìx=8t2,
11 ． 已 知 抛 物 线 C的 参 数 方 程 为 í （ t为 参 数 ） 若 斜 率 为 1 的
îy =8t.
直线经过抛物线C的焦点，且与圆x-42 + y2 =r2(r >0)相切，
则r=________.
12．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F ，E是AB延长线上一
点，且DF =CF = 2,AF:FB:BE =4:2:1.若CE与圆相切，则
线段CE的长为__________.
ì 1 ü
13．已知集合A= xÎR| x+3 + x-4 £9 ,B=íxÎR|x=4t+ -6,tÎ(0,+¥)ý，则
î t þ
集合AÇB=________.
14．已知直角梯形ABCD中，AD//BC,ÐADC =900,AD=2,BC =1,P是腰DC 上
uuur uuur
的动点，则 PA+3PB 的最小值为____________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
p
已知函数 f(x)=tan(2x+ ),
4
（Ⅰ）求 f(x)的定义域与最小正周期；
æ pö a
（II）设aÎ ç 0, ÷，若 f( )=2cos2a,求a的大小．
è 4ø 2
第3页 | 共6页16．（本小题满分13分）
学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里
装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机
摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在1次游戏中，
（i）摸出3个白球的概率；
（ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E(X) .
17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱ABC-ABC 中，
1 1 1
H 是正方形AABB的中心，AA =2 2，C H ^平面AABB，且C H = 5.
1 1 1 1 1 1 1
（Ⅰ）求异面直线AC与AB 所成角的余弦值；
1 1
（Ⅱ）求二面角A-AC -B 的正弦值；
1 1 1
（Ⅲ）设N 为棱BC 的中点，点M 在平面AABB内，且MN ^平面ABC，求线段
1 1 1 1 1 1
BM 的
长．
18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b) (a>b>0)为动点，F,F
1 2
第4页 | 共6页x2 y2
分别为椭圆 + =1的左右焦点．已知△FPF 为等腰三角形．
a2 b2 1 2
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）设直线 PF 与椭圆相交于 A,B两点， M 是直线 PF 上的点，满足
2 2
uuuur uuuur
AM ×BM =-2，求点M 的轨迹方程．
19．（本小题满分14分）
已知a>0，函数 f(x)=lnx-ax2,x>0.（ f(x)的图像连续不断）
（Ⅰ）求 f(x)的单调区间；
1 3
（Ⅱ）当a= 时，证明：存在x Î(2,+¥)，使 f(x )= f( )；
8 0 0 2
（Ⅲ）若存在均属于区间1,3的a,b，且b-a³1，使 f(a)= f(b)，证明
ln3-ln2 ln2
£a£ ．
5 3
20．（本小题满分14分）
3+(-1)n
已知数列{a }与{b }满足：b a +a +b a =0,b = ， nÎN*，且
n n n n n+1 n+1 n+2 n 2
a =2,a =4．
1 2
（Ⅰ）求a ,a ,a 的值；
3 4 5
（Ⅱ）设c =a +a ,nÎN*，证明：c 是等比数列；
n 2n-1 2n+1 n
4n S 7
（III）设S =a +a +×××+a ,kÎN*,证明：å k < (nÎN*)．
k 2 4 2k a 6
k=1 k
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