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2025—2026 学年度第一学期高三第一次月考答案
数 学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D A C A B D A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 ABD BD BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分。
12． 13． 14．8；6
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．解：
（1）当 时， ， ………………3分
则 ， ………………5分
当 时， ，满足上式，所以 ………………6分
（2）由 ………………8分
………………10分
………12分
所以 ，即 的最小值为 ………………13分
16．解：
（1） ……………1分
……………3分由 ……………5分
得 ……………6分
所以 的单调递增区间为 ……………7分
（2）由 (1) 知 ……………9分
若 的图象关于直线 对称,
则 ……………11分
所以 ……………13分
解得 ……………14分
因为 ，所以取 ，得 的最小值为 . ……………15分
17．解：
（1）证明：由题意得PA⊥平面ABC，因为 平面ABC，所以PA⊥BC …3分
又因为AC⊥BC， 平面PAC,所以BC⊥平面 PAC, ……5分
又因为 平面PCB，所以平面PAC⊥平面PBC. ……6分
（2）因为 AC=5，BC=12，AC⊥BC，所以
又因为三棱锥P-ABC的体积为100，即得 ……8分
由题意可得以A为原点，分别以平行于BC，及AC, AP
所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图, 则
令 ，得 ，则 ……11分
设平面PBC的一个法向量为 ，则
令 ，得 ，则 ……………13分设二面角A-PB-C为 ，则 14分
所以锐二面角A-PB-C的余弦值为 ……………15分
18．解：
若 ，则 ， ，x>0 ……………1分
（1）
所以 ， ……………3分
因此曲线 在点 处的切线方程为 ……………4分
（2） ，x>0
令 ，得 ……………5分
当01时， ， 单调递增 ……………10分
当
（3） ，x>0
令 ，得 ……………11分
所以当 时， ， 单调递减;
当 时, ， 单调递增，
因此 ……………13分
当 时, , 且 ……………14分
由 (2) 可知，存在 ，满足 ,又当 且 时, ……………16分
故 有两个零点. ……………17分
19．解：
√2 c √2
=
2 a 2 a=√6
（1）因为离心率为 ，所以 , 故 ……………2分
所以
c=√3
，所以
b2 =a2 −c2 =3
……………3分
故椭圆C的方程为 ……………5分
P(x ,y ) Q(x ,y )
（2）①设 1 1 ， 2 2 ,
（m2 +2)y2 +6my+3=0
由 ，得
由
Δ=36m2 −12(m2 +2)>0
，得
m2 >1
−6m 3
y +y = y y =
1 2 m2 +2， 1 2 m2 +2 ……………7分
(3 ) y +y 3m
,y y = 1 2 =−
设PQ中点坐标为 2 0 ，则 0 2 m2+2 ……………9分
(3 ) 3 3
,y =my +3 y =−
因为 2 0 在直线PQ上，所以2 0 ，即 0 2m ……10分
3m 3
− =−
所以 m2 +2 2m ，解得 m=±√2 ……………11分
H(x ,y )
②存在点 H H 使得四边形DMHN为平行四边形，
x ≠2 x ≠2
因为D(2,1)在椭圆上，所以易知 1 ， 2
y −1
y−1= 1 (x−2)
x −2
设直线DM的方程为 1 ……………12分
y −1 y −1 (m+1)y
y = 1 +1= 1 +1= 1
令x=3，得 M x
1
−2 my
1
+1 my
1
+1
(m+1)y
y = 2
N my +1
同理得 2 ……………14分
1
y y =− (y +y )
又由①知 1 2 2m 1 2(m+1)y (m+1)y 2(m+1)my y +(m+1)(y +y )
y +y = 1 + 2 = 1 2 1 2
M N my +1 my +1 (my +1)(my +1)
所以 1 2 1 2
( 1 )
2(m+1)m − (y +y )+(m+1)(y +y )
2m 1 2 1 2
= =0
(my +1)(my +1)
1 2 ………16分
所以线段MN的中点坐标为(3,0)
连接DH，则线段DH的中点坐标也为(3,0)，
x +2
H =3
2
y +1
H =0
由D(2,1)，可得 2 ，
所以点H的坐标为
H(4,−1)
……………17分
