文档内容
绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷(文史类)
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答
题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答
一律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内
直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
x
1．不等式 <0的解为 ．
2x-1
2．在等差数列a 中，若a +a +a +a =30，则a +a = ．
n 1 2 3 4 2 3
3．设mÎR，m2 +m-2+ m2 -1 i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= ．
x 2 x y
4．若 =0， =1，则y = ．
1 1 1 1
5．已知DABC的内角A、B、C所对的边分别是a，b，c．若a2 +ab+b2 -c2 =0，
则角C的大小是 ．
6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数
分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．
5
æ aö
7．设常数aÎR．若
ç
x2 +
÷
的二项展开式中x7项的系数为-10，则a= ．
è xø
9
8．方程 +1=3x的实数解为 ．
3x -1
1
9．若cosxcosy+sinxsin y = ，则cos2x-2y= ．
3
10．已知圆柱W的母线长为l，底面半径为r，O是上地面圆心，A、B是下底面圆心上
两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA与BC所成角的大小
π 1
为 ，则 = ．
6 r
11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，
则这两个球的编号之积为偶数的概率是
（结果用最简分数表示）．
π
12．设AB是椭圆G的长轴，点C在G上，且ÐCBA= ．若
4
AB =4，BC = 2，则G的两个焦点之间的距离为 ．
a2
13．设常数a>0，若9x+ ³a+1对一切正实数x成立，则a的取值范围为 ．
x
ur
14．已知正方形ABCD的边长为1．记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 、
1
第1页 | 共4页uur uur ur uur ur
a 、a ；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 、c 、c ．若i, j,k,lÎ1,2,3
2 3 1 2 3
ur uur uur ur
且i ¹ j,k ¹l，则 a +a × c +c 的最小值是 ．
i j k l
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的
相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．函数 f x= x2 -1x³1的反函数为 f -1x，则 f -12的值是（ ）
（A） 3 （B）- 3 （C）1+ 2 （D）1- 2
16．设常数aÎR，集合A= x|x-1x-a³0 ，B=x|x³a-1．若A B=R
U
，则a的取值范围为（ ）
（A）-¥,2 （B）-¥,2 （C）2,+¥ （D）2,+¥
17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）
（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
x2 ny2
18．记椭圆
4
+
4n+1
=1围成的区域（含边界）为W
n
n=1,2,
L
，当点x,y分别在
W ,W , 上时，x+ y的最大值分别是M ,M , ，则limM =（ ）
1 2 L 1 2 L n
n®¥
1
（A）0 （B） (C) 2 (D) 2 2
4
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号
的规定区域写出必要的步骤．
19．（本题满分12分） O
如图，正三棱锥O-ABC底面边长为2，高为1，
求该三棱锥的体积及表面积．
B A
20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分5分 C
，第2小题满分9分． 第19题图
甲厂以x千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产
3
条件要求1£ x£10），每小时可获得的利润是100(5x+1- )元．
x
1 3
（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(5+ - )；
x x2
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并
求此最大利润．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．
第2页 | 共4页已知函数 f(x)=2sin(wx)，其中常数w>0．
p
（1）令w=1，判断函数F(x)= f(x)+ f(x+ )的奇偶性并说明理由；
2
p
（2）令w=2，将函数y = f(x)的图像向左平移 个单位，再往上平移1个单位，得到
6
函数y = g(x)的图像．对任意的aÎR，求y = g(x)在区间[a,a+10p]上零点个数的所
有可能值．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满
分8分．
已知函数 f(x)=2-|x|．无穷数列{a }满足a = f(a ),nÎN*．
n n+1 n
（1）若a =0，求a ，a ，a ；
1 2 3 4
（2）若a >0，且a ，a ，a 成等比数列，求a 的值；
1 1 2 3 1
（3）是否存在a ，使得a ，a ，a ，…，a …成等差数列？若存在，求出所有这样的
1 1 2 3 n
a ；若不存在，说明理由．
1
23．（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满
分9分．
x2
如图，已知双曲线C ： - y2 =1，曲线
1 2
C ：| y|=|x|+1．P是平面内一点，若存在过点P
2
的直线与C 、C 都有公共点，则称P为“C - C 型
1 2 1 2
点”．
（1）在正确证明C 的左焦点是“C - C 型点”时，
1 1 2
要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线
的方程（不要求验证）；
第3页 | 共4页（2）设直线y =kx与C 有公共点，求证|k|>1，进而证明原点不是“C - C 型点；
2 1 2
1
（3）求证：圆x2 + y2 = 内的点都不是“C - C 型点”．
2 1 2
第4页 | 共4页
